2 2 答案：5，3
[典例] 点个数为( A．3 C．7
考点一 判断函数零点的个数(师生共研) 2 x ＋x－2，x≤0 (导学号 14576152)(1)函数 f(x)＝ 的零 － 1 ＋ ln x ， x >0
) B．2 D．0
(2)若偶函数 f(x)满足 f(x－1)＝f(x＋1)， 且在 x∈[0,1]时， f(x)＝x2， 则关于 x 的方程 f(x)＝ A．1 C．3
Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
(x1,0)， (x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
3.二分法 对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通 过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 使区间的两个端 点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
解析：由 f(x＋2)＝f(x)知函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，又 f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示． 直线 y＝ax＋2a 过定点(－2,0)， 在区间[－2,3]上方程 ax＋2a－f(x) ＝0 恰有四个不相等的实数根，等价于直线 y＝ax＋2a 与函数 y＝f(x) 的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数 a 满足不等式 3a＋ 2 2 2a>2，且 a＋2a<2，即 <a< . 5 3
1.若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并 且有 f(a)· f(b)＜0，则函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内一定有零点． 2．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条 曲线，f(a)· f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上只有一个零点．
解析：B [由已知得 f′(x)＝ex＋3＞0，所以 f(x)在 R 上单调递 1 增， 又 f(－1)＝e－3<0， f(0)＝1>0， 因此函数 f(x)有且只有一个零点． ]
4．(导学号 14576150)用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零 点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003 f(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060
1 x 10 在0， 上的根的个数是( 3 10
)
B．2 D．4
[解析]
(1)法一：由 f(x)＝0
x≤0 得 2 x ＋x－2＝0
x>0 或 －1＋ln
x＝0
，
解得 x＝－2，或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点．
解析：B [易知 f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数． 而 f(－2)＝2 2－6<0，f(－1)＝2 1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－
－ －
1)· f(0)<0，故函数 f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选 B.]
3．(导学号 14576149)(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”， 错误的打“×”． (1) 函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)．( )
(2) 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 一定有 f(a)· f(b)<0.( ) )
(3)函数 y＝2sin x－1 的零点有无数多个．(
[小题查验] 1．(导学号 14576147)下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能 用二分法求零点的是( )
解析：C [A，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选 C.]
2．(导学号 14576148)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间 是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
(3)零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 条曲线；② f(a)· f(b)<0 ；则函数 y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存 在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
第8节 函数与方程
最新考纲 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判 断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)， 把使 点． (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 函数 y＝f(x)有 零点 . x 轴 有交点⇔ f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
据此数据， 可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(保留三位有 效数字)为 ________ .
解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近 似值保留三位有效数字，故零点近似值为 1.56.
答案：1.56
5．(导学号 14576151)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程 ax＋2a － f(x) ＝ 0 恰 有四个 不相 等的实 数根 ，则实数 a 的取 值范围 是 ________ .
(4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 在 b2 － 4ac<0 时 没 有 零 点．( )
(5) 若函数 f(x)在[a，b]上单调且 f(a)· f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b] 上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
