高中数学第二章函数3函数的单调性(一)学案北师大版必修1

2018版高中数学第二章函数2.3 函数的单调性学案北师大版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.3 函数的单调性学案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.3 函数的单调性1．理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点）2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点）3．会求函数的单调区间,理解函数单调性的简单应用．(易混点)[基础·初探]教材整理 1 函数在区间上增加(减少)的定义阅读教材P36~P37第二自然段结束,完成下列问题.在函数f(x)定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1〈x2时都有f（x1）〈 f(x2)f(x）在区间A上是增加的(递增的）都有f(x1）>f（x2)f(x)在区间A上是减少的（递减的）如图2。

3.1，气温θ关于时间t的函数，记为θ＝f(t),观察这个函数的图像，说出气温在哪些时间段内是递增的或是递减的？图2。

3。

1【解】在时间段［0,4]及[14,24］内气温θ随时间t是递减的，在时间段[4,14]内气温θ随时间t是递增的．教材整理 2 单调区间、单调性和单调函数的概念阅读教材P37第三自然段开始~P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题．1．函数的单调区间如果y＝f(x）在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间．在单调区间上,如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．2．函数的单调性如果函数y＝f（x）在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y＝f(x）在这个子集上具有单调性．3．单调函数如果函数y＝f（x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数．判断（正确的打“√",错误的打“×”）（1)在区间A上存在x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f(x2），则f(x）在区间A上是增加的．（)(2）若函数y＝f(x)在区间A上是减少的，当x1，x2∈A，且f（x1）＜f(x2)时，有x1＞x2.( )（3)函数f(x)＝错误!在区间(－∞，0），(0，＋∞)上都是减少的,则f（x）为减函数．( )【答案】(1）×（2)√（3)×教材整理 3 函数最大值、最小值的概念阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题．1．函数最大值的概念一般地，对于函数y＝f(x),其定义域为D，如果存在x0∈D,f(x0）＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值，即当x＝x0时，f（x0)是函数y＝f(x）的最大值,记作y＝f(x0)．max2．函数最小值的概念一般地，对于函数y＝f(x），其定义域为D,如果存在x0∈D，f（x0)＝M，使得对于任意的x∈D,都有f（x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x）的最小值，即当x＝x时，f(x0）是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f（x0）．函数f（x)在[－2,2]上的图像如图2­3­2所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ）图2。

2.3 函数的单调性（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f (x) = x的图象：函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x …–4–3–2–1f (x)=x216 9 4 1 0师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由– 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”.从定性分析到定量分析.O xyyx11O1 2 3 4 …1 4 9 16 …x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数（increasingfunction）；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasingfunction）.师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f(x) = x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.xx1 x2Oyf (x1) f (x2)y=f (x)xx1 x2Oyf (x1)f (x2)y=f (x)产率与生产线上工人数量间的关系.（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. （3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例 2 物理学中的玻意耳定律kp V =(k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.训练题 1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2） 增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20]. （3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数. 师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评. 例 2 分析：按题意，只要证明函数kp V =在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V 1＜V 2，即 21121212()()V V k k p V p V k V V VV --=-=. 由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0. 由V 1＜V 2，得V 2 – V 1＞0. 又k ＞0，于是 p (V 1) – p (V 2)＞0， 即 p (V 1) ＞p (V 2).所以，函数kp V=，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2 生：自主完成强化记题步骤与格式.训练题2 证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，因为f (x 1) – f (x 2) =2 (x 2 –x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.归纳 小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后 练习1.3第一课时 习案学生独立完成巩固知识 培养能力备选例题：例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. 【证明】设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0. ∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数. 【证明】设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1) – f (x 2) =21121211x xx x x x --=，由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数.。

§3函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：阅读与思考♦ 1、阅读教材♦P36的实例分析及思考交流止。

20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦2、思考问题（1）从P36图2-15 （全国从20120421-20120519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？ （2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思保持量（百分数）xxx1(4) y x=吗？在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间呈下降趋势当x的值增大时，函数值y反而减小如何用x与 f(x)来描述上升的图象？单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调增区间和单调减区间统称为单调区间.练一练1例３、求证：函数在区间上是单调增函数．()1f x x=--()0-∞，两个实数，且证明：设是（0，+∞）上的任意．21,x x 21x x <12121221121111()()(1)(1)x x f x f x x x x x x x --=-----=-=则1212120,0,()()x x x x f x f x -<>∴<()1()10f x x=--+∞故在区间，上是单调增函数．）上是增函数。

§3函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：阅读与思考♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。

20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58. 2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后33.7%2天后27.8%6天后25.4%一个月后21.1%……艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间呈下降趋势当x的值增大时，函数值y反而减小如何用x与 f(x)来描述上升的图象？单调区间如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.小结§4.1 二次函数的图像教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用；领会二次函数图像移动的方法教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用教学难点：领会二次函数图像移动的方法教学方法：逐层推进教学过程：一．复习引入说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点(1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x-2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k二．问题探索 探索问题1：2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; 2y x =; 22y x =; 212y x = 观察发现1:１.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到. ２.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上，a<0开口向下.3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一：下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1).21()4f x x =; 21()2f x x =; 21()3f x x =-; 2()3f x x =- 探索问题2：2(0)y ax a =≠ 和 2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像：22y x = ； 22(1)y x =+； 22(1)3y x =+-观察发现2：二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小； h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。

高中数学第二章函数2.3 函数的单调性教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.3 函数的单调性教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章函数2.3 函数的单调性教案1 北师大版必修1的全部内容。

函数的单调性本节教材分析本节内容,正是初中有关内容的深化和提高.给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法,最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了.三维目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小)的规律,由此得出增(减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛.2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学习函数的紧迫感.教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学建议：本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性。

函数的单调性 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第3节《函数的单调性》的内容，函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势； 在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征 ，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1） 使学生理解函数单调性的概念， 能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2） 通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1） 通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2） 通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。 （二）重点、难点 重点：函数单调性的概念: 为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为： 作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？→ 在这种变化趋势下， x与函数值y是如何相互影响的？→你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？ 每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。