习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数：
(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
2(1)2,5xy y y x '==;
解：由2
5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?=
故是方程的解.
(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;
解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+
代入方程得 3s i n
4c o s 3s i n
4c o s
x x x x -++-=. 故是方程的解.
2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;
解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x
y x x x x y x x '''=+=+=++
代入方程得 2e 0x
≠. 故不是方程的解.
12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+
解：
12122211221122e e ,e e x x x x
y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得
1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=
故是方程的解.
3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：
22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=
证：方程
22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得
22x y y x y -'=
- 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.
2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==
证：方程ln()y xy =两端对x 求导：
11y y x y ''
=
+ (*)
得
(1)y y x y '=
-.
(*)式两端对x 再求导得
2
2211(1)1y y x x y y ??''+=-
??--??
将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：
220(1),5;x x y C y =-==
解：当0x =时，y =5.故C =-25
故所求曲线为：2
2
25y x -=
21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==
解：
2212(22)e x
y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =.
又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x
y x =. 5. 求下列各微分方程的通解：
(1)ln 0xy y y '-=;
解：分离变量,得 d 1
d ln y x
y y x =
积分得 11d ln d ln y x y x =??
ln ln ln ln y x c =+
ln y cx =
得 e cx
y =
.
(2)y '=
解：分离变量，得
=
积分得
=
得通解：
.c -=-
(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;
解：分离变量，得 e e d d 1e 1e y y
y x
y x =-+
积分得
ln(e 1)ln(e 1)ln y x
c --=+- 得通解为
(e 1)(e 1)x y c +-=. (4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;
解：分离变量，得 cos cos d d 0
sin sin x y
x y x y +=
积分得 ln sin ln sin ln y x c +=
得通解为 sin sin .y x c ?=
(5)y xy '=;
解：分离变量，得 d d y
x x
y =
积分得 21
1
ln 2y x c =+
得通解为 2
112
e
(e )x c y c c ==
(6)210x y '++=;
解： 21y x '=-- 积分得
(21)d y x x
=--?
得通解为 2
y x x c =--+.
32(7)4230x x y y '+-=;
解：分离变量，得 2
3
3d (42)d y y x x x =+
积分得
342y x x c =++ 即为通解.
(8)e x y y +'=.
解：分离变量，得 e d e d y x
y x -=
积分得
e d e d y x
y x
-=??
得通解为： e e y x
c --=+.
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
20(1)e ,0x y x y y -='== ;
解：分离变量，得 2e d e d y
x
y x =
积分得 21e e 2y x
c =
+. 以0,0x y ==代入上式得12c =
故方程特解为 21
e (e 1)
2y x =+.
π2
(2)sin ln ,e
x y x y y y ='== .
解：分离变量，得 d d ln sin y x
y y x =
积分得 tan
2
e x c y ?=
将
π
,e 2x y =
=代入上式得1c =
故所求特解为 tan 2
e
x
y =.
7. 求下列齐次方程的通解：
(1)0xy y '-=;
解：d d y y x x = 令
d d d d y y u u u x
x x x =?=+ 原方程变为
d x
x = 两端积分得
ln(ln ln u x c =+
u cx y cx x +==
即通解为：
2y cx +=
d (2)ln
d y y x y x x =; 解：d ln d y y y x x x = 令
y u x =， 则d d d d y u u x
x x =+ 原方程变为 d d (ln 1)
u x
u u x =- 积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+
ln 1ln
1u cx
y
cx x -=-=
即方程通解为 1
e cx y x +=
22(3)()d d 0x y x xy x +-=
解： 2
22
1d d y y x y x y x xy
x ??+ ?+??==
令
y u x =， 则d d d d y u u x
x x =+ 原方程变为
2
d 1d u u u x x u ++=
即 d 1d ,d d u x x u u x u
x ==
积分得 2
1
1ln ln 2u x c =+
2
122ln 2ln y x c x =+
故方程通解为
22221ln()()y x cx c c == 332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解：
3
33
221d d 33y y x y x x xy y x ??+ ?+??==?? ?
?? 令
y u x =, 则d d d d y u u x
x x =+ 原方程变为
3
2d 1d 3u u u x x u ++=
即 23
3d d 12u x u u
x =- 积分得 311
l n (21)l n l n
2u x c --=+ 以y
x 代替u ，并整理得方程通解为 33
2y x cx -=.
d (5)d y x y x x y +=
-;
解：
1d d 1y
y x y
x x +
=
- 令
y u x =， 则d d d d y u u x
x x =+ 原方程变为
d 1d 1u u u x x u ++=
- 分离变量,得 2
11
d d 1u u x u x -=+ 积分得 211
a r c t a n l n (1)l n l n
2u u x c -+=+
以y x 代替u ，并整理得方程通解为到
2a r c t a n 22211e .()
y
x
x y c c c +==
(6)y '=
解：
d d y y x
=即
d d x x y y =+
令x v y =， 则
d d ,d d x v x yv v y
y y ==+, 原方程可变为
d d v
v y v y +=+即
d d v
y
y =分离变量，得
d y
y =
积分得
ln(ln ln v y c =-. 即
y v c +=
2
2
22121y v v c y yv c c ??=+- ???-=
以yv x =代入上式，得
222c y c x ??
=+ ?
?? 即方程通解为 2
2
2y cx c =+.
8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：
220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;
解： 22d d 3
y y x
x y x =-??- ???
令y ux =，则得
2
d 2d 3u u u x x u +=-- 分离变量，得 23
3d d u x
u u u
x -=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=
即 231
ln ln u c u x -=
得方程通解为 223
y x cy -= 以x =0，y =1代入上式得c =1. 故所求特解为 2
2
3
y x y -=.
1(2),2x x y
y y y x ='=
+= .
解：设y ux =， 则d d d d y u
u x
x
x =+ 原方程可变为
d d x u u x =
积分得 2
1ln ln 2u x c
=+.
得方程通解为 2
2
2(ln ln )y x x c =+ 以x =1，y =2代入上式得c =e 2.
故所求特解为 2
2
2(ln 2)y x x =+.
9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：
(1)(253)d (246)d 0x y x x y y -+-+-= 解：设1,1x X y Y =+=+，则原方程化为
25
d 25d 2424Y
Y X Y X Y
X X Y X --==
++
令
d 25d 24Y u u u u X X X u -=?+=
+ 242d d 472X u X
u u u +?-=
+-
222
221
1(87)3
ln d 247213d ln(472)224721114ln(472)d 262411141
ln(472)ln ln 262u X u
u u u
u u u u u u u
u u u u u c u +-?=-+-=-+-++-??
=-+-+-+ ?+-??-=-+--++???
262216232
6422
323341
6ln 3ln(472)ln ln ()
2
41
(472)2
(41)(2)(41)(2),(u X u u c c c u u X u u c u X u u c X u u c c -?++-+==+-?+-?=+?-+=?-+==
代回并整理得
2(43)(23),(y x y x c c --+-== .
(2)(1)d (41)d 0;x y x y x y --++-=
解：d 1d 41y x y x
y x --=-
+- 作变量替换，令 1,0x X y Y Y
=+=+= 原方程化为
1d d 414Y
Y X Y X Y X X Y X -
-=-=-
++ 令Y uX =,则得
2
d 1d 14d 14d 14u u u u u X X X u X u -++=-?=-
++
分离变量，得 2
14d d 14u X u u
x +-=+ 积分得
22
2211d(14)ln d 1421411
arctan 2ln(14)22u X u u u u u c +=--++=-++?? 即 2
2ln ln(14)arctan 2X u u c +++=
22ln (14)arctan 2X u u c ?++=
代回并整理得 222ln[4(1)]arctan .
1y
y x c x +-+=-
(3)()d (334)d 0x y x x y y +++-=; 解：作变量替换,v x y =+ 则d d 1
d d y v x x =-
原方程化为 d 1d 34v v x
v -=-
- 1
1d 2(2)d 3434d d 2(2)
31d d d 223
ln(2)2
32ln(2)2,(2)v v x v v v x v v v x v v v x c v v x c c c -?=--?=-?
+=-?+-=+?+-=+=???
代回并整理得 32ln(2).x y x y c +++-=
d 1(4)1d y x x y =+-.
解：令,u x y =-则d d 1d d u y x
x =-
原方程可化为 d 1d u x
u =-
分离变量，得 d d u u x =-
积分得 2
1
12u x c =-+
2
122u x c =-+
故原方程通解为 2
1()2.(2)x y x c c c -=-+= 10. 求下列线性微分方程的通解：
(1)e x y y -'+=;
解：由通解公式
d d
e e e e d e ()e e d x
x x x x x x y x c x c x c -----??????==?+=+?+????????
2(2)32xy y x x '+=++；
解：方程可化为 123y y x x x '+
=++
由通解公式得
1
1
d d 22
e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x -????=++?+????
??=++?+????=+++??
sin (3)cos e ;x y y x -'+=
解：
cos d cos d sin sin e e ().e e d x x
x x x x y x c x c ---?
???==+?+?????
(4)44y xy x '=+;
解：
22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x x
x x x x y x x c x x c ----??????==++???????? (
)
2
2
2
222e e e 1
x x x c c -=-+=-.
3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;
解：方程可化为 2
d 12()d 2y y x x x x -=--
1
1d d 222ln(2)2ln(2)
3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)
x x x x x x y x x c x x c x x x c x c x ---
-----????=-+????
??=-+??
??=--+??=-+-???
22
(6)(1)24.x y xy x '++=
解：方程可化为
2
22
2411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)2
24e e
d 14
e 4d 3(1)
x
x
x x x x x x y x c x x c x x c x -
++-+????=+??+??
+??=+=??+??
11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：
πd 11
(1)
sin ,1d x y y x y x x x =+== ;
解： 1
1
d d 11sin
e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+????????
以π,1x y ==代入上式得π1c =-，
故所求特解为
1
(π1cos )y x x =
--.
2
311(2)(23)1,0x y x y y x ='+
-== .
解：2
23
23d 3ln x x x x c x --=--+?
2
2
2223d 23+3ln d 3ln e e e d e d x x
x x x x x x
x x
y x c x c ----
---?
?????∴==++??????
?? 2
223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ?
????
以x =1,y =0代入上式，得
12e c =-
. 故所求特解为
2311e 22e x y x -??
=- ?
??. 12. 求下列伯努利方程的通解：
2(1)(cos sin );y y y x x '+=-
解：令121
z y y --==，则有
d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=-
(1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x
x x x
x z x x x c x x x c c x ----????=-+????
??=-+=-??
??
1
e sin x c x y ?
=-
即为原方程通解.
411
(2)(12)33y y x y '+
=-.
解：令
3d 21d z
z y z x x -=?
-=-.
d d
e 21e (21)e d x x x
z x c x x c -????==--+-+????? 3(e 21)1x y c x ?--=
即为原方程通解.
13. 求下列各微分方程的通解：
(1)sin y x x ''=+;
解：方程两边连续积分两次得
2
1312
1cos 21
sin 6y x x c y x x c x c '=
-+=-++ (2)e x y x '''=;
解：积分得
1
e d e e x x x y x x x c
''==-+
?
112
212123
(e e )d e 2e 1
(e 2e )d (3)e 2x x x x x x x y x c x x c x c y x c x c x x c x c x c '=-+=-++=-++=--++??
(3)y y x '''=+;
解：令p y '=,则原方程变为
d d 11,,
e e 1
e d x
x x p p x p p x p c x x x c -????''=+-===--+?? 故 2112
1
(e 1)d e 2x x y c x x c x x c =--=--+?.
3(4)()y y y ''''=+;
解：设y p '=， 则
d d p y p
y ''=
原方程可化为
3d d p
p
p p y =+
即 2d (1)0
d p p p y ??
-+=????
由p =0知y =c ，这是原方程的一个解.
当0p ≠时，22
d d 1d d 1p p
p y y p =+?=+
112
1arctan d ln sin()tan()p y c y
x y c c y c ?=-'?==---?
2212arcsin(e )(e )c x y c c c '
∴=+=
1
(5);
y x ''=
解：1
1
d ln y x c x x ''==+?
1
121211
(ln )d ln ln ((1))y c x x x c x c x x x c x c c c x ''=+=-++'=++=-+?
(6)y ''=
;
解：1
arcsin y x x c '==+
112(arcsin )d arcsin .
y x c x x x c x c =+=+?
(7)0xy y '''+=;
解：令y p '=,则得1d d 00
p x
p p x p x '+
=?+= 1ln ln ln p x c ?+=
得
1
c p x = 故 112
d ln c
y x c c x x ==+?.
3(8)10y y ''-=.
解：令p y '=，则d d p y p y ''=.
原方程可化为
33d 10,d d d p
y p
p p y y y --==
22221112
221211211
222
d d 221().c p y p y c x x
c x c c x c c y c x c --?
=-+?=-+?=?±=?±=+?=+?-=+?
14.
311(1)10,1,0x x y y y y =='''+===;
解：令y p '=，则
d d p y p
y ''=,
原方程可化为
33d 11d d d p y p
p p y y y ?=-?=-
221
21
2111222
1
p y c p c y -?=+?=+
由1,1,0x y y p '====知，11c =-，从而有
2d y p y x
x c '==?=±?=±+
由1,1x y ==,得21c =
故 222x y x += 或
y =211(2)1,0,1x x x y xy y y ==''''+===;
解：令y p '=，则y p '''=. 原方程可化为
211p p x x '+
=
1
1
d d 11211
e (ln )e d x x x x p x c x c x x -????==++??
???
则 11
(ln )
y x c x '=+
以1,1x y '==代入上式得11c =
则
1
(ln 1)y x x '=
+
2
21ln ln 2y x x c =
++
当x =1时，y =0代入得20c = 故所求特解为
2
1ln ln 2y x x =
+.
2
001
(3),01x x y y y x =='''=
==+;
解：1arctan y x c '=+
当0,0x y '==，得10c =
2
22
arctan d arctan d 11
arctan ln(1)2
x
y x x x x x x x x x c ==-+=-++??
以x =0,y =0代入上式得20c =
故所求特解为 21
arctan ln(1)
2y x x x =-+.
200(4)1,1,0x x y y y y ==''''=+==;
解：令p y '=，则p y '''=.
原方程可化为 2
1p p '=+
2
1
1d d 1
arctan tan()p
x p p x c y p x c =+=+'==+
以0,0x y '==代入上式得1πc k =.
2
tan(π)d ln cos(π)y x k x c x k =+=-++?
以x =0,y =1代入上式得21c = 故所求特解为
ln 1cos(π)y x k =-++
20
0(5)e ,0y x x y y y =='''===;
解：令y p '=，则
d d p y p
y ''=.
原方程可化为
2d e d y p
p
y =
即
2d e d y p p y = 积分得 221
111e 2
22y p c =+ 221e y p c =+
以0,0x y y '===代入上式得11c =-,
则
p y '==
2d arcsin e y x
x c -=±=+
以x =0,y =0代入得
2π2c =
， 故所求特解为
π
arcsin e 2y x -=+
即πe sin cos 2y x x -??==± ???. 即lnsec y x =
.
00(6)1,2x x y y y =='''===.
解：令
d ,d p
y p y p
y '''== 原方程可化为 1
2
d 3d p p y y =
12
3
2
21d 3d 122p p y y
p y c ==+
以0,2,1x y p y '====代入得10c =
故 34
2y p y '==±
由于0y ''=>. 故342y y '=，即 34
d 2d y
x
y
=
积分得 14
242y x c =+ 以x =0,y =1代入得24c =
故所求特解为
4
112y x ??=+ ???. 15. 求下列微分方程的通解：
(1)20y y y '''+-=;
解：特征方程为 2
20r r +-=
解得 121,2r
r ==- 故原方程通解为
212e e .x x
y c c -=+ (2)0y y ''+=; 解：特征方程为 2
10r +=
解得 1,2r
i =± 故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+
22d d (3)420250
d d x x
x t t -+=;
解：特征方程为 2
420250r r -+=
解得 1252r r ==
故原方程通解为 52
12()e t x c c t =+.
(4)450y y y '''-+=;
解：特征方程为 2
450r r -+=
解得 1,22r
i =± 故原方程通解为
212e (cos sin )x
y c x c x =+. (5)440y y y '''++=; 解：特征方程为 2
440r r ++=
解得 122r
r ==- 故原方程通解为
212e ()x
y c c x -=+
(6)320y y y '''-+=.
解：特征方程为 2
320r r -+=
解得 1,2r r == 故原方程通解为 212e e x
x
y c c =+. 16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;
解：特征方程为 2
430r r -+=
解得 121,3r
r == 通解为 312e e x
x
y c c =+
312e 3e x x y c c '=+
由初始条件得 1211
22643102c c c c c c +==?????
+==?? 故方程所求特解为 34e 2e x x
y =+.
00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===
解：特征方程为 2
4410r r ++=
解得
1212r r ==-
通解为 12
12()e
x y c c x -=+
2
2121e
22x
x y c c c -??'=-- ??? 由初始条件得 112212
21
102c c c c c =?=??
???=-=???
故方程所求特解为 1
2
(2)e
x y x -=+.
00(3)4290,0,15;x x y y y y y ==''''++===
解：特征方程为 2
4290r r ++=
解得 1,225r
i =-± 通解为 212e
(cos5sin5)x
y c x c x -=+
22112e [(52)cos5(52)sin5]x y c c x c c x -'=-+--
由初始条件得 112
1200
52153c c c c c ==????
?-==?? 故方程所求特解为 23e sin5x
y x -=.
00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.
解：特征方程为 2
250r +=
解得 1,25r
i =±
通解为 12cos5sin5y c x c x =+
125sin55cos5y c x c x '=-+
由初始条件得 112
222
551c c c c ==?????==?? 故方程所求特解为 2cos5sin5y x x =+.
17. 求下各微分方程的通解：
(1)22e x y y y '''+-=;
解： 2
210r r +-=
121
1,2r r ∴=-=
得相应齐次方程的通解为
12
12e e x x
y c c -=+
令特解为*
e x
y A =,代入原方程得
2e e e 2e x x x x A A A +-=,
解得1A =, 故*e x y =,
故原方程通解为 2
12e e
e x
x x
y c c -=++.
2(2)25521y y x x '''+=--;
解：2
250r r +=
1250,2r r ==-
对应齐次方程通解为 52
12e
x y c c -=+
令*
2
()y x ax bx c =++, 代入原方程得 222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--
比较等式两边系数得
137,,3525a b c ==-=
则
*321373525y x x x
=-+ 故方程所求通解为
5322
121
37e
3
525x y c c x x x -??=++-+ ?
??. (3)323e x y y y x -'''++=; 解：2
320r r ++=
121,2r r =-=-,
对应齐次方程通解为 212e e x x
y c c --=+
令*()e x
y x Ax B -=+代入原方程得
(22)e 3e x x Ax B A x --++=
解得
3
,32A B =
=-
则
*23e
32x
y x x -??=- ??? 故所求通解为
22123e e e
32x x x
y c c x x ---??=++- ???. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;
解：2
250r r -+=
1,212r i =±
相应齐次方程的通解为
12e (cos2sin 2)x y c x c x =+
令*
e (cos2sin 2)x
y x A x B x =+，代入原方程并整理得
4cos 24sin 2sin 2B x A x x -=
得 1
,0
4A B =-= 则 *1
e cos 24x y x x
=-
故所求通解为 121
e (cos 2sin 2)e cos 24x x y c x c x x x
=+-.
(5)2y y y x '''++=;
解：2
210r r ++=
1,21r =-
相应齐次方程通解为 12()e x
y c c x -=+
令*
y Ax B =+代入原方程得
2A Ax B x ++=
得 1,2A B ==-
则
*2y x =- 故所求通解为
12()e 2x
y c c x x -=++- 2(6)44e x y y y '''-+=.
解：2
440r r -+=
1,22r =
对应齐次方程通解为 212()e x
y c c x =+
令
*22e x y Ax =代入原方程得 1
21,2A A ==
故原方程通解为
222121()e e 2x x
y c c x x =++
.
18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：
ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;
解：特征方程为 2
10r +=
得 1,2r
i =± 对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+ 令*
cos2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得
3cos 23sin 2sin 2A x B x x --=-
得
1
0,3A B ==
故通解为 121
cos sin sin 23y c x c x x
=++.
将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-????
??
?-+==-???? 故所求特解为 11
cos sin sin 233y x x x
=--+.
200633
(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===
.
解： 2
1090r r -+=
121,9r r ==
对应齐次方程通解为 912e e x
x
y c c =+ 令*
2e x
y A =,代入原方程求得
17A =-
则原方程通解为 29121
e e e 7x x x
y c c =-++
由初始条件可求得
1211,22c c ==
故所求特解为 9211(e e )e 27x x x
y =+-.
*19. 求下列欧拉方程的通解：
2(1)0x y xy y '''+-= 解：作变换e t
x =，即t =ln x ,
原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=
即 22d 0d y
y t -=
特征方程为 2
10r -=
121,1r r =-=
故 12121
e e t t y c c c c x
x -=+=+.
23(2)4x y xy y x '''+-=.
解：设e t
x =，则原方程化为
3(1)4e t D D y Dy y -+-=
232d 4e d t y
y t -= ①
特征方程为 2
40r -=
122,2r r =-=
故①所对应齐次方程的通解为
2212e e t t y c c -=+
又设*
3e t
y A =为①的特解，代入①化简得
941A A -= 15A =, *31e 5t
y =
故 223223121211e e e .55t
t t y c c c x c x x --=++=++
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312 cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??==
∵ 22 22 ,, z z x y x a y b ?? =-=- ?? ∴ 22 22 z l a b ? ? =--= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y); (3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2) 22 () e x y -+ ; (5)z=xy(a－x－y),a≠0. 解：（1）解方程组 2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=? ? =-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6 在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e(2241)0 2e(1)0 x x x y z x y y z y ?=+++=? ? =+= ?? 得驻点为 1 ,1 2 ?? - ? ??. 22 2 2 4e(21) 4e(1) 2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++ =+ = 在点 1 ,1 2 ?? - ? ??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值 e 1 ,1 2 2 z??=- - ? ??. (3) 解方程组 2 2 (62)(4)0 (6)(42)0 x y z x y y z x x y ?=--=? ? =--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx=－2(4y-y2), Z xy=4(3－x)(2－y) Z yy=－2(6x－x2) 在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2e(1)0 2e(1)0 x y x y x x y y x y -+ -+ ?--=? ? --=?? 得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1， 在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0. 再讨论函数z=u e-u
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面. 2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==； 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =， k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6 习题6-2 1 求图6-21 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a . 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 第六章 微分中值定理及其应用 2?若 lim 1 acosx -bsin ^ 1 ，则 a = X T 0 x 2 3.曲线y = e x 在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4?设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________ x 6?设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________ 区间； 7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的? = _________________ 8?函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________ 9. 函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的 ?= ______ ; x e 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ; x 3 11. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。 12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取 得极小值 ________________________________________ 。 3 2 13. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____ 2 2 一、填空题 1若a 0,b 0均为常数，贝 U 5. lim (1 x )x -e x —.Q x 2 X a H X X 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
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