数学建模实验报告-第十一章-最短路问题

最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。

这个问题可以通过数学建模来解决。

以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。

现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。

假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。

解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。

这个变量需要求解。

- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。

设长度矩阵为A。

2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。

可以定义目标函数为：min x[i, j]。

- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。

- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。

- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。

这个约束条件保证了路径长度的传递性。

即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。

3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。

- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。

总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。

数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。

这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。

数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。

在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。

例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。

所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。

最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。

其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。

解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。

具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。

（2）定义一个集合S，将起点加入S中。

（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。

（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。

若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。

（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。

（6）输出起点到终点的最短路径长度。

弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。

具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。

初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。

（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。

（3）输出起点到终点的最短路径长度。

以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。

无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。

最短路问题可以分为两类：单元最短路求从⼀个点到其他所有点的最短距离，如从1号点到n号点的最短路多源汇最短路起点和终点数量不确定n表⽰图中点的数量，m表⽰图中边的数量，⼀般m~n2是稠密图朴素Dijkstra适合稠密图，如边数⽐较多和n2⼀个级别⽤朴素Dijkstram和n是⼀个级别，堆优化版⽐较好SPFA是Bellman-Ford算法的⼀个优化，但是在某些时候SPFA是不能使⽤的，如对边数进⾏⼀个限制，经过不超过k条边就只能⽤Bellman-Ford最短路不会让你去证明算法的正确性，最短路的难点在于如何把原问题抽象成最短路问题，如何定义我们的点和边使得这个问题变成⼀个最短路问题，从⽽套⽤公式去解决。

难点在于建图。

Dijkstra基于贪⼼，Floyd基于动态规划，Bellman-Ford基于离散数学。

1、Dijkstra算法⼀定不能存在负权边。

伪代码：1. 初始化距离：dis[1] = 0,dis[others] = +∞。

2. 集合s：存储当前已经确定最短路的点3. for(int i = 0;i < n; i++) {t←找到不在s中的距离最近的点s←to⽤t更新其他点的距离。

更新⽅式：看从t出去的所有的边，组成的路径能不能更新其他点的距离。

如下图：如果从1到x的距离⼤于从1到t再到x的距离，就⽤dis[t]+w代替1到x的距离。

如下图：初始状态：①②③上的数字表⽰距离起点的距离，红⾊表⽰待定，绿⾊表⽰确定已经放⼊了集合s。

第⼀个点更新：第⼆个点更新：第三个点更新：}1.1 Dijkstra练习1.2 朴素Dijkstra算法解答存在重边只保留最短的那条边就可以了解答：if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510;int n, m;int g[N][N];int dist[N]; // 从1号点⾛到其他每个点当前最短距离bool st[N];int dijkstra(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){int t = -1; // 初始还没有确定点的时候for (int j = 1; j <= n; j ++ )// 这个循环找的就是所有st[j]=false即距离还没确定的点 // 在这些点中找到距离最⼩的点if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;for (int j = 1; j <= n; j ++ )dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);st[t] = true;}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];}int main(){scanf("%d%d", &n, &m);memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m -- ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);g[a][b] = min(g[a][b], c); // 取min是可能存在重边}printf("%d\n", dijkstra());return 0;}1.3堆优化Dijkstra算法解答考虑如何优化：因为t从1~n每次都是不同的点，所以⽤t更新其他点的距离这个操作就是遍历从t出去所有边，遍历n次即遍历所有点以后就是遍历了所有边，所以计算了m次可以发现最慢的就是找最⼩距离这步，复杂度O(n2)。

[网络图中最短路问题—专题研究报告!报告人：张鹏学号：班级：035109012011年5月12日%…网络图中最短路问题…【问题导引】网络分析在电子导航、交通旅游、城市规划以及电力、通讯等各种管网、管线的布局设计中发挥了重要作用。

而最短路问题是网络分析中最基本、最关键的问题。

最短路径不仅指一般地理意义上的距离最短，还可以引申到其他的度量，如时间，费用等等。

这些都可以抽像为在图中找出任意两点间的一条通路，使这条通路上的权值和最小。

最短路问题作为图与网络技术研究的一个经典问题，在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学等领域有十分广泛的应用。

举例如下：}【案例一】：如图的交通网络，图中的点表示交通节点，每条边表示两个节点间的一条通路，边上的数字表示路段的长度，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。

若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地【案例分析与建模】：这是实际生活中经常遇到的一类问题，首先对该问题做如下假设以便抽象为数学模型。

假设一：各路段路况相同，车辆在各路段以相同的速度行驶。

~假设二：各路段均一路畅通，即不存在堵车问题。

在以上两种假设的前提下，此问题即转化为在图中选一条从节点1到节点11的通路，使得路径总长度最短，即典型的最短路问题模型。

将图抽象为距离矩阵表示，即可建立数学模型，设计算法求解。

【算法设计】：对于最短路模型，传统的Dijkstra算法和floyd算法为两种有效的求解方法。

利用Dijkstra算法求解案例一中的问题。

！算法思路：采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这棵树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径。

S: 具有永久标号的顶点集;l(v): v的标记;f(v):v的父顶点,用以确定最短路径;"输入：输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm.1）初始化：令l(v0)=0,S=Ø; v≠v0 ,l(v)= ;2）更新l(v), f(v)：寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u;3）重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止。