理论力学--第2章平面任意力系共62页

一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）

坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
Fy 0; M O (F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A (F ) 0; M B (F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例4] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重 量)，尺寸如图。求：①保证满载 和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道 A、B给起重机轮子的反力？
平面汇交力系力， FR (主矢，作用在简化中心) 平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
4.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fxi Fy j
FR ( Fx )2 ( Fy )2
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx FBx F 0
Fy 0 : FAy FBy qa 0
MA(F) 0:
FBy
2a
Fa
qa
3 2
a
0
可解得：
FAy
1 4
qa
1 2
F
FBy
1 2
F
3 4
qa
q F
C
A
B
a
a
q F
C
A
平衡方程
由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0
Fyi 0
MO (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内任意两个不平行的坐标轴上投影的代 数和等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。

z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
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力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
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《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。

理论力学平面任意力系
46、法律有权打破平静ห้องสมุดไป่ตู้——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

齿轮II上旳力偶矩M；轴 承A，B处旳约束力。
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）

3 . 固定端支座
固定端（插入端）约束 : 既不能移动，又不能 转动的约束
FAx 固定端约束简图 FAy
4 . 简化结果分析 合力矩定理
● F′ =0，MO≠0 R ● F′ ≠ 0，MO=0 R
● F′ ≠ 0，MO ≠0 R
● F′ =0，MO=0 R
1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形
MO＝0
力 偶
平 衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
8. 力在空间直角坐标轴上的投影
z
直 接 投 影 法
二次投影法

O F z

y
O
F
Fxy
y
x
X F cos Y F cos Z F cos
x
X F sin cos Y F sin sin Z F cos
例题3
在长方形平板的O， A，B，C点上分别作用有四 个力：F1=1 kN，F2=2 kN， F3=F4=3 kN（如图），试求 以上四个力构成的力系对O点 的简化结果，以及该力系的最 后合成结果。
y
F2 A
60°
B
F3
2m
F1
C
F4
30°
x 3m
O
解：(1)求向O点简化结果
1).求主矢 FR 。
§2-3 平面任意力系向一点简化
1.力的平移定理
F′ F B d A F′′ M B A F′
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A 的力F平行移到同一刚体上 的任意点B，但必须同时附 加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力F对新作 用点B的矩。

y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox

力偶与力偶系
♣ 力偶的性质
性质二：只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用 性质二：只要保持力偶矩矢量不变， 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
F F F′ F F′ F′
力偶与力偶系
♣ 力偶的性质
性质三：保持力偶矩矢量不变， 性质三：保持力偶矩矢量不变，分别改变力 和力偶臂大小，其作用效果不变。 和力偶臂大小，其作用效果不变。
力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对轴之矩
力对轴之矩的计算
方法二: 方法二: 将力向三个坐标轴方 向分解,分别求三个分力对轴之 向分解 分别求三个分力对轴之 矩。
力对点之矩与力对轴之 矩♣ 力Βιβλιοθήκη 轴之矩力对轴之矩代数量的正负号
力对点之矩与力对轴之 矩
♣ 力对轴之矩
力对轴之矩与力对点之矩的关系
MO ( F ) = Fd
M = ∑Mi
i=1
n
力偶与力偶系
已知: 结构受力如图所示, 已知: 结构受力如图所示 图中
例题 1
M, r均为已知 且l=2r. 均为已知,且 均为已知 试: 画出 和BDC杆的受力图； 画出AB和 杆的受力图； 杆的受力图 求: A、C二处的约束力。 二处的约束力。 二处的约束力
力偶与力偶系
力系的简化
力系简化的基础是力向一点平移定理
♣ 力向一点平移定理
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力向一点平移
F :力; :力 e O :简化中心 简化中心; 简化中心
α :F与O所在平面 所在平面; 与 所在平面
n :α 平面的法线 平面的法线; en :n 方向的单位矢。 方向的单位矢。
力系的简化

解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0

F1 F2 P
解得： FBA
7.321kN

Fiy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
2 2
（1）
二.平面汇交力系合成的解析法
FR Fi
(a) (b) (c)
Fi Fxii Fyi j FR FR x i FR y j
将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有
FR ( Fxi )i ( Fyi ) j
（今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得
FCA AC 1 P AB
解得 图2-2
FC B BC 1 P AB 2
FCA 10kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得
FCA 10kN, FCB 5 kN
例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
一、力对点的矩
B
力矩：力绕某一点转动效应的度量。
F
M O ( F ) F d
+
A
d
-
说明：
① M O ( F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F )=0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm或kNm ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。

A FAx FAy
D FD
x
联立求解得
FAx= 4kN, FAy= 6.48 kN ,
FD= 6.45 k N
68
§2-5 物体系统的平衡 静定和超静定问题
一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系
∑F
∑F
ix
=0
=0
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
iy
平面力偶系 平面 任意力系
∑ m i =0 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 ∑F =0 ∑F =0 三个独立方程,只能求三个独立未知数。 M (F ) = 0 ∑
一矩式
O
A
( Fi ) = 0
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即
B
( Fi ) = 0
∑F
ix
= 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求 解两个独立的未知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
52
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
4557列平衡方程列平衡方程45cos45sin45cos45cosflql解方程解方程取梁为研究对象受力分析如图取梁为研究对象受力分析如图ax58一种车载式起重机车重一种车载式起重机车重g26knkn起重机伸臂重起重机伸臂重g4545knkn起重机的旋转与固定部分共重起重机的旋转与固定部分共重g31knkn
F y
F
c
C
α
FAy
B A
FAx
α
C E B x
D
A
GD
a
GE
b
l
解：