数学建模最短路问题共71页

基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。

关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。

目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。

顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。

最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。

因此掌握最短路问题具有很重要的意义。

第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。

2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。

基于最短路问题的研究及应用： Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。

关键字数学建模最短路问题 Dijkstra算法水渠修建。

目录第一章．研究背景 (1)第二章．理论基础 (2)2.1 定义 (2)2.2 单源最短路问题Dijkstra求解: (2)2.2.1 局限性 (2)2.2.2 Dijkstra算法求解步骤 (2)2.2.3 时间复杂度 (2)2.3 简单样例 (3)第三章．应用实例 (4)3.1 题目描述 (4)3.2 问题分析 (4)3.3符号说明 (5)3.4 模型假设 (5)3.5模型建立与求解 (5)3.5.1模型选用 (5)3.5.2模型应用及求解 (5)3.6模型评价 (5)第四章. 参考文献 (6)第五章．附录 (7)第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。

顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。

最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。

因此掌握最短路问题具有很重要的意义。

第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。

数学建模最短路径问题模型数学建模是利用数学方法和技巧解决实际问题的过程。

最短路径问题是指在图中找到一个节点到另一个节点的最短路径。

这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如导航系统、物流运输等。

最短路径问题可以使用多种方法来解决，其中最常见的方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带非负边权的单源最短路径问题。

它的基本思想是通过迭代的方式逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。

Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化，将源节点到其他节点的距离都设为正无穷，将源节点到自身的距离设为0。

2. 选择一个当前节点，将其加入已确定最短路径的节点集合。

3. 对于当前节点的邻居节点，更新其到源节点的距离，如果通过当前节点的距离更短，则更新最短距离。

4. 重复步骤2和3，直到所有节点都加入已确定最短路径的节点集合。

5. 返回从源节点到其他节点的最短路径。

Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对之间的最短路径问题。

它的基本思想是通过逐步迭代来更新节点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化，将节点之间的距离设为正无穷，将每个节点到自身的距离设为0。

2. 对于每一对节点(i, j)，判断从节点i到节点j是否存在经过其他节点的更短路径，如果存在则更新最短距离。

3. 重复步骤2，直到所有节点之间的最短路径都被求出。

4. 返回任意两个节点之间的最短路径。

除了以上两种算法，还有其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法和A*算法等。

这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体情况选择合适的算法。

此外，最短路径问题还可以使用线性规划、整数规划和动态规划等数学建模方法来解决。

这些方法可以将问题转化为数学模型，通过求解模型得到最优解。

对于复杂的最短路径问题，可以将其转化为有向图或无向图来进行建模。

浅谈最短路的数学模型解问题在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。

现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。

问题1（最小价格的管道铺设方案）如下图用点表示城市，现有共7个城市。

点与点之间的连线表示城市间有道路相连。

连线旁的数字表示道路的长度。

现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。

首选我们要明确以下2点：（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。

（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。

这是一般人都有的最直接最原始的思路。

我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。

本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。

1、建立数学模型：Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。

其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，即xk+1=u（xk）∈Sk。

2、模型求解：①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有B1到D的最短路长得B1到D的最短路径B2到D的最短路长得B2到D的最短路径③当k=1时，有A到D的最短路长得A到D的最短路径，故从A到D的最短弧长为6，路径为最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。