微积分课后题答案习题
详解
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞
x n +k =a .
证：由lim n n x a →∞
=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有
取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明
上述结论反之不成立.
证：
而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞
=，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) lim n →∞
2
22111(1)
(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭
=0； (2) lim n →∞2!n n =0.
证：（1）因为
222
222111
112(1)(2)n n n n n n n n n n
++≤+++
≤≤=+ 而且 21lim
0n n →∞=，
2lim 0n n
→∞=， 所以由夹逼定理，得
22211
1lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
= ⎪+⎝
⎭
. （2）因为22222240!123
1n n n n n
<
=<-，而且4
lim 0n n →∞=，
所以，由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
(1) x n =
1
1
n e +，n =1,2,…；
(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
（2）因为12x <，不妨设2k x <，则
故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，
又 1n n x x +-=，而0n x >,2n x <， 所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。
综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明：0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
证：先证充分性：即证若0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==，则0
lim ()x x f x a →=. 由0
lim ()x x f x a -→=及0
lim ()x x f x a +
→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
20δ∃>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。
取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<， 于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0
lim ()x x f x a →=.
再证必要性：即若0
lim ()x x f x a →=，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==, 由0
lim ()x x f x a →=知，0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<或
00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.
所以 0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→== 综上所述，0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
2. (1) 利用极限的几何意义确定0
lim x → (x 2+a ),和0
lim x -
→1
e x
； (2) 设f (x )= 1
2
e ,0,,0,x
x x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩
，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.
解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故2
0lim()x x a a →+=.
当x 从小于0的方向无限接近于0时，1
e x
的值无限接近于0，故10
lim e 0x
x -
→=. （2）若0
lim ()x f x →存在，则00
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→=， 由（1）知 2
2
lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--
→→→=+=+=， 所以，当0a =时，0
lim ()x f x →存在。
3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞
sin x 不存在.
解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线
y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞
不存在。
习题2-3
1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由
sin cos tan x
x x
=（当0x →时，cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但
22x
x
=不是无穷大量，也不是无穷小量。 例3：当0x +
→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =不是无穷大量，也不是无穷小量。
2. 判断下列命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
