第二章 控制系统的数学模型
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传递函数:在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线 性定常系统、环节的输出的 Laplace 变换与引起该输出的输入的 Laplace 变换之比。
传递函数特点 1.分母反映由系统结构和参数所决定的固有特性，分子反映与外界的联系; 2.当初始状态为零时，系统输出完全决定于系统输入，此时，传递函数反映系统全部的动 态特性;当初始状态不为零时，系统输出决定于系统输入和初始状态，此时，传递函数不能 反映系统全部的动态特性; 3.相似系统具有相同的传递函数形式; 4.局限性。 1．线性定常系统或组件的传递函数是在复域描述其运动特性的数学模型，它与作为实域数 学模型的运动方程一一对应。也就是说，当给定线性定常系统或组件的运动方程时，便可唯 一确定与之对应的传递函数。 2．分母反映由系统结构和参数所决定的固有特性，分子反映与外界的联系;
1)分清系统的输入和输出: 输入为 u1，输出为 u2 2)列写原始微分方程:
3)消除中间变数，并整理:
可见，RC 无源网络的数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。 2、机械位移系统（mechanical translation systems） 例 1 列写如图所示机械系统的微分方程。
1）.分清系统的输入和输出: 输入为 f(t)，输出为 y(t) 2）.列写原始微分方程:
2
MS 2 +Bs+K
我们用 L-1 来表示拉氏反变换。则
KX 1(s)+Msx2(0)+MDx2(0)+ Bx2(0)
X 2 (t)=L −1 [X 2 (s)]=L −1 [
Ms2 + Bs+ K
]
系统在开始时刻是静止的。由能量转换定理可知：
X 2 (0)=0 和 DX 2 (0)=0
2.3 系统的传递函数
（2）基尔霍夫定律 ★ 基尔霍夫电流定律（Kirchhoff’s current law） 说明电路整体的基本规律的，是基尔霍夫定律（Kirchhoff’s current law），是将电荷守 恒和能量守恒运用在集总电路里得到的。 它可表述为：对于任一集总电路中的任一个节点（node）（支路的联接点），在任一时刻，
3）整理:
2.2.2 非线性数学模型的线性化
1、非线性特性举例 严格说来，实际控制系统的组件都含有非线性特性。例如，伺服电动机有一定的启动电压， 称为死区，同时由于它的电磁转矩不可能无限增加，因而出现饱和；又如齿轮减速器有间隙 存在等等。空调、电饭锅等的死区非线性。 2、含有非线性特性的系统的处理办法 （1）用非线性微分方程描述，但求解困难。可借助于计算机进行数值计算； （2）有些非线性特性可以在一定工作范围内用线性系统近似，称为非线性模型的线性化。 （非本质非线性） 非线性微分方程在一定的条件下，可以进行线性化。 非线性线性化的条件: 1.非线性函数是连续函数(即非线性不是木质非线性)。 2.系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。 3．非线性方程线性化的方法 1.确定预定工作点。 2.在工作点附近将非线性方程展开成 Taylor 级数形式。 3.忽略高于一阶项。 4.表示成增量方程的形式。 3、线性化的方法： （1）对于具有饱和非线性特性的放大器，在小信号输入时，输入与输出关系是线性的，可 视为线性组件。 （2）在机械系统中，如果只研究系统的动态性能，则在有润滑剂的情况下，往往可以忽略
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析 法实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而 后者通用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。对复杂系统 的建模往往分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处 理模型简化和摸型精度的辩证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。
系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运 状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足 迭加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种 形式如微分方程、传递函数,单位脉冲响应函数及频率特性等等，但系统是否线性这一 特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的 结构与参数确定。
路电压降的代数和为零。其数学表达式为(
)
式中，
为回路中的第 k 条支路的电压，K 为回路中的支路数。
（3）电路举例 例 1 列写如图所示电网络的微分方程。
1).分清系统的输入和输出: 输入为 u(t),输出为电容器的电量 q
2)列写原始微分方程:
3).消除中间变数，整理得: 例 4 列写如图所示电网络的微分方程。
流出或流入该节点的所有支路电流的代数和为零。其数学表达式为
式中，
为流出或流入节点的第 k 条支路的电流，K 为节点处的支路数。
可以把它推广到电路中的任一假设的闭合面。即：流出或流入封闭面电流的代数和为零。
★ 基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s voltage law）
它可表述为：对于任一集总电路中的任一回路（loop），在任一时刻，沿着该回路的所有支
如果偏差Δx 很小，则可以略去级数中偏差的高次幂项，从而得到以偏差为自变量的线性函 数，即
非线性函数在工作点处，可以用该点的切线方程线性化。适用条件：系统的变量偏离其工作 点较小。 例：
1）分清系统的输入和输出: 2）列写原始微分方程:
3）消去中间变数，并整理：
当平衡点为坐标原点时，二者等价;否则，二者不能等价。 注意：微分方程的增量化表示与绝对坐标表示的形式相同，但含义不同。 例 2.列写液压伺服机构的微分方程。
第二章 控制系统的数学模型
一、基本要求 (1)了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统,电网络的 微分方程； (2)掌握传递函数的概念,特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数； (3)能够用分析法求系统的传递函数； (4)掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义； (5)了解相似原理的概念。 二、重点 (1)系统微分方程的列写； (2)传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数； (3)传递函数方框图的绘制及简化。 三、本章难点 (1)系统微分方程的列写； (2)传递函数方框图的绘制及简化。 内容提要
相似系统:能用相同形式的数学模型表示的系统，成为相似系统。 相似量:在相似系统的数学模的电量 q
相似量：力 f 与电压 u;位移 x 与电量 q； m 与 L;C 与 R;K 与电容的导数 1/c
2.2 求解系统微分方程——拉普拉斯变换
2.2.1 控制系统典型输入的拉氏变换
和模型有关的因素很多，在建立模型时不可能也没必要把一些非主要因素都囊括进去而 使模型过于复杂，应根据实际情况建立关于系统某一方面属性的描述。 2）正确反映系统的特性。
2.2 微分方程
2.2.1 系统微分方程的建立
一个完整的控制系统通常是由若干个元器件或环节以一定方式连接而成的，对系统中每 一个具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易的列写出其运动方程，然后将这些微 分方程联立起来，以求出整个系统的微分方程。 列写微分方程的一般方法: 1.确定系统的输入量和输出量。(注意:输入量包括给定输入量和扰动量) 2.按信息传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循运动定律，列写系统中各个环 节的动态微分方程。 注意:负载效应，非线性项的线性化。 3.消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。整理上面得到的微分方程。将与 输出有关的项放在方程的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项按降序排列。 微分方程的标准形式 如果用 r（t）表示输入、c（t）表示输出，微分方程的标准形式：
在控制理论中，常用的典型输入信号函数有以下几种。 1、阶跃函数 数学表达式：
式中 p 为常数 拉氏变换式：
2、斜坡函数 数学表达式：
式中 p 为常数。 拉氏变换式：
3、拋物线函数 数学表达式：
拉氏变换式：
4、脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。 数学表达式：
脉冲函数的拉氏变换式为
2.1 引言
1、数学模型是描述系统输入、输出变量之间动态特性关系的数学表达式。 2、建立系统的数学模型的方法 分析法：根据系统或组件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法。
对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所遵循的物理或化学规律（如牛顿定律、 基尔霍夫定律、热力学第二定律等）分别列写相应的运动方程。——“机理建模”。 实验法：根据实验资料进行整理，并拟合出比较接近实际的数学一模型。
很小的干摩擦，只考虑与速度成比例的粘性摩 擦，当作用力也不超过线性反为时，就可以得到一个线性系统模型。 （3）在工程实践中，常把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化。例 如非线性函数 y = f (x) 如图所示。若函数 y 在其工作点(x0,y0） 处各阶导数存在，则可 以用变量 x 的偏差形式，在工作点邻域将 y 展开称泰勒级数，即
因此，脉冲函数的拉氏变换等于该脉冲下的面积。 5、正弦函数 数学表达式 r(t) = Asinωt ⋅1(t) ， A 为振幅，ω 为角频率。 拉氏变换式：
2.2.2 微分方程的拉氏变换
如果所有的初始条件为零，则微分方程的拉氏变换可以简单地通过用 S 取代 D 来得到。 在应用拉氏变换法求解线性定常微分方程时，有以下两个步骤： （1）对微分方程中的每一项进行拉氏变换，将微分方程转变为 S 的代数方程，然后整理代 数方程，即可得到输出的拉氏变换的表达式。 （2）微分方程的时间解可以通过求输出的拉氏反变换得到。 这里我们要应用拉氏变换去求解微分方程。系统的微分方程如下：
传递函数是表征线性定常系统或组件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但 和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。对于同一系统或组件，在不同的输入飞 输出信号间将表现出不同的固有特性，因而也就存在不同的传递函数. 3.当初始状态为零时，系统输出完全决定于系统输入，此时，传递函数反映系统全部的动态 特性;当初始状态不为零时，系统输出决定于系统输入和初始状态，此时，传递函数不能反 映系统全部的动态特性; 3．传递函数是复变量 s 的有理分式，其分子多项式及分母多项式的各项系数均为实数。从 举例看到，这些系数与系统或组件的参数有关。传递函数的分子多项式的阶次 m 小于或等于， 但不能大于其分母多项式的阶次，这是因为实际系统或组件经常具有惯性以及能源有限的缘 故。 4．将传递函数写成传递函数 G(s)的零点与极点。由于多项式 M(s)及 N(s)的各项系数均为 实数，所以传递函数若具有复数零点与极点．刚它们必为共轭。 5．相似系统具有相同的传递函数形式;
传递函数特点 1.分母反映由系统结构和参数所决定的固有特性，分子反映与外界的联系; 2.当初始状态为零时，系统输出完全决定于系统输入，此时，传递函数反映系统全部的动 态特性;当初始状态不为零时，系统输出决定于系统输入和初始状态，此时，传递函数不能 反映系统全部的动态特性; 3.相似系统具有相同的传递函数形式; 4.局限性。 1．线性定常系统或组件的传递函数是在复域描述其运动特性的数学模型，它与作为实域数 学模型的运动方程一一对应。也就是说，当给定线性定常系统或组件的运动方程时，便可唯 一确定与之对应的传递函数。 2．分母反映由系统结构和参数所决定的固有特性，分子反映与外界的联系;
1)分清系统的输入和输出: 输入为 u1，输出为 u2 2)列写原始微分方程:
3)消除中间变数，并整理:
可见，RC 无源网络的数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。 2、机械位移系统（mechanical translation systems） 例 1 列写如图所示机械系统的微分方程。
1）.分清系统的输入和输出: 输入为 f(t)，输出为 y(t) 2）.列写原始微分方程:
2
MS 2 +Bs+K
我们用 L-1 来表示拉氏反变换。则
KX 1(s)+Msx2(0)+MDx2(0)+ Bx2(0)
X 2 (t)=L −1 [X 2 (s)]=L −1 [
Ms2 + Bs+ K
]
系统在开始时刻是静止的。由能量转换定理可知：
X 2 (0)=0 和 DX 2 (0)=0
2.3 系统的传递函数
（2）基尔霍夫定律 ★ 基尔霍夫电流定律（Kirchhoff’s current law） 说明电路整体的基本规律的，是基尔霍夫定律（Kirchhoff’s current law），是将电荷守 恒和能量守恒运用在集总电路里得到的。 它可表述为：对于任一集总电路中的任一个节点（node）（支路的联接点），在任一时刻，
3）整理:
2.2.2 非线性数学模型的线性化
1、非线性特性举例 严格说来，实际控制系统的组件都含有非线性特性。例如，伺服电动机有一定的启动电压， 称为死区，同时由于它的电磁转矩不可能无限增加，因而出现饱和；又如齿轮减速器有间隙 存在等等。空调、电饭锅等的死区非线性。 2、含有非线性特性的系统的处理办法 （1）用非线性微分方程描述，但求解困难。可借助于计算机进行数值计算； （2）有些非线性特性可以在一定工作范围内用线性系统近似，称为非线性模型的线性化。 （非本质非线性） 非线性微分方程在一定的条件下，可以进行线性化。 非线性线性化的条件: 1.非线性函数是连续函数(即非线性不是木质非线性)。 2.系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。 3．非线性方程线性化的方法 1.确定预定工作点。 2.在工作点附近将非线性方程展开成 Taylor 级数形式。 3.忽略高于一阶项。 4.表示成增量方程的形式。 3、线性化的方法： （1）对于具有饱和非线性特性的放大器，在小信号输入时，输入与输出关系是线性的，可 视为线性组件。 （2）在机械系统中，如果只研究系统的动态性能，则在有润滑剂的情况下，往往可以忽略
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析 法实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而 后者通用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。对复杂系统 的建模往往分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处 理模型简化和摸型精度的辩证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。
系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运 状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足 迭加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种 形式如微分方程、传递函数,单位脉冲响应函数及频率特性等等，但系统是否线性这一 特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的 结构与参数确定。
路电压降的代数和为零。其数学表达式为(
)
式中，
为回路中的第 k 条支路的电压，K 为回路中的支路数。
（3）电路举例 例 1 列写如图所示电网络的微分方程。
1).分清系统的输入和输出: 输入为 u(t),输出为电容器的电量 q
2)列写原始微分方程:
3).消除中间变数，整理得: 例 4 列写如图所示电网络的微分方程。
流出或流入该节点的所有支路电流的代数和为零。其数学表达式为
式中，
为流出或流入节点的第 k 条支路的电流，K 为节点处的支路数。
可以把它推广到电路中的任一假设的闭合面。即：流出或流入封闭面电流的代数和为零。
★ 基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s voltage law）
它可表述为：对于任一集总电路中的任一回路（loop），在任一时刻，沿着该回路的所有支
如果偏差Δx 很小，则可以略去级数中偏差的高次幂项，从而得到以偏差为自变量的线性函 数，即
非线性函数在工作点处，可以用该点的切线方程线性化。适用条件：系统的变量偏离其工作 点较小。 例：
1）分清系统的输入和输出: 2）列写原始微分方程:
3）消去中间变数，并整理：
当平衡点为坐标原点时，二者等价;否则，二者不能等价。 注意：微分方程的增量化表示与绝对坐标表示的形式相同，但含义不同。 例 2.列写液压伺服机构的微分方程。
第二章 控制系统的数学模型
一、基本要求 (1)了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统,电网络的 微分方程； (2)掌握传递函数的概念,特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数； (3)能够用分析法求系统的传递函数； (4)掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义； (5)了解相似原理的概念。 二、重点 (1)系统微分方程的列写； (2)传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数； (3)传递函数方框图的绘制及简化。 三、本章难点 (1)系统微分方程的列写； (2)传递函数方框图的绘制及简化。 内容提要
相似系统:能用相同形式的数学模型表示的系统，成为相似系统。 相似量:在相似系统的数学模的电量 q
相似量：力 f 与电压 u;位移 x 与电量 q； m 与 L;C 与 R;K 与电容的导数 1/c
2.2 求解系统微分方程——拉普拉斯变换
2.2.1 控制系统典型输入的拉氏变换
和模型有关的因素很多，在建立模型时不可能也没必要把一些非主要因素都囊括进去而 使模型过于复杂，应根据实际情况建立关于系统某一方面属性的描述。 2）正确反映系统的特性。
2.2 微分方程
2.2.1 系统微分方程的建立
一个完整的控制系统通常是由若干个元器件或环节以一定方式连接而成的，对系统中每 一个具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易的列写出其运动方程，然后将这些微 分方程联立起来，以求出整个系统的微分方程。 列写微分方程的一般方法: 1.确定系统的输入量和输出量。(注意:输入量包括给定输入量和扰动量) 2.按信息传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循运动定律，列写系统中各个环 节的动态微分方程。 注意:负载效应，非线性项的线性化。 3.消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。整理上面得到的微分方程。将与 输出有关的项放在方程的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项按降序排列。 微分方程的标准形式 如果用 r（t）表示输入、c（t）表示输出，微分方程的标准形式：
在控制理论中，常用的典型输入信号函数有以下几种。 1、阶跃函数 数学表达式：
式中 p 为常数 拉氏变换式：
2、斜坡函数 数学表达式：
式中 p 为常数。 拉氏变换式：
3、拋物线函数 数学表达式：
拉氏变换式：
4、脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。 数学表达式：
脉冲函数的拉氏变换式为
2.1 引言
1、数学模型是描述系统输入、输出变量之间动态特性关系的数学表达式。 2、建立系统的数学模型的方法 分析法：根据系统或组件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法。
对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所遵循的物理或化学规律（如牛顿定律、 基尔霍夫定律、热力学第二定律等）分别列写相应的运动方程。——“机理建模”。 实验法：根据实验资料进行整理，并拟合出比较接近实际的数学一模型。
很小的干摩擦，只考虑与速度成比例的粘性摩 擦，当作用力也不超过线性反为时，就可以得到一个线性系统模型。 （3）在工程实践中，常把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化。例 如非线性函数 y = f (x) 如图所示。若函数 y 在其工作点(x0,y0） 处各阶导数存在，则可 以用变量 x 的偏差形式，在工作点邻域将 y 展开称泰勒级数，即
因此，脉冲函数的拉氏变换等于该脉冲下的面积。 5、正弦函数 数学表达式 r(t) = Asinωt ⋅1(t) ， A 为振幅，ω 为角频率。 拉氏变换式：
2.2.2 微分方程的拉氏变换
如果所有的初始条件为零，则微分方程的拉氏变换可以简单地通过用 S 取代 D 来得到。 在应用拉氏变换法求解线性定常微分方程时，有以下两个步骤： （1）对微分方程中的每一项进行拉氏变换，将微分方程转变为 S 的代数方程，然后整理代 数方程，即可得到输出的拉氏变换的表达式。 （2）微分方程的时间解可以通过求输出的拉氏反变换得到。 这里我们要应用拉氏变换去求解微分方程。系统的微分方程如下：
传递函数是表征线性定常系统或组件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但 和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。对于同一系统或组件，在不同的输入飞 输出信号间将表现出不同的固有特性，因而也就存在不同的传递函数. 3.当初始状态为零时，系统输出完全决定于系统输入，此时，传递函数反映系统全部的动态 特性;当初始状态不为零时，系统输出决定于系统输入和初始状态，此时，传递函数不能反 映系统全部的动态特性; 3．传递函数是复变量 s 的有理分式，其分子多项式及分母多项式的各项系数均为实数。从 举例看到，这些系数与系统或组件的参数有关。传递函数的分子多项式的阶次 m 小于或等于， 但不能大于其分母多项式的阶次，这是因为实际系统或组件经常具有惯性以及能源有限的缘 故。 4．将传递函数写成传递函数 G(s)的零点与极点。由于多项式 M(s)及 N(s)的各项系数均为 实数，所以传递函数若具有复数零点与极点．刚它们必为共轭。 5．相似系统具有相同的传递函数形式;
