江西省临川二中、上高二中2013届高三1月联考理科数学试题

永修一中 修水一中 都昌一中九江市 彭泽一中 瑞昌一中 德安一中 2013届高三第二次七校联考湖口中学理科数学试题命题：永修一中高三备课组 审题：湖口中学 黄华南本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合{}x y x A 2==，集合{}x y x B ==,则=⋂B A ( )A. ()0,+∞B. ()+∞,1C. [)+∞,0D. ()+∞∞-, 2.给出以下结论： （1）命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是：“不存在02,00>∈x R x ；（2）复数iz +=11在复平面内对应的点在第二象限 （3）l 为直线，βα,为两个不同平面，若βαβ⊥⊥,l ，则α//l （4）已知2013届九江市七校联考（一）的数学考试成绩ξ～())0(,902>σσN ,统计结果显示()6.011070=≤≤ξp ，则()2.070=<ξp 其中结论正确的个数为( )A.4B.3C.2D.13.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ．2103 B ． 4 C ． 29D ． 5 4.已知直线a y x =+与圆222=+y x 交于A 、B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OC OB OA =+，则a 的值为（ ）A.1±B.2±C.3±D.2±5.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则ba 43+的最小值为( ) A ．14 B ．7 C ．18 D ．136.将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为( ) A.54 B. 51 C. 52 D. 53 7.若()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=21 ,211 ,sin 3x x x x x f ，则()=⎰-dx x f 21( )A.0B.1C.2D.3 8．若函数()x f y =的导函数为()x f y '=，且()⎪⎭⎫⎝⎛+='62cos 2πx x f ，则()x f y =在[]π,0上的单调增区间为( ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,329.已知k 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式nk x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 10.已知函数()234201312342013x x x x f x x =+-+-++ 设()()4F x f x =+，且函数F(x)的零点均在区间[](),,,a b a b a b <∈Z 内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

临川一中高三10月月考文科数学试题一，选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{2,0}xM y y x ==>，{N y y ==，则MN 等于( )A ．∅B ．{1}C ．{1}y y >D ．{1}y y ≥ 2.设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A 12i - B. 12i + C.2i - D.2i 3. 下列说法正确的是 ( )A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若0:p x ∃∈R ，2010x x -->，则:p ⌝x ∀∈R ，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” 4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ． [1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]5. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x6. 如图，已知,AB AC ==a b ，4,3BC BD CA CE ==，则DE =（）A ．3143-b a B ．53124-a b C. 3143-a b D ．53124-b a7.下列关系式中正确的是 （ ）A 000sin11cos10sin168<<．B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<8. 在△ABC 中，若,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 边的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．109B. 89 C ． 269 D ． 2599．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12345b b b b b a a a a a ++++=（ ）A.26B.36C.46D.56 10.已知函数()2,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则下列关于()2y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数判别正确的是（ ）A.当0k <时，有3个零点 B.当0k =时，有无数个零点 、 C.当0k >时，有3个零点 D.无论k 取何值，都有4个零点11.函数()f x 的定义域为R ，(-2)=2018f ，对任意的x R ∈，都有()2f x x '<成立，则不等式2()2014f x x <+的解集为（ ） A ．（-2，+∞） B. （-2,2） C.（-∞，-2）D.（-∞，+∞）12. 已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意的x R ∈，都有()1x f f x e ⎡⎤-=⎣⎦ ，则函数．．()()()()()f x f xg x f x f x +-=--的图像大致是 （ ），二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在题中的横线上） 13.))4f (,4(,tan 2)(ππ在x x f +=处的切线方程14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若sin 2sin A B =，且a b +=，则角C 的大小为 ． 15．已知平面向量,a b ，2a =，13b a =，1432a b -=，则a 与b 的夹角为 _______16.已知函数3sin(4)33y x π=+-, 且 a m (=）f , 则=）m -3(πf _______三、解答题：（共6小题，共70分)17、（本小题满分10分）已知：a ＞0且a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A BA b c a sin sin sin sin --=+． （I ）求角C ； （II ）求cba +的取值范围．19．(本小题满分12分)下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a 11=1，a 23=14，a 32=16； a 11 a 12 a 13 …a 1n a 21 a 22 a 23 …a 2n …a n1 a n2 a n3 …a nm（1）求数列{a n1}的通项公式； （2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ＜m 2-7m 对一切n ∈N *都成立，求最小的正整数m 的值．20. (本小题满分12分) 设函数的图象过点．（1）求的解析式；（2）已知，求的值； （3）若函数的图象与图象关于轴对称，求函数的单调区间.21. (本小题满分12分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为55，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）点P (x 0, y 0)是椭圆C 上第一象限的点．① 若M 为线段BF 1上一点，且满足→PO ＝6·→OM ，求直线OP 的斜率② 设点O 到直线PF 1，,PF 2的距离分别为d 1、d 2， 求证：y 0d 1＋y 0d 2为定值，并求出该定值．22.(本小题满分12分)已知函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当12a =-时，关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.临川一中10月考数学文科参考答案ABDCA DCABB AA13.)4(23π-=-x y 14 3π 15.23π16.-6-a 17.[解析] p 真⇔0＜a ＜1，p 假⇔a ＞1；q 真⇔a ＞52或0＜a ＜12，q 假⇔12≤a ＜1或1＜a ≤52；∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 中一个真一个假，即p ，q 有且仅有一个是真的． 若p 真q 假，则12≤a ＜1，若p 假q 真，则a ＞52，综上，a 的取值范围是15122aa a ⎧⎫≤<>⎨⎬⎩⎭或.18.解：（I ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+c a ba --=，化简得222c ab b a =-+， …3分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…6分（II ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…9分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cba +的取值范围是]2,1(． 19.解答： 解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d ，各列依次成等比数列，公比相等设为q ＞0． ∵a 11=1，a 23=14，a 32=16， ∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n ﹣1．（2）由（1）可得a 1n =a 11+3（n ﹣1）=3n ﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n =8﹣．∵T n ＜m 2﹣7m 对一切n ∈N *都成立，∴m 2﹣7m ＞（T n ）max ，∴m 2﹣7m≥8，m ＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m 的值是8．20.试题解析：（1）错误！未找到引用源。

∙()江西师大附中、临川一中2013届高三联考试卷理科数学注意事项1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写好自己的准考证号、姓名等相关信息。

2．选择题的答案选出后，把答案填在答题卡的相应位置，不能答在试题卷上。

3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第Ⅰ卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则=B A ( ) A ．]2,2[- B ．)1,2[- C ．]2,1( D ．),2[+∞-2．如果mi i+=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m ( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．03．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于( )A ．224515x y -= B ．22154x y -=C ．22154y x -=D ．225514x y -= 5．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．256．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知偶函数)sin()(ϕω+=x A x f (,0>A )0,0πϕω<<>的部分图像如图所示．若△KLM 为等腰直角三角形,且||1KL =,则 A . 43-B . 14-C . 12-命题：张园和 审题：冯有兵8．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则ba 43+的最小值为( ) A ．14 B ．7 C ．18 D ．139．已知函数()6(3) 3 (7) (7)x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足() ()n a f n n N +=∈，且对任意的正整数, ()m n m n ≠都有()(0)m n m n a a ->-成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．9[,3)4B ．9(,3)4C ．()2,3D ．(1,3)10．已知函数31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则关于x 的方程2(2)f x x a +=（2a >）的根的个数不可能为（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ． 6第Ⅱ卷（本卷共11小题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．圆22:4C x y +=被直线:10l x y -+=所截得的弦长为 ．12．已知四点(1,2),(3,4),(2,2),(3,5)A B C D --，则向量AB 在向量CD 方向上的射影为 ．13．某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为m )则该三棱锥的体积为 3m ． 14．有这样一道题：“在∆ABC中，已知a =，22cos ()1)cos 2A CB +=,求角A ．”已知该题的答案是60A =, 若横线处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件 应为 ．15．已知函数22cos (),(1)(45)x f x x R x x x π=∈+-+，给出下列四个命题： ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值； ③函数()f x 的图像有对称轴；④对于任意(1,0)x ∈-，函数)(x f 的导函数'()0f x <．其中真命题的序号是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量2(2sin ,2sin 1),(cos ,3)444xx xm n =-=-，函数()f x m n =⋅．主视图俯视图 左视图(1) 求函数()f x 的最大值，并写出相应x 的取值集合； (2)若()3f πα+=(0,)απ∈，求tan α的值．17．（本小题满分12分）已知函数()kf x x b =+（其中k b R ∈,且,k b 为常数）的图像经过A (4,2)、B (16,4)两点.(1)求()f x 的解析式；(2)如果函数()g x 与()f x 的图像关于直线y x =对称，解关于x 的不等式：()(2)2(2)4g x g x a x +->-+．18．（本小题满分12分）已知命题p ：函数22()2f x a x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13[,]22内恒成立．若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转 (0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．(1) 求曲线Γ长度； (2) 当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；(3) 是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数2()|ln 1|,()||2f x x k x g x x x k =+-=--，其中04k <≤．(1) 讨论函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；(2) 若对于任意1[1,)x ∈+∞，都存在2[2,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数k 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,其中*n N ∈.(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设数列{}n b 满足nnn n na b 2)12(⋅+=，是否存在正整数, (1)m n m n <<，使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．(3) 令22(1)1(1)n n n c n n a +++=+，记数列}{n c 的前n 项和为*()n S n N ∈，证明：51162n S ≤<．江西师大附中、临川一中2013届高三联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则=B A ( C ) A ．]2,2[- B ．)1,2[- C ．]2,1( D ．),2[+∞-2．如果mi i+=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m ( A ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．03．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则( A )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于( D )A ．224515x y -= B ．22154x y -=C ．22154y x -=D ．225514x y -= 5．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =( A )∙()A ．22B ．23C ．24D ．256．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数是( C )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知偶函数)sin()(ϕω+=x A x f (,0>A )0,0πϕω<<>的部分图像如图所示．若△KLM 为等腰直角三角形,且||1KL =,则 A . 43-B . 14-C . 12-8．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则ba 43+的最小值为( B )A ．14B ．7C ．18D ．139．已知函数()6(3) 3 (7)(7)x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足() ()n a f n n N +=∈，且对任意的正整数, ()m n m n ≠都有()(0)m n m n a a ->-成立，那么实数a 的取值范围是( C )A ．9[,3)4B ．9(,3)4C ．()2,3D ．(1,3)10．已知函数31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则关于x 的方程2(2)f x x a +=（2a >）的根的个数不可能为（A ）A ．3B ． 4C ． 5D ． 6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．圆22:4C x y +=被直线:10l x y -+=12．已知四点(1,2),(3,4),(2,2),(3,5)A B C D --，则向量AB 在向量CD 方向上的射影为． 13．某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为m )．则该三棱锥的体积为 4 3m ．14．有这样一道题：“在∆ABC 中，已知a =，22cos ()1)cos 2A C B +=,求 角A ．”已知该题的答案是60A =, 若横线处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件 应为c =．主视图 俯视图左视图15．已知函数22cos (),(1)(45)xf x x R x x x π=∈+-+，给出下列四个命题： ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值； ③函数()f x 的图像有对称轴；④对于任意(1,0)x ∈-，函数)(x f 的导函数'()0f x <．其中真命题的序号是 ②③ .（请写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量2(2sin ,2sin 1),(cos ,3)444xx xm n =-=-，函数()f x m n =⋅．(1) 求函数()f x 的最大值，并写出相应x 的取值集合； (2) 若()3f πα+=(0,)απ∈，求tan α的值． 解析：（1）2()2sincos 2sin )sin 2sin()4442223x x x x x x f x m n π=⋅=-=+=+ 所以，当2232x k πππ+=+，即当4 ()3x k k Z ππ=+∈时，max 2f =。

江西省临川二中、上高二中、丰城中学2020届高三6月联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．2-D ．2i -2．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)P ξ≤<=（ ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.73．已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b a c << D ．a b c <<4．设a R ∈，则“a =1l ：210x ay +-=与直线2l ：40ax y ++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次.四人测试成绩对应的条形图如下，以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．甲的方差最小6．函数())f x kx =的图象不可能．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．7．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做出了如下预测：甲说：丙或丁被选上； 乙说：甲或丁均未被选上；丙说：丁被选上； 丁说：丙被选上.若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．圆M ：22()4x m y -+=与双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线相切于A 、B 两点，若||2AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．39．梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz ）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，150ABC ︒∠=，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A．32πB．34πC．92πD．94π10．已知实数满足约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax by =+（0a >且0b >）的最大值为2，则12a b+的最小值为（ ） A．132B．72+C．3+D．5+11．我们称数列2()n n a c =与数列2()n n b c =为“隔项相消数列”，其中a ，b ，c ，n ∈+N ，则n n a b Z +∈.已知数列{}n c的通项公式为(3nn c ⎡⎤=+⎣⎦，其中n ∈+N ，函数()[]f x x =表示不超过实数x 的最大整数，则2020c 除以4的余数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =10AB，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成的角均为3π，这样的直线l 的条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()ln(31)f x x =+的定义域为________________.14．某工业模具的三视图如图所示，已知俯视图的正方形的边长为2，则该模具的表面积为________.15．若曲线()ln(21)f x x x =+-在(1,(1))f 处切线的倾斜角为θ，则2cos sin2θθ+的值为________.16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且(12cos )6cos a C A -=，3c =，则ABC 面积的最大值为________.三、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，数列{}n a 满足112a =， 122n n n S S a +=+，n ∈+N ，等差数列{}n b 满足25b =，9153T =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足n n b c a =，求证：12815n c c c +++<，其中n ∈+N. 18．已知如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线AC =ABC 沿着对角线AC 翻折至点B '.（1）求证：AC B D '⊥；（2）若1B D '=，且点E 为线段B D '的中点，求CE 与平面AB D '夹角的正弦值. 19．为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1： 表1其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20~60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次的用车时间t （分钟）是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表2： 表2（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间； （3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知点⎭为椭圆C ：22221x ya b +=（0a >，0b >）上一点，1F 和2F 分别为椭圆C 的左右焦点，点D 为椭圆C 的上顶点，且2122DF DF b =-⋅. （1）椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 、P 为椭圆C 上三个不同的动点，且满足0OA OB OP ++=，直线AB 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由. 21．已知定义在(0,)+∞上的函数()ln()x a f x e x a -=-+，其中0a >，e 为自然对数的底数.（1）求证：()f x 有且只有一个极小值点；（2）若不等式()1ln 2f x ≥-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2213x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）已知P 、Q 两点分别是曲线C 和直线l 上的动点，且直线PQ 的倾斜角为π3，求||PQ 的最小值.23．已知函数()|24|f x x =-的最大值为t .（1）求t 的值；（2）是否存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=满足条件的一组解；若不存在，请说明理由.参考答案1．C 【分析】由于(2)x i i y i +=+，求得1x=且2y =-，得到复数12z i =-，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-， 所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的概念及其应用，属于基础题. 2．B 【分析】根据已知可求出8252μ+==，由(25)(5)(2)P P P ξξξ≤<=<-<即可求出(25)P ξ≤<的值.【详解】根据正态分布的概率密度函数的对称性可知8252μ+==， 则(25)(5)(2)0.50.150.35P P P ξξξ≤<=<-<=-=， 故选:B . 【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，考查了转化思想，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】利用指数与对数的性质与0，1比较即可 【详解】202020201log log 10πa =<=，()2020101πb ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，1π20201c =>，所以a b c <<.故选：D. 【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题 4．C 【分析】当a =分别求出两直线的斜率124k k ==-，则12//l l ，即可证明充分条件；反之，当12//l l ，求得a =.【详解】解：当a =1l ：10x +-=，2l 40y ++=，此时124k k ==-，则12//l l ，即充分条件成立；当直线1l ：210x ay +-=与2l ：40ax y ++=平行，可知0a ≠，且12k k =，即124a a --=，解得：a =当a =12//l l ，当a =1l ：10x --=，2l ：40y ++=，即10x --=，此时12,l l 重合，所以a =所以“a =1l ：210x ay +-=与2l ：40ax y ++=平行”的充要条件.故选：C. 【点睛】本题考查充要条件的判断，考查两直线平行的斜率关系，属于基础题. 5．D 【分析】观察四名同学的统计图的特征，四位同学的直方图都关于5环对称，因此它们的平均数都是5，中位数相同，众数显然不完全相同，根据方差的定义分别计算四名同学的方差即可得出结论. 【详解】解：由图的对称性可知，平均数都为5；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为22221234,,,s s s s ，则()()2221450.5650.51s =-⨯+-⨯=，()()()22222450.3550.4650.30.6s =-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222223350.3450.1550.2650.1750.3 2.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222224250.1450.3550.2650.3850.1 2.4s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以丙的方差最大． 故选：D ． 【点睛】本小题考查统计图表、数字特征的概念等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性． 6．C 【分析】假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k 的值，即可得答案； 【详解】因为A 、B 选项中，图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，()()0f x f x +-=，即))lnln0kx kx -++=，()()22222ln 1ln1,10x k x k x+-=-=，所以1k =±．当1k =-时，()f x 的图象为选项A ；当1k =时，()f x 的图象为选项B ． 而C 、D 选项中，图像关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，()()f x f x =-，即))lnlnkx kx -=，所以此时0kx =，所以0k =．当()0,0k f x =≥，故()f x 的图象为选项D ，故()f x 的图象不可能为C ． 故选：C ．【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7．D 【分析】分别讨论当选上的人为甲、乙、丙、丁时，判断每个人说的话是否正确，即可得到正确答案. 【详解】若甲被选上，甲、乙、丙、丁说的均错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁说的错误，乙说的正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁说的正确，丙说的错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙说的正确，乙、丁说的错误，满足条件. 故被选派参加志愿者服务的是丁. 故选：D. 【点睛】本题主要考查推理证明，考查学生逻辑推理的能力，属于基础题. 8．A 【分析】结合图象求得30AMO ∠=︒，即可知60AOM ∠=︒，根据双曲线C 的两条渐近线为：ay x b =±，可得ab=. 【详解】根据题意画出图象：如图由题意知， 2AB =，2MA =，MA OA ⊥，可得：112sin 2AB AMO MA ∠==，∴30AMO ∠=︒，则60AOM ∠=︒，双曲线的两条渐近线为：ay x b=±，∴tan 60a b =︒=c e a === 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出,a c ，代入公式ce a=；方法二：只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 9．D 【分析】先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积，再结合几何概型中的面积型求概率即可. 【详解】解:由图可知: 60AOB ︒∠=,105ABO ︒∠=,15BAO ︒∠=, 不妨设4AO =,在AOB 中,由正弦定理可得sin sin AO BOABO BAO=∠∠,则484BO ==-则阴影部分的面积为13sin 362AO BO BOA ⨯⨯⨯⨯∠=,则在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为369164ππ-=, 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理及三角形面积公式，重点考查了几何概型中的面积型，属中档题. 10．A由题意，画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数z ax by =+（0a >且0b >），可化为直线a zy x b b=-+， 当直线a zy x b b=-+过点B 点时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由20340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(3,5)B ，所以目标函数的最大值为352z a b =+=，则121121561(35)13(13222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当56b aa b=时取“=”. 故选：A .【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用基本不等式求小值问题，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，确定出最优解，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力. 11．B根据题意，可知20202020(3c ⎡⎤=+⎣⎦，根据二项式定理的展开式分别求出2020(3+和2020(3-的展开式，进而求出20202020(3(3++-除以4余数为2，结合(031<-<，可得出()2020421(4,3k k N k *++<∈+<，即可2020c 除以4的余数. 【详解】解：由题可知，20202020(3c ⎡⎤=+⎣⎦，((2020201900112020202020203(3223CC=⋅⋅+⋅⋅++((120192019202020202020202033CC+⋅⋅+⋅⋅，①((202020190112020202020203(3223C C =⋅⋅-⋅⋅+-((120192019202020202020202033C C -⋅⋅+⋅⋅，②则①+②得：20202020(3(3++-((20202018002220202020233C C⎡=⋅⋅+⋅⋅+⎢⎣((220182018202020202020202033CC⎤+⋅⋅+⋅⋅⎥⎦003101022310092018201832020202002020202020202020232323232C C C C ⨯⨯⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅⎣⎦00310102231009201820183202020202020202023232323C C C ⨯⨯⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⎣⎦3001010221009201820182020202020202020223232323C C C ⎡⎤=⨯⋅⋅+⋅⋅++⋅+⨯⎣⎦001010221009201820182020202020202020163232323C C C ⎡⎤=⨯⋅⋅+⋅⋅++⋅+⨯⎣⎦所以202020202020(3(3232(mod 4)++-≡⋅≡，即20202020(3(3++-和202023⋅除以4余数相同都为2，即()20202020(3(342,k k N *=++∈-+，则()()20202020(3(342,k k N *-=+∈+-，而(031<-<，则2020(310-<<，所以()2020421(4,3k k N k *++<∈+<所以2020(31(mod 4)⎡⎤+≡⎣⎦，即2020c 除以4的余数为1. 故选：B. 【点睛】本题考查利用二项式定理展开式求余数，涉及二项式定理的应用以及根据新定义进行求解，考查理解分析能力和运算能力. 12．C 【分析】先求异面直线所成的角，再根据直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成的角相等，且最小为6π，从而得到这样的直线l 的条数为3条. 【详解】建立坐标系，如图所示：易得：11(0,0,0),A D A C ，∴11(7,0,1),(7,A D AC =--=-，∴11111cos 2||||A D AC A D AC θ⋅==，∴求得直线1A D 及直线1AC 的夹角为π3， 则过点B 可作3条直线与直线1A D 及直线1AC 所成的角均为π3， 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角及直线条数判断，考查空间想象能力、运算求解能力. 13．1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】由函数()f x 的解析式有意义，得到不等式组24310x x ⎧-≥⎨+>⎩，即可求解.【详解】由函数()ln(31)f x x =+，满足240310x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得123x -<≤，所以函数()f x 的定义域为1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记函数的定义域的概念，列出满足条件的不等式组是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．16π+ 【分析】根据给定的三视图，可得该几何体是长方体挖去一个半球，结合棱柱的表面积公式和球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的三视图，可得该几何体是一个棱长为2,2,1长方体，挖去一个半径为1的半球，所以该磨具的表面积为22116141162S πππ=-⨯+⨯⨯=+. 故答案为：16π+. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 15．310【分析】求出该点的导数，该点的导数就是倾斜角θ的正切，再把2cos sin2θθ+化成正切即可. 【详解】 由于2()121f x x '=-+，则1tan (1)3f θ'==-， 故22222221cos 2sin cos 12tan 33cos sin 2sin cos tan 110113θθθθθθθθθ-+++====++⎛⎫+- ⎪⎝⎭故答案为：310. 【点睛】考查求函数在某一点的导数及三角恒等变形的能力；基础题. 16．3 【分析】本题首选可根据3c =对(12cos )6cos a C A -=进行化简，得出2a b =，然后构造平面直角坐标系并绘出ABC 的图像，则有3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭、3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再然后设(),C x y ，根据2a b =列出方程，即可求出y 的最大值以及ABC 面积的最大值. 【详解】 因为3c =，所以()12cos 6cos 2cos a C A c A -==，即sin (12cos )2sinCcos A C A -=，sin 2sin cos 2sinCcos A A C A -=， sin 2sinCcos 2sin cos A A A C =+，()sin 2sin A A C =+，sin 2sinB A =，解得2a b =，如图：以AB 中点O 为原点、AB 边为x 轴建立平面直角坐标系，则3,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(),C x y ，则2232aBCx y ，2232bACx y ，222233222x y x y ，化简得22542yx ，故24y ≤，y 的最大值为2，1132322ABCS AB y △，ABC 面积的最大值为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用以及三角恒等变换，考查阿波罗尼奥斯圆问题，考查两点间距离公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是难题.17．（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，43n b n =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据n S 与n a 的关系和等比数列的定义，可证出{}n a 为首项112a =，公比12q =的等比数列，再根据等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；根据等差数列的通项公式和性质，求出1b 和d ，即可求出{}n b 的通项公式；（2）写出4312nn n b c a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义，可知{}n c 是以12为首项，116为公比的等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式求出12881151516nn c c c ⎛⎫+++-⋅ ⎝=⎪⎭，即可证出12815n c c c +++<. 【详解】 解：（1）由于112a =， 122n n n S S a +=+，则()12n n n S S a +-=， 则112n n a a +=，即112n na a +=， 所以数列{}n a 为首项112a =，公比12q =的等比数列，则12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；由于在等差数列{}n b 中，25b =，9153T =， 则95179T b ==，即5243b bd -==，得11b =， 故43n b n =-.（2）由于4312n n n b c a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得41112n n c ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则441143116121212n n n n c c ++-⎛⎫⎪⎝⎝⎛⎫⎭=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎭，且112c =， 则数列{}n c 是以12为首项，116为公比的等比数列， 则1211181881816112151615151615116nn n n c c c ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++=⋅=-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 即n ∈+N 时，12815n c c c +++<.【点睛】本题考查根据n S 与n a 的关系和等比数列的定义证明等比数列，考查等差数列和等比数列的通项公式，以及运用等比数列的前n 项和公式求和从而证明不等式，考查解题运算能力. 18．（1）证明见解析；（2）45. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接B O '和DO ，在菱形ABCD 中，易得B O AC '⊥，DO AC ⊥，0⋂=DO BO ，再利用线面垂直的判定定理证明.（2）根据平面几何知识，得到OB D '△为等边三角形，再由（1）得平面B OD '⊥平面ACD ，则B F '⊥平面ACD .作OZ B F ⊥'，以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OZ 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，先求得平面AB D '的一个法向量为(,,)n x y z =，CE 的坐标，然后代入公式sin |cos ,|θ=<>CE n . 【详解】（1）如图所示：取AC 的中点O ，连接B O '和DO ， 在菱形ABCD 中，B O AC '⊥，DO AC ⊥，0⋂=DO BO ，所以AC ⊥面'B OD ， 又B D '⊂面'B OD ， 所以AC B D ⊥'.（2）由于菱形ABCD 的边长为2，AC =OD 的中点F ，根据余弦定理得2221cos 22+-==-⋅DA DC AD ADC DA DC ∠，因为()0,ADC π∠∈，所以2π3ADC ∠=， 所以π3BAC ∠=，所以1OB OD '==.又1B D '=，则OB D '△为等边三角形，由（1）得平面B OD '⊥平面ACD ，则B F '⊥平面ACD .作OZ B F ⊥'，以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OZ 分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -，则C，(A，10,2B ⎛' ⎝⎭，(0,1,0)D，30,4E ⎛ ⎝⎭，13,,22AB ⎛'= ⎭，(3,1,0)AD =，设面AB D '的一个法向量为(,,)n x y z =，则00AB n AD n '⎧⋅=⎨⋅=⎩，则10220y z y ++=⎪+=⎩， 令1x =，则 1y z ==-，所以(1,3,1)n =--，34⎛=- ⎝⎭CE ，设CE 与平面AB D '的夹角为θ，则24sin |cos ,|5CE n θ=<>==. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19．（1）表格见解析，有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）38（分钟）；（3）用该款新能源汽车上班更加合算. 【分析】（1）补充完整的列联表，再利用卡方系数计算2K 的观测值，与7.879进行比较大小，即可得到答案；（2）根据组距的中点值乘以各自的频率，再相加，即可得到平均值；（3）设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y 元，则可得分段函数，再计算使用出租车的费用与27进行比较，即可得到答案； 【详解】解：（1）补充完整的列联表如下所示，由列联表可得：2K的观测值21000(100400300200)10007.937400600300700126k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，∵7.937>7.879，∴有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关.（2）表2中的数据整理如下：∴张先生租用一次该款新能源分时汽车上班的平均用车时间为：250.2350.4450.3550.138t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.（3）设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y 元，则 当20t 30<≤时，0.1515y t =+，当3060t <≤时，0.15300.2(30)150.213.5y t t =⨯+⨯-+=+， ∴张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分钟）的函数关系式：0.1515,20300.213.5,3060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩.∴每次上班租车的费用约为：0.23813.521.1⨯+=（元）. ∵张先生每次使用滴滴打车上班需要27元， ∴张先生租用该款新能源汽车上班更加合算. 【点睛】本题考查独立性检验、平均值计算、分段函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．（1）2214x y +=；（2）相切，理由见解析. 【分析】（1）由已知化简可得222122DF DF b c b ⋅=-=-，⎭代入椭圆方程，计算即可求得结果；（2）设()()1122,,,A x y B x y ,()00(,),,Q x y P x y ，由0OA OB OP ++=化简可得2OP OQ =-，利用轨迹法可求得Q 的轨迹方程，设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M为线段PA 的中点，根据0OA OB OP ++=可求得22,22x y M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用点差法可求得直线直线PA 的方程，和Q 的轨迹方程联立，点B 坐标代入化简利用判别式可得出结论相切. 【详解】解：（1）由已知可得：()()()120,,,0,,0D b F c F c -，则()()12,,DF c b DF c b =--=- 所以 222122DF DF b c b ⋅=-=-，32ab ==，又由于已知点2⎭在椭圆C 上，则222112a b +=，解得2a =，1b =， 椭圆C 的方程2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,()00(,),,Q x y P x y∵0OA OB OP ++=，直线AB 与直线PO 交于点Q ， ∴2OP OQ =-.则0022x xy y =-⎧⎨=-⎩.由220014x y +=，得2241x y +=，∴动点Q 的轨迹方程为2241x y +=.设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22x y M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当20y ≠时，∵220014x y +=，221114x y +=，∴1010210102144PAy y x x x k x x y y y -+==-⋅=--+， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-.将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得，()()2222222244410()x y x x x y +++-=※.将222214x y +=代入（※），整理得2222440x x x x ++=. ∵222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切.当20y =时，直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、考查轨迹法求轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21．（1）证明见解析；（2）01a <≤. 【分析】（1）()21()0x a f x e x a -+''=>+知，1()x a f x e x a-'=-+递增，由(0)0f '<和(1)0f a '+>，根据零点存在定理则可证.（2）由(1)0f ≥探求出01a <≤，转化为证明当01a <≤，()1ln 2f x ≥--在(0,)+∞上恒成立，令()ln()1ln 2x a h x e x a -=-++进一步转化为1()ln(1)1ln 2x h x e x -≥-+-+，再证明该不等式右边恒大于等于0即可. 【详解】（1）证明：由于1()x a f x e x a-'=-+，()21()0x a f x e x a -+''=>+， 则()f x '在(0,)+∞上单调递增. 令()xg x e x =-，则()1xg x e '=-，故当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；则min ()(0)1g x g ==，即1>x e x x ≥+. 由于1(0)0aaa a e f ea e a-'-=⋅-=<，1(1)021f a e a '+=->+， 故0(0,1)x a ∃∈+，使得0()0f x '=，且当0(0,)x x ∈时，0()0f x '<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，0()0f x '>，()f x 单调递增；因此()f x 在(0,)+∞有且只有一个极小值点0x ，无极大值点.（2）解：由于不等式()1ln 2f x ≥--在(0,)+∞上恒成立，（i ）必要性，当1x=时，不等式成立，即1ln(1)1ln 2a e a --+≥-，令1()ln(1)1ln 2a g a a e -=++--，()0g a ≤， 由于11()01a g a e a -'=++>+，则()g a 在(0,)+∞上单调递增， 又由于(1)0g =，则()0g a ≤的解为01a <≤，（ii ）充分性，下面证明当01a <≤时，()1ln 2f x ≥-在(0,)+∞上恒成立，令()ln()1ln 2x a h x e x a -=-+-+， 由于01a <≤，01a >-≥-，11,x ax x a x ee ---≥-≥，()()()()01+,ln ln 1,ln ln 1a x x x a x x a x <+≤+≤+-+≥-+，12,212a x a x +≤++≤+≤≥则1()ln(1)1ln 2x h x e x -≥-+-+，令1()ln(1)1ln 2x m x ex -=-+-+，则11()1x m x e x -'=--+， 故121()0(1)x m x e x -''=+>+，()m x '在(0,)+∞上单调递增.由于(1)0m '=，则当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增；故()(1)0m x m ==，即()0m x ≥恒成立， 因此，当01a <≤时，()1ln 2f x ≥--在(0,)+∞上恒成立.【点睛】(1)证明函数只有一个极值点转化为研究其导函数的值域，进一步转化为研究其二阶导函数的取值情况，借助于构造新函数和零点存在定理即可.(2)不等式恒成立求参数的取值范围可先由自变量的一个特殊值探求出参数的范围，然后再给出证明即可.本题是难题.22．（1）l：y x =-C：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）3【分析】(1) 由32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合两角和的余弦公式可求出cos sin 3ρθθ-=，进而可求出直线的直角坐标方程；结合椭圆的参数方程公式可求出曲线C 的参数方程.(2) 设点P 到直线l 的距离为d ，则2PQ d =∣∣，由d =，结合三角函数的最值求解，可求出||PQ 的最小值. 【详解】解:(1)由32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πππ2cos 2cos cos 2sin sin 333ρθρθρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin 3ρθθ=-=,由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，则直线l的直角坐标方程为y x =-曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）由于直线l 的倾斜角为π6，直线PQ 的倾斜角为π3，则直线l 与直线PQ 的夹角为π6，设点P 到直线l 的距离为d ，则2PQ d =∣∣.由于|3|42d πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==≥当且仅当7π2π4k α=+，k ∈Z 时等号成立，因此PQ ∣∣的最小值为3【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了普通方程转化为参数方程，考查了三角函数最值的求解.23．（1）3；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）化简函数()|1||2||2|f x x x x =+----，结合绝对值三角不等式，即可求解.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=式22222222224144(2)11()929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）由()|24||1||2||2|f x x x x x =-=+----|(1)(2)||2|3x x x ≤+----≤，当且仅当2x =时取“=”，又由函数()f x 的最大值为t ，故max ()3t f x ==.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=则22222222224144(2)11()4929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故2224a b c ++=不可能成立，因此不存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式和柯西不等式的应用，其中解答中熟记绝对值的三角不等式和柯西不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。