高三三角函数单元测试题(理科)

必修4三角函数单元测试题(含答案) 三角函数单元测试1.sin210的值是多少？A。

3/2B。

-3/2C。

1/2D。

-1/22.终边相同的角是哪一组？A。

π或kπB。

(2k+1)π或(4k±1)π(k∈Z)C。

kπ±π/3或π/3k(k∈Z)D。

kπ±π/6或kπ±π/6(k∈Z)3.已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ在哪两个象限之间？A。

第一或第二象限角B。

第二或第三象限角C。

第三或第四象限角D。

第一或第四象限角4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弧长是多少？A。

2sin1B。

sin2C。

2D。

π5.要得到函数y=2sin(xπ/36),x∈R的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点：A。

向左平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍B。

向右平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍C。

向左平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/3D。

向右平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/36.设函数f(x)=sin((x+π/3)/3)(x∈R)，则f(x)在区间：A。

(2π/7,2π/3)上是增函数B。

(-π,2π/3)上是减函数C。

(π,8π/4)上是增函数D。

(-π,2π/3)上是增函数7.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ<π)的部分图象如图所示，则函数表达式是：A。

y=-4sin(x+π/4)B。

y=4sin(x-π/4)C。

y=-4sin(x-π/4)D。

y=4sin(x+π/4)8.函数y=sin(3x-π/4)的图象是中心对称图形，其中它的一个对称中心是：A。

(-π/4,0)B。

(-π,0)C。

(π,0)D。

(11π/12,0)9.已知f(1+cosx)=cos2x，则f(x)的图象是下图的：（删除明显有问题的段落）4.A5.D6.C7.B8.A9.C10.B二、填空题11.012.513.1/214.-sin(15π/4)三、解答题15.cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/4)=√(3/4)=±√3/216.M={θ|θ∈[0,π/4]}，N={θ|θ∈[π/4,π]}17.（1）sin²θ+cos²θ+sinθ+cosθ+2sinθcosθ=1+sinθ+cosθsinθ+cosθ+2sinθcosθ=sinθ+cosθ2sinθcosθ=0sinθ=0或cosθ=0θ=kπ或θ=kπ±π/2 (k∈Z)2）将sinθ和cosθ代入原方程得m=1/218.（1）f(x)=sin(3x-π/2)2）a=2,b=419.最大值为1/√3，最小值为-120.（I）π/2II）g(x)=2cos(2x-π/2)-sin(2x)二、填空题11.412.013.414.20三、解答题15.已知 $A(-2,a)$ 是角 $\alpha$ 终边上的一点，且$\sin\alpha=-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+16}}$，求 $\cos\alpha$ 的值。

⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式12．B9、C2、C6 函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 19．C2、C5、C8 如图1­4所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA2＋tanB2＋tanC2＋tanD2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B.连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝6 1019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.9．C2、C5、C7 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3. 18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C3 三角函数的图象与性质17．C4、C3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．17．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.15．C5，C3 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值． 15．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.12．A3、C3 若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．12．1 ∵y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．C3，C4 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos2x ＋π2 B ．y ＝sin2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．A 选项A 中，y ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B 中，y ＝cos 2x 是偶函数，图像不关于原点对称；选项C 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，图像不关于原点对称；选项D 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π.故选A.15．C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质10．C4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)10．A 依题意得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且直线x ＝π6是f (x )的图像的一条对称轴．又f (－2)＝f (π－2)，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且π6<π3<π－2<2<2π3，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π－2)＝f (－2)>f (2)，故选A.17．C4、C3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．17．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.8．C4 函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1­2所示，则f (x )的单调递减区间为( )图1­2A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 8．D 由图知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2，即2π||ω＝2，所以ω＝±π.因为函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以当ω＝π时，ω4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ；当ω＝－π时，ω4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z .所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，由2k π<πx ＋π4<π＋2k π解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.9．C4、C9 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4 D.π69．D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.3．C4 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位3．B 设将y ＝sin 4x 的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin 4(x －φ)＝sin(4x －4φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 ，则φ＝π12. 3．C4 如图1­2，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1­2A ．5B ．6C ．8D ．103．C 据图可知，－3＋k ＝2，得k ＝5，所以y max ＝3＋5＝8.4．C3，C4 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos2x ＋π2 B ．y ＝sin2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．A 选项A 中，y ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B 中，y ＝cos 2x 是偶函数，图像不关于原点对称；选项C 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，图像不关于原点对称；选项D 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π.故选A.11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k∈Z ) f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切16．F3、C5 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．8．C5 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．8．3 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan ＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.17．C5、C8 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.2．C5 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.122．D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.15．C5，C3 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值． 15．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 12．C5 sin 15°＋sin 75°的值是________． 12.62sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 19．C2、C5、C8 如图1­4所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA2＋tanB2＋tanC2＋tanD2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B.连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝6 1019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.15．C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k∈Z ) f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．9．C2、C5、C7 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3. 18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C6 二倍角公式12．B9、C2、C6 函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 12．C6，C8 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．12．1 根据题意，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74.同理可求sin C ＝3 78，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos Asin C＝1. 6．A2、C6 “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．A sin α＝cos α时，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，反之cos 2α＝0时，sin α＝±cos α，故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．15．C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k∈Z ) f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．18．C2、C3、C5、C6 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C7 三角函数的求值、化简与证明 14．C7、F3 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________． 14．93 因为a k ·a k＋1＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cosk π6cos（k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011cos （2k ＋1）π6＋k ＝011sin （2k ＋1）π6＝9 3.16．C7、C8 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．16．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12.由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.图1­29．C2、C5、C7 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3.C8 解三角形16．C8 在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．16．解：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 且0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.11．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.11．1 ∵sin B ＝12，∴B ＝π6或5π6.当B ＝5π6时，有B ＋C ＝π，不符合，∴B ＝π6＝C ，∴b cos π6＝a 2＝32，∴b ＝1.13．C8 如图1­2，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.图1­213．100 6 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.15．C8 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．15．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 17．C5、C8 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠Bsin ∠C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.16．C8 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．16．(6－2，6＋2) 如图所示．MB <AB <EB ，在△BMC 中，CB ＝CM ＝2，∠BCM ＝30°，由余弦定理知MB 2＝22＋22－2×2×2cos 30°＝8－43＝(6－2)2，所以MB ＝6－ 2.在△EBC 中，设EB ＝x ，由余弦定理知4＝x 2＋x 2－2×x ×x cos 30°，得x 2＝8＋43＝(6＋2)2，所以x ＝6＋2，即EB ＝6＋2，所以6－2<AB <6＋ 2.12．C6，C8 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．12．1 根据题意，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74.同理可求sin C ＝3 78，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos Asin C＝1. 12．C8 若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 12．7 由S △ABC ＝12×5×8sin A ＝103，得sin A ＝32.又A 为锐角，∴A ＝π3，∴由余弦定理得BC ＝25＋64－2×5×8cos π3＝49＝7.17．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝ －2sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2sin A －142＋98≤98. 由此可知，sin A ＋sin C 的取值范围是22，98. 16．C7、C8 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．16．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12.由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.17．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)因为m∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二：由正弦定理得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.19．C2、C5、C8 如图1­4所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA2＋tanB2＋tanC2＋tanD2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B.连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝6 1019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.13．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．13．8 在△ABC 中，cos A ＝－14，则sin A ＝154，又由△ABC 的面积为315 ，可得12bc sin A ＝315，求得bc ＝24，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc －14＝64，解得a ＝8.16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 16．解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝2 55，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以 sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝2 23b .又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝6 2，故b ＝3.13．C8 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．13. 6 在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝AB ·sin BAD＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝15°，所以∠BAC ＝2∠BAD ＝30°，所以C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝（2）2＋（2）2－22×2cos 120°＝ 6.C9 单元综合19．C9 已知函数f (x )的图像是由函数g (x )＝cos x 的图像经如下变换得到：先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图像的对称轴方程． (2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＝2m25－1. 9．C4、C9 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4 D.π69．D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.7． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．7．解：(1)根据倍角公式，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cosA －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )．因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2，3]．8． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S ＝32ac cos B .(1)若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小； (2)若a ＝2，且π4≤A ≤π3，求c 的取值范围．8. 解：由题意可知，12ac sin B ＝32ac cos B ，化简，得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(1)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2， ∴b ＝3a ，∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，易求得A ＝π6，C ＝π2.(2)由asin A＝csin C，得c ＝a sin C sin A ＝2sin C sin A .由C ＝2π3－A ，得c ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos A －cos 2π3sin A sin A ＝3tan A＋1.又由π4≤A ≤π3知1≤tan A ≤3，故c ∈．10． 已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的图像与直线y ＝2的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝2，a ＝3b ，求角B 的大小．10．解：(1)因为f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0，x ∈R )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，所以函数f (x )的最大值为2.因为函数f (x )的图像与直线y ＝2的相邻两个交点之间的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.在△ABC 中，因为f (A )＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.因为0<A <π，所以A ＝π3.因为a ＝3b ，所以sin A ＝3sin B ，所以sin π3＝3sin B ，所以sin B ＝12.因为a >b ，所以A >B ，所以0<B <π3，所以B ＝π6.7． 函数f (x )＝sin(ωx ＋ φ)x ∈R ，ω>0, |φ | <π2的部分图像如图K16­2所示，如果x 1，x 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22 C.32D ．1 7．C 由图像知，函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2ππ＝2.由函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x 1，x 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，易得点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))关于直线x ＝π12对称，即x 1 ＋ x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝32.。

《三角函数》单元测试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内. ）1、sin 600的值是（）1 ; 3 ;(C)3 ; 1 ;( A) 2 ( B) 2 2 ( D ) 2 2、下列说法中正确的是 ( )A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一、二象限的角C．不相等的角终边一定不相同D．{|k ?36090 ,k Z} { |k ?180 90 , k Z} 3、已知 cosθ＝cos30°，则θ 等于（）A. °B. k·°＋°k∈Z)30 360 30 (C. k· °± °k ∈Z) D.k· °＋°k∈Z) 360 30 ( 180 30 (4、若cos0, 且 sin 20,则角的终边所在象限是 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限（）5、已知tan 1 ，则 2 sin cos 的值是 ( )2 sin 2 cos2A． 4 B ． 3 C ．4D ． 33 36．若函数y sin 2 x 的图象向左平移个单位得到 y f ( x) 的图象，则( )4A．f ( x) cos 2x B ． f ( x) sin 2xC．f ( x)cos2x D．f ( x)sin 2x7、9．若sin(180 ) cos(90 ) a ，则 cos(270 ) 2 sin(360 ) 的值是 ( )A．2a B ．3a C ． 2a D ． 3a3 2 3 28、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（）A. B. 2 C. 3 D. 2339、若f (sin x) 3 cos2 x ，则 f (cos x) 等于( )A． 3 cos2x B ． 3 sin 2x C ． 3 cos2x D ． 3 sin 2x2 310、已知 tan( α＋β )= 5，tan( α＋4)=22, 那么 tan( β－4) 的值是（）1 1 13 13A．5B ．4C ． 18D ． 2211 已知函数 f ( x) Asin( x ) A 0,0, | | ) 在一个周期内的图象如图2所示．若方程 f ( x) m 在区间 [0, ] 上有两个不同的实数解x1, x2，则 x1 x2的值为（）A．B ．2C ．4D ．或43 3 3 3 312．已知函数 f ( x)= f (?? x), 且当x ( , ) 时，f ( x)= x+sin x, 设 a=f (1), b=f2 2(2), c=f (3), 则（）<b<c <c<a <b<a <a<b二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把最简单结果填在题后 的横线上 .13．比较大小 （1） cos508cos1440, tan(13) tan(17) 。

三角函数》单元测试卷含答案三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（。

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|x=kπ/2±π/4，k∈Z}与N={x|x=kπ/4，k∈Z}之间的关系是（。

）A.M∩NB.M∪NC.M＝ND.M∩N=∅3.若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（。

）A.60°B.－60°C.30°D.－30°4.已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是（。

）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5.设a＞0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（。

）A.5/21B.－1/55C.－5/13D.－2/56.若cos(π＋α)＝－3/22，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（。

）A.－2/3B.3/2C.－2/5D.3/47.若是第四象限角，则απ－α是（。

）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（。

）A.2B.2sin1C.2cos1D.sin29.如果sinx＋cosx＝4/3，且π/4＜x＜π/2，那么cotx的值是（。

）A.－3/4B.－4/3或－3/4C.－4/3D.3/4或－3/410.若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（。

）A.2x－9B.9－2xC.11D.9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.tan300°＋cot765°的值是_____________.12.若sinα＋cosα=2，则sinαcosα的值是_____________.13.不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.14.若θ满足cosθ＞－1/2，则角θ的取值集合是_____________.15.若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.16.已知f(x)=sin2x+cosx，则f(π/6)为_____________.sinα＝√(1-cos^2α)＝√(1-(2x^2/(x^2+5^2)))＝√((25-x^2)/(x^2+25))，tanα＝sinα/cosα＝(25-x^2)/(2x)。

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第4单元 三角函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．162．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．23．已知tan 1α=，则212cos sin 2αα+=（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．sin15cos15︒-︒的值等于（ ）A B ． C ．2D ．25．若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-6．函数()sin()0,0,|π|2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．B ．12-C D 7．已知曲线πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点1π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期π2T =B ．函数()y g x =在11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y g x =关于直线π6x =对称 8．关于x 的方程sin 26πx m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,π]内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12⎤⎥⎣⎦B ．12⎫⎪⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的ϕ的一个值为（ ） A ．π3-B ．2π3C ．5π6-D ．π610．在[0,2π]内，不等式1cos 2x <的解集是（ ） A ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，π,04⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，则（ ） A ．41()k k ω=+∈NB ．43()k k ω=+∈NC ．21()k k ω=+∈ND ．2()k k ω=∈*N12．已知函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．tan570︒=__________． 14．函数的最小正周期是_________．15．若21cos 32m x m -=+，且，则实数的取值范围是________．16．已知函数，若当y 取最大值时，；当y 取最小值时，，且ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R ． （1）若60α=︒，，求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是30cm ，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？18．（12分）已知函数()324πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）填写下表，用“五点法”画()324πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象．（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．19．（12分）如图，以Ox 为始边作角α与(0π)ββα<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OP OQ ⊥，求3cos 4sin ββ-的值．20．（12分）已知函数π()4sin cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3()3m f x m -<<+对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）函数)2()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）的条件下，求方程()(02)g x t t =<<在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内所有实根之和．22．（12分）已知向量33cos ,sin 22OA x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22OB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． （1）若()f x OA OB =⋅，求函数()f x 关于x 的解析式； （2）求()f x 的值域；（3）设()2t f x a =+的值域为D ，且函数()2122g t t t =+-在D 上的最小值为2，求a 的值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第4单元 三角函数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】扇形的弧长8l =，半径2r =，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积182S rl ==．故选A ． 2．【答案】B【解析】∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aaα==，则π1tan 1tan 41tan 2ααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 3．【答案】A【解析】因为222212cos 3cos sin 3tan 42sin 22sin cos 2tan 2αααααααα+++====，故选A ． 4．【答案】C【解析】sin(4530sin15co )cos(45s1)530=︒-︒-︒-︒-︒︒，sin 45cos30cos45sin30(cos45cos30sin 45sin30sin15cos1)5⇒=︒︒-︒︒-︒︒+︒︒-︒︒，1122sin15c 22212o 2s 5︒-⇒=-⨯-=︒，故本题选C ． 5．【答案】B【解析】∵π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ327sin 2cos 212sin 16362525x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ． 6．【答案】C【解析】由题意和图像可得，2A =，2πππ236ω⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ω=， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点2π,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭可得π2sin 226ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合2ϕπ<，可得π6ϕ=-，故函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5ππ2π2sin 22sin 2121263f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．7．【答案】C【解析】由题意知：()()ππsin 2sin 2266g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则πsin 2112g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，π22π2k ϕ∴=+，k ∈Z ，()πcos 26g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()g x 最小正周期2ππ2T ==，可知A 错误； 当11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π22π,3π6x +∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误；当2π3x =时，3π26π2x +=且3πcos 02=，所以2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当π6x =时，(π)(2)(3)f f f >->-且πcos 02=，所以π,02⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误．本题正确选项C ． 8．【答案】C【解析】方程有两个相异实根等价于2y m =与πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，当0πx ≤≤时，ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 由sin x 图象可知1212m ≤<，解得11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．本题正确选项C ． 9．【答案】C【解析】因为函数()sin())2si 3πn f x x x x j j j 骣琪=++=++琪桫为偶函数， 所以π2π3k ϕ+=（k 为奇数），排除A 和B ， 当6ϕ5π=-时，()2sin π2f x x 骣琪=-琪桫， 函数()f x 在区间[]()2π,π2πk k k Z +?上是增函数，故()f x 在区间0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，故选C ．10．【答案】C【解析】在[0,2π]内，当1cos 2x =时，π3x =或5π3x =，因为1cos 2x <， 所以由函数()cos [0,2π]y x x =∈的图像可知，不等式的解集是π5π,33骣琪琪桫，故选C ． 11．【答案】C 【解析】因为4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，所以πππ()42m m ωϕ-+=+∈Z ①， 又因为π,04⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，所以ππ()4n n ωϕ+=∈Z ②，②-①得，2()1(,)n m m n ω=--∈Z ，,m n ∈Z ，()n m ∴-∈Z ，所以ω可以表示为21()k k ω=-∈Z ，已知0ω>，所以ω是从1开始的奇数，对照选项，可以选C ． 12．【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2π2πω==， 又对任意的x ，都使得()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在π3x =上取得最小值，则2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π,3k k ϕ=+∈Z ，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π2π2π,3k x k k ≤+≤+∈Z ，解得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ， 则函数()y f x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是π3．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案【解析】由题意可得()tan570tan 180330tan30︒=︒⨯+︒=︒．14．【答案】2π3【解析】函数的最小正周期是2π2π33T ==，故填2π3． 15．【答案】(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由，可得，所以211132m m --≤≤+，即2113221132m m m m -≥-+-≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即510323032m m m m +≥++≥+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得或15m ≥-．所以实数的取值范围为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．16．【答案 【解析】由题得函数2213sin sin 1sin 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，，，当取最大值时，，即，可得2πα=-；当取最小值时，，即1sin 2β=，可得π6β=，那么()2πsin sin 3βα-==．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）()10πcm 3，()2π50cm 3⎛ ⎝⎭；（2）当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时， 面积最大，为2225cm 4． 【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为，∵π603α=︒=，，∴()10πcm 3l R α==弧长．()2110π1πππ10210sin 10cos 50cm 232663S S S ∆⎛=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎝⎭弓扇． （2）由，∴()302015l R R =-<<，从而()221115225302152224S l R R R R R R ⎛⎫=⋅⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．∴当半径15cm 2R =时，()1530315cm 2l =-⨯=，扇形面积的最大值是2225cm 4，这时12rad Rα==． ∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时，面积最大，为2225cm 4． 18．【答案】（1）见解析；（2）π，π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（1）填表和作图如下．（2）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 令2π224ππππ22k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得3ππππ88k x k -+≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．19．【答案】（1）117；（2）0． 【解析】（1）由题意知，3cos 5α=-，4sin 5α=，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-． （2）由题意知，(cos ,sin )Q ββ，则(cos ,sin )OQ ββ=．∵OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅=，∴34cos sin 055ββ-+=，即3cos 4sin 0ββ-=．20．【答案】（1）π；（2）(1,3-．【解析】（1）1()4cos sin 2f x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos sin 2x x x x x =-π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期是π．（2）令π23t x =-，π2π,33t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，(2sin t ⎤∈⎦，即(()f x ⎤∈⎦．由题意知332m m ⎧-≤⎪⎨+>⎪⎩，解得13m -<≤，即实数m 的取值范围是(1,3-．21．【答案】（1）32ω=；（2）单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）40π9． 【解析】（1）函数()22sin cos sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=++=+> ⎪⎝⎭， 其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=， 32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象． 由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+， 故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）在（2）的条件下，()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π3， 故()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有2个周期， ()g x t -在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有4个零点，设这4个零点分别为1x ，2x ，3x ，4x ， 由函数()g x 的图象特征可得124π29x x +=，344π4π293x x +=+，123440π9x x x x ∴+++=． 22．【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）[]0,1；（3）2a =或6a =-．【解析】（1）()313131cos cos sin sin cos cos2222222f x OA OB x x x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+= ⎪⎝⎭． （2）由（1）知，()cos 2f x x =， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ2,22x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，[]cos 20,1x ∴∈， 即()f x 的值域为[]0,1．（3）由（2）知：()[]2,2f x a a a +∈+，即[],2D a a =+， ①当21a +≤-，即3a ≤-时，()()()()2min 1222222g t g a a a =+=+++-=， 解得6a =-或0a =（舍）；②当12a a <-<+，即31a -<<-时，()()min 1511222g t g =-=--=-，不合题意； ③当1a ≥-时，()()2min 1222g t g a a a ==+-=，解得2a =或4a =-（舍）， 综上所述，2a =或6a =-．。

三角函数单元测试题一、选择题：每题4分，共32分1.若点P 在32π的终边上，且OP =2（O 为坐标原点），则点P 的坐标（ ） （A ）)3,1( （B ）)1,3(-（C ）)3,1(-- （D ）)3,1(- 2．4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值（ ）（A ）小于0 （B ）大于0 （C ）等于0 （D ）不存在3．25sin 20sin 65sin 70sin -= ( ) （A ）21 （B ）23 （C ）22 （D ）22- 4．在△ABC 中，若7:5:3C sin :B sin :A sin =，则这个三角形的最大内角为（ ）（A ） 120 （B ） 150 （C ） 90 （D ）60 5．在区间]2,0[π中，使x sin y =与x cos y =都单调递减的区间是（ ）（A ）]2,0[π（B ）],2[ππ （C ）]23,[ππ （D ）]2,23[ππ 6．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是（ ） A ．1813 B ．2213 C ．223 D ．61 7．有以下四种变换方式： ①向左平移4π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）②向左平移8π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变） ③把各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平移4π个单位长度， ④把各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位长度， 其中能将函数x sin y =的图像变为函数)4x 2sin(y π+=的图像的是（ ） （A ）①和④ （B ）①和③ （C ）②和④ （D ）②和③8．在△ABC 中， 45B ,2b ,x a ===，若△ABC 有两解，则的取值范围是（ ）（A ）)2(∞+ （B ）)2,0( （C ）)22,2( （D ）)2,2(二、填空题：每题4分，共24分9．已知43tan -=α，则__________cos 4sin cos 2sin 3=α-αα+α 10．函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若11．函数1x sin x 2cos )x (f ++=的最小值为_________，最大值为________12．已知函数)20,0,0( )sin(πϕωϕω<≤>>++=A b x A y 在同一周期内有最高点)1,12(π和最低点)3,127(-π，则此函数的解析式为________________________.13.设函数)0)(x 3cos()x (f π<ϕ<ϕ+=，若)x (f )x (f /+是奇函数，则ϕ=__________ 14．定义运算b *a 为：⎩⎨⎧>≤=)b a (b )b a (a b *a ，例如1*2=1，2*1=1，设函数x cos *x sin )x (f = 则函数)x (f 的最小正周期为_______，使0)x (f >成立的集合为___________________________三、解答题15（14分）已知函数)R x (x sin x cos x sin 2x cos )x (f 44∈--=（1）求函数)x (f 的最小正周期 （2）函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的值域.16（15分）已知53)4cos(=+πx ，且471217ππ<<x ， 求 ① x x sin cos +； ②xx x tan 1sin 22sin 2-+的值。

高三数学（理）一轮复习第五章三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制A 组1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α3．若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．B 组1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第________象限．6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．7．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．8．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．9．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值．第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A 组1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________.2．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.4．已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝______.5．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值．B 组1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.2． cos 10π3＝________.3．已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos 2α的值等于________．4．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝_________________.5．已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝___________________.6．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.7．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．8．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.9．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为________．10．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值．11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角．12．已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)．(1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)的值．第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质A 组1．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是．①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数2．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数④最小正周期为π2的偶函数3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为________．4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．B 组1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．.答案：3π22．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6)3．若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为__．4．(函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．6．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π6)＋28．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．10．已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )，向量b ＝(cos ωx,23)，其中ω>0，函数f (x )＝a ·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，求实数m 的取值范围．11．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为4，求m 的值．12．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx2＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函数 f (x )的最小值为0.(1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像A 组1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于________．3．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．4．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝712π；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，712π]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －23π)．5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．6．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．B 组1．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.5．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．6．定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．7．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．8．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y ＝sin(x －3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．9．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．10．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．1.解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)．答案：(－12，32)2.α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3.答案：三4.解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3}5.解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－43 3.答案：－43或－433 6.解：因为sin α＝24y ＝y(－3)2＋y 2，所以y 2＝5，当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153；当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153. 7.解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝22； 当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝22.答案：228.解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋α·R ＝612R 2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或49.解析：S ＝12|α|r 2＝12×23π×100＝1003π(cm 2)．答案：1003π cm 2答案：{56°，176°，296°}10.解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三11.解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |，∴sin α－cos α＝y r －x r ＝－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±1512.解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 313.解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π414.解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ，∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，∴r ＝－1＋k 2x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k 1＋k 2，又sin α＝25.∴－k 1＋k 2＝25，∴k ＝－2.答案：－215.解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝103π(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm 2)．15.解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α.∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4，当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝82＋2＝2 (cm)，∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．16.解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t＝－45，所以2sin α＋cos α＝65－45＝25.(2)设P (a ，3a )(a ≠0)是角β终边y ＝3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－2a ，此时sin β＝3a －2a＝－32；若a ＞0，则β是第一象限角，r ＝2a ，此时sin β＝3a 2a ＝32. 第二节1.解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－432.解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35.答案：－353.解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：354.解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95.答案：955.解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 36.解：由题意，得2sin αcos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713，④③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513.7.解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：958.解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－129.解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32.10.解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165 11.解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－1212.解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π413.解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.14.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－1215.解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34.16.解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，m min ＝－2.此时α－π3＝32π，即α＝116π.(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0.∴tan α＝－33.∴cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝12. 第三节1.解析：∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，y ＝－cos x 为偶函数，∴T ＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y 轴对称．答案：④2.解析：y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x ，∴T ＝π，且为奇函数3.解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.答案：24.解析：∵x ＝π12是对称轴，∴f (0)＝f (π6)，即cos0＝a sin π3＋cos π3，∴a ＝33.5.解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x ＝π3对称，所以有sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6(k 1∈Z )，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π(k 2∈Z )，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴f (x )图象的一个对称中心为(π12，0)．答案：(π12，0)6.解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin(2x ＋π3)，故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以单调递增区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．(2)令f (x )＝1，即sin(2x ＋π3)＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0,1,2，则π12＋(π＋π12)＋(2π＋π12)＝13π4.∴在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.7.解析：f (x )＝cos 2x 3＋sin 2x 3＝2sin(2x 3＋π4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝2π23＝3π，∴T 2＝3π2 8.解析：④中，∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴．解析：π4<x <π2，tan x >1，令tan 2x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x ＝2(t ＋1)2－t ＝－2(t ＋1t ＋2)≤－8，故填－8.9.解析：因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－π2. 答案：－π210.解析：由题意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34.答案：3411.解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x 0＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6.12.解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4m －A ＝0，解得A ＝m ＝2，又最小正周期为2πω＝π2，所以ω＝4，又直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin(4×π3＋φ)＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.答案：④13.解析：函数y ＝sin π2x 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥54T ＝5.答案：514.解析：∵y ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，且由函数y ＝f (x )与直线y ＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y ＝f (x )的周期T ＝π，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x＋π6)．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 15.解：(1)f (x )＝a ·b ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )·(cos ωx,23)＝sin2ωx ＋3(1＋cos2ωx )＝2sin(2ωx ＋π3)＋ 3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω＝2π，∴ω＝12， ∴f (x )＝2sin(x ＋π3)＋ 3.(2)∵x ∈[π6，π3]，∴x ＋π3∈[π2，2π3]，∴23≤f (x )≤2＋ 3.又∵|f (x )－m |<2，∴－2＋m <f (x )<2＋m .,若对任意x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋m ≤23，2＋m ≥2＋3，解得3≤m ≤2＋2 3. 16.解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]．(2)当x ∈[0，π6]时，∵f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4，解之得m ＝1，∴m 的值为1.17.解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx －1＋m ＝2sin(ωx ＋π6)－1＋m .依题意，函数f (x )的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23.∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1＋m .当x ∈[0，π]时，π6≤2x 3＋π6≤5π6，12≤sin(2x 3＋π6)≤1，∴f (x )的最小值为m .依题意，m ＝0.∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1.(2)由题意，得f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1＝1，∴sin(2C 3＋π6)＝1.而π6≤2C 3＋π6≤5π6，∴2C 3＋π6＝π2，解得C ＝π2.∴A ＋B ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )．第四节1.解析：函数的最小正周期为T ＝2π|a |，∴当|a |>1时，T <2π.当0<|a |<1时，T >2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．os 2A －sin A －sin A ＝0，解得sin A ＝－1±52.∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12. 2.解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)3.解析：因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，f (x )的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6.4.解析：据图象可得：A ＝3，T 2＝5π6－π3⇒T ＝π，故ω＝2，又由f (7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x ＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤5.解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π2010解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32，令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴4k π＋4π3≤x ≤4k π＋103π(k ∈Z )．即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．1.解析：由图可知，T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：910π2.解析：由图象知T ＝2(2π3－π6)＝π.∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π63.解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，故ω＝2. 又f (x )＝sin(2x ＋π4)∴g (x )＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .答案：向左平移π8个单位长度4.解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT ＝3.又(712π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23. 答案：235.解析：由y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π126.解析：由题意，知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)，其图象向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π2，k ∈Z .若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3(k ∈Z )，故m 的最小值为2π3.答案：2π37.解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]，即y ＝tan(ωx ＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋k π(k ∈Z )时，两图象重合，此时ω＝12－6k (k ∈Z )．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：128.解析：由于函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2，①正确；y ＝sin(x －3π2)＝cos x ，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x ＝5π4时，y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos 5π6＝－32，不等于函数的最值，故x ＝5π4不是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：29.解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin πx2的图象如图所示，y ＝kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0,1]上的图象恒在x 轴下方，原不等式成立．当k >0，kx ≤sin πx2时，在x ∈[0,1]上恒成立，k ≤1即可．故k ≤1时，x ∈[0,1]上恒有sin πx2≥kx .答案：k ≤110.解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)依题意，得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π4)＋2.由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )．故g (x )的单调增区间为[23k π＋π4，23k π＋7π12](k ∈Z )．11.解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2.由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.12.解：法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.法二：(1)同法一．(2)由(1)得 ，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π4)对x ∈R 恒成立．∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π4)＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π4)，即2sin3x cos(3m ＋π4)＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋π4)＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.。