复变函数与积分变换A卷(月)

第一部分 选择题 (共40分)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ） A.arctan12 B.-arctan 12 C.π-arctan 12 D. π+arctan 122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线 3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++ B.2πi n f a !() C.2πif a n ()() D.2πi n f a n !()() 9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0B.2πiC.2πD.-2π11.设函数f z ed z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+∞ B.|z|<+∞ C.0<|z|<1D.|z|<114.z=π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点D.本性奇点15.z=-1是函数cot ()πzz +14的（ ） A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点16.幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ） A.0B.1C.2D.+∞17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()018.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 19.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|>12B.|z+1|<12 C.|z|>12D.|z|<1220.下列映射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+ D.w=z i z i44+-21.复数z=4+48i 的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= . 23.设z=e 2+i ，则argz= . 24.f(z)=z 2的可导处为 . 25.方程lnz=π3i 的解为 . 26.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰.27.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.28.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 29.幂级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 .30.函数f(z)=1111115z z z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=z zz dz C+⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2. 33.试求函数f(z)=e d z-⎰ζζ2在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.34.计算积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。

上海海事大学试卷2013—2014学年第一学期期末考试《复变函数与积分变换》（A 卷）班级学号姓名总分一、填空题（共10题，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上 1． 复平面中1Rez 2=所表示的平面曲线为___________.2．方程e 10z --=的解z=________________________________.3． -1的三次根是_____________________________________________. 4． 3223()33,f z x x yi xy y i z x yi =+--=+其中，则()f z '=______________________. 5． 2124z dz z z ==++⎰Ñ________________. 6． 0z ie dz π--=⎰________________. 7． 设C 为正向圆周|ζ|=2，c sin 3(z)d -zf πζζ=⎰Ñ，其中|z|<2，则(1)f '=_______________. 8． 设100i)(1z +=，则Imz ＝___________________________.9． 已知函数[()](),[()]f t F tf t ω==则F F _________.10.若12120,0;0,0;()()()()=1,0,,0,t t t f t f t f t f t t e t -<<⎧⎧==*⎨⎨≥≥⎩⎩则_____________. 二、计算下列积分（共2题，其中第1题8分，第2题12分，共20分） 1.(1)d cz z -⎰，其中积分路径C 为从点0到点1+i 的直线段.2．dz a z e c 22z⎰+,其中c:｜z ｜=b 正向，且b>｜a ｜.三、（10分）将函数)2)(1(1--z z 分别在区域0?|z ?1|?1?1?|z ?2|???内展开为洛朗级数 四、求下列积分变换（共2题，其中第1题8分，第2题12分，共20分）--------------------------------------------------------------------------------------装订线1.利用定义求函数()tf t e -=的Fourier 变换2.求22233()(1)(3)s s F s s s ++=++的Laplace 逆变换 五、（10分）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题六、（10分）利用留数方法计算()22022d ,0x x a x a +∞>+⎰。

浙江理工大学2009 —2010 学年第 一 学期 《复变函数与积分变换 B 》期末试卷（ A ）卷班级： 学号： 姓名：一、填空题（10⨯3=30分） 1. 设21()1f z z =+，则()f z 的孤立奇点有__________.2. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.3. R es(,0)____z ne z=.4. 函数21()1f z z=+的幂级数展开式为__________5. 设:||1C z =，则(1)___Cz dz -=⎰6． 函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.7． 33i -=___________________. 8． 若已知222211()(1)(1)f z x iy x yx y=++-++，则其关于变量z 的表达式为__________。

9．40cos z zdz π=⎰___________________________．10. 单位脉冲函数()t δ的拉氏变换F(s)为___________________． 二、选择题(5⨯4=20分)1、下列命题正确的是（ ）A ．i<2i B. ____1z i z i-= C.12z z +12||||z z =+ D.零的幅角为零2、下列积分中，其积分值不为零的是（ ）A.23z z dz z =-⎰B.1sin z z dzz=⎰C.51z z e dzz=⎰D.2z 1zdz3z =-⎰3、z=0 为函数f(z)=2ze 的（ ）。

A.一级极点B.可去奇点C.本性奇点D.非孤立奇点 4、设21()2z f z z z-=+,则Res[f(z),0]=( )。

A.-12B.32C.12D. -325、()(1)n ich z n-∑的收敛半径为（ ）。

A. 1B. 2C. 0D. ∞三、计算题（50分） 1. 设1()(1)(2)f z z z =--，求()f z 在{:0||1}D z z =<<内的罗朗展式.（5分）2.计算下列积分。

一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。

上海海洋大学试卷姓名： 学号： 专业班名： 一、填空题（每空3分，共30分） 1、复数iii z ---=131的实部=)Re(z 。

2、设31i z +=，则z 的指数形式为______________________。

3、设),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=处可导，则),(y x u 、),(y x v 满足的柯西-黎曼条件为 ，且=)(/z f _____________________。

4、设,1)0(,1)0(/i f f +==则=-→zz f z 1)(lim_______。

5、=+-)43(i Ln __________________。

6、设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，则),(y x v 的共轭调和函数为__________________。

7、∑∞=+0)1(n n nz i 的收敛半径为__________________。

8、将22)1(1z +展开成z 的幂级数为 。

9、设5cos 1)(z zz f -=，则=]0),([Re z f s 。

二、单项选择题 (每小题3分，共24分)1、设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=则=-)(21z z f （ ）A ）i 44--B ）i 44+C ）i 44-D ）i 44+-2、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，则实数=a （ ）A ）0B ）1C ）2D ）2- 3、设22)(iy x z f +=，则=+)1(/i f （ ）A ）2B ）i 2C ）i +1D ）i 22+ 4、设C 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰dz iyx C)(2（ ）A ）i 6561- B ）i 6561+- C ）i 6561-- D ）i 6561+ 5、设C 为不经过点1和1-的正向简单闭曲线，则积分dz z z zC ⎰+-2)1)(1(为（ ）A ）i 2π B ）i 2π- C ）0 D ）前三个选项都有可能 6、设),2,1(4)1( =++-=n n nin n α，则n n α∞→lim （ ） A ）等于0 B ）等于1 C ）等于i D ）不存在 7、设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，则m=（ ）A ）1B ）2C ）3D ）48、设函数5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s （ ） A ）21- B ）61- C ）241- D ）1201-三、（8分）计算从i -=α到i =β的积分dz z C⎰的值，其中C 为：1） 线段αβ（3分）；2）左半平面中以原点为中心的单位半圆（5分）。

2007～2008学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2007年11月26日 考试时间: 晚上7:00~9:30题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、填空题 (每空2分，共22分) 1．复数ii+-12的模为 ，辐角主值为 ． 2．函数22)(x i y z f -=在何处可导？ ， 何处解析？ ．3．2)3(Ln i +的值为 ． 4．函数iz i z z f ++-=)1(1)(2在0=z 点展开成泰勒(Taylor)级数的收敛半径为 ． 5．0=z 为函数2zzz f cos 1e )(-=的何种类型的奇点？ ．6．积分z z z zz d )2(sin 11||⎰=--的值为 ．7．映射z z z f 2)(2+=在i z -=处的伸缩率为 ， 旋转角为 ．8．函数t t f 2cos 21)(+=的Fourier 变换为 ．得 分 评卷人二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=--2||2d )1(1e z z z z z2．⎰=2||12d 1sine z zz zz3．⎰-2π2cos d 05θθ得 分 评卷人4．x x xx d 2sin 0⎰∞++12三、(10分)已知y x a y x y x u 334),(+=，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件0)1(=f ．得 分 评卷人四、(12分)将函数iz i z iz f ++--=)1(1)(2分别在 0=z 和1=z 处展开为洛朗(Laurent)级数．得 分 评卷人五、(8分)求区域}0Re ,2πIm 2π:{<<<-=z z z D 在映射iiw z z +-=e e 下的像．六、(10分)求把区域}0Re ,1|1|:{>>-=z z z D映射到单位圆内部的保形映射．得 分 评卷人得 分 评卷人七、(12分)利用Laplace 变换求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧='='-=-'-'===-''-''.1)0()0(,sin )()()(,0)0()0(,e )()()(y x t t x t y t x y x t t y t y t x t八、( 6 分)设函数)(z f 在2||<z 内解析，且满足2|2)(|<-z f ，证明：0d )(4)()(4)(1||2=-'-''⎰=z z f z f z f z f z ．得 分 评卷人得 分 评卷人。

数信学院2008—2009学年第2学期期末考试本科班 2007级信息与计算科学专业《复变函数与积分变换》 A卷

学生姓名： 班级： 考试120分钟、考试 闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设iz43，则3Rez ( ) A．-7 B．9 C．16 D．25 2．设n为整数，则)(ieLn=（ ）

A．1-2πi B．)22(πnπi C．1+)iπ(nπ22 D．1+iπ(nπ)22 3．设20t,则下列方程中表示圆周的是( ) A．tiz)1( B．iezit2

C．titz D．titz3sincos2 4．下列区域为有界单连通区域的是( ) A．1||0iz B．zIm0

C．12|3||3|zz D．43arg0z 5．若ivuzf)(是复平面上的解析函数，则)(zf=( ) A．yuixu B．xviyv C．xvixu D．xviyv

6．设)(zf=0z,ze0z,A1z在整个复平面上解析，则常数A=( ) A．0 B．e-1 C．1 D．e 7．设)(zf和)(zg在有向光滑曲线C上连续，则下列式子错误．．的是( )

A．zCdzzfzgdzzfzg)()()()( B．CCdzzfdzzf,)()( 其中C－为C的反向曲线 C．CCCdzzgdzzfdzzgzf)()())()(( D．CCdzzfdzzf)(3)(3

8．点0z是函数)1(sin)1()(2zzzezfz的（ ） A．可去奇点 B．一阶极点 C．二阶极点 D．本性奇点 9．设D是单连通区域，C是D内的正向简单闭曲线，则对D内的任意解析函数f(z)恒有( )

《复变函数与积分变换》试卷及答案一、填空题（本题共8小题，每小题2分，满分16分） 二、（1）)ln(-1i +的虚部是π43 三、（2）映射zw 1=把z 平面上的曲线122=+y x 映成w 平面上的曲线是 122=+v u 四、（3）设)nxy x (i y x my )z (f 23233++-=解析函数，则常数=m 1 ，=n -3 五、（4）沿x y =计算积分()i dz iy xi 6561102+-=+⎰+六、（5）若)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞=+-01n nn )i z (c ，则该级数的收敛半径为2七、（6）设()z f 在10<<z 内解析，且()10=→z zf lim z ，则 ()[]=0,z f s Re i π2八、（7）设⎩⎨⎧≥<=,t ,,t ,)t (f 01001 ⎩⎨⎧≥<=,0,sin ,0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f ⎩⎨⎧<≥-0001t t t cos 九、（8）设t cos e )t (f t=，则)t (f 的Laplace 变换为[]=)t (f 2212+--s s s 二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分。

） （1）2z )z (f =在0=z 处（B ）（A ）解析 （B ）可导（C ）不可导 （D ）既不解析也不可导 （2）下列命题中正确的是（ D ）（A ）设y ,x ,iy x z +=都是实数，则()1≤+iy x sin （B ）设)z (g )z z ()z (f m--=0，)z (g 在点0z 解析，m 为自然数，则0z 为()z f 的m 级极点（C ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （D ）幂级数的和函数在收敛圆内解析（3）级数∑∞=-+02))1(1(n n n in（A ）（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定（4）设0=z 是zsin z e z421-的 m 级极点，则=m （ C ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（5）设)()(0t t t f -=δ，则的)t (f 的Fourier 变换[]=)(t f （ D ）。