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高等数学课后习题答案--第一章

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《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

5．【答案】在已知条件中, 令x t /1=, 则得到 ct t bf t af =+)(1, 即cx x bf x af =+)(1, 联立解方程组=+= +,)(1,1)(cx x bf x af x c x bf x af 得到−−=bx x a b a cx f 22)(, 因此函数)(x f 是奇函数.6．下列函数中，哪些是周期函数？如果是周期函数，写出它们的最小正周期：（1）x x x f sin )(2=；（2）x x f 2sin )(=；（3）|2cos |)(x x f =；（4）)2sin(1)(−+=x x f π。

6．【答案】 (1) 不是周期函数; (2) π=T ; (3) 2π=T ; (4) 2=T .7．设f 是定义于（-a ,a ）上的偶函数，若它在（0，a ）上单调减少，证明f 在（-a ,0）上是单调增加的。

7． 【答案】. 若t s >>0, 则t s −<−<0, 于是)()(t f s f −>−, 即)()(t f s f >, 即)(x f 在)0,(a −单调增加的.8．判断下列函数在给定区间上是否有界：（1）);4,2(,22)(∈−+=x x x x f （2）),0(,sin )(2+∞∈=x x x x f ；（3）)1,0(,1sin 1)(∈=x xx x f ；（4）),1(,sin )(+∞∈+=x x x x f。

8． 【答案】 (1) 无界 ; (2) 无界; (3) 无界; (4) 无界9．设,2)(,)(2x x g x x f ==求g g f f f g g f o o o o ,,,。

9． 【答案】 x g f 22=o ; 22x f g =o ; 4x f f =o ; xg g 22=o 10．下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成：（1）53)(−=x x f ；（2）x x f lg )(=；（3）))1sin(lg()(2+=x x f .10.【答案】 （1）u f =， 53−=x u ; (2) u f =v u lg =, x v =(3) u f sin =v u lg =, 12+=x v .11．求下列函数的反函数，并指出反函数的定义域：（1）x x f 3sin 2)(=;（2）1)(+=x xa a x f ;（3）2)(xx a a x f −−=;（4）]1,0[)(,1arcsin 4)(2=−=f D x x f .11. 【答案】 (1) 2arcsin 31x y =, 22:≤≤−x D ; (2) xxy a −=1log , )1,0(=D ; (3))1(log 2++=x x y a , ),(+∞−∞=D ; (4) 4cos 2xy =, ]2,0[:π=D .§2 数列的极限 习 题1. 证明：数列L L ,1,,31,21,1n为无穷小量。

1. 【答案】 对于任意给定的0>ε,ε<n1, 解得21ε>n , 于是取=21εN , 当N n >时, 成立ε<n1, 因此01lim=∞→n n , 即n 1是无穷小量.2. 证明：若数列{n a }收敛于a ，则数列{|n a |}收敛于||a 。

并问其逆命题是否成立？2. 【答案】 若对任意给定的0>ε，总存在整数0>N ，当N n >时，都有ε<−||a a n . 对于任意给定的0>ε, 由于a a a a n n −≤−||||, 于是当N n >时，都有ε<−||||a a n , 因此|}{|n a 收敛于||a . 但反之不一定成立, 例如n n a )1(−=.3. 求下列极限：（1）∞→n lim n n n +−2213;（2）∞→n lim+−−1122n n n n ;（3）∞→n limnn nn 3)1(3)2(+−+−;（4）∞→n lim 1)!sin(2+n n n ;（5）∞→n limnnb b b a a a ++++++++L L 2211 （1||,1||<<b a ）;（6）∞→n lim −+++222121n n n nL ;（7）∞→n lim+++⋅+⋅)1(1321211n n L ;（8）∞→n lim nnnn a a a a −−+− (a ＞0).3 【答案】 (1) 3; (2) 1; (3) 分子分母同除以n 3, 极限为1; (4) 利用|)!sin(|n 有界,极限为0; (5) a b −−11; (6) 21; (7) 利用111)1(1+−=+n n n n , 极限为1;(8) >=<<−1,10,110,1a a a .4. 下列命题是否正确？正确的请给予证明，不正确的请举出反例。

（1） 若{n a }收敛，{n b }发散，则{n a +n b }与{n a n b }均发散；（2）若{n a }，{n b }均发散，则{n a +n b }，{n a n b }也均发散。

4. 【答案】 (1) }{n n b a +发散, 用反证法证明; }{n a 不收敛于零时}{n n b a 发散, 用反证法证明, 当}{n a 收敛于零时, 不一定. 例na n 1=, n n b )1(−=, 则}{n n b a 收敛, 但2)1(n b n n −=时, }{n n b a 发散. (2) 不一定;5. 设n a = n n 2124321−⋅L，证明n a ＜121+n ,并求出∞→n lim n a 。

5. 【提示】)12()2(43)12()12(312222222+⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅=n n n n a n L L 121)2()12)(12(453231222++−⋅⋅=n n n n L 121+<n 6. 证明：∞→n lim 0)2()2(2)1(1333=+++++n n n n L .6. 【提示】 利用333)()2(1nnk n k n ≤+≤, n k ,,2,1K =, 根据夹逼性即得.7. 利用“单调有界数列必有极限”，证明下列数列{n x }收敛，并求出它们的极限：（1）;,2,1,2,211L ===+n x x x n n （2）;,2,1,2,211L =+==+n x x x n n （3）.,2,1,11,111L =++==+n x x x x nnn 7. 【提示】 (1) }{n x 是单调增加的, 且2<n x .(2) 首先用归纳法证明数列是单调增加的. 显然222+=u >12u =, 设1−>n n u u 成立,则1n u +=n u =也成立, 因此数列是单调增加的. 其次证明它有上界. 仍用归纳法来证明. 对于21=u <12+, 设对于n 成立<n u 12+， 则11n u +=<<==,因此由归纳假设可知，对一切n , 有n u<1+. 这样数列{ n u }有上界. 因此数列收敛. 注意, 在此题有界性的证明中, 归纳假设的界不是唯一的, 可以假设1+<k a n , 其中k 是任意大于2的正数. 这种不唯一性也给初学者带来困惑.（3）提示： 显然 2n x <. 归纳法证明数列单调增加. 利用1111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x −−+−−−−=−=++++即可.8. 利用Cauchy 收敛准则，证明以下数列{n x }的收敛性：（1）n n nx 2sin 22sin 21sin 2+++=L ;（2）)1(cos 322cos 211cos +++⋅+⋅=n n nx n L ;（3）222131211n x n ++++=L （提示：n ≥2时 n n n11112−−<）。

8. 【提示】 )(n m >(1) m n n n m a a 212121||1+++≤−+L n 21≤ε<, 只要ε1log 2>n ;(2) ≤−||n m a a)1(1)2)(1(1)1(1−++++++m m n n n n L n m n 111<−< ε<, 只要ε1>n ; (3) ||n m a a − 2221)2(1)1(1m n n +++++=L 222)1(1)1(1)1(1++++++≤n n n L 2)1(+=n nn1<ε<, 只要ε1>n .§3 函数的极限习 题1. 验证下列极限：（1）3lim →x 21=+x ;（2）0lim →x 21x e−= 0。

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高等数学教材微积分课后答案

高等数学教材微积分课后答案

高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。

令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。

然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。

因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。

(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。

2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。

令f'(x) = 0，解得x = ln6。

然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。

因此，函数在x = ln6处取得极值。

(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。

第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。

高等数学1(理工类)第1章答案

高等数学1(理工类)第1章答案

高等数学第一章习题一、填空1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为),1[e2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)11(+x f 的定义域 [-1/2,0] 。

3.设⎩⎨⎧≤<-≤≤=211101)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。

5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+∈,)4,(πππ6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。

7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()xf e 的定义域(,0]-∞8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9. xxsin limx ∞→＝ 010.()()()=+-+∞→1761125632lim x x x x 17653。

11.x x x)21(lim -∞→＝ 2e -12.当∞→x 时，x1是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 23-14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。

15.若A x f x x =→)(lim 0（A 为有限数），而)(lim 0x g x x →不存在，则)]()([lim 0x g x f x x +→ 不存在 。

16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。

（ 不一定 ） 17.函数23122++-=x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。

同济大学版高等数学课后习题答案第1章

同济大学版高等数学课后习题答案第1章

习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

高等数学习题集答案(第一章)

高等数学习题集答案(第一章)

第一章 函数、极限与连续§1.1函数习题11.（1）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,32，（2）[)(]1,00,1⋃-，（3）[]2,0，（4）{}0≠x x ，（5）()∞+-.1； 2.（1）不同，（2）不同，（3）相同，（4）不同；3.单调增加；4.（1）偶，（2）非奇非偶，（3）非奇非偶，（4）偶，（5）奇；5.（1）x y 2sin ln =是由,u y =v u ln =，2w v =，x w sin =四个函数复合而成；（2）2arctan x e y =是由ue y =，v u arctan =，2x v =三个函数复合而成； （3）)2ln(cos 2x y +=是由2u y =， v u cos =，w v ln =，x w +=2四个函数复合而成；（4）32cos arctan x e y =是由31u y =，v u arctan =，w v cos =，t e w =，x t 2=五个函数复合而成； （5）)e ln(tan sin 22x x y +=是由u y ln =，v u tan =，w e v =，x x w sin 22+=四个函数复合而成； 6.()011)(2>++=x xx x f ； 7.()1,011)]([≠-=x x x f f ，{}()1,0)]([≠=x x x f f f 。

习题2 1.（1）{}0≠x x ，（2）(]1,0，（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠≥01210k k x x x π且； 2.（1）不同，（2）不同；3.（1）奇，（2）偶；4.原点；5. ()1sin 0211)(2<<--=x x x x f 。

§1.2数列的极限习题1.（1）0；（2）0；（3）2（4）1；（5）极限不存在。

2.（1）]1[ε=N ；（2）]41[ε=N ；（3）]1lg 1[ε+=N ； §1.3函数的极限习题 1. 397=X 。