基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义基本不等式是指对于任意的实数 a 和 b，都有\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
这个不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导我们可以通过完全平方公式来推导基本不等式。
＼（（a b)＾2 ＼geq 0\），展开得到\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项可得\（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）。
两边同时加上 2ab，得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为 a 和 b 都是正数，所以两边同时除以 4，得到\（＼frac{（a ＋b)＾2}｛4} ＼geq ab\），开方可得\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）。
当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释我们可以用一个几何图形来直观地理解基本不等式。
假设有一个矩形，其长为 a，宽为 b。
那么矩形的面积为 ab，而矩形的周长为 2(a ＋ b)。
如果我们将这个矩形改造成一个正方形，其边长为\（＼frac{a ＋ b}｛2}＼），那么正方形的面积为\（（＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）。
由于正方形是在矩形的基础上进行变形的，所以正方形的面积一定大于等于矩形的面积，即\（（＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2 ＼geq ab\），开方可得\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）。
当且仅当矩形变成正方形，即 a ＝ b 时，等号成立。
四、基本不等式的应用1、求最值基本不等式常用于求代数式的最值。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x ＞ 0\））的最小值。
根据基本不等式，＼（x ＋＼frac{1}｛x} ＼geq 2\sqrt{x ＼times ＼frac{1}｛x}｝＝ 2\），当且仅当\（x ＝＼frac{1}｛x}＼），即\（x ＝1\）时，等号成立，所以函数的最小值为 2。
基本不等式一.基本不等式证明及几何意义例如对任意实数x ，y ，(x-y)2≥0总是成立的，即x 2-2xy+y 2≥0，所以222y x +≥xy ，当且仅当x=y 时，等号成立，并进一步得2ba +≥ab (a ＞0，b ＞0)，这是非常重要的一个不等式. 我们常把2ba +叫作正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫作正数a 、b 的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 成立的条件是a 、b 为正实数，等号成立的条件是当且仅当a 、b 相等.接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究.图1 图2如图1，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结AD 、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？容易证明△ACD ∽△DCB.所以可得CD=ab .或由射影定理也可得到CD=ab .从图中我们可直观地看到ab 表示的是半弦长， 2ba +表示的是半径长.由于半弦长不大于半径长，即CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为2ba +≥ab . 显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a=b 时，等号成立.【例1】 设a ，b 均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+.证明：因a ，b 均为正数，由基本不等式，可知211b a +≥ab 1，也即ab ≥ba 112+，当且仅当a=b 时，等号成立.下面给出这个不等式的一种几何解释. 如图2，设AC=a ，CB=b ，CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ，过C 作CE ⊥OD 交OD 于E ， 在Rt △OCD 中，由射影定理，可知DC 2=DE·OD ，即DE=ba b a ab ODDC 11222+++=. 由DC≥DE ，得ab ≥b a 112+，当且仅当a=b 时，等号成立.【例2】 已知x ，y 都是正数，求证: (1)yxx y +≥2; (2)(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3. 证明:(1)∵x 、y 都是正数， ∴y x >0，x y >0.∴y x +x y ≥2xyy x ∙=2，即y x +x y ≥2.(2)∵x 、y 都是正数， ∴x 2>0，y 2>0，x 3>0，y 3>0. ∴x+y≥xy 2>0，x 2+y 2≥2xy>0，x 3+y 3≥233y x >0.由不等式的性质，得(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥xy 2·2xy·2x 3y 3=833y x ，即(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.点评:不等式成立的条件，往往是学生容易忽视的.【变式训练】已知a 、b 、c 都是正实数，求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8ab. 证明:∵a>0，b>0，c>0， ∴a+b≥2ab >0，b+c≥2bc >0，c+a≥2ca >0. ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab ·2bc ·2ac =8abc ， 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.例3 若a>b>1，P=b a lg lg ∙，Q=21(lga+lgb)，R=lg 2b a +，则( ) A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q解析:∵a>b>1，∴lga>lgb>0.∴21(lga+lgb)>21·2b a lg lg ∙，即Q>P. 又∵2b a +>ab ， ∴lg 2b a +>lg ab =21(lga+lgb). ∴R>Q.故P<Q<R. 答案:B【变式训练】（2007广东东莞）若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P=ab+cd ，Q=ax+cy·ydx b cy ax +∙+，则( ) A.P=Q B.P≥Q C.P≤Q D.P≥Q 解析:∵a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，∴Q=ydx b cy ax +∙+=xbcyy abx cd ab +++≥abcdcd ab 2++=ab +cd =P.答案:C二. 基本不等式与最值不等式2ba +≥ab (a>0，b>0)是解决最大(小)值问题的有力工具. 引例：你可以把一段16 cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4 cm 的正方形;长5 cm 宽3 cm 的矩形;长6 cm 宽2 cm 的矩形……，你会发现边长为4 cm 的那个正方形的面积最大. 在面积为16 cm 2的所有不同形状的矩形中，边长为4 cm 的那个正方形的周长最小. 这表明，x ，y 都为正数时，下面的命题成立:(1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y 时，积xy 取得最大值42s ;(2)若xy=p(积为定值)，则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .【例1】 设x ，y 为正实数，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy 的最大值. 解:因为x ＞y ，y ＞0，所以由基本不等式，得xy y x yx 1052252=∙≥+. 由于2x+5y=20，所以xy 10≤10，即xy≤10.当且仅当2x=5y 时，等号成立，因此有⎩⎨⎧==+.52,2052y x y x解得x=5，y=2. 当x=5，y=2时，xy 有最大值10. 这样 u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1. 所以，当x=5，y=2时，u=lgx+lgy 有最大值1.点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意： “一正、二定、三相等”.【变式训练】设0<x<2，求函数f(x)=)3-(83x x 的最大值，并求相应的x 值.试问0<x<34时，原函数f(x)有没有最大值?0<x≤1时，f(x)有没有最大值?若有，请你求出来;若没有，请你说明理由. 解:∵0<x<2，∴8-3x>0. ∴f(x)=)38(3x x -≤2)23-83(x x +=4， 当且仅当3x=8-3x ，即x=34时取“=”. ∴函数f(x)的最大值为4，此时x=34. 又f(x)=x x 2492+-=16)43(2+--x ， ∵当0<x<34时，f(x)递增;当x>34时，f(x)递减，∴当0<x<34时，原函数f(x)没有最大值. 当0<x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)=15【例2】 (1)已知x<45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值; (2)已知a 、b 为实数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值. 活动:(1)因为4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)·541-x 不是常数，所以应对4x-2进行拆(添)项“配凑”.(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值.但若注意到(x-a)+(b-x)为定值，则用变形不等式222n m +≥2)(2n m +更简捷.解:(1)∵x<-45，∴5-4x>0. ∴y=4x-2+541-x =-(5-4x+x451-)+3≤-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-，即x=1时，上式等号成立.∴当x=1时，y max =1.(2)∵y=(x-a)2+(x-b)2=(x-a)2+(b-x)2≥2［2)()(x b a x -+-］2=2)(2b a -，当且仅当x-a=b-x ，即x=2b a +时，上式等号成立，∴当x=2b a +时，y min =2)(2b a -.点评:若x 、y ∈R +，x+y=s ，xy=p.若p 为定值，则当且仅当x=y 时，s 的值最小;如果s 为定值，则当且仅当x=y 时，p 的值最大.简称“和定积最大，积定和最小”.从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.【变式训练】已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________________.解析:方法一:以CA 、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB 方程为34yx ==1，设P(a ，b)，则34b a ==1(a>0，b>0). ∴ab=12·34b a ∙≤12(234b a +)2=3，当且仅当“a=34b ”时等号成立. 方法二:设P 到BC 的距离为a ，到AC 的距离为b. 由相似三角形易，得53,54PA b PB a ==， ∴534PAPB b a +=+=1.以下解法同方法一. 答案:3【例3】 已知y=x+x1(x≠0)，证明|y|≥2. 活动:教师点拨学生注意，本例中的x 可正、可负.因此需要分类讨论，创造条件，应用基本不等式. 证明：（1）当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2，当且仅当x=x1，即x=1时，等号成立. (2)当x ＜0时，-x ＞0，y=x+x 1=-[(-x)+x 1]. 由(1)可知(-x)+)(1x -≥2，当且仅当x=-1时等号成立.所以-[(-x)+)(1x -]≤-2，即y=x+x 1≤-2.综上，可知|y|≥2.点评:应用基本不等式必须有“一正、二定、三相等”的条件，当条件不够时，需创造符合基本不等式的条件.【例4】 若正数a 、b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是________________.解析：方法一:令ab =t(t>0)，由ab=a+b+3≥2ab +3，得t 2≥2t+3，解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9. 方法二:由已知得ab-b=a+3，b(a-1)=a+3，∴b=13-+a a (a>1). ∴ab=a·13-+a a =［(a-1)+1］13-+a a =a+3+13-+a a =a-1+4+141-+-a a =a-1+14-a +5≥214)1(-∙-a a +5-9，当且仅当a-1=14-a 时取等号，即a=b=3时，ab 的最小值为9.∴ab 的取值范围是［9，+∞). 答案:［9，+∞)【例5】 当x>-1时，求函数f(x)=1132++-x x x 的值域.解:∵x>-1，∴x+1>0.∴f(x)=1133++-x x x =15)1(5)1(2+++-+x x x =x+1+15+x -5≥2525)15)(1(=-++x x -5，当且仅当(x+1)2=5时，即x=5-1时取“=”.另一解x=-5-1<-1(舍去)，故函数值域为［25-5，+∞).点评:本题解法常用方法有单调性，图像法，还有判别式法.利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错.本例给出了用基本不等式法求值域的方法，既简单又不易出错.【变式训练】（2007湖北八校）已知x 1·x 2·x 3·…·x 2006=1，且x 1、x 2、x 3、…、x 2006都是正数，则(1+x 1)(1+x 2) …(1+x 2006)的最小值是______________.解析:∵x 1>0，则1+x 1≥21x ，同理，1+x 2≥22x ，……1+x 2006≥22006x ， 各式相乘，得(1+x 1)(1+x 2)…(1+x 2006)≥20062·2006321x x x x ∙∙∙∙ =20062，取“=”的条件为x 1=x 2=x 3=…=2006x =1.∴所求最小值为20062. 答案:20062三. 基本不等式解决实际问题引例 已知a 、b ∈R ，且a 21b -+b 21a -=1，求证:a 2+b 2=1.这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，如能联想到基本不等式，在“相等关系”中构造出“不等关系”另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，则又可别开生面，这就是数学的魅力所在.证明如下：证明：∵a 21-1222b a b -+≤，b 21a -1222a b -+≤，两式相加得a 1-1-122≤+a b b .又已知a 1-1-122=+ab b ，则上述两不等式必同时取等号，即a=2-1b ，b=2-1a .∴a 2+b 2=1.【例1】 如图3，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?图3解：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由“有可围36 m 长网的材料”，得 4x+6y=36，即2x+3y=18.设面积S=xy. 由于2x+3y≥2y x 32∙=2xy 6， 所以2xy 6≤18，得xy≤227， 即S≤227，当且仅当2x=3y 时，等号成立. 解方程组⎩⎨⎧=+=,1833,32y x y x 得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 答:每间虎笼设计长、宽分别为4.5 m 和3 m 时，可使面积最大.【例2】 某人购买小汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少? 解:设使用x 年的平均费用为y 万元，则y=1010211010122)2.02.0(9.010x x x x xx x ∙∙+≥=+=+++=3， 当且仅当x 10=10x ，即x=10时取等号. 答:使用10年平均费用最少.【变式训练】（2006天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=____________吨. 解析:设一年总费用为y 万元，则y=4·xx x 16004400=++4x ≥2x x41600∙=160， 当且仅当x 1600=4x ，即x=20时，等号成立. 答案:20课堂小结在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时，应创造条件.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”作业1.已知正数x 、y 满足21x y +=，求11x y+的最小值．2.已知0,0x y >>，且3412x y +=。
13.4 基本不等式)0,0(2≥≥+≤b a ba ab13·4·1. 基本不等式的证明 13·4·2. 基本不等式的应用一. 基本不等式的内容：1. 如果a,b 是正数，那么 说明：（ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
证明2，只要证： 只要证：只要证：因为最后一个不等式成立，成立，当且仅当）证明3：∵即显然，当且仅当2. 不等式的几何意义：均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”。
).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba ba ba ,2为+b a ab ,为证明∴121221202222.()()() a b ab a b ab a b a b ab+-=+-=-≥+≥2a b +≤a b +0a b ≤-02≤-（）a b 2a b+""a b ==时取号20,≥∴a b ab +-≥20abba ≥+2ab ba b a =+=2,时以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 。
过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD ，即，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立。
3. 推论：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明：4. 关于“平均数”的概念如果则：叫做这n 个正数的算术平均数；叫做这n 个正数的几何平均数。
推广： ≥语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P,那么当x=y 时，和x +y 有最小值（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值。
【解析】证明：因为x,y 都是正数，所以（1）积xy 为定值P 时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值。
