高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 1.1 平面直角坐标系ppt课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？ 问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立 坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
Office组件之word2007
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时 间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上）
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
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例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处 ，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管 理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B 地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公 y y 路和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
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课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 。
y
B
P o
C Ax
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解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)

例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到 ； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
例1 说出下 图中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4),

2
5 6
C E D O B A

4

4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3

2
5 6

P
C E D B A
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )

10 2 A、 (5, ) B、 ( 5, ) C、 (5, ) 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得 ＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。

问题2. 上述思考充分体现了坐标法的思想. 其结 果有如下的两种表述, 各种表述由哪几个元素确定? 你认为各种表述有什么意义? 表述 1: 巨响位于 P(-680 5, 680 5 ) 处. 表述 2: 巨响位于信息中心北偏西45, 相距信息 中心 680 10 米处. 表述 1 用 x、y 的坐标这两个元素确定位置. 表述 2 用相对于信息中心的方位角和距离这两个 元素确定位置. 表述 1 便于书面和图纸上的标注. 这样的表述在 语言的传递中缺了坐标系, 点的坐标就显得无意义. 表述 2 便于语言传递和描述, 是相对于参照位置 的描述, 易于理解和想像.
O 设点 C 的坐标为 C (x, y), 由中点坐标求得 E ( x , y ), F ( c , 0). 2 2 2 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 代入坐标整理得 2x2+2y2+2c2-5cx=0. (A) F B x
O F B 设点 C 的坐标为 C (x, y), 2+c2=5a2, y x c 例 1. 已知△ ABC 的三边 a , b , 满足 b 由中点坐标求得 E ( , ), F ( , 0). 2 上的中线 2 2, 建立适当的平 BE, CE 分别为边 AC , AB 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系. 代入坐标整理得 解: 以△ ABC 的顶点 A= 为原点 , AB 所在直线 2+2y2 2x +2c2-5cx 0. y 为 x 轴, 建立平面直角坐标系 . x y C BE = ( - c, ), 2 2 则各点的坐标为 c E CF = ( x , y ), A(0, 0), B(c, 20), 2 y x c O(A) F B x 则 BE CF = ( - c )((xx )设点 C 的坐标为 C , y ), 2 2 2 y2 x c 1 2 2 由中点坐标求得 E F ).) = 0, = - (2 x( 2 +,2 2 y ), +2 c(2 - ,50 cx 4 2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 由 b ∴BF 与 CE 互相垂直. 代入坐标整理得 (请同学们用斜率试一试) 2x2+2y2+2c2-5cx=0.

请建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程.
-14-
一
探究一
平面直角坐标系
探究二
探究三
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究四
-15-
一
平面直角坐标系
探究一

探究二
探究三

变式训练2
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-4-
一
1
平面直角坐标系
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2
做一做1
已知平行四边形ABCD,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
证明:以边AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则A(0,0).
设B(a,0),C(b,c),由平行四边形的性质知D(b-a,c),则|AB|2=a2,|AD|2=(ba)2+c2,|AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2.
∵|AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),且|AB|2+|AD|2=2a2+b2+c22ab,
(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研
究它的性质及与其他几何图形的关系.
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程

题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.

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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
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坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y

由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 |
x ， F y ）. 2BC2|2 ，
B
x
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为 BE ( x c, y ), CF ( c x, y),
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
xxz
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别
为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
究BE与CF的位置关系。
y
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
C
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
E
坐标分别为
c
设A点( 0C,的0 坐) ,标B为( c(x,0,y)),,F则(点2E,的0 坐). 标O 为 (A) （
x
1
x
2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中
的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应 px, y 称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。

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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
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建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
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3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.

4.将坐标代入条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 5.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; 6.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
某信息中心接到位于正东、正西、正北
方向三个观测点的报告：正东、正西两个观 测点同时听到一声巨响，正东听到的巨响时 间比它们晚4秒.已知各观测点到中心的距离 都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声 音传播的速度为340m/s,个观测点均在同一 个平面上.)
换 x'=3x 后， y'=y
曲线C变为x'2+9y'2 =1，求曲线C的方 程并画出图形。
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
能把椭圆（x 1）2 （x 1）2 1变为中心在原点的单位圆吗？
9
4
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y
y=sin2x
O
2
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角 y
坐标系，由已知，点A、B、F的
C
坐标分别为
c
E
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
O (A)

返回
因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
返回
求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
返回
4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2 所以 AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
返回
[例2]

[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[悟一法]
x′＝λ· x，λ>0 φ： y′＝μ· y，μ>0
利用坐标伸缩变换
求变换后的曲线方
1 x＝ λx′ 程，其实质是从中求出 y＝ 1y′ μ
，然后将其代入已知的曲线方
程求得关于 x′，y′的曲线方程．
[通一类] 3．将圆锥曲线 C
3x′＝x 按伸缩变换公式 2y′＝y
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
圆锥曲线，并求其焦点坐标．
[命题立意] 求法．
[解]
本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞
1 0，且 m≠1)，可得 x＝x0 ，|y|＝m|y0|，所以 x0 ＝x，|y0|＝ m |y|. ① 因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0
|MC|＝ x2＋y－22，|MD|＝ x2＋y＋22， ∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [x＋42＋y2][x－42＋y2] ＝ [x2＋y－22][x2＋y＋22]. 化简，得 y2－x2＋6＝0. ∴点 M 的轨迹方程为 x2－y2＝6.