高中数学 平面向量的线性运算 教学设计

平面向量的基本概念与线性运算（一）【教学目标】1.了解平面向量的实际背景。

2.理解平面向量的概念及向量相等的含义。

3.理解向量的几何表示。

4.掌握向量加法，加法的运算，并理解其几何意义。

【教学重难点】1．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

2．掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

3. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

4. 掌握向量减法的三角形法则。

【课前预习】基本知识点：(1)既有 又有 的量叫做向量，向量可以用 来表示． (2)向量AB 的大小，也就是向量AB 的 (或称 )，记作AB(3)长度 向量叫做零向量，记作0；长度为_ 的向量叫做单位向量． (4)方向 或 的两个向量叫做平行向量，也叫做 ．规定：0与 平行．(5)长度 且方向 的向量叫做相等向量；与a长度 且方向 的向量叫做相反向量．规定：0的相反向量是 ．(6)向量的加法和减法： 如图所示，已知在中设,,b AD a AB==则=+b a ，=-b a(7)向量的分解 ：已知向量AB ，O 为平面内任意一点，则OB AO AB +=；OA OB AB -=。

基本练习：1.（必修4课本57页）下列结论中正确的是________ （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a =b ；（4）两个相等向量的模相等。

2.（必修4课本57页）设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO BO CO 是_________向量（相等，共线，模相等，共起点）3.（必修4课本57页）判断题： 1）长度相等的向量是相等向量。

（ ） 2）相等向量是共线向量。

( )3) 平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。

（ ） 4. 在ABCD 中，BC CD BA -+=5.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =________【典型例题】例1． 如图，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。

5.1平面向量的概念及线性运算『课前考点引领』考情分析考点新知①了解向量的实际背景；理解平面向量的根本概念和几何表示；理解向量相等的含义.② 掌握向量加、减法和数乘运算,理解其几何意义；理解向量共线定理 .③了解向量的线性运算性质及其几何意义.掌握向量加、减法、数乘的运算,以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1.向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量,向量超的大小叫做向量的 (或模),记作|AB|.(2)零向量：的向量叫做零向量,其方向是的.(3)单位向量：长度等于—的向量叫做单位向量.(4)平行向量：方向或的向量叫做平行向量.平行向量又称为 ,任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量.(5)相等向量：长度______ 且方向的向量叫做相等向量.(6)相反向量：与向量a长度 ______ 且方向的向量叫做a的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量.2.向量加法与减法运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②法那么：三角形法那么；平行四边形法那么.③运算律：a + b=b+a; (a+b) + c= a+(b+c).(2)向量的减法① 定义：求两个向量差的运算,叫做向量的减法.② 法那么：三角形法那么.3,向量的数乘运算及其几何意义(1)实数入与向量a的积是一个向量,记作?a,它的长度与方向规定如下：①|后|=;② 当时,后与a的方向相同；当时,后与a的方向相反；当上0时,B=0.(2)运算律：设入、庆R,那么：① X⑶=:②(计p)a =:③ Xa+b)=.4.向量共线定理向量b与a(aw.共线的充要条件是一个实数入使得『课中技巧点拨』『题型精选』题型1平面向量的根本概念例1给出以下六个命题：① 两个向量相等,那么它们的起点相同,终点相同；②假设|a|= |b|,那么 a = b;③假设AB = 5C,那么A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中,一定有AB = DC ;⑤假设m = n, n = p,那么m= p;⑥假设 a // b, b // c,贝U a // c.其中错误的命题有 .(填序号)备选变式(教师专享)设a o为单位向量,①假设a为平面内的某个向量,那么a=|a|a o;②假设a与a o平行,那么a = |a|a o；③假设a与a o平行且|a|= 1,那么a =a o,上述命题中,假命题个数是 .题型2向量的线性表示例2 平行四边形OADB的对角线交点为C, BM=^BC, CN=1C D, OA = a, OB = b,3 3用a、b 表示OM、ON、MN变式练习在GABC中,E、F分别为AC、AB的中点,BE与CF相交于G点,设AB =a, AC =b,题型3共线向量例3设两个非零向量a与b不共线.(1)假设AB = a+b, BC= 2a+8b, Cb = 3(a-b).求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.备选变式(教师专享)a、b是不共线的向量, AB=后+b, AC = a+ ⑼入西R),当A、B、C三点共线时卜科满足的条件为.题型4向量共线的应用例4 如下图,设O是那BC内部一点,且OA + OC = - 2(DB,那么9OB与'OC的面积之比为.备选变式〔教师专享〕1 1如图,那BC中,在AC上取一点N,使AN = §AC;在AB上取一点M ,使彳#AM = \AB;1 . ...................... 一一——一,f 在BN的延长线上取点P,使得NP = ,BN;在CM的延长线上取点Q,使得MQ = CM时,A P = QA,试确定入的值.『疑难指津』1 .解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念,还应注意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同.2 .在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法那么、三角形法那么,利用三角形中位线,相似三角形对应边成比例得平面几何的性质,把未知向量转化为与向量有直接关系的向量来求解.3 .平行向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证实向量共线,也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证实三点共线要强调有一个公共点.答案『知识清单』1 .(1)大小方向长度(2)长度为0任意(3) 1个单位长度(4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反3 .(1)① |Z||a| ② Q0 K0(2)①(入)a ②后+旧；③后十的4 .有且只有b=后例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同,终点相同,那么两向量相等；但两相等向量,不一定有相同的起点和终点,故①不正确；|a|= |b|,由于a与b方向不确定,所以a、b不一定相等,故② 不正确；茹=氏,可能有A、B、C、D在一条直线上的情况,所以③不正确；零向量与任一向量平行,故a//b, b//c时,假设b= 0,那么a与c不一定平行,故⑥不正确.备选变式(教师专享)『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量, a与|a|a0模相同,但方向不一定相同,故①是假命题；假设a与a.平行,那么a与a.方向有两种情况：一是同向,二是反向,反向时a=— |a|a., 故②、③也是假命题,填 3.例2解：BA = a-b, BM =1B A =1a—1b, (5M =(OB+BM =7a+fb.<5b= a+b, ON =<OC + 6 6 66 6(CN = 1(5b + 1(5b = |ob=|a+|b.r\/IN =oN-(OM =2a_\b.变式练习解：AG = AB + BG = AB + 展= AB+,BA + BC)= 1-^AB+*AC—AB)=(1 —腕+ ‘AC = (1 一?a + 5b.又箱=品 + 公=品 + 01酢=品+段(61 + 两= (1- m)A& + ^AB = ^a+(1- m)b,m 1-/ 2 •1• 解得壮m=入 31—m=3 -1 1 AG = za + -b. o o例3备选变式(教师专享)『答案』人市1『解析』由A S = ^a+b, A& = a+庆R 〕及A 、B 、C 三点共线得Afe=t 品,所以例41『答案』J『解析』如下图,设 M 是AC 的中点,那么OA + Ot = 2OKl.又公十氏=-2西,6^/i = -ob,即O 是BM 的中点,C 1一 S ZJ \OB = S AAOM = 2sAe >C ,即S " oc 2'备选变式〔教师专享〕汨+b=t(a+(b)= ta+1 b,即可得入=t,1 = t & 所以入卢1.解：,・靠=2—成=会求一曲= ^(BN +C^)=^BC,QA = M A- =1BM + 祀,又..扉=QX, ：5疝1+21V通=5余, 即/MC : ^MC , •''入=；.。

高中数学必修4《平面向量线性运算》教案High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

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教学准备教学目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;教学重难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学工具投影仪教学过程一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、注意：当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第2、3题课后小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号.课后习题作业：P103第2、3题板书略-------- Designed By JinTai College ---------。

5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。

平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】 例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（ ） A ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ． 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ． 由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行 变2. 下列说法正确的是（ ）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则 口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 ．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ． 变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使 ．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组 ．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。

平面向量的线性运算教案本教案将介绍平面向量的线性运算，内容包括平面向量的加法、减法、数量乘法等运算规则和性质。

通过本教案的学习，学生将能够正确运用线性运算来解决与平面向量相关的问题。

一、引入平面向量是向量的一种特殊形式，具有大小和方向。

平面向量可以用一个有序数对表示，也可以用箭头表示。

我们用向量的加法、减法和数量乘法来进行平面向量的线性运算。

二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规则：1. 两个向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。

2. 三个向量的加法满足结合律，即(A + A) + A = A + (A + A)。

3. 对于任意向量A，存在一个零向量A，使得A + A = A。

三、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。

如果要计算A - A，可以先将A取负，即-A，然后进行加法运算。

即A - A = A + (-A)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量。

数量乘法满足以下运算规则：1. 数量乘法满足分配律，即A(A + A) = AA + AA，(A + A)A = AA+ AA，其中A、A为实数。

2. 数量乘法满足结合律，即(AA)A = A(AA)，其中A、A为实数。

3. 数量乘法与向量加法满足交换律，即A(A + A) = AA + AA，(A +A)A = AA + AA。

五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何、物理等学科中有着广泛的应用。

例如，在几何中，可以通过平面向量的减法来计算两点之间的距离和方向；在物理中，可以利用平面向量的数量乘法来计算力的合成和分解等。

六、实例演练为了帮助学生更好地理解平面向量的线性运算，以下是一些实例演练：1. 已知向量A = (2, 3)、A = (-1, 4)，求向量A = 2A - 3A。

2. 已知向量A = (6, -2)、A = (1, -3)，求向量A，使得3A + A = 2A。

平面向量的线性运算课程目标知识提要平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括向量的加减运算和向量的数乘运算．平面向量的加减法向量的加法运算向量加法的三角形法则已知非零向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和（或和向量），记作，即．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是与的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量和任一向量，我们规定．∙向量加法的运算律交换律：．结合律：．∙向量减法运算已知向量，（如图），作，作，则向量叫做向量与的差，并记作，即如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．由式还可以推知，一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”．与方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作，任一向量与其相反向量的和是零向量，即，零向量的相反向量仍为零向量．向量加上的相反向量，叫作与的差，即．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．作，，以，为邻边作平行四边形，连接．观察图形，不难看出，向量表示向量与的和，也就是向量．平面向量的数乘与平行∙向量的数乘一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar），记作，它的长度规定如下：当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．中的实数，叫做向量的系数．数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小．∙数乘运算规律设，为实数，那么；；．特别地，，．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．∙平行向量基本定理如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数，使．平面向量的分解∙平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数、，使．我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base），记做．叫做向量关于基底的分解式．平面向量的正交分解及坐标表示如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，使得．这样，平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量在基底的坐标，记做，其中叫做在轴上的坐标分量，叫做在轴上的坐标分量．精选例题平面向量的线性运算1. 如图，在四边形中，设，，，则用，，表示为．【答案】【分析】2. 已知点是的重心，过作的平行线与，分别交于点，，若，则．【答案】3. 已知平面向量，满足且与的夹角为，则的取值范围是．【答案】【分析】如图所示，，，，，则，当时，最小，此时，所以得取值范围是．4. 已知下列四个命题：①对任意两向量，，均有；②若，则是线段的中点；③在四边形中，若，则为平行四边形；④若中，，则．其中正确命题的序号是．【答案】②③【分析】若两向量，方向相反，则①不对；由向量平行四边形法则可知②对；③中向量等式化简后为，说明平行且等于，所以③对；由向量平行四边形法则可知④不对．5. 如图，在中，若，，，则实数．【答案】【分析】因为，，所以，．所以．又因为，所以．6. 已知在中，，分别为，上的点，且，，若，，则以，为基底表示．【答案】【分析】因为．7. 给定两个平面单位向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是．【答案】【分析】由题设可知及和的夹角为，所以．由及图形可知，，从而，则，从而，即．当且仅当时，得最大值．8. 与是两个非零向量，，若，，则与共线向量（填‘‘是”或“不是”）．【答案】是9. 在中，，若，则的值为．【答案】【分析】因为，则，所以，所以，，则的值为．10. 在中，，，分别是角，，所对的边，且，则．【答案】【分析】在中，有，又，消去得，从而，，故．11. 如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，试用基底，表示向量．【解】易得，，由，，三点共线知存在实数，满足，由，，三点共线知存在实数，满足，所以，由于，为基底，所以解得所以．12. 如图所示，平行四边形中，为的中点，是的中点，设，，，．(1)试以，为基底表示；【解】．(2)试以，为基底表示．【解】，所以由①②消去，得．13. 设，不共线，求证：点在直线上的充分必要条件是且．【解】必要性：因为点在直线上，所以存在实数使得，所以，所以存在，满足条件．充分性：由且可得，所以，，三点共线．14. ，，分别为的边，，上的中点，且，，给出下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号为．【分析】如图，，，，，，所以应填①②③④．【解】①②③④15. 如图，在中，，分别是，的中点，，，．(1)用，分别表示向量，；【解】因为，所以，因为，所以．(2)求证：，，三点共线．【解】由（1）知，，所以．所以与共线．又，有公共点，所以，，三点共线．16. 如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段的中点．若，求的值．【解】因为，所以，，所以．17. 若是内一点，且满足，试判断的形状．【解】因为，，所以由，得，即，则．从而为等腰三角形．18. 化简下列各式：(1)；【解】．(2)；【解】或者． (3)．【解】或者．19. 在中，为线段的中点，试问在线段上是否存在一点．使得，若存在，说明点位置；若不存在，说明理由．【解】假设存在点，使得．所以，存在为三等分点（）时，使得．20. 如下图，在梯形中，，且，，分别为线段与的中点，设，，试以，为基地表示向量，，．【解】，，．平面向量的加减法1. 在矩形中，若，，则．【答案】2. 在中，已知，，是的重心，则．【答案】【分析】如图所示：由是的重心，可知，且，所以，由平行四边形法则知，所以．3. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为．【答案】【分析】由，得．由、、三点共线，所以．4. 给出下列运算：①；②；③；④．其中，所有正确的序号是．【答案】①②③5. 如图所示，在梯形中，，与交于点，则．【答案】【分析】．6. 在平行四边形中，，，则；．【答案】；7. 若向量，满足，则与所成角的大小为．【答案】8. 如图所示，已知到平行四边形的三个顶点、、的向量分别为，，，则（用，，表示）．【答案】【分析】．9. 化简：（1）．（2）．【答案】（1）；（2）10. 已知，，且，则．【答案】【分析】，，，．11. 已知数轴上，两点的坐标为，，根据下列各题中的已知条件，求点的坐标． (1) ，；【解】，．(2) ，；【解】，．(3) ，；【解】，或．(4) ，．【解】，．12. 如图，在平行四边形的对角线的延长线上取点、的延长线上取点，使，用向量方法证明：四边形是平行四边形．【解】如图，，，因为四边形为平行四边形，所以，又，所以，从而，所以．即与平行且相等，所以四边形是平行四边形．13. 分别在的边，，上取点，，，使得直线，，交于一点，若，求证：，，是的中线．【解】如图，由，知，在图中作出，则四边形为平行四边形．又是的相反向量，故与共线，即在的延长线上．由平行四边形对角线互相平分知是的中点．同理，，分别是和的中点．所以，，是的中线．14. 已知，，且，求．【解】如图所示，设，，以，为邻边作，则，．因为，即，所以为矩形，故．在中，，，所以．所以．15. 已知菱形的边长为，设，，，求的大小．【解】．16. 设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示，，．【解】由向量的平行四边形法则，得在平行四边形中，因为所以由向量的平行四边形法则，得从而17. 如图在平行四边形中，设，，试用，表示，．【解】解法1：设，相交于点，则有，．，．解法2：设，，则有且，即，，即，．18. 若为的重心，求证：．【解】如图，设三边中点分别为，，．根据三角形重心的性质得，，，得，而，，．19. 如图所示，已知在梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试用，表示、、．【解】因为，，、分别是、的中点，所以，，．20. 一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际的航行方向与水流方向成角，求水流速度和船的实际速度．【解】如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，，．因为四边形为矩形，所以，，所以水流速度为，船的实际速度为．平面向量的数乘与平行1. 在正方形中，边长为，，，则．【答案】【分析】，所以．2. 根据图示填空．（1）；（2）；（3）．【答案】；；【分析】由三角形法则知（1）；（2）；（3）．3. 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数的取值范围是．【答案】且【分析】假设点，，不能构成三角形，则点，，共线，从而．因为，，所以，解得．于是若当点，，能构成三角形，则．4. 已知向量，，，，且，则．【答案】5. 下列命题：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们起点相同，终点相同；③若，，则；④若，，则；⑤若，则存在实数，使得．其中正确的是．【答案】③【分析】对于⑤，当而时不成立．6. 若，，与共线，则的值为．【答案】7. 在中，若，则的形状是．【答案】直角三角形【分析】因为所以，所以，．8. 已知，其中，，三点共线，则满足条件的有个．【答案】9. 已知点分有向线段所成的比为，且，，那么点的坐标为．【答案】【分析】点分有向线段所成的比为，则．10. 已知在基底下，向量，，若，则的值为．【答案】11. 已知非零向量和不共线．(1)若，，，问、、三点是否共线？并说明理由．【解】由条件知，．可见，，，共线．由于，有一个公共点，所以，，三点共线．(2)已知向量，，是否存在实数，使向量，共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解】假设存在实数，使向量，共线，设（），则，即．因为，，且，是不共线的两个向量，所以解得或．因此，存在实数，使向量，共线．12. 点是边上一点，且，设，，试用向量，表示．【解】．13. 已知，，且满足方程，这里向量的方向为东北方向．求作向量．【解】满足方程，或．当时，，，与同向，且．当时，，，与的方向相反，且．综上，时，，方向为东北方向；时，，方向为西南方向．如图，以点为始点，向东北方向和西南方向各画一条有向线段，长度分别等于和即可．14. 判断下列各题中的向量是否共线：(1)；【解】当时，则显然与共线；当时，，所以与共线．(2)，且共线．【解】由于共线，显然易得向量与共线．15. 已知平面中不同的四点，，，和非零向量，，且，，．(1)证明：，，三点共线；【解】因为，所以，所以，因为二者均经过点，所以，，三点共线．(2)若与共线，证明：，，，四点共线．【解】因为与共线，设，所以，．因为，，所以，．所以，所以，所以，，三点共线，又，，三点共线．所以，，，四点共线．16. 已知向量、及求、．【解】将的两边同乘，得，与相加，得，所以．代入，得．故，．17. 已知，，是平面上不共线的三点，直线上有一点，满足，(1)用，表示；【解】，．．所以．(2)若点是的中点，证明四边形是梯形．【解】如图，．故．故四边形为梯形．18. 设，是两个不共线的非零向量．(1)若，，．求证：，，三点共线；【解】．又，有公共点，故，，三点共线．(2)试求实数的值，使向量和共线．【解】若向量和共线，则 ( )，即，又因为，是两个不共线的非零向量．所以，且．解得．19. 设，是不共线的两个向量，已知，，，若，，三点共线，求的值．【解】因为，，三点共线，所以向量，共线，即存在实数，使得，所以得又，不共线，故解得或20. ，，当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？【解】解法1：，．当与平行时，存在实数，使，，当时，，由于，与反向．解法 2：由解法，知，．，，．此时．当时，与平行，并且反向．平面向量的分解1. 已知在中，，点满足，若且，则点构成的图形的长度为．【答案】2. 在中，，，的平分线于边上的中线交于点，若，则的值为．【答案】【分析】如图，设中点，因为在的平分线上，，；所以存在，使；因为，，三点共线，是中点；所以；所以由平面向量基本定理得；解得；所以；又；所以．3. 如图，在中，，分别为，的中点，为边上的点，且，若，，则的值为．【答案】【分析】因为为的中点，所以，故，，．4. 已知，，三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与，，共面，那么．【答案】5. 设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数的值为．【答案】(1)若，是不共线的向量，且，，，求为何值时，，，三点共线？【解】因为，．因为，，共线，所以，所以，所以，，所以．(2)已知四点，，和，试以，为基底表示．【解】因为，，且．设所以解得所以．7. 证明：若向量，，的终点，，共线，当且仅当存在实数，满足等式，使得．【解】必要性：设，，三点共线，则，共线，于是存在实数，使得而，，所以所以令，有，且充分性：若，且，则于是即所以，共线，从而，，三点共线．8. 已知，不共线，，用，表示．试问中时点在哪儿？时点又在哪儿？点的集合构成什么图形？所有适合条件，的点都在直线上吗？【解】时点与点重合；时点与点重合；时，点组成的图形是线段；时，点组成图形是直线，即所有适合条件的点都在直线上．9. 如图，在中，，，与交于点，，，试用，表示．【解】因为，所以．又因为，所以．又因为，，三点共线，所以存在使得（）．于是有同理设（），所以．于是有解得．10. 如图，在的边，上分别有一点，Q．已知，．连接，在上取一点，满足．(1)用，表示；【解】，．，．，．又，．．(2)证明：在线段上．【解】，又由（1）知，，在线段上．课后练习1. 设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则．2. 非零向量，不共线，使与共线的．3. 已知向量表示“向东航行”，表示“向南航行”，则表示．4. 如图，在四边形中，，为的中点，且，则．5. 化简：．6. 在中，，，设为内部及其边界上任意一点，若，则的最大值为．7. 若为的外心，且，则．8. 如图，向量，若，则．9. 已知从点到平行四边形的三个顶点，，的向量分别为，，，则向量等于．10. 如图，在中，若则．11. 已知点在所在的平面内，若，则与的面积的比值为．12. 中，，交于点，设，，用，表示向量为．13. 若点为的外心，且，则的内角．14. 根据图示填空：（1）；（2）．15. 若等于＂向东走＂，等于＂向北走＂．则，的方向是．16. 若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为．17. 若，，则的取值范围是．18. 设表示"向东走 "，表示"向北走 "，则表示向东北走．19. 设是正六边形，，，那么 (用表示)．20. 已知，，，则．21. 设，是两个不共线的向量，，．若以，为基底表示向量，即，则．22. 若，与的方向相反，且则．23. 在中，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则．24. 已知与共线，且与垂直，则．25. 设，是未知向量，解方程组得处分别为，．26. 设，是平面内所有向量的一组基底，则向量与向量共线的条件是．27. 若为内一点，且满足，则与的面积之比为．28. 设，是两个不共线的向量，则向量（）与向量共线的充要条件是．29. 已知向量，，．若与共线，则．30. 有下列四个命题：①对于实数和向量，，恒有；②对于实数，和向量，恒有；③若，则有；④若（、），则．其中正确命题的序号是．31. 等腰直角三角形中，，，是斜边上一点，且，则．32. 已知平面向量的夹角为，且，在中，，，为边的中点，则．33. 已知四边形中，，，对角线，的中点为，，则向量．34. 已知向量，不共线，且，，，以向量，为基底，则向量可分解为（即写成的形式）．35. 如图，在中，，且，则；36. 在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设，，试用与表示和．37. 已知正方形的边长等于，，，，试作向量：(1)；(2)．38. 如图，在五边形中，若四边形是平行四边形，且，，，试用，，表示向量，，，及．39. 如图，为正六边形的中心，根据图示计算：(1)；(2)；(3)．40. 某人从点出发向西走了，到达点，然后改变方向按西偏北走了到达点，最后又向东走了到达点．(1)作出向量，，（用长的线段代表长）；(2)求．41. 在空间四边形中，连接，，的重心为，，求，，．42. 设是平行四边形，其对角线相交于点，，，试求向量与向量，的关系．43. 已知向量和点，直线过点，且平行于向量，求直线的方程．44. 如图所示，是平行四边形的对角线、的交点，设，，，求证：．45. 已知，，若，求的值．(1)已知，，的模分别为，，，求的最大值．(2)如图，已知在矩形中，，设，，，试求的大小．47. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，为平面内任意一点．求证：．(1)在中，是的重心，试证明：；(2)在任意四边形中，为的中点，为的中点，证明：．49. 在静水中划船的速度是，水流的速度是，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何方？50. 如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，已知，，试用，表示和．51. 若，，试求：(1)的最小值；(2)的最大值．52. 的重心为，为坐标原点，，，，试用，，表示．53. 已知四边形的对角线与相交于点，且，．求证：四边形是平行四边形．54. 已知向量，，是模相等的非零向量，，求证：是正三角形．55. 如图，已知向量，，不共线，求作向量．56. 如果，，（其中，不共线），且，，三点共线，求的值．57. ，分别是的边，的靠近的三等分点．求证：，且．58. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．(1)若，且，求的坐标；(2)若与的夹角的余弦值为，且，求．59. 已知向量，，若，，且，求实数的值并判断此时与的方向相同还是相反．60. 已知的两边，的中点分别为，，在的延长线上取点，使，在的延长线上取点，使，用向量方法证明：，，三点共线．61. 已知两个非零向量与不共线．(1)若，，，求证：，，三点共线；(2)试确定实数，使和共线．62. 如图，已知在平行四边形中，为的中点，在上，．求证：、、三点共线．63. 如图，在平行四边形中，，与相交于点．求证：．64. 设，不共线，，，，求证：，，三点共线．65. 已知向量，满足，求证：向量与共线，并求．66. 已知线段过的重心，且，分别在，上，设，，，．求证：．67. 如图，对于平行四边形，点是的中点，点在上，且．求证：，，三点共线．68. 如图，已知，点是以为中心的的对称点，是将分成的一个内分点，和交于，设，．(1)用，表示向量，；(2)若，求实数的值．69. 如图所示，在平行四边形中，，．设，，以，为基底表示，，，．70. 在直角坐标系中，，如图所示，分别求出：与的坐标．平面向量的线性运算-出门考姓名成绩1. 在中，点在边上，且，，则．2. 在中，，若，，则的值为．3. 已知平行四边形中，对角线，相交于点，已知，，则．4. 在中，已知是边上一点，点，则．5. 当不共线向量，满足时，与互相垂直．6. 若菱形的边长为，则．7. 已知，，且，，则；与的夹角为．8. 化简．9. 设向量，都不是零向量．（1）若向量与同向，则与的方向，且；（2）如图，在正六边形中，若，则．10. 给出下列命题：若，同向，则有；恒成立；对任意两个向量，总有．若三个非零向量，，满足，则此三个向量围成一个三角形．其中正确的命题是．11. 在中，，，分别是，，边上的靠近，，的三等分点，是平面上的任意一点．若，则．12. 已知为边上一点，且的面积是面积的，则分所成的比为．13. 已知向量，，，若与共线，则．14. 已知，，向量，不共线，则当时，．15. 设是两个不共线的向量，关于向量，，有下列结论：①，；②，；③，；④，．其中能判断，共线的有．（填序号）16. 已知是的外心，，，．设，，若，则．17. 如图，在矩形中，点，分别在线段，上，且满足，，若，则．18. 设为的外心，若，为的内角，则角．19. 在中，已知点、分别在边、上，，，与交于点，且，，用，表示．20. 若向量满足，，为已知向量，则；．21. 已知为四边形所在平面外一点，且向量，，，满足等式．作图并观察四边形的形状，并证明．22. 如图所示，在中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点．求证：．23. 在中，，，与交于点，设，，用，表示．24. 用两种方法化简．25. 已知在矩形中，，设，，，试求．26. 如图所示，为的外心，为垂心，求证：．27. ，（），，当等于什么值时，有最值，并求出最值．28. 已知正方形的边长为，若，，，求作向量，并求出．29. 已知平行四边形，，，用，分别表示向量，．30. 化简：(1) ；(2) ．31. 已知两点，，在直线上求一点，使得．32. 设两个非零向量和不共线，如果，，．(1)求证：三点共线；(2)试确定实数的值，使和共线．33. 已知向量，不共线，，，(1)若，求的值，并判断，是否同向；(2)若，与夹角为，当为何值时，．34. 已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．(1)用，表示；(2)证明：四边形为梯形．35. 设，是两个不共线的向量，已知，，．若，，三点共线，求的值．36. 已知：梯形，，，分别是，的中点．求证：，且．37. 已知为平行四边形内一点，，，，用，，表示．38. 在空间四边形中，连接，，的重心为，化简．39. 已知在梯形中，，，分别是，的中点．设，，选择基底，求向量，在此基底下的分解式．40. 如图，以向量，为边作平行四边形，交于点，又，，用，表示，，．。