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高中数学必修一函数的单调性 (共17张PPT)

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北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)

北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)

答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.

人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件

人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件

例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是 增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求 实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取 ，且 ；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间 利用定义确定或证明函数 在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置： 课本P39 A组第1、2、3题 课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ； 例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性 思考2：函数
的单调区间是什么？

3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．

新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt

新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt

【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．

函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT

函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.

函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件

函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件

第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)

人教高中数学A版必修一课件 第3章 第1课时 函数的单调性


第三章 函数的概念与性质
求函数的单调区间 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单调 区间． 【解】 y＝－x2＋2|x|＋3＝－ －（ （xx－ ＋11） ）22＋ ＋44， ，xx≥ <00. ，函数图象 如图所示．
第三章 函数的概念与性质
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1， ＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0， 1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：选 D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
第三章 函数的概念与性质
2．设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调增区间，且 x1∈(a，b)，x2
∈(c，d)，x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( )
函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1，x2 的三个特征 ①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代 替一般； ②有大小：一般令 x1<x2； ③同区间：x1 和 x2 属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数．

函数的单调性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

有f（x）≤f（x0） （f（x）≥f（x0））成立，也就是说，函数y＝f（x）的图象不能位于直线y＝ f（x0）的上（下）方.
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）
至少有一个交点.
高中数学
示例
必修第一册
配套江苏版教材
1 + 2 +
＝
1 + 2 +
则f（x1）-f（x2）＝
1+
−
1 +
- 1+
−
2 +
＝
− −
− 2 −1
＝
1 + 2 +
1 + 2 +
.
∵ a>b>0，x2>x1>-b，∴ a-b>0，x2-x1>0，x2+b>0，x1+b>0，
∴ f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
综 上 ， f （ x ）
−1, < 0,
综上，函数y＝f （x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数.
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.

人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件

k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)

高中数学苏教版必修一《2.2.1函数的单调性》教学课件


2024/11/14
17
单击此处编辑母版标题样式 证明：在区间 ,上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
• 单击此处编辑则 母f (版x1)文 本f (x样2) 式2x1 1 (2x2 1)
• 二级
2x1 1 2x2 1
• 三级
• 四级
2(x2 x1)
x1, x• 2五级, ，且 x1 x2 x2 x1 0
单击此处编辑母版文本样式
1 x1
1 x2
• 二级
• 三级
• 四级
x2 x1 x1 x2
x1,•x五2 级 , 0 ，且 x1 x2 x1x2 0, x2 x1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y 1 在区间上 , 0是减函数.
x
• 单击此证处明：编设辑V1母,V2是版定文义本域 样0,式 上任取两个实数,且 V1 V2
•
二级
• 三则级
• 四级
p(V1)
p(V2
)
k V1
k V2
作差
• 五级
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
取值 定号
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
结论
2024/11/14
12
单击此处编证辑明函母数版单标调题性的样一式般步骤:
取值
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级
作差变形
• 五级
定号
结论
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3），[3，4]。其中 y= f(x)在区间[-4，-2）， [1，3）上是减 函数，在[-2，1）， [3，4]是增函数。
注意：函数y= f(x)在[-4，-2）∪[1，3）上不是减函数。 可以说：函数y= f(x)在[-4，-2）和[1，3）上是减函数
y kx b 当k 0时，y在定义域R上单调递增 当k 0时，y在定义域R上单调递减
b , 2a
b , 2a
a<0
b , 2a
返回
例2
判断函数f ( x) x 2x 的单调性.
2
y
f (x) x 2x
2
单调递减区间：
(, 1]
单调递增区间：
1
o
2
x
1 , )
例3.证明：函数 f ( x) 3x 2 在 , 上是增函数.
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
证明：在区间
, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
3( x2 x1 )
取值 作差 变形
则f ( x2 ) f ( x1 ) (3x2 2) (3x1 2)
x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 区间D是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
y
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
强化训练：
1.证明函数
2 f ( x) x
在 ( ,0)是减函数
成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
y y

o1
x
o 1
x
a 解：二次函数 f ( x) x ax 4 的对称轴为 x , 2 a 由图象可知只要 x 1 ，即 a 2 即可. 2
f(2) f(1)
O
1 2x
[-5，5] 上的函数y= f(x) 的图象，根 例2 如图定义在闭区间 据图象说出 y= f(x)的单调区间，以及在每一单调区间 上 , y= f(x)是增函数还是减函数? y
2 1 -4 -3 -2 -1
o
-1
-2
1
2
3
4
x
解：函数y= f(x)的单调区间有[-4，-2），[-2，1），[1，
y x2
o
x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
f ( x2 ) f ( x1 ) 0即f ( x2 ) f ( x1 )
定号
所以函数 f ( x) 3x 2 在区间上 , 是增函数. 判断
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①取值： 任取x1，x2，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间上的 单调性）．
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 忆完 钟后 钟后 小时 后 t 后 后 月后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
函数的单调性
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
k y x k 0, y在(,0), (0,)上单调递减 k 0, y在(,0), (0,)上单调递增
y ax
2
b bx c(a 0)的对称轴为 x 2a
单调增区间 单调减区间
y ax2 bx c
a>0
b , 2a