山东省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

山东省济钢高级中学高三4月份模拟考试试题（数学文）数学试题〔文科〕2021.04第一卷选择题〔60分〕一、选择题：共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．设集合，那么=A． B． C．D．2．双数满足〔其中为虚数单位〕，那么A． B． C．D．3．函数的定义域为，那么是为奇函数的〔〕条件A．充沛不用要 B．必要不充沛 C．充沛必要 D．既不充沛也不用要4．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午抵达景区入口，预备乘坐观光车，那么他等候时间不多于10分钟的概率为A． B． C．D．5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为A． B．C． D．6．要失掉函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7.等差数列的前n项和为假定，那么A．66 B．99 C．110 D．1988．在中，，A． B． C． D．9．如图顺序中，输入，那么输入的结果为A． B．C． D．无法确定10．抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴区分交于、，假定的面积为4，那么的长为A． B． C． D．11．函数存在独一的零点，且，那么实数的范围为A． B． C． D．12．关于实数，以下说法：①假定，那么；②假定，那么；③假定，那么；④假定且，那么.正确的个数为A． B． C． D．第二卷非选择题〔90分〕二．填空题：共4小题，每题5分，共20分．13．实数满足，那么的最小值为．14．等比数列的前项和为，，假定，那么．15．通常，总分值为100分的试卷，60分为及格线．假定某次总分值为100分的测试卷，100人参与测试，将这100人的卷面分数依照分组后绘制的频率散布直方图如下图．由于及格人数较少，某位教员预备将每位先生的卷面得分采用〝开方乘以10取整〞的方法停止换算以提高及格率〔实数的取整等于不超越的最大整数〕，如：某位先生卷面49分，那么换算成70分作为他的最终考试效果，那么依照这种方式，这次测试的及格率将变为．16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到点与到点的距离之比为，点，那么的最大值为．三、解答题：共70分。

山东省枣庄市2019届高三4月份模拟检测数学试卷(文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面内表示复数z=i(1+i)(i 为虚数单位)的点位于A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x ≤1},B={y|21x y =，x ∈（41，1）}，则A B= A.（-∞，1） B. （-∞，1] C. （21，1） D. （21，1] 3. 不共线的非零向量b a ,满足|a -2||b | =，则向量b a +2与b a -2的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π 4. 某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了解同学们的心里状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样方法，抽取6个班进行调查，若抽到的编号之和为87，则抽到的最小编号为A.2B. 3C. 4D. 55．若a,b ∈N,则111>+ba 成立的充要条件是 A.a,b 都不大于2 B. a,b 中至少有一个等于1C.a ，b 都大于2D.a ，b 中至多有一个等于16.若直线x-y+1=0与圆2)22=+-y a x （有公共点，则实数a 的取值范围是 A.（-3,1） B.[-1,3] C.(-1,3) D.[-3,1]7. .函数()x f =)2sin(ϕ+x （πϕ<||）的图象向左平移3π个单位后得到函数()x g =x cos -的图象，则函数 ()x f 的图象A.关于直线12π=x 对称 B.关于直线125π=x 对称 C.关于点），（012π对称 D. 关于点），（0125π对称 8.执行右侧的程序框图，如果输入的n 是3，那么输出的p 是A.21B.61C.241D. 1201 9. 若函数()x f =⎩⎨⎧≥+-<0,4)3(0,x a x a x a x （a>0，且a ≠1）的值域为（-∞，+∞），则实数a 的取值范围是A.（3，+∞）B. （0，41]C.（1,3）D.[ 41，1） 10.已知 ()x f =x x a 212+-（a ∈R ）是奇函数，且实数k 满足()3112<-k f ，则k 的取值范围是 A.（0，+∞） B.（-∞，0） C.（-∞，1） D. （1，+∞）第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

绝密★启用并使用完毕前山东省2024届高三第一次模拟考试数学试题（答案在最后）2024.4注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡．上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α，β，γ是三个不同的平面，m αγ= ，n βγ= ，则“//m n ”是“//αβ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件2．若(a =，b = ，22a b -=，则向量a 与b 的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．若复数z 满足2i 45i z z +⋅=+，则z 在复平面中对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A ，B ，C 三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A 学校实习，则不同的分配方案的种数是（）A ．48B ．36C ．24D ．125．函数()e 1sin ()e 1xx x f x -=+，则()y f x =的部分图象大致形状是（）A ．B．C．D ．6．已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则sin()cos()αβαβ-=+（）A ．12B ．23C ．2D ．157．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且与直线2px =|MA ，且||2||MA AF =，则||AF =（）A ．32B ．1C ．2D ．38．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，将{}n a 依原顺序按照第n 组有2n项的要求分组，则2024所在的组数为（）A ．8B ．9C ．10D ．11二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A ．若样本数据1x ，2x ，…，6x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，621x -的方差为8B ．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的20%分位数不等于原样本数据的20%分位数C ．若A ，B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97A r =，0.99B r =-，则A 组数据比B 组数据的线性相关程度更强D ．若决定系数2R 的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好10．已知函数()sin cos 2sin f x x x x x =-+，则（）A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在[0,]π上有最小值为22π-D ．()f x 在[0,]π上有唯一零点11．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，1AD =，PC 与底面ABCD 所成角的正切值为22，点M 为平面ABCD 内一点（异于点A ），且1AM <，则（）A ．存在点M ，使得CM ⊥平面PAB B ．存在点M ，使得直线PB 与AM 所成角为3πC ．当12AM =时，三棱锥P BCM -的体积最大值为14D ．当22AM =时，以P 为球心，PM 为半径的球面与四棱锥P ABCD -各面的交线长为262π+第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且327S =，635S =，则数列{}n a 的公比q =__________．13．已知A ，B 分别为直线33y x =-和曲线2e xy x =+上的点，则||AB 的最小值为__________．14．如图，在ABC △中，已知120BAC ∠=︒，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE ，设以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以E ，C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为13，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．（1）求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；（2）若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说晛理由．16．（15分）已知矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且2AD DE CE ===．现将ADE △沿AE 向上翻折，使点D到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE -．（1）若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AFFP的值；（2）若平面APE ⊥平面ABCE ，求平面PEC 和平面ABCE 夹角的余弦值．17．（15分）已知21()ln (1)2f x x a x =+-．（1）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()21g x f x x =-+有两个极值点1x ，2x ，且()()12312g x g x a+≥--，求a 的取值范围．18．（17分）在平面直角坐标系xOy 中，点D 为221x y +=上一动点，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上且DA x ⊥轴，DB y⊥轴，若BA AW =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点(1,0)G 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若点(0,1)H ，直线GH 为MHN ∠的角平分线，求直线l 的方程．19．（17分）如果数列{}n a 满足：1230n a a a a ++++= 且1231n a a a a ++++= （3n ≥，*n ∈N ），则称数列{}n a 为“n 阶数列”．（1）若某“4阶数列”{}n a 是等比数列，求该数列的各项；（2）若某“11阶数列”{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式；（3）若{}n a 为“n 阶数列”，求证：123111112322n a a a a n n++++≤-．山东省2024届高三第一次模拟考试数学参考答案2024.4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BADCADBB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDBCBC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2313．10214．(1,)+∞四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A ，甲第一次抽奖就中奖的事件为B ，则121114()C 133327P AB ⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112()C 1339P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故4()227()2()39P AB P B A P A ===∣．（2）设一名顾客获得的奖金为X 元，则X 的取值可能为0，50，100，200，则318(0)1327P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，213114(50)C 1339P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(100)C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(200)C 327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则84211400()05010020027992727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元），于是1400280000200()200150002727E X =⨯=<，故该活动不会超过预算．16．【解析】（1）作//FM AB ，交PB 于M ，易得M ，F ，E ，C 四点共面，//EF 平面PBC ，平面EFMC 平面PBC MC =，EF ⊂平面EFMC ，//EF MC ∴，∴四边形EFMC 为平行四边形，EC FM ∴=，13MF AB ∴=，由PFM PAB ∽△△可得2AFFP=．（2）因为ADE △为等腰直角三角形，取AE 中点O ，则DO AE ⊥，即PO AE ⊥．又因为平面APE ⊥平面ABCE ，平面APE 平面ABCE AE =，PO ⊂平面APE ，所以PO ⊥平面ABCE ．以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,0,1)P ，(1,0,0)E -，31,,022C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则(1,0,1)PE =-- ，11,,022EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面PEC 的法向量为(,,)m a b c = ，则01122m PE a c m EC a b ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨取1a =，则1b =，1c =-，(1,1,1)m =-，设平面ECA 的一个法向量为(0,0,1)n =，则3cos ,3m n m n m n ⋅===-⋅，则平面PEC 和平面ABCE夹角的余弦值为3．17．【解析】（1）当12a =-时，21()ln (1)4f x x x =--，0x >，则11(2)(1)()(1)22x x f x x x x-+'=--=-，当(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞．（2）21()()21ln (1)212g x f x x x a x x =-+=+--+，所以21(2)1()(1)2ax a x g x a x x x -++'=+--=，设2()(2)1x ax a x ϕ=-++，令()0x ϕ=，由于()g x 有两个极值点1x ，2x ，所以221212(2)4402010a a a a x x a x x a ⎧⎪∆=+-=+>⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得0a >．由122a x x a ++=，121x x a=，得()()()()221211122211ln 121ln 12122g x g x x a x x x a x x +=+--+++--+()()()()212121212121ln 222222x x a x x x x x x x x ⎡⎤=++--++-++⎣⎦2112222ln 22222a a a a a a a a a ⎡⎤+++⎛⎫=+--⋅-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦123ln1122a a a a=+--≥--，即11ln 02a a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，令11()ln 2m a a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222111(1)()0222a m a a a a -'=--=-≤，所以()m a 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0m =，所以1a ≥，故a 的取值范围是[1,)+∞．18．【解析】（1）设(,)W x y ，()00,D x y ，则()0,0A x ，()00,B y ，由WA AB = ，得()()000,,x x y x y --=-，所以002x x y y⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为2201x y +=，得2214x y +=，故曲线C 的方程为221(0)4x y xy +=≠．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，由题意，易得直线l 的斜率不为0，设直线:1l x ny =+，与22440x y +-=联立，得()224230n y ny ++-=，由根与系数的关系得12224n y y n -+=+，12234y y n -=+；0∆>恒成立，由GH 为MHN ∠的角平分线知||||||||GM HM GN HN =，即12y y =，又2244x y =-，则221112222325325y y y y y y ⎛⎫--+= ⎪--+⎝⎭，整理得()121252y y y y +=，化简得106n -=-，所以35n =，所以直线l 的方程为315x y =+，即5350x y --=．19．【解析】（1）设1a ，2a ，3a ，4a 成公比为q 的等比数列，显然1q ≠，则由12340a a a a +++=，得()41101a q q-=-，解得1q =-，由12341a a a a +++=，得141a =，解得114a =±，所以数列14，14-，14，14-或14-，14，14-，14为所求“4阶数列”．（2）设等差数列1a ，2a ，3a ，…，11a 的公差为d ，由123110a a a a ++++= ，得111101102da ⨯+=，所以150a d +=，即60a =．①当0d =时，与“11阶数列”的条件相矛盾．②当0d >时，由12512a a a +++=- ，60a =，得130d =，116a =-，所以11663030n n n a --=-+=（*n ∈N ，11n ≤）．③当0d <时，由12512a a a +++= ，60a =，得130d =-，116a =，所以11663030n n n a --=-=-（*n ∈N ，11n ≤）．综上，6,0306,030n n d a n d -⎧>⎪⎪=⎨-⎪-<⎪⎩（*n ∈N ，11n ≤）．（3）由已知可得，必有0i a >，也必有0(,{1,2,,,)j a i j n i j <∈≠ 且．设1i a ，2i a ，…，p i a 为所有i a 中所有大于0的数，1j a ，2j a ，…，m j a 为所有i a 中所有小于0的数．。

2016年高考模拟训练试题文科数学(二)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合(){}11,122x M x N x y g x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥==+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋂等于A. [)0,+∞B. ()2,0-C. ()2,-+∞D. ()[),20,-∞-⋃+∞2.设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为 A. 3- B. 1-C.1D.3 3.已知命4:0,4p x x x ∀>+≥；命题()001:0,,22x q x ∃∈+∞=，则下列判断正确的是 A.p 是假命题 B.q 是真命题 C.()p q ∧⌝是真命题D. ()p q ⌝∧是真命题 4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的是 A. sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C. sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 5.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是A.若//,m n ααβ⋂=，则//m nB.若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥C.若//,m n m α⊥，则n α⊥D.若,m m βα⊥⊥，则//αβ6.已知a b 与均为单位向量，其夹角为θ，则命题1p a b ->：是命题5:0,26q ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点、B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 A. 13 B. 12 C. 23 D. 348.若实数,x y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩且,x y 为整数，则34x y +的最小值为A.14B.16C.17D.19 9.圆()22:125C x y -+=，过点()2,1P -作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是A.B.C.D. 10.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是A. (B.C. )2D. ()2,+∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11.函数y =的定义域是________.12.已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值S ，则判断框内的条件是________.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.14.若函数()()y f x x R =∈满足()()1f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f x x=-，函数()()()10,10,gx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为________. 15.给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-； ②若关于x 的方程()100,1x k x x-+=∈在没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； ③在ABC ∆中，“cos cos b A a B =”是“ABC ∆为等边三角形”的必要不充分条件 ④若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π. 其中正确的结论是________.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）某校夏令营有3名男同学A,B,C 和3名女同学X,Y,Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.（I ）用表中字母列举出所有可能的结果；（II ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.17.(本小题满分12分)已知函数()()2sin 24sin 206f x x x πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图像与x 轴相邻的两个交点的距离为2π.（I ）求函数的()f x 解析式；（II ）若将()f x 的图像向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图像恰好经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间。

2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。

试卷类型：A潍坊市高考模拟考试文科数学2019.4本试卷共4页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|−2≤x≤3}函数f(x)=ln(1−x)的定义域为集合B，则A⋂B=A.[−2,1]B.[−2,1)C.[1,3]D.(1,3]=2.若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1 +i，则z1z2A.iB.−.iC.1D.−13.已知等差数列{a n}的前5项和为15 ,a6=6,则a2019=A.2017B.2018C.2019D.20204.已知命题p：∀x∈R,x2>0,则p 是A.∀x∈R,x2<0B.∃x∈R,x2<0C.∀x∈R,x2≤0D.∃x∈R,x2≤05.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形.，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.在18世纪，七巧板流传到了。

国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为A.14B.17C.18D.1166.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是A.√36B.√33C.√33D.√337.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是A.y=2x−x2−1B.y=2x sin xC.y=xln xD.y=（x2−2x） e x8.函数y=sin(2x+π6)的图象可由函数y=√3sin2x−cos2x的图象A.向右平移π3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B.向右平穆π6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C.向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12横坐标不变得到D.向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12横坐标不变得到9.在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且.BP =2P A ，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = A.13 B.12 C.23 D.110.一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为 A.6π B.12π C.32π D.48π11.已知P 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为 A.y =±43x B.y =±34x C.y =±35x D.y =±53x12.已知函数f(x)=2x−1,g(x)=⎩⎨⎧<++0,2x 0≥x 2,cosx a 2x a ）R (∈a ，若对任意x 1∈[1,+∞)，总存 在x 2∈R,使f(x 1)=g(x 2)则实数a 的取值范围是A.(−∞,12)B.(23，+∞)C.(−∞,12)⋃[1,2] D.[1,32]⋃[74,2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.焦点在x 轴上，短轴长等于16，离心率等于35的椭圆的标准方程为__________. 14.若x ，y 满足约束条件{0≤2x +y ≤63≤x −y ≤6,则z=x -2y 的最大值为__________.15.设数列{a n }满足a 1⋅2a 2⋅3a 3.⋯.na n =2n ，则a n =__________.16.如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，即先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点C (x ，y )滚动时形成的曲线为y= f(x)，则f (2019)= __________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23颢为诜老颢.老生根据善求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=4√2,BC=2√2,AC=4.(1)求cos∠BAC;(2)若∠D=45o,∠BAD=90o，求CD.18.（12分）如图，四棱锥M-ABCD中，MB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB=MB，E、F分别为MA、MC的中点.(1)求证：平面BEF ⊥平面MAD；(2)若BC=2AB=2√3求三棱锥E -ABF的体积.19.（12分）某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测 分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如下表：(1)根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率； (2)根据以上数据，完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产 品的质量与生产产品的班组有关？(3)若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A ：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B ：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大.附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.（12分）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，直线：y=kx+b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，|AF|+ |BF|=4,M(0,3).(1)若AB的中点为T，直线MT的斜率为k′,证明k⋅k′为定值；(2)求△ABM面积的最大值.21.已知函数f(x)=xe x−a ln x（无理数e=2.718⋯).（1）若f(x)在(0，1)单调递减，求实数a的取值范围：（2）当a= -1时，设g(x)=x(f(x)−xe x)−x3+x2−b,若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.22.（10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 3为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为(2√2,3π4)，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)+2√2=0.(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.（10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|ax -2|，不等式f(x)≤4的解集为{x|-2≤x ≤6}. (1)求实数a 的值；(2)设g(x)= f(x)+f(x+3)，若存在x ∈R ，使g(x)- tx≤2成立，求实数t 的取值范围.。

2024年山东省新高考数学模拟训练试卷（四）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)(5分)已知复数z=(2-i)+t(1+i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数t=()A．-2B．-1C．0D．12．(★)(5分)“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0， 10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位某小区居民，他们的幸福感指数分别为6， 7， 7， 8， 9， 8，则这组数据的第80百分位数是()A．7B．8C．8.5D．93．(★)(5分)甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是()A．“甲站排头”与“乙站排尾”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”4．(★)(5分)在△ABC中，若点D满足，则()A．B．C．D．5．(★)(5分)给定一组数据5， 5， 4， 3， 3， 3， 2， 2， 2， 1，则这组数据()A．众数为2B．平均数为2.5C．方差为1.6D．标准差为46．(★★)(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱CD的中点，则异面直线AE与BC1所成角的正弦值为()A．B．C．D．7．(★)(5分)已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率p.先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0， 1， 2，3， 4， 5表示击中目标， 6， 7， 8， 9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169 966 151 525 271 937 592 408 569 683471 257 333 027 554 488 730 863 537 039据此估计p的值为()A．0.6B．0.65C．0.7D．0.758．(★★★)(5分)如图①所示，在平面四边形ABCD中， AD⊥CD， AC⊥BC，∠B=60°，AD=CD=．现将△ACD沿AC折起，并连接BD，如图②，则当三棱锥D-ABC的体积最大时，其外接球的体积为()A．B．4πC．D．16π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

山东省聊城市 年 高 考 模 拟 试 题数学试题（文）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡和试题纸上。

3．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。

4．第II 卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。

5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

参考公式：①棱柱的体积公式：V=sh （s 底面积，h 为高）。

②K 2统计量的表达式K 2=))())()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-。

③x b y a xyx n yx b ni ini ii -=-=∑∑==,121。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项。

） 1．给定下列结论：正确的个数是 （ ）①用20㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是25㎝2；②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；③函数y=2-x 与函数y=log 21x 的图像关于直线y=x 对称。

A ．0B ．1C ．2D ．32．已知{}*∈==Nn i y y M n,|2（其中i 为虚数单位），,11lg |⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==xx y x N{},,1|2R x x x P ∈>=则以下关系中正确的是（ ）A ．P N M =⋃B ．N P MC R ⋃=C ．M N P =⋂D ．)(Φ=⋂N P C R3．函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（ ）A ．(]1,0B ．(]10,1C ．(]100,10D ．),100(+∞ 4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S= （ ）A ．1B ．100101C ．10099 D ．99985．在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ）A ．22B ．42 C ．23 D ．26．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：㎏）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）。

山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A34B.38C.14D.182. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 取值为（ ） A. 2或4B. 2或3C. 4或5D. 3或56. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.13C.16D.112.的7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ） A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 10. 如图，在直角三角形ABC中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y +=的11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________.13. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 14. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠大小； （2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD⊥；的（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积最大值.19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y ，记x y +的取值为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p . （i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的.的参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A.34B.38C.14D.18【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()4241632C 2168P X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭. 故选：B2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()000,,0P x y x ≥，由题意可得02x =，结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的准线为=1x -， 设()000,,0P x y x ≥，则024x +=，解得02x =， 所以013PF x =+=. 故选：C.3. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}【答案】D【解析】【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出a 的取值集合. 【详解】因为集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，所以一元二次方程()()210x ax --=有等根时，可得21x a==，即1a =±，当方程有两不相等实根时，20x a ==，即0a =， 综上，实数a 所有取值的集合为{}0,1,1-. 故选：D4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为()()11f x f x +=-，所以()()()()1111f x f x ++=-+，即()()2f x f x +=-， 又()()f x f x -=-，函数()f x 的定义域为R ，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()2f x f x =-+， 所以，()()24f x f x +=-+，故()()()24f x f x f x =-+=+， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()20245064000f f f =⨯+==. 故选：A5. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3C. 4或5D. 3或5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知：点P 的轨迹为以AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆，结合两圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，且0a >， 因为PA PB ⊥，可知点P 的轨迹为以线段AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆， 又因为点P 在圆22:1C x y +=上，可知圆C 与圆M 有且仅有一个公共点，则CM r R =+或CM r R =-， 即41a =+或41a =-，解得3a =或5a =. 故选：D.6. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.13C.16D.112【答案】B 【解析】【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =， 又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =， 且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ）A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-【答案】B【解析】【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设2n n b a =， 则1212242b a a ====-，3213a a =+=，2432682b a a ====-，5417a a =+=，365214162b a a ====-，76115a a =+=，487230322b a a ====-，可归纳得：122n n b +=-，1222n n n a b +==-，所以11201022a b ==-. 故选：B8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】作出图形，根据题意可得棱切球球心即为底面正三角形的中点O ，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC 垂直的直线上，又因为底面边长为所以底面正三角形的内切圆的半径为1tan 3012r AB =︒⋅'==， 又因为球的半径1r =，即r r '=，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O ，如图，过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ，则H 为棱切球在PA 上的垂足，的所以1OH r ==，又因为122cos30AB OA ===︒，所以1cos 2OH AOH OA ∠==, 因为()0,πAOH ∠∈，所以60AOH ∠=︒， 又由题意可知，PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥， 所以30POH ∠=︒所以cos30OH PO ===︒所以11232P ABC V -=⨯⨯=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，利用复数模的公式计算可判断A ；由虚部概念可判断B ；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C ；根据复数的减法的几何意义求解可判断D . 【详解】对于A ，因为()1i 2i z +=-， 所以()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z ---===-++-，所以z ==，A 正确； 对于B ，由上可知，z 的虚部为32-，故B 错误， 对于C ，因为33i 22z =+，所以13135i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 对于D ，记复数ω对应的点为(),A a b ，复数2z 对应的点为()1,3B -，则由21z ω-=可得1OA OB BA -==，即点A 在以B 为圆心，1为半径的圆上，所以，OA 的最大值为11OB +=+，即ω的最大值为1+，D 错误.故选：AC10. 如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y += 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得O 为AC 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A ，建立平面直角坐标系，求出圆O的方程，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用坐标法判断B 、C ，由三点共线得到//BP BO，即可求出θ，从而求出x ，y ，即可判断D.【详解】因为AO OC =，即O 为AC 的中点，所以1122BO BA BC =+，故A 正确；如图建立平面直角坐标，则()0,0B，)C，(A，O ，所以()CB =，BO =，则01CB BO ⋅==- ，故B 错误； 又2AC==，所以圆O 的方程为221x y ⎛⎛-+-=⎝⎝， 设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭，又)BC =，所以cos 0sin 1BP BC θθθ⎫⎫⋅=+⨯+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭ ，因为π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， θ⎡∈-⎣，所以0,1BP BC ⎡⋅∈⎣，故BP BC ⋅最大值为1C 正确；因为B ，O ，P 三点共线，所以//BP BO，又BO =，cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭ ，sin cos θθ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭，即sin cos θθ=， 所以π4θ=，所以BP =，又)BC =，(BA =，且BP xBA yBC =+，即())x y=+=，所以==11x y =⎧⎨=⎩，所以2x y +=，故D 正确.故选：ACD11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数证明πsin2x x >，π31sin 244x x >+和π3sin 22n n a a ≤均成立，从而可得BCD 正确.假设A 选项存在N*k ∈ ，使1k a =，则11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B ，要证数列{}n a 单调递增，只需要证πsin2nn a a >，令()π1sin,,123f x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππcos 122f x x ='-，()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()110,1103f f ''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭， 故()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点0x ，当01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()0,1x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin2f x x x =-在01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为增函数，在()0,1x x ∈上为减函数， 因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0f x >即πsin 2x x >， 令n x a =，则有πsin2n n a a >，故B 正确； 对于A ，假设存在N*k ∈，使得1k a =，则1ππsin sin 122k k a a +===， 所以11k a +=，所以11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，故A 错误； 对于C ，要证+13144n n a a ≥+，只需证π31sin 244n n a a ≥+， 令()π311sin,,12443g x x x x ⎡⎫=--∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 224g x x '=-，()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10344g f ⎛⎫=->=-⎪''< ⎝⎭， 故()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点1x ，当11,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，当()1,1x x ∈时，()0g x '<，所以()π31sin244g x x x =--在11,3x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭为增函数，在()1,1x 上为减函数，因为()1103g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0g x ≥即π31sin 244x x >+， 令n x a =，则有π31sin244n n a a >+，故C 正确； 对于D ，令()π31sin,,1223h x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10322h h ⎛⎫=-<=-⎪''< ⎝⎭， 故()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，因为103h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()103h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭即π3sin 22x x ≤， 所以π3sin 22n n a a ≤，即132n n a a +≤， 整理得到：112n n n a a a +-≤，其中1,2,3,,n =故21112a a a -≤32212a a a -≤，……112n n n a a a +-≤累加后可得1112n n a a S +-≤即1122n n a a S +≤+，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到.三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________. 【答案】2 【解析】【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.【详解】因为43b =，所以3log 4b =， 所以23lg 32lg 2log 3log 42lg 2lg 3ab =⨯=⨯=. 故答案为：213. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】9 【解析】【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1,则两组数据混合后，新数据的平均数4267510x ⨯+⨯==，则新数据的方差()()2224662517591010s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：914. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________. 【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数判断其单调性和最值，令()t f x =，整理得可得()2110t a t a +-+-=，构建()()211g t t a t a =+-+-，结合()f x 的图象分析()g t 的零点分布，结合二次函数列式求解即可.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，则()()11e xf x x -=-'，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；可知()f x 在(),1∞-内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()11f x f ≤=， 且当x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0； 作出()f x 的图象，如图所示，对于关于x 的方程()()11f x a f x +=+，令()1t f x =≠-，可得11t a t +=+，整理得()2110t a t a +-+-=， 且1-不为方程()2110t a t a +-+-=的根， 可知方程11t a t +=+等价于()2110t a t a +-+-=， 若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，可知()2110t a t a +-+-=有两个不同的实数根1212,,t t t t <， 且1201t t <<<或1201t t <<=或1201t t =<<， 构建()()211g t t a t a =+-+-，若1201t t <<<，则()()0101320g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得312a <<；若1201,1t t <<=，则()1320g a =-=，解得32a =， 此时方程为211022t t --=，解得121,12t t =-=，不合题意；若1201t t =<<，则()010g a =-=，解得1a =， 此时方程为20t =，解得120t t ==，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数值域（最值）问题求解．的（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；（2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）=45ADC ∠︒（22+ 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =由等腰三角形可得30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =，然后四边形面积分成BCD ABD S S + 即可求解. 【小问1详解】在ABC 中，AB BC ==，120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =，又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=， 因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒. 【小问2详解】在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD =+=+∠2sin ABD =+∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =+，即四边形ABCD 2+.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD ⊥；（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD . 【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】【分析】（1）过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，分析可知PBC 为等边三角形，可得PF BC ⊥，结合面面垂直的性质可得PF ⊥平面ABCD ，即可得结果；（2）取线段AD 的中点N ，连接NF ，建系，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，求平面PAD 的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，由题意知：BCDM 为矩形，可得2,tan 60AMAM BC DM ====︒，由60PC PCB =∠=︒，则PBC 为等边三角形，且F 为线段BC 的中点，则PF BC ⊥， 又因为平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCB ⋂平面ABCD BC =，PF ⊂平面PCB ， 可得PF ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， 所以PF AD ⊥. 【小问2详解】由（1）可知：PF ⊥平面ABCD ，取线段AD 的中点N ，连接NF ，则FN ∥AB ，2FN =， 又因为AB BC ⊥，可知NF BC ⊥，以F 为坐标原点，,,NF FB FP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()(),1,,0,0,3,A D P B ， 因为E 为线段PF 上一点，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，可得()()()2,,,0,DA DP BE a ==-=，设平面PAD 法向量(),,n x y z =，则2030n DA x n DP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令3x =-，则2y z ==-，可得()2n =--，由题意可得：cos ,n BE n BE n BE ⋅===⋅， 整理得2440a a -+=，解得2a =，所以当2EF =，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥. 【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解 【解析】的【分析】（1）求导可得()221ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x=->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【小问1详解】由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+内恒成立， 可知()f x 在()0,∞+内单调递减； 当0a >时，令()0f x ¢>，解得x >()0f x '<，解得0x <<；可知()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增； 综上所述：当0a ≤时，()f x ()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增. 【小问2详解】构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， 由0x >可知10x +>， 构建()1e ,0x h x x x=->， 因为1e ,xy y x==-在()0,∞+内单调递增，则()h x 在()0,∞+内单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭， 在可知()h x 在()0,∞+内存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<； 当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 内单调递减，在()0,x +∞内单调递增， 则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0xx -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=， 即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积的最大值. 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）设2001,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为20012y x x x =-，与椭圆方程联立，结合韦达定理求AB ，代入02x =即可得结果； （2）根据题意可知：点G 为OAB 的重心，进而可得13GABOAB S S ==△△.【小问1详解】 由²2x y =可得21,2y x y x '==， 设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可知直线l 的斜率0k x =， 可知切线方程为()200012y x x x x -=-，即20012y x x x =-，联立方程200221212y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()22340001212202x x x x x +-+-=，可知()()62442000001Δ4421228402x x x x x ⎛⎫=-+-=--->⎪⎝⎭，解得(011x -<<+，设()()1122,,,A x y B x y ，则4300121222001222,2121x x x x x x x x -+==++，则AB == 若P 的坐标为()2,2，即02x =，所以AB ==.【小问2详解】因为点O 到直线2001:02l x x y x --=的距离d =，由题意可知：点G 为OAB的重心，且(()(01,00,1x ∈-+⋃+，可知1111133232GAB OABS S d AB==⨯⋅=⨯=2212⎡⎤⎢⎥≤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，=x=所以GAB△.【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y，记x y+的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望()E X；（2）记第n秒末粒子回到原点概率为n p.的（i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的. 【答案】（1）见解析 （2）（i ）30p =；4964p =；()()2242!116!n nn p n ⎡⎤⎣⎦=（ii ）见解析 【解析】【分析】（1）求出求X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 分布列，再由数学期望公式求出()E X ； （2）（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，表示出2n p ，由组合数公式化简即可得出答案；（ii ）利用题目条件可证明()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案. 【小问1详解】粒子在第2秒可能运动到点()()()1,1,2,0,0,2或()()()0,0,1,1,1,1--或()()()1,1,2,0,0,2----的位置，X 的可能取值为：2,0,2-，()412164P X =-==，()810162P X ===，()412164P X ===， 所以X 的分布列为：X2- 02P141214()()1112020424E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =，粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：()a 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有44A 种情形；()b 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有242C 种情形； 于是424444A +2C 9464p ==， 第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，故()()()22222222202!C C C 144!!k k n kn nn n k n kn n n k k n p k n k ---====⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()()()()2222222002!!11C C C 44!!!n nn k n kn n n n n k k n n n k n k -====⋅⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()222222011C C C 44nn k n n n n n n k ==⋅=⋅∑.故()()()()222222422!111C C 41616!n n n n n n nnn p n ⎡⎤⎣⎦=⋅==.（ii146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可知：()()22222!e C!nn nn n n ⎫=>=⎣⎦于是()222211C 46n n n n p n=⋅>， 令()()ln 1,0f x x x x =-+>，()11011x f x x x=-=>++'， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，于是()()ln 10x x x >+>，从而有：()21111111ln 1ln 1666n nn n k k k k S p n k k ===⎛⎫=>>+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 即[]x 为不超过x 的最大整数，则对任意常数0M >，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，6e 1M n >-，于是()1ln 16n S n M >+>, 综上所述，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，n S M >成立，因此该粒子是常返的.【点睛】关键点睛：本题第二问（ii ）的关键点在于利用146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可得()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案.。

数学（文史类）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.测试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2. 选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在测试卷上.参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的的高.球的表面积公式:S=4πR2,其中R是球的半径.如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).一、选择题：本大题共12个小题.每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若A={x|x2=1}，B={x|x2-2x-3=0}，则A∩B=A. {3}B. {1}C. {-3}D. {-1}2. 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84,4.84B. 84,1.6C. 85,4D. 85,1.63. 若1a<1b<0，则下列不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ba+ab>2中正确的是A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④4. 设m,n∈R，函数y=m+lognx的图象如图所示，则有A. m<0,0<n<1B. m>0,n>1C. m>0,0<n<1D. m<0,n>15. 已知sinx+π4=-35,则sin2x的值等于A. -725B. 725C. -1825D. 18256. 已知|a|=2|b|,且|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两相等实根，则向量a与b的夹角是A. -π6B. -π3C. π3D. 2π37. 在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11=32,则a29a11的值为A. 4B. 2C. -2D. -48. 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为A. f(x)=2cosx2-π3B. f(x)=2cos4x+π4C. f(x)=2sinx2-π6D. f(x)=2sin4x+π49. 对于函数①f(x)=|x+2|，②f(x)=(x-2)2，③f(x)=cos(x-2)，判断如下两个命题的真假：命题甲：f(x+2)是偶函数；命题乙：f(x)在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是A. ①②B. ②C. ①③D. ③10. 用一些棱长是1 cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图（或正视图），若这个几何体的体积为7 cm3，则其左视图为11. 张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S=1+13+15+17+19”发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是12. 已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为A. 5+12B. 2+1C. 3+1D. 22+12二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13. (2+i)24-3i表示为a+bi(a,b∈R)，则a+b=.________14. 已知曲线C：y=lnx-4x与直线x=1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是._____15. 若直线y=kx-2与圆x2+y2=2相交于P,Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k 的值为._________16. 以下四个命题，是真命题的是_______（把你认为是真命题的序号都填在横线上）.①若p：f(x)=lnx-2+x在区间(1,2)有一个零点；q：e0.2>e0.3，p∧q为假命题；②当x>1时，f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的大小关系是h(x)<g(x)<f(x)；③若f′(x0)=0，则f(x)在x=x0处取得极值；④若不等式2-3x-2x2>0的解集为P，函数y=x+2+1-2x的定义域为Q，则“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件.三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA+C2=33.（1）求cosB的值；（2）若BA·BC=2,b=22，求a和c的值.18. （本小题满分12分）已知关于x的一次函数y=mx+n.（1）设集合P={-2，-1，1，2，3 }和Q={-2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m 和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；（2）实数m，n满足条件m+n-1≤0-1≤m≤1-1≤n≤1，求函数y=mx+n的图像经过一、二、三象限的概率.19. （本小题满分12分）在等差数列{an}中，a5=5,S3=6.（1）若Tn为数列1anan+1的前n项和,求Tn；（2）若an+1≥λTn对任意正整数成立,求实数λ的最大值.20. （本小题满分12分）如图，已知，在空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点.（1）求证：平面CDE⊥平面ABC；（2）若AB=DC=3，BC=5，BD=4,求几何体ABCD的体积；（3）若G为△ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF∥平面CDE.21. （本小题满分12分）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）.平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.22. （本小题满分14分）已知向量a=(x2-1,-1)，b=(x,y),当|x|<2时，有a⊥b;当|x|≥2时，a∥b.（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）求函数y=f(x)的单调递减区间；（3）若对|x|≥2，都有f(x)≤m，求实数m的最小值.数学（文史类）试题参考答案一、 1. D 2. D 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. C11. C12. B二、13. 1 14. 3x+y+1=0 15. ±3 16. ①②④三、17. 解:（1）∵cosA+C2=33∴sinB2=sinπ2-A+C2=333分∴cosB=1-2sin2B2=13.6分（2）由BA·BC=2可得a·c·cosB=2，又cosB=13，故ac=68分由b2=a2+c2-2accosB可得a2+c2=1210分∴(a-c)2=0即a=c，∴a=c=6.12分18. 解:（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：Ω={(-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3)}共10个基本事件2分设使函数为增函数的事件空间为A:则A={(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3)}有6个基本事件4分所以,P(A)=610=35.6分（2）m、n满足条件m+n-1≤0-1≤m≤1-1≤n≤1的区域如图所示：使函数图像过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分∴所求事件的概率为P=1272=17.12分19. 解:(1) 设首项为a1,公差为d,则a1+4d=53a1+3(3-1)2d=62分解得:a1=1,d=13分所以,an=n4分1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+16分Tn=1-12+12-13+……+1n-1n+1=1-1n+1=n(n+1),8分(2) 若使an+1≥λTn即n+1≥λnn+1，∴λ≤(n+1)2n10分又(n+1)2n=n+1n+2≥4，当且仅当n=1n，即n=1时取等号∴λ的最大值为412分20. 解:（1）证明：∵BC=AC，E为AB的中点，∴AB⊥CE.又∵AD=BD，E为AB的中点，∴AB⊥DE.∴AB⊥平面DCE∵AB ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.4分（2）解∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，∴CD⊥BD，5分在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面ABD.6分又在△ADB中，DE=16-94=552,∴VC-ABD=13×12×3×552×3=3554.8分（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE9分设H为DC的中点，连AH、EH∵G为△ADC的重心，∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH10分又∵FG CDE，EH CDE，∴GF∥平面CDE12分21. 解:（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),1分a=3b9a2+1b2=1a2=18,b2=2.所求椭圆的方程为x218+y22=1.4分（2）∴直线l∥OM且在y轴上的截距为m,∴直线l方程为：y=13x+m.5分由y=13x+mx218+y22=12x2+6mx+9m2-18=06分∵直线l交椭圆于A，B两点，∴Δ=(6m)2-4×2(9m2-18)>0-2<m<27分m的取值范围为-2<m<2且m≠0.8分（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则问题只需证明k1+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=y1-1x1-3,k2=y2-1x2-3.由2x2+6mx+9m2-18=0得x1+x2=-3m,x1x2=92m2-9.10分又y1=13x1+m,y2=13x2+m,代入k1+k2=(y1-1)(x2-3)+(y2-1)(x1-3)(x1-3)(x2-3)，整理得k1+k2=23x1x2+(m-2)(x1+x2)+6-6m(x1-3)(x2-3)11分=2392m2-9+(m-2)(-3m)+6-6m(x1-3)(x2-3)=0∴k1+k2=0,从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.12分22. 解:（1）当|x|<2时，由a⊥b得a·b=(x2-1)x-y=02分y=x3-x(|x|<2) 3分当|x|≥2时，由a∥b.得y=x1-x24分∴f(x)=x3-x(-2<x<2)x1-x2(x≤-2或x≤2)5分（2）当|x|<2时，由y′=3x2-1<0,解得-33<x<336分当|x|≥2时，y′=(1-x2)-x(-2x)(1-x2)2=1+x2(1-x2)2>07分∴函数f(x)的单调减区间为和-33,339分（3）x∈(-∞,-2］∪［2,∞)，都有f(x)≤m，即m≥x1-x210分由（2）知当|x|≥2时，y′=1+x2(1-x2)2>0∴函数f(x)在(-∞,-2］和［2,+∞)都单调递增11分f(-2)=-21-2=2f(2)=21-2=-2当x≤-2时y=x1-x2>0，∴0<f(x)≤f(-2)=-21-2=212分同理可得，当x≥2时，有-2≤f(x)<0，x∈(-∞,-2)∪［2,+∞］，f(x)取得最大值2，∴实数m的最小值为214分。