组合数学作业Dilworth定理的证明

brower定理证明在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。

布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。

布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。

而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。

●定理表述不动点定理（fixed-point theorem）：对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。

不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。

常用的不动点定理有：(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。

该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。

(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。

不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。

因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。

数学定义设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。

如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。

其次，对A的任一元素x0，由递推关系：定义的级数(xn)必收敛于a。

这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。

沃利斯乘积证明沃利斯乘积是数学中的一个重要定理，它给出了一种无穷乘积的表达形式，可以表示任意实数的正弦函数。

首先，让我们来了解一下沃利斯乘积的表达形式。

沃利斯乘积可以定义为：π/2sin(x) = ∏ (2n/(2n+1)) * (2n/(2n-1))n=1其中，sin(x)表示角度为x的正弦函数，n表示乘积中的项数。

为了证明沃利斯乘积，我们可以利用欧拉公式：πie^ix = -1其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，e^ix表示一个复数，-1表示复数的一个特殊值。

首先，我们用欧拉公式将正弦函数表示为复指数函数：πi πie^(ix) = cos(x) + sin(x)i根据欧拉公式的性质，我们可以得到：πi πie^(ix) = 2cos(x/2) * (cos(x/2) + sin(x/2)i)接下来，我们来进行一些数学操作，以便将其转化为沃利斯乘积的形式。

首先，将右边的复数展开：πicos(x/2) + sin(x/2)i = cos(x/2) + sin(x/2)i将欧拉公式中的复数部分展开为三角函数的形式：πicos(x/2) = e^(ix/2) + e^(-ix/2)sin(x/2) = e^(ix/2) - e^(-ix/2)将上面两个式子代入右边的复数形式中：πicos(x/2) + sin(x/2)i = (e^(ix/2) + e^(-ix/2)) + (e^(ix/2) - e^(-ix/2))i= 2e^(ix/2) + 2e^(-ix/2)i继续化简右边的复数形式：2e^(ix/2) + 2e^(-ix/2)i = 2e^(ix/2)(1 + e^(-ix))i我们知道，欧拉公式中有一个特殊的关系：e^(-ix) = 1/e^(ix)将上面的关系代入右边的复数形式中：2e^(ix/2)(1 + 1/e^(ix))i接下来，我们将考虑沃利斯乘积中的每一项，即(2n/(2n+1)) * (2n/(2n-1))。

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高中数学定理证明模板一证明，已知a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R(1)a=2RsinA, b=2RsinB，c=2RsinC(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB +sinC)=2R(2)(a-b-c)/(sinA-sinB-sinC)=2R(sinA-sinB-sinC)/(sinA-sinB-sinC)=2R(3)前2个代入后提取2R就出来了，后面3个是正弦定理已知的所以由(1)(2)(3)得到(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=(a-b-c)/(sinA-sinB-sinC)=a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R高中数学定理证明模板二定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形正n边形的面积sn=pnrn/2p表示正n边形的周长正三角形面积√3a/4a表示边长如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4弧长计算公式：l=nπr/180扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2内公切线长=d-(r-r)外公切线长=d-(r+r)等腰三角形的两个底脚相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三条边都相等的三角形叫做等边三角形高中数学定理证明模板三数学公式抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x+h)* + k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi)(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

勾股定理的十六种证明方法【证法1】此主题相关图片如下：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)整理得到：a^2+b^2=c^2。

【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF= 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c^2.∵RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。

此主题相关图片如下：【证法3】以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.∵EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。

毕业论文-沃利斯公式的证明及其应用盐城师范学院毕业论文沃利斯公式的证明及其应用学生姓名学院数学科学学院专业数学与应用数学班级 10（2）班学号 10211255 指导教师韩诚2014年 5 月 25 日沃利斯公式的证明及其应用摘要Wallis公式在求Euler-Poisson积分和推导Stirling公式的过程中扮演了很重要的角色．近几年来，国内很多数学分析的教材都引入Wallis公式，但教材中关于其应用的论述很少．本文针对Wallis公式的证明并将Wallis公式进行两个简单推广，从数列极限计算、积分计算以及级数收敛性判断几个方面探讨Wallis公式的应用，为微积分教学提供有意义的素材和思路．【关键词】Wallis公式；极限；积分Proof and Its Applications of Wallis FormulaAbstractThe formula of Wallis plays an important role in the process to obtain the Euler- Poisson integral and the derivation of Stirling formula. In recent years, many domestic analysis mathematics textbooks into Wallis formula, but little about the applications of the teaching material. This paper proves that the little Wallis formula and the Wallis formula is two simple promotion, as well as the series convergence judgment application aspects of Wallis formula from the sequence limit calculation, integral calculation, to provide significant material and ideas for the teaching of calculus.[Key words] Wallis formula, limit, integral目录引言 (1)1 沃利斯公式的证明及推广 (1)1.1沃利斯公式的新证明 (1)1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程 (1)1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式 (3)1.2沃利斯公式的推广 (4)1.2.1含参数的沃利斯公式 (4)1.2.2含沃利斯公式的不等式 (5)2 沃利斯公式的应用 (7)2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用 (7)2.2 沃利斯公式在积分计算中的应用 (9)2.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用 (11)3 总结 (13)参考文献 (14)引 言近几年来，国内很多数学分析教材都引入Wallis 公式，关于其证明方法有很多种，一般都是利用积分sin d cos d n n n J x x x x ==⎰⎰证明的，本文将借助类比思维，分别利用根与系数关系的思维方法和含参量定积分来证明Wallis 公式．此外，教材中关于其应用论述的很少，这是为什么呢？因为很多可以应用Wallis 公式的“高地”被斯特林公式占领了．但本文搜集到一些不能应用斯特林公式却可以能应用Wallis 公式的例子．且Wallis 公式在推导斯特林公式中扮演很重要的角色，从加深理解Wallis 公式的角度探求其一些简单推广以及其在极限计算、积分计算和级数收敛判别方面的应用．1 沃利斯公式的证明及推广1.1沃利斯公式的新证明沃利斯公式[]1指的是2124(2)lim 2113(21)2n n n n π→∞⎛⎫⋅= ⎪+⋅-⎝⎭. 经过开平方后，则Wallis 公式可以写为22n n =现引入这样的数学记号：135(21)(21)!!n n ⋅⋅-=-，246(2)(2)!!n n ⋅⋅=，则Wallis公式又可以写成21(2)!!lim 21(21)!!2n n n n n π→∞⎛⎫== ⎪+-⎝⎭或.（1-1）1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程类比的思维是人们把个别问题解决后所得到的经验用来解决其他近似问题的一种类似联想的思维的方法，类比这个重要的数学思想方法，曾被波利亚称为科学发现的“伟大引路人”[2]，被17世纪德国著名天文学家和数学家开普勒视为“知道大自然一切秘密”的“导师”.在这我们也将采用类比思维.对于有限次代数方程20120n n b b x b x b x ++++=，00b ≠ 假如有n 个不同的根1,k 2,k 3,k ,n k ，那么左边的多项式就可以表示为k 线性因子乘积，即20121231111n n n x x x x b b x b x b x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 比较这个恒等式两边x 的同次幂的系数，就可以得到根和系数的关系. 特别是偶数次方程242012(1)0n n n a a x a x a x -+++-=有2n 个不相同的根1122,,,,,,n n αααααα---，则有242012(1)nn n a a x a x a x -+++-=2222022221231111n x x x x a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，我们比较二次项系数有1022212111n a a ααα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.根据幂级数展开式[]1，在0x ≠，则2468sin 13!5!7!9!x x x x x x =-+-++.利用无穷多项方程2468103!5!7!9!x x x x -+-++=.（1-2）由于方程（1-2）的根为：,2,3,4,5,6ππππππ±±±±±±，则246822222222221sin 1111113!5!7!9!(2)(3)()()n x x x x x x x x x x x n n πππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=--⨯--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏即221sin 1n x x x n ππ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∏.（1-3）因为221()n x n π∞=∑绝对收敛，所以这无穷乘积是绝对收敛的. 在（1-3）中令12x =，得22211(2)21(2)!!1lim lim 2(21)(21)2121(21)!!21t t t n n n n t n n n n t t π∞→∞→∞==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭⎝⎭∏∏, 沃利斯公式（1-1）得证.1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式引理1[]3 设20(,)sin cos d (,)m n J m n x x x m n π*=∈Z ⎰，则有11(,)(,2)(2,)n m J m n J m n J m n m n m n--=-=-++.定理1设10n I x x =⎰，n *∈N ，证明212n n n I I n --=+. 证明 令sin x t =，根据引理1得2222211sin cos d (,2)(2,2)sin cos d 22nn n n n I t t t J n J n t t t n n ππ---===-=++⎰⎰ sin t x =令2112200111222n n n n n n x x x x I n n n ------==+++⎰⎰. 由于04I x π==⎰，11013I x ==⎰，因此当2(1,2,)n m m ==时，即2212331(21)!!222644(22)!!2m m m m I m mm ππ---=⋅⋅⋅=++. 当21(0,1,2,)n m m =+=时，21222421(2)!!2321753(23)!!m m m m I m m m +-=⋅⋅⋅=+++. 则1(21)!!,(22)!!2(2)!!,(23)!!n m m I x x m m π-⎧⎪+⎪==⎨⎪⎪+⎩⎰ 2.2,1n m n m ==+ 另一方面，由定积分的保不等式性质知，当(0,1)x ∈时，有1112220m m xx xx x x +-<<⎰⎰⎰,从而得到(2)!!(21)!!(22)!!(23)!!(22)!12(21)!!m m m m m m π--<<+++， 从上式可得到22(2)!!122(2)!!122(21)21232(21)!!2121m m m m m m m m m m π⎛⎫⎛⎫++⋅⋅<<⋅⋅ ⎪ ⎪-++-++⎝⎭⎝⎭.在上式中，令2(2)!!1(21)!!21m m A m m ⎛⎫=⋅ ⎪-+⎝⎭，则 2212223221m m m m A m π++<<++. 由于2222limlim 12321m m m m m m →∞→∞++==++，因此根据迫敛性可知1lim 12m mA π→∞⋅=，因而lim 2m m A π→∞=⇒2(2)!!1lim (21)!!212m m m m π→∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭. Wallis 公式（1-1）得证. 1.2沃利斯公式的推广 1.2.1含参数的沃利斯公式对任意非负实数x 和正整数n ，则有2(2)(4)(2)1lim (1)(3)(21)21n x x n x x x n x n x →∞⎡⎤+++=⎢⎥++-+++⎣⎦1(1)xxI x I ++（1-4）其中20sin d x x I t tπ=⎰[4].证明 由分部积分法知，当2u ≥时，则有12200sin d sin d cos uu u I t t t t ππ-==-⎰⎰ 2(1)(1)u u u I u I -=---.因此有21u u u I I u--=. 于是2212312222n x x n x n x xI I n x n xx+-+-++=⋅+-++，211222221213n x x n x n xxI I n x n x x++++-++=⋅++-++， 从而212210n x n x n x I I I +++-+≤≤≤，即21212122121n x n x n x n xI I n xn x I I ++++-+++=≤≤++，令n →∞，利用夹逼定理并整理得到（1-4）式.注1 令0x =，可以得到著名的Wallis 公式 1.2.2含沃利斯公式的不等式关于Wallis公式(21)!!(2)!!n n nπ-的研究一直以来都受数学家的关注[5]，1956年Kazarinoff 给出了如下含Wallis 公式形式的不等式[6](21)!!(2)!!n n-<<本文将含Wallis 公式不等式推广为 当2K ≥时，有下列式子成立 12112K K nKK K nK---≤⋅≤,（1-5）或21211K KnK K K nK ≤⋅≤+++.（1-6）证明 如果1K=，式（1-5）显然成立.如果2K ≥，用数学归纳法证明，式（1-5）左边 当1n =时，显然成立.假设对式子（1-5）的左边对于正整数n 成立，则下面证明对于1n +同样成立，由归纳假设，只要证明(1)1(1)n K n K+-≤+, 即证明[][]1(1)1(1)k kn n K n K n++-≥+,亦即 1111(1)kn n n K ⎡⎤+-≥⎢⎥+⎣⎦. （1-7）根据伯努利不等式[7](1)1k x Kx +≥+ (1,10)x K K >-><或. 令1(1)x n K=-+，则1111111(1)1kn n n n K n n ⎡⎤++⎡⎤-≥-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. 所以式（1-7）成立.因此，对任意正整数n ，式子（1-5）的左边成立.下面证明式（1-5）的右边成立.当1n =时，要证明(1-5)的右边成立，只要证明1K K -≤即可，化简可知这个不等式成立的充要条件为2k K K ≥，又由于2K ≥时，有12(2)0k k K K K K --=-≥.因此，此时式（1-5）的右边成立 .假设式（1-5）的右边对于正整数n ，下面证明1n +同样成立，只要证明(1)1(1)n K n K +-≤+, 而此不等式成立的充要条件为[][][][](1)(1)1(1)1(1)1(1)kkn K K n K n K K n K +++-+-≤++-+,即[]{}[][]{}[]{}(1)1(1)(1)1(1)1(1)11kkn K n K n K n K n n K +-+++⋅+-≤+-+⋅+-+（1-8）但是，由Newton 二项式公式，式子（1-8）的右边不小于下面的式子：[]{}[][][]12(1)(1)1(1)1(1)1(1)12kk k K K n K n n K K n K n K ---⎧⎫+-+⋅+-++-++-⎨⎬⎩⎭[][][]11(1)(1)1()(1)1(1)12k k k K K n K n K n K nK n K +--⎡⎤≥+-+++-+++-⎢⎥⎣⎦[][][][]11(1)1()(1)1(1)(1)1k k k n K n K n K K nK n K +-≥+-+++-+-++-[][]1(1)1(1)(1)1k kn K n K n K +=+-++++-[]{}[](1)1(1)(1)1kn K n K n K =+-+++⋅+-.所以式子（1-8）成立.因此，对任意正整数n ,式子（1-5）的右边成立.2 沃利斯公式的应用2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用由于沃利斯公式和极限有关，所以在计算一些极限的问题可以通过沃利斯公式会很容易出来.例1 求极限135(21)lim246(2)n n n →∞⋅⋅-⋅⋅.解 利用沃利斯公式（1.3），可得135(21)lim246(2)n n n →∞⋅⋅⋅-=⋅⋅(21)!!lim (2)!!n n n →∞-(21)!!lim (2)!!n n n→∞⎛-= ⎝ (21)!!lim (2)!!n n n n→∞⎛-=⋅ ⎝00==.例2 设1)!!!!n n a n -=（n ∈N ），试证lim n n a →∞=lim nn a →∞=解 由于22221122n n a na n ++==>+， 21212121n n a n a n +-==>+，因此{}2n a ，{}21n a +是递增数列.根据沃利斯公式，则2lim n n a →∞=21lim n n a +→∞=.得证.例3 求极限268(24)lim 57(23)n n n →∞⎛⎫⋅+⎪⋅+⎝⎭.解 由沃利斯（Wallis ）公式的推广（1-4），则有2(2)(4)(2)1lim (1)(3)(21)21n x x n x x x n x n x →∞⎛⎫+++ ⎪++-+++⎝⎭2120sin d (1)sin d x x t tx t tππ+=+⎰⎰.令4x =则2(2)(4)(2)lim (1)(3)(21)n x x n x x x n x →∞⎛⎫+++ ⎪++-+⎝⎭268(24)lim 57(23)n n n →∞⎛⎫⋅+=⎪⋅+⎝⎭420520sin d lim(25)5sin d n t tn t tππ→∞=⋅+⋅⎰⎰9lim(25)128n n π→∞=⋅+=∞.例4 求极限2111lim 1925(21)n n →∞⎛⎫++++⎪+⎝⎭.解 因为1'22(arcsin )(1)x x -==-24611111()(1)()(1)(2)1222221()22!3!x x x --------=--+-+246231131351222!23!x x x ⋅⋅⋅=++++⋅⋅ 21(21)!!1(2)!!nn n x n ∞=-=+∑，(1,1)x ∈-.因此 201(21)!!arcsin (1)(2)!!nn n x x dx n ∞∞=-=+∑⎰211(21)!!(2)!!21n n n x x n n +∞=-=+⋅+∑（2-1）由于当1x =时，级数1(21)!!1(2)!!21n n n n ∞=-⋅+∑在1x =处收敛[8]（本文下面给予证明），又由于函数项级数M-检验法知，级数(1)在[]1,1-上一致收敛.在（2-1）中，令sin ()22x t t ππ=-≤≤，有211(21)!!sin sin (2)!!21n n n tt t n n +∞=-=+⋅+∑，（2-2）对（2-2）所在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取积分，并且由逐项积分公式，则有212220001(21)!!sin d sin d (2)!!(21)n n n tdt t t t t n n πππ∞+=-=+⋅+∑⎰⎰⎰， 221201(21)!!1sin d 8(2)!!(21)n n n t t n n ππ∞+=-=+⋅+∑⎰，又由沃利斯公式可知，2120(2)!!sin d (21)!!n n t t n π+=+⎰，于是21(21)!!(2)!!18(2)!!(21)(21)!!n n n n n n π∞=-=+⋅++∑2200111(21)(21)n n n n ∞∞===+=++∑∑ 即22111lim(1)925(21)8n n π→∞++++=+. 2.2 沃利斯公式在积分计算中的应用对于一些不易用积分法求出原函数的积分，但是利用沃利斯公式却可能很容易解决这些问题.例5[9]求积分2x I e dx +∞-=⎰.解 假设0x ≠，由2462224211112!3!1x x x x x e x x x+<++++=<+++==, 可知222111x x e x--<<+, 注意，前者仅对01x <<正确，而后者对任一0x >都对，由此可得22(1)nnx x e--< (01)x <<，221(1)nx ne x -<+ (0)x >. 取积分2211220(1)(1)nnx nx ndxx dx eex ∞∞---<<<+⎰⎰⎰⎰.但用替换u =可得2d nxe x I ∞-=⎰. 又122120246(22)(2)(1)sin d 135(21)nn n n x dx t t n π+⋅⋅-⋅-==⋅⋅+⎰⎰,即22220013(23)sin (1)24(22)2n n dx n tdt x n ππ∞-⋅-==+⋅-⎰⎰, 所以246(22)(2)13(23)135(21)24(22)2n n n I n n n π⋅⋅-⋅-<<⋅⋅⋅⋅+⋅-.平方得222222(24(22)(2))(13(23))(21)21(135(21))(21)21(24(21))4n n n n n n I n n n n n π⋅-⋅--⎛⎫<<⋅ ⎪+⋅⋅-+-⋅-⎝⎭.由沃利斯公式得22(24(22)(2))lim (135(21))(21)2n n n n n π→∞⋅-=⋅⋅-+. 可知，当n →∞时2112222I ππ⋅≤≤⋅, 即24I π=.因此2d xe x ∞-=⎰例6 求10100sin d J x x x π=⎰的值.解 102100sin d J x x ππ=⎰9753108644ππ=⋅⋅⋅⋅⋅23152560π=. 例7 求积分35221(54)d x x x x -+-⎰的值.解 3355222211(54)d 9(2)d x x x x x x x --⎡⎤+-=--⎣⎦⎰⎰ 令23sin x θ-=,则3cos d dx θ=.原式32222(23sin )(99sin )(3cos d )ππθθθθ-=+-⎰322(23sin )27cos 3cos d ππθθθθ-=+⋅⋅⎰42281(23sin )cos d ππθθθ-=+⎰442222162cos d 243cos sin d ππππθθθθθ--=+⎰⎰4201622cos d 0πθθ=⋅+⎰3!!3244!!2π=⋅⋅2434π=. 2.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用对于一些级数收敛性的判别问题，文献[10]指出若利用沃利斯公式可能会起到事半功倍的效果.例8 判别正项级数1(21)!!(2)!!sn n n ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑，（s R ∈）的敛散性. 证 由于通项(21)!!(2)!!sn n u n ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦含有双阶乘的运算，原则上想到运用比式判别法，但是由于1lim1n n nu u +→∞=，因此比式判别法失效.若运用拉贝判别法，由于122lim (1)lim 121s nn n n a n n n a n →∞→∞+⎡⎤+⎛⎫⋅-=⋅-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦1lim 11212n s sn n n ο→∞⎡⎤⎛⎫=⋅++-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，所以当12s>时，即2s >时收敛，当2s <时则发散，但当2p =时拉贝判别法则无法进行判别.但如果利用沃利斯公式，不仅对于2s >和2s <时的情况可以判别，而且对2s =时的情况也能判别.比如： 由沃利斯公式得12(21)!!1()(2)!!21n n n n nππ-⋅⋅→∞+.则正项级数1(21)!!(2)!!sn n n ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑与正项级数121sn n∞=∑的敛散性相同.由上分析可得正项级数1(21)!!(2)!!sn n n ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑当2s >时收敛，当2s ≤时发散 . 例9 二项式级数1(1)(1)(1)1!mnn m m m n x x n ∞=--++=+∑当1x =，10m -<<时条件收敛 .证 令01u =，n u 表示二项式级数在1x =时的通项，则 ()(1)1(1)(1,2,3)!nn m m m n u n n ++-=-=，故此二项式级数是一交错级数，且1n n u u +>(0,1,2)n =， 由于01m <<，则必存在两个正整数K 和J ，使11K m J K-≤≤， 再结合沃利斯公式的推论中式子（1-5）可得111(1)1!n K K K n K K K u n ---⎛⎫++- ⎪⎝⎭≤12112K K nK K KnK---=⋅ ≤即lim 0n n u →∞=，由Leibniz 判别法可知级数0n n u ∞=∑收敛.又11111!n n J J J u n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 沃利斯公式推广中公式(1-6)得11(1)12n J n J u J JnJ+-+≥⋅ 1211121J J nJ J J nJ nJ +++⎡⎤=⋅⋅⎢⎥+⎣⎦ 212J n≥>.再由调和级数11n n ∞=∑发散可知级数1n n u ∞=∑发散.所以当1x =，10m -<<时二项式级数条件收敛.3 总 结本文针对沃利斯公式的应用进行研究，给出了沃利斯公式在求某些极限计算、积分计算、级数收敛的简便之处.并且将沃利斯公式进行简单的推广，在证明某些级数收敛性问题时，运用达朗贝尔法与拉贝判别法时会失效，但运用沃利斯公式会很简单有效的解决这类问题，此外我们知道在有关二项式级数在收敛区间端点的收敛性是一个较为困难的问题，有的教材对此置之不理，有的则要借助于几何级数来解决，本文利用对沃利斯公式的推广能有效的解决一些此类型的问题.当然还有更多问题值得我们探讨，例如对含参数的沃利斯公式的更多应用以及含沃利斯公式的双边不等式的推广可以给出更为精确的结果，以及沃利斯公式在二项式2n n C 的上下界的研究等，这些问题将另文研究.参考文献[1] 华东师范大学数学系．数学分析上册（第四版）．北京：高等教育出版社，2001． [2] 屈芝莲.Wallis 公式新证明.科学技术与工程,2011,1:549-550.[3] Mikhail Kovalyov. Elementary Combinatorial-Probabilistic Proof of the WallisFormulas. Journal of Mathematics and Statistics,2009,5:408-409.[4] 李建军.一种含参数的Wallis 公式与Stirlin g 公式.数学理论与应用,2008,3:52-53.[5] 赵德钧.关于含Wallis 公式的双边不等式.数学的实践与认识，2004,34(7):167-168.[6] D.k Kazarinoff. On Wallis’ formula . Edinburgh Math Notes,1956,40:19-21. [7] 张文亮.一个不等式的探讨.2004,3:19-21. [8] JeffreyH.Wallis’formulafor.Methods of MathematicalPhysics,1988,3:468-467.[9] 王振芳,陈慧琴.沃利斯(Wallis )公式及其应用.山西大同大学学报,2011,10:5-6.[10] 张国铭.Wallis 公式的几个应用.高等数学研究,2008,9:37-40.。

dilworth定理证明及应用
dilworth定理是数学中一个有趣的定理，它可以证明某种特定的集合的大小可以表示为另外的集合的总和。

在抽象代数和图论中，它有广泛的应用，我们可以使用它解决各种有趣的问题，比如说用它来确定给定图的最小的染色数量。

在这种情况下，达沃夫定理可以利用乘减数理论划分图的集合，从而得到最少的染色数。

此外，达沃夫定理还可以拓展到有向图和加权图上，我们可以使用它来确定最佳的路径路线，并为节点或边分配权重，以便最后定位最短路径，因为达沃夫定理的有效性，我们可以用它来解决非常复杂的路由问题，这非常有用。

此外，达沃夫定理也可用于解决多重性能问题，比如可以用它找出一个系统中影响性能最小的子集，这对寻求最佳性能非常有用。

总之，达沃夫定理是数学中一种极为重要的定理，它能够解决图论和抽象代数中很多有趣的问题，其应用方法还可以拓展到有向图，多重性能测试等方面来提升性能，因此，达沃夫定理非常重要，有着广泛的应用前景。

牛顿—莱布尼茨公式● 前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。

公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。

证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。

所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)● 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间∆x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。

由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i =f(εi ) ∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即： 性质1：证明⎰bac dx = C(b-a)，其中C 为常数.几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K1021110()lim ()lim (...)lim ()()nb i i n n a n n i n n f x dx f xc x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰()()()()()()()()0()()()lim 0F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x ''=='''∴=-=-=+∆-'∴==1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==∆∑⎰即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.即相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x 轴上方），一个小于0(在x 轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。

牛顿三大定理牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。

这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。

取BE中点P,BC 中点R,PN∩CE=QR,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。

RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线故牛顿定理1成立牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。

注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。

即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S △BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。

证毕。

牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

证明设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI ’因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故 AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.。

刘维尔定理和鲁歇定理是代数学中的两个重要定理，它们在证明代数基本定理中起着至关重要的作用。

以下就这两个定理的证明过程进行详细介绍。

一、刘维尔定理的证明1.1 定理表述：对于任意次数大于1的复系数多项式，存在至少一个复数根。

1.2 证明思路：我们可以通过数学归纳法来证明刘维尔定理。

当多项式次数为1时，其根即为多项式的系数比。

假设对于次数为n-1的多项式，定理成立，即存在复数根。

现在，来证明对于次数为n的多项式也存在复数根。

1.3 证明过程：设多项式为f(x)，次数为n，如果f(x)有根，即存在复数a，使得f(a)=0。

那么我们可以将f(x)表示为f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)是次数为n-1的多项式。

根据数学归纳法的假设，g(x)存在复数根，即存在复数b，使得g(b)=0。

f(x)也存在复数根，刘维尔定理得证。

1.4 总结：通过数学归纳法的证明，我们可以得出刘维尔定理成立的结论。

这个定理为证明代数基本定理奠定了重要的基础。

二、鲁歇定理的证明2.1 定理表述：如果多项式的所有系数都是实数，则存在实数或复数根。

2.2 证明思路：鲁歇定理是一个重要的代数学定理，它为证明代数基本定理提供了重要的依据。

证明思路是通过复系数多项式的实部和虚部进行分离，并通过构造新的实系数多项式来证明定理。

2.3 证明过程：假设f(x)为一个复系数多项式，其所有系数都是实数。

我们将f(x)表示为f(x)=g(x)+ih(x)，其中g(x)和h(x)分别为f(x)的实部和虚部。

现在，我们构造一个新的实系数多项式F(x)=g(x)^2+h(x)^2，不难验证F(x)存在实数或复数根。

根据鲁歇定理，原复系数多项式f(x)也存在实数或复数根。

2.4 总结：通过构造新的实系数多项式，我们成功地证明了鲁歇定理。

这个定理为证明代数基本定理提供了重要的工具。

三、代数基本定理的证明3.1 定理表述：任何次数大于1的复系数多项式都有至少一个复数根。