人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计

数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
2．2平面向量的线性运算
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想
等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻
研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.。

平面向量的线性运算教学设计设计思路：本文基于平面向量的线性运算教学设计，主要内容包括向量的加法、减法、数乘以及线性组合等方面。

通过理论知识的介绍、示例的演示和互动练习等方式，让学生能够深入理解线性运算的概念与性质，提高解决实际问题的能力。

【引言】平面向量的线性运算是数学中重要的内容之一，它在几何、物理、工程等学科中都有广泛的应用。

正确理解和掌握平面向量的线性运算，对于学生培养逻辑思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将通过教学设计，帮助学生深入理解平面向量的线性运算，并能够灵活运用于实际问题中。

【教学设计】一、理论知识的引入1. 引入向量的概念与性质：向量的定义、向量的模、向量的方向等。

2. 平面向量的表示方法：坐标表示法、位置矢量表示法等。

二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量相加的几何意义，向量相加的运算法则。

2. 向量的减法：向量相减的几何意义，向量相减的运算法则。

三、向量的数乘与线性组合1. 向量的数乘：向量与实数相乘的几何意义，向量数乘的运算法则。

2. 向量的线性组合：向量线性组合的概念与性质。

四、实例演示与解析1. 实例1：平面向量的相加减计算。

通过具体的示例，引导学生学会进行向量的相加、相减运算。

2. 实例2：向量的数乘与线性组合应用。

结合实际问题，让学生理解向量的数乘与线性组合在几何、力学等方面的应用，如力的合成与分解等。

五、互动练习与巩固1. 设计小组练习题目：编写一些向量加减或数乘题目，供学生进行小组讨论与解答。

2. 出示练习题目进行课堂检测：出示一些题目，要求学生即时回答，并解析答案，加深学生对知识点的理解与掌握。

【教学反思】通过本教学设计，学生在学习过程中通过理论知识的介绍、实例演示以及互动练习等方式，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，使学生对平面向量的线性运算有更深入的理解和应用。

同时，教学过程中注重互动，培养学生的合作意识和团队精神，增加学习的趣味性。

向量加法运算及其几何意义内容和内容解析本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书必修4(A版)P89——94，是在学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，类比数的运算，向量是否能够进行运算呢？向量的工具作用如何发挥呢？这是学生认知冲突的地方，这一冲突正是数学建模思想应运而生，也是激发学生进一步探究数学新知的契机。

这一节内容更是后续学习的铺垫，因为向量加法运算是平面向量的线性运算（向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算）最基本、最重要的运算，减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算，这一节学习好坏关系后续内容能否进一步领会和掌握。

因此教学重点放在对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解上，也即向量是如何相加的，而数学建模思想是帮助学生理解的神经中枢。

目标和目标解析1.通过对物理中的位移合成认识、动手操作力的合成实验，了解向量加法不同于一般意义上数量相加，有其遵循的新规则，在此基础上理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程。

2.在学生探究向量加法感性认识的基础上，引导学生理解向量加法遵循的“规则”，即三角形法则和平行四边形法则，并能正确作出两向量和的图形，能对学生不同理解作出正确评价，为探究运算律奠定基础，切实掌握两个向量加法运算律，因为在今后向量运算中，缺少箭头表示方向，很多学生会产生陌生感，影响向量工具性能，务必使学生能灵活应用它们进行向量运算。

3.从位移合成、力的合成实践中得到向量加法运算法则，之后用来解决例2实际问题，让学生体验数学来源于现实生活,又服务于现实生活的道理，渗透数学建模思想。

教学问题诊断分析向量加法不同于小学里“2个苹果加上3个苹果共有几个苹果？”，也不同于初一时的求“两线段的和”不考虑方向。

向量是既有大小又有方向的量，如何处理大小相加和方向相加，这是本节课学生最难弄懂的地方。

学生要么无法计算，要么按照线段相加乱套，即是在以后的学习中，很多学生对求同一点出发的两向量和，不会用平行四边形法则来解决。

平面向量的线性运算课型：习题课教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握平面向量的加法、减法运算法则及其几何意义（2）使学生掌握平面向量共线定理并能熟练应用。

2、能力目标：（1）了解平面向量的加法、减法运算法则等方面的应用。

（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。

3、德育目标：通过采取小组合作学习，引导学生共同讨论，共同协作，使学生体会到合作精神的重要性，同时学会尊重他人。

教学重点：掌握平面向量线性运算并能熟练应用。

教学难点：掌握平面向量共线定理并能熟练应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、组织教学二、温故知新（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算（3）共线向量定理向量()0a a ≠r r r与b r 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______.三、小试牛刀1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) （1）零向量与任意向量平行.（ ）( 2 )若//,//a b b c r r r r,则//a c r r ( )( 3 )向量AB u u u r与向量CD uuu r 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上.( )( 4 )当两个非零向量 ,a b r r 共线时,一定有b a λ=r r,反之成立( )( 5 )在ABC ∆中,D 是BC 中点,则()12AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r.( )2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若,a b r r都是单位向量,则a b =r r ;③向量BA u u u r 与AB u u u r相等.则所有正确命题的序号是( )A. ①B. ③C. ①③D.①②3.设向量,a b r r不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ＝____________.4.已知平行四边形ABCD 的对角线AC u u u r 和BD u u u r相交于O ，且,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则= ;= ;(用,a b r r表示四、典例解析考点一 平面向量的线性运算 ［例1］（1）在ABC ∆中，Q P ，分别是BC AB ，的三等分点，且BC BQ AB AP 3131==，，若=a r ，=b r，则=( )A.1133a b +r rB.1133a b -+r rC.1133a b -r rD. 1133a b --r r（2）在ABC ∆中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ， 若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r则x = ；y = .规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 跟踪训练： 【训练1】(1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点, 点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点,那么等于（ ）A. 1123AB AD -u u u r u u u rB. 1142AB AD +u u ur u u u rOA BD CC.1132AB DA +u u u r u u u rD. 1223AB AD -u u ur u u u r (2) 在ABC ∆中，2,3AB BC == ,60ABC ∠=o,AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r则λμ+ 等于 ( )A. 1B.12 C. 13 D.23考点二 共线向量定理及其应用［例2］设两个非零向量a r 和b r不共线（1） 若(),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r,求证：,,A B D 三点共线；（2） 试确定实数k ，使ka b +r r 与a kb +r r共线.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量,a b r r 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使 120a b λλ+=r r r成立.【训练2】（1）已知向量3,53,33AB a b BC a b CD a b =+=+=-+u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则 （ ）A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线 （2）已知,,A B C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线 l 上，则使等式20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r成立的实数x 的取值集合为（ ）A. {}0B. φC. {}1-D.{}0,1-考点三 向量线性运算的综合应用 ［例3］（1）O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆ 的（ ）C B A ,,D B A ,,D C A ,,D C B,,A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心（2）设O 为ABC ∆内部的一点，且30OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∆的面积与BOD ∆ 的面积之比为规律方法（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。

平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】 例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（ ） A ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ． 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ． 由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行 变2. 下列说法正确的是（ ）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则 口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 ．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ． 变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使 ．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组 ．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。

课 题： 2.2.2向量的减法及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念； ⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法： 1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量 + (-a ) =0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a +0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一三、讲解范例：例1已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD =d ,作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例2平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，用a ，b 表示向量AC 、 解：由平行四边形法则得：AC = a + b , DB = AB AD - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直）变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）,3,,,ABCD AB a DA b OC c b c a OA===+-= 如图平行四边形证明：例 b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA+=+=+=∴+-=-=+= 证明：四、课堂练习：五、小结 向量减法的定义、作图法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

课题： 2.2.1向量加法及其几何意义教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即 a b AB BC AC +=+=(1)BB特殊情况：abba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 00a a a +=+= 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加.2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使AB a =, BC b =, CD c = 则(a +b ) +c =AC CD AD +=a + (b +c ) =AB BD AD +=∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h 。

《平面向量的线性运算》教案17（新人教
A版必修4）
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。

三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方
向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）；（2）；（3）．
解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量4．练习计算：（1）（2）（3）教材P90面5题5．思考例3．
例4．教材例7。

三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。