高中数学必修4《平面向量线性运算》教案

§2.2 平面向量的线性运算教材分析本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。

类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。

教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。

平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。

其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。

由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。

类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。

因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。

课 题： 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =OA AB BC ++ =a +a +a =3aPN =PQ QM MN ++ =(-a )+(-a )+(-a )=-3a（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =03．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a ||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |∴|λ(μa )|=|(λμ)a |如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a ||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向即 |(λ+μ)a |=|λa +μa |当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向，且|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立 第二分配律证明：如果a =0 ，b =0 中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立.当a ≠0 ，b ≠0 且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作OA = a AB = b 1OA = λa 11A B = λb则OB = a +b 1OB = λa +λb由作法知 ，AB ∥11A B 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11A B | ∴111||||||||OA A B OA AB == λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1 ∴1||||OB OB = λ ∠AOB=∠ A 1OB 1 因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a +b )=λa +λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb∴ ③式成立4．向量共线的充要条件若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量若a 与b 共线(a ≠0 )且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ； 当a 与b 反向时b =-μa向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b =λa 三、讲解范例：例1若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .分析：此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程，通过方程组的求解获得m 、n .解：记3m ＋2n ＝a ① m －３n ＝b ②3×②得３m －９n ＝３b ③①－③得11n ＝a －３b . ∴n ＝111a －113b ④ 将④代入②有：m ＝b ＋３n ＝113a ＋112b 例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0 .即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ）例3 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2,3OA OB OC ==+=+ a+b,a b a b你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?解：∵()2AB OB OA =-=+-+= a b a b b()32AC OC OA =-=+-+= a b a b b∴2AC AB =所以,A 、B 、C 三点共线.四、课堂练习：五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

向量加法运算及其几何意义内容和内容解析本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书必修4(A版)P89——94，是在学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，类比数的运算，向量是否能够进行运算呢？向量的工具作用如何发挥呢？这是学生认知冲突的地方，这一冲突正是数学建模思想应运而生，也是激发学生进一步探究数学新知的契机。

这一节内容更是后续学习的铺垫，因为向量加法运算是平面向量的线性运算（向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算）最基本、最重要的运算，减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算，这一节学习好坏关系后续内容能否进一步领会和掌握。

因此教学重点放在对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解上，也即向量是如何相加的，而数学建模思想是帮助学生理解的神经中枢。

目标和目标解析1.通过对物理中的位移合成认识、动手操作力的合成实验，了解向量加法不同于一般意义上数量相加，有其遵循的新规则，在此基础上理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程。

2.在学生探究向量加法感性认识的基础上，引导学生理解向量加法遵循的“规则”，即三角形法则和平行四边形法则，并能正确作出两向量和的图形，能对学生不同理解作出正确评价，为探究运算律奠定基础，切实掌握两个向量加法运算律，因为在今后向量运算中，缺少箭头表示方向，很多学生会产生陌生感，影响向量工具性能，务必使学生能灵活应用它们进行向量运算。

3.从位移合成、力的合成实践中得到向量加法运算法则，之后用来解决例2实际问题，让学生体验数学来源于现实生活,又服务于现实生活的道理，渗透数学建模思想。

教学问题诊断分析向量加法不同于小学里“2个苹果加上3个苹果共有几个苹果？”，也不同于初一时的求“两线段的和”不考虑方向。

向量是既有大小又有方向的量，如何处理大小相加和方向相加，这是本节课学生最难弄懂的地方。

学生要么无法计算，要么按照线段相加乱套，即是在以后的学习中，很多学生对求同一点出发的两向量和，不会用平行四边形法则来解决。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
教学准备
教学目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;
教学重难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具
投影仪
教学过程
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二(P94—95)略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第2、3题
课后小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 课后习题
作业：
P103第2、3题
板书
略。

高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计高中数学必修四《平面向量的线性运算》教案教学目标一、知识与技能1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．教学难点：理解向量加减法的定义．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．教师备课系统──多媒体教案学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题探究，合作交流提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．2新课标普通高中◎数学④必修合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求BC=b，两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？3.数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2.当a，b不共线时，|a+b||a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|．一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|．3.如下左图，作AB=a，AD=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a．因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a．如上右图，因为AD=AC+CD=（AB+BC）+CD=（a+b）+c，，所以（a+b）+c=a+（b+c）．AD=AB+BD=AB+（BC+CD）=a+（b+c）综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量．于是-（-a）=a．我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）=（-a）+a=0．所以，如果a、b是互为相反的向量，那么4新课标普通高中◎数学④必修a=-b，b=-a，a+b=0．A.平行四边形法则如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．讨论结果：①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．三、拓展创新，应用提高例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O 的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，以OA、OB为邻边作OB=b．连接OC，则OC=a+b．例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．OACB，活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．解：如上右图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作则AC表示船实际航行的速度．（2）在Rt△ABC中，|AB|=2，|BC|=5，所以|AC|=|AB|?|BC|?因为tan∠CAB= 22ABCD，22?52?29≈5.4．29，由计算器得∠CAB=68°．2答：船实际航行速度的大小约为5．4km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d．例4如图，ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．课堂作业1．下列等式中，正确的个数是（）①a+b=b+a②a-b=b③0-a=-a④-（-a）=a⑤a+（-a）=0A．5B．4C．3D．2 2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-DB等于（）A．FDB．FCC．FED．BE3．下列式子中不能化简为AD的是（）A．（AB+CD）+BCB．（AD+MB）+（BC+CM）C．MB?AD?BMD．OC-OA+CD。

2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答以下问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究〞的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法那么向 量 求 和 的法那么三角形法那么非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作＝a ，＝b ，那么向量叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法那么. 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a ．平行四边形法那么以同一点O 为起点的两个向量a 、b 为邻边作▱OACB ，那么以O 为起点的对角线_就是a 与b 的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法那么.①交换律：a ＋b ＝b ＋a ；②结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法那么或平行四边形法那么．(2)当两非零向量a ，b 共线时，向量加法的平行四边形法那么还能用吗？三角形法那么呢？提示：平行四边形法那么不能用，但三角形法那么可用． (3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义： ；(2)求向量和的三角形法那么：；(3)求向量和的平行四边形法那么：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法那么和平行四边形法那么．[思考2] 三角形法那么和平行四边形法那么的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法那么适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法那么只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法那么是一致的．如下图， (平行四边形法那么)，(3)在使用三角形法那么时，应注意“首尾连接〞；在使用平行四边形法那么时应注意X围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法那么作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法那么作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，那么以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，那么＝a＋b.应用三角形法那么和平行四边形法那么应注意的问题(1)三角形法那么可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连〞，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法那么只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法那么更简单．练一练1．如图，a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如下图．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)．讲一讲2．化简以下各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简以下三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如下图，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.那么飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如下图，设分别是轮船的两次位移，那么表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港403km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法那么求和向量时，关键要抓住“首尾相接〞，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法那么求和向量时，应注意“共起点〞．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．两非零向量a，b(如下图)求作a＋b. 解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．以下等式错误的选项是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．4 5C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法那么知7．正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，那么|a ＋b ＋c |为________． 解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：2 28．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算：解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用9．假设a 等于“向东走8 km 〞，b 等于“向北走8 km 〞那么|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．解析：如下图，设＝a ，＝b ，那么＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，那么||＝82km ，∠BAC ＝45°.答案：82km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度．在Rt△OAC中，||＝4，||＝433，∴∠AOC＝30°.故雨滴着地时的速度大小是833m/s，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a＝，b是任一非零向量，那么在以下结论中，正确的为( )①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①② B．①③C．①③⑤ D．③④⑤解析：选C a＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么以下等式中不正确的选项是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法那么可知，3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，那么＝( )4．△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，那么以下结论中正确的选项是( )A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P P在△ABC的外部解析：选D，根据平行四边形法那么，如图，那么点P在△ABC外．答案：6．假设P为△ABC的外心，且，那么∠ACB＝________．解析：∵，那么四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，因此∠ACB＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，∴∠ DAB ＝60°， ∴△ABD 为正三角形．8．船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合条件， 四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，＝|v 水|＝10 m/min ，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时 向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答以下问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？假设有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法那么或三角形法那么作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④假设a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，那么_＝a－b，如下图，即a －b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)假设两个非零向量a与b互为相反向量，那么a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)假设a－b＝c－d，那么a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法那么对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简以下各式：[思考1] 两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法那么，即把两向量的始点重合，那么差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，假设( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，那么＝a＋b，再作＝c，那么＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，那么＝a＋b，再作＝c，连接OC，那么＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法那么，即把两向量的起点重合，那么差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如下图．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，那么＝a－(b＋c) ＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答以下各题：利用向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法那么．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用向量表示未知向量，难点是利用向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法那么找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．非零向量a与b同向，那么a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 假设|a|＞|b|，那么a－b与a同向，假设|a|＜|b|，那么a－b与－b同向，假设|a|＝|b|，那么a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，应选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．假设O，E，F是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法那么知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用向量表示未知向量8．如图，向量，那么向量可以表示为( )A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C＝b－a＋c.应选C.9．一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，那么向量等于( ) A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，那么等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，假设四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有以下不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a 与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么( )A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设假设m，n的长度恰好相等，那么有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，那么b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，那么a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，假设以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答以下问题．(1)非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)假设a ＝λb ，那么a 与b 共线吗？ 提示：共线．2．归纳总结，核心必记 (1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0． (2)向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 ①λ(μa )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．特别地，(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb ． (3)共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . (4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a ，λ－2b 无法运算． (2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa ＝0；a ＝0时，λa ＝0，这两种说法正确吗？ 提示：不正确，λa ＝0中的“0〞应写为“0〞．[课前反思](1)向量数乘的概念： ；(2)向量数乘的运算律： ；(3)共线向量定理： ；(4)向量的线性运算： ．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项〞“提取公因式〞，这里的“同类项〞“公因式〞是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简以下各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤〔3a ＋2b 〕－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；(3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . [尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项〞“公因式〞指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .讲一讲2.在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．假设，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD .用向量表示未知向量的方法用图形中的向量表示所求向量，应结合和所求，联想相关的法那么和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如下图，四边形OADB是以向量OA―→＝a，OB―→＝b为邻边的平行四边形．又BM＝1 3BC，＝13CD，试用a，b表示[思考1] 如何证明向量a与b共线？名师指津：要证向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可．[思考2] 如何证明A，B，C三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)e1，e2是两个不共线的向量，假设＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，假设求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)假设b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，那么这两条直线平行；(2)假设b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，那么这两条直线重合．例如，假设向量，那么共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如下图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE 至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法那么和平行四边形法那么建立关于所求向量和向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用 (1)以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，且那么对角线所对应的向量＝a ＋b ，＝a －b .课下能力提升(十六) [学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12〔2a ＋8b 〕－〔4a －2b 〕等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．m ，n 是实数，a ，b 是向量，那么以下命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③假设m a ＝m b ，那么a ＝b ；④假设m a ＝n a ，那么m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，假设m ＝0，那么不能推出a ＝b ，错误；④中，假设a ＝0，那么m ，n 没有关系，错误．题组2 用向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且那么t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如下图，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，那么＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a )6．如下图，▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L ，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1， 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用 7．对于向量a ，b 有以下表示： ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，假设a ＝λb (λ≠0)，那么e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．向量a ，b ，且＝7a －2b ，那么一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 解析：选A ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，那么实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3，所以3k 2＋5k －2＝0， 解得k ＝－2或13.答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．向量a，b是两个非零向量，在以下四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③x a＋y b＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④梯形ABCD，其中A．①②B．①③C．② D．③④解析：选A 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有x a＋y b＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法那么可得两向量有公共点M，那么A，M，D三点共线，设BC∩MD＝E，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE 是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB、AC 为邻边作平行四边形ABFC，依据向量加法的平行四边形法那么可得4．如下图，两射线OA与OB交于O，那么以下选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，应选A.答案：236．两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，假设A ，B ，D 三点共线，那么λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线， 所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，那么λ＝－35.答案：－357．如图，在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ，∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC .∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH .∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)假设点B 在线段AM 上，某某数λ的X 围．。

平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。

2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。

教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。

2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。

3. 运用线性运算解决平面向量的问题。

教学难点：1. 点乘的概念和应用。

2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。

2. 学生准备：纸笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。

2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。

二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。

2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。

四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。

2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。

五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。

2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。

六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。

2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。

教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

平面向量的线性运算教案本教案将介绍平面向量的线性运算，内容包括平面向量的加法、减法、数量乘法等运算规则和性质。

通过本教案的学习，学生将能够正确运用线性运算来解决与平面向量相关的问题。

一、引入平面向量是向量的一种特殊形式，具有大小和方向。

平面向量可以用一个有序数对表示，也可以用箭头表示。

我们用向量的加法、减法和数量乘法来进行平面向量的线性运算。

二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规则：1. 两个向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。

2. 三个向量的加法满足结合律，即(A + A) + A = A + (A + A)。

3. 对于任意向量A，存在一个零向量A，使得A + A = A。

三、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。

如果要计算A - A，可以先将A取负，即-A，然后进行加法运算。

即A - A = A + (-A)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量。

数量乘法满足以下运算规则：1. 数量乘法满足分配律，即A(A + A) = AA + AA，(A + A)A = AA+ AA，其中A、A为实数。

2. 数量乘法满足结合律，即(AA)A = A(AA)，其中A、A为实数。

3. 数量乘法与向量加法满足交换律，即A(A + A) = AA + AA，(A +A)A = AA + AA。

五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何、物理等学科中有着广泛的应用。

例如，在几何中，可以通过平面向量的减法来计算两点之间的距离和方向；在物理中，可以利用平面向量的数量乘法来计算力的合成和分解等。

六、实例演练为了帮助学生更好地理解平面向量的线性运算，以下是一些实例演练：1. 已知向量A = (2, 3)、A = (-1, 4)，求向量A = 2A - 3A。

2. 已知向量A = (6, -2)、A = (1, -3)，求向量A，使得3A + A = 2A。

教学准备
1. 教学目标
理解现面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。

2. 教学重点/难点
理解现面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。

3. 教学用具
4. 标签
教学过程
目的：理解现面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。

一、知识点
平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

1、平面向量的坐标运算
例3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C 满足
因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即。

选D
三、课堂小结
1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算。

2、两个向量平行的坐标表示。

3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。

四、作业
P73、闯关训练。

课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。

人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
一、教学目标
1.知识目标
•熟悉平面向量的概念和性质
•掌握平面向量的线性运算方法，了解向量的数量积和向量积的概念和性质
2.能力目标
•能够应用平面向量的线性运算方法解决几何问题
•能够通过向量的数量积和数量积的计算对平面上的向量进行分类
3.情感态度目标
•培养学生的独立思考和解决问题的能力
•激发学生对数学的兴趣和热爱，培养优秀的数学思维和学习方法
二、教学重点和难点
1.教学重点
•平面向量的线性运算方法和相关概念的掌握
•根据向量的线性运算方法解决几何问题
2.教学难点
•向量的数量积和向量积的概念和性质的理解
•向量的数量积和向量积的应用
1。

北师大版高中必修44.2平面向量线性运算的坐标表示教学设计一、教学目标1.理解平面向量的定义与基本性质；2.掌握平面向量的坐标表示；3.掌握平面向量的线性运算，包括向量加法、数乘和内积；4.理解向量的投影与余弦定理；5.能够解决与平面向量有关的实际问题。

二、教学重点1.平面向量的坐标表示；2.向量的线性运算。

三、教学难点1.向量的内积；2.向量的投影。

四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入向量的概念，引导学生思考什么是向量，向量在生活中的应用。

2. 讲解（40分钟）（1）平面向量的坐标表示：教师首先介绍平面直角坐标系，引出向量的坐标表示。

然后，教师演示如何求两个向量的和、差、数量积和夹角余弦值，以及如何判断两个向量是否垂直或平行。

在解释示例问题时，强调向量坐标与长度的关系。

（2）向量的线性运算：教师先介绍向量加法和减法的概念，然后演示向量加法、减法、数乘的运算法则，并给出具体的例题进行分析。

最后，教师介绍向量的模长、投影及余弦定理的概念和求解方法。

3. 练习（30分钟）教师发放练习册，让学生在课堂上完成其中的练习题。

教师在这个过程中时刻观察学生的情况，并在学生答完题后进行解答和点评。

4. 拓展（25分钟）教师在此环节引入向量的实际问题应用，并给学生以实际问题进行讨论和解答。

这个过程中，教师要引导学生分析问题和思考解决问题的方法，让学生在运用向量处理实际问题的过程中，感受到向量运算的魅力，同时加深对向量的理解和运用。

五、教学方法1.几何演示法；2.演算法；3.问题导入法；4.讨论法；5.设计实践法。

六、板书设计板书设计七、教学评价教学评价主要从学生的学习效果、学生的课堂表现、教学反思等方面进行。

其中，学生的学习效果可以通过给学生进行评测来得出，学生的课堂表现可以通过教师对学生的互动、表现、回答问题等进行评价，教学反思可以通过课后对教学过程及效果进行分析和反思来完成。

八、教学反思1.在花费足够时间帮助学生理解坐标表示之后，可以让学生通过模拟实际问题，让学生体验一下向量的坐标表示的实际应用。

2.2 平面向量的线性运算[教学目标]一、知识与能力：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；3．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。

4．理解实数与向量的积和它的几何意义；5．理解实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；6．理解一个向量与非零向量共线的充要条件；会表示与非零向量共线的向量，能判断两个向量是否共线二、过程与方法：1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．[教学重点]向量加法、减法定义的理解；实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．[教学难点]向量加法、减法的意义；向量共线的充要条件．[教学时数]2课时。

[教学过程]第一课时一、新课导入1．物理学中，两次位移,OA AB的结果与位移OB是相同的。

2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、向量的加法1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC+=求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a例1 已知向量a,b，用两种方法求作向量a+b。

作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。

第二章第二节 平面向量的线性运算第二课时整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识． 三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义． 教学难点：对向量减法定义的理解． 课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路 2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现． 推进新课新知探究 提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量． 于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a∥b ，怎样作出a －b 呢？讨论结果：①AB →＝b －a . ②略．应用示例例1如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . 则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .在→例2如图4，在ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，你能用a 、b 表示向量AC 、DB 吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .c 图5图6(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点． (4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同； 若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |；当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |. 综上所述，只有(2)正确．例4若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13. 答案：C课本本节练习 解答：1．直接在课本上据原图作(这里从略)． 2.DB →，CA →，AC →，AD →，BA →.点评：解题中可以将减法变成加法运算，如AB →－AD →＝DA →＋AB →＝DB →，这样计算比较简便． 3．图略． 课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业课本习题2.2 A 组6、7、8.设计感想1．向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →. 二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：B2．如图7，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )图7A.FD →B.FC →C.FE →D.BE → 答案：D3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.MB →＋AD →－BM → D.OC →－OA →＋CD → 答案：C4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心 答案：A。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

相等向量=，且a b（二）平面向量的线性运算知识梳理1.向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )2. 向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。