课题：平行四边形分类、平行四边形、梯形特征
教学内容：平行四边形分类、关系、平行四边形和梯形的概念（课文第70页的例1）
教学目标：
1、学生理解平行四边形和梯形的概念及特征。
2、使学生了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。
3、通过操作活动，使学生经历认识平行四边形和梯形的全过程，掌握它们的特征。
4、通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。
教学重点：理解平行四边形和梯形的概念及特征。了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。
教学难点：理解平行四边形和梯形的概念及特征。用集合图表示学过的所有四边形之间的关系。
教具准备：图形、剪子、七巧板。
教学过程：
一、创设情景感知图形
１．出示校园图（７０页）在我们美丽的校园中，你能找到那些四边形？
２．画出你喜欢的一个四边形。说一说什么样的图形是四边形？
展示学生画出的四边形，请学生标出它们的名称。
长方形平行四边形
梯形正方形
３．小组交流：从四边形的特点来看，四边形可以分成几类？学生讨论交流。
二、探究新知
1．归纳平行四边形和梯形的概念。
有什么特点的图形是平行四边形？（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。）
强调说明：只要四边形的每组对边分别平行，就能确定它的每组对边相等。因此平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形。
提问：①生活中你见过这样的图形吗？它们的外形像什么？
②这些图形有几条边？几个角？是什么图形？
③这几个四边形有边有什么特点？
④它是平行四边形吗？
⑤你们在量这些图形时，是否发现它们都有一个共同的特点？如果有，是什么？
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
５．现在你有什么问题吗？
长方形和正方形是平行四边形吗？为什么？
６．用集合图表示四边形之间的关系。我们学过的长方形、正方形、平行四边形、刚刚认识的梯形，你能用这个集合圈来表示他们的关系吗？
７．判断：
①长方形是特殊的平行四边形。（）
②两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（）
③一个梯形中只有一组对边平行。（）
三、巩固练习。
1、在梯形里画两条线段，把它分割成三个三角形。你有几种画法？学生展示
2、七巧板拼一拼
①用两块拼一个梯形
②用三块拼一个梯形
③用一套七巧板拼一个平行四边形
２．下面的图形中有（）个大小不同的梯形。
３．用两个完全一样的梯形，能拼成一个平行四边形吗？
把１张梯形纸剪一次，再拼成一个平行四边形。
拿一张长方行纸，不对折，剪一次，再拼出一个梯形。
四、课堂小结：通过这节课的学习，你有何体会和收获？
五、作业：
１、把一个平行四边形剪成两个图形，然后拼成一个三角形，这个三角是什么三角形？有几种剪拼的方法？
２、把一张平行四边形的纸剪一下，分成两个梯形，有多少种剪法？
第6章平行四边形优题与易错题答案与解析 1.在?ABCD中，AB与CD的关系为： AB=CD且AB∥CD 2．考点：三角形中位线定理。 专题：规律型。 分析：十等分点那么三角形中就有9条线段，每条线段分别长，…，让它们相加即可． 解答： 解：根据题意： 图（1），有1条等分线，等分线的总长=；图（2），有2条等分线，等分线的总长=a； 图（3），有3条等分线，等分线的总长=a；… 图（4），有9条等分线，等分线的总长=a=a．故答案为a． 3．考点：三角形中位线定理。 分析：作CF中点G，连接DG，由于D、G是BC、CF中点，所以DG是△CBF的中位线，在△ADG中利用三角 形中位线定理可求AF=FG，同理在△CBF中，也有CG=FG，那么有AF=CF． 解答：解：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC 又∵BD=DC∴DG∥BF ∵AE=ED∴AF=FG∴=．故答案为． 4．考点：三角形中位线定理。 分析：根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半． 解答：解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE，EF，DF分别是原三角形三边的一半， ∴ DEF与△ABC的周长之比=1：2．故答案为1：2． 5．一个任意三角形的三边长分别是6cm，8 cm，12cm，它的三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小是14 cm．考点：三角形中位线定理。 分析：周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形． 解答：解：如图：AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，D，F，E分别为三角形各边中点． 三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形即?ADEF． AD=EF=3cm，DE=AF=4cm，其周长为2×3+2×4=14（cm） 故答案为14． 6.考点：三角形中位线定理。
动点问题中的平行四边形
动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求： 1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习： 1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图 1 所示，张大伯打算把池塘在 原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这 个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ B B y C A O A x 图1图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图 2，在平面直角坐标系中，点 A （1，0） , B（ 0， 2），则 平行四边形 AOBC 的顶点 C 的坐标为 __________________
1.4、变式练习： 如图 2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以 A、O、 B、 C 为顶点的平行四边形的顶点 C 坐标，则点 C 的坐标为 ____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图 3，在梯形 ABCD 中， AD∥BC, 在 AD边上有一点 P 从点 A 到点 D运动， 速度为每秒 1 个单位，在 CB边上有一点 Q从点 C 向点 B 运动，速度为每秒 2 个 单位，已知 AD=8,BC=12,若 P、Q 同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时， P 运动多少秒时 ? A D C B 图 3
专题平行四边形中的简单证明 一、平行四边形的性质 ?沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点1．在平行四边形ABCD中，将ABC O，求证：OD=OB’。 ∠=∠ 2．如图，在 ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBF FDE 3．如图，在 ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。 （1）求证：AE=AF； ??? （2）求证：ABE AGF 二、平行四边形的判定 4．如图，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。
5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。 6．如图所示，已知E 为 ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连AE 分别交BC ，BD 于F ，G ，连AC 交BD 于O 点，连OF 。 （1）求证：AF=EF ； （2）DE=4OF 专题 平行四边形中的面积问题 【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题 一、方程的思想 1． 如图，在 ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，已知AE=4，AF=6， ABCD 的周长为40，求 ABCD 的面积。 2． 如图，E 是 ABCD 内任一点，若6ABCD S = ，则ABE CDE S S ??+=______
二、分类讨论的思想 3．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ） A ．11+ B ．11- C ．11+11 D ．11或1 三、数形结合的思想 4．基本图形：如图，在 ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作直线分别交AD ，BC 于E ，F 。 基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________ （2）图中相等的线段有：____________ （3）与四边形ABEF 周长相等的四边形是_____________ （4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分， 即ABFE S =四_____ 应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A （5,0），C （1,4）， 过点P （0，-2）的直线分别交于OA ，BC 于M 、N ，且将 OABC 的面积分成 相等的两部分，求点M 、N 的坐标。
平行四边形对点坐标关系(线段平移规律) 平行四边形的综合性习题较多，平行四边形的相对两点坐标关系是解决平行四边形存在问题的一种万能方法，这种方法避免了画图不全面而容易丢解的弊端，是一种好的方法！ 教学过程如下： 题目：平面直角坐标系中，已知点M （2,3），N （-3,4），P （-2，-1），请求出点Q 的坐标，使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形。 由于此题的四边形的顶点顺序没有明确给出，所以此题就会出现多种情况，学生遇到的难点会有两个，一个是考虑问题不周，造成丢解；一个是问题考虑全面，但是求解困难，为此，借助几何画板帮助学生更快地找到解决问题的方法。 几何画板演示：平面直角坐标系中线段AB ，A （2,1）B （3,4），将线段AB 进行平移，即左移4个单位长度，上移2个单位长度，得到线段CD 。（A 、B 、C 、D 四个点的坐标在画板中要标注好，便于发现坐标之间的关系） 如此平移之后，利用平移的性质可知四边形ABCD 为平行四边形，通过坐标平移规律引导学生发现平行四边形四个顶点的坐标关系。 由于只进行了一次平移，学生很难发现，所以利用几何画板再进行不断地演示，直至学生发现：平行四边形相对两点的横、纵坐标之和均相等这一规律。在发现规律的过程中，几何画板的演示起到了帮助加速学生发现规律的作用。 在发现及归纳规律之后，引导学生利用数学知识进行验证，即利用三角形全等的知识进行证明！ 在学生通过几何画板的“形”的直观，发现猜想，到利用数学知识验证所得的猜想正确后，还要引导学生总结三个定点构成平行四边形问题可以通过分类讨论的思想，利用对点坐标的关系快速求解，就省去了画图的步骤，从而全面快速解决问题！ 情况一：NP 为相对的两个顶点
火眼金睛巧辩真伪 1、底高不对应 【例1】已知在□ABCD中，AB=6，点A到BC的距离为4，而到CD的距离为5，求四边 形ABCD的面积。 错解： 平行四边形的面积=底?高，∴ S=6×4=24. 剖析：A到CD边的距离才是AB边上的高，这里底高位置不对应。 正解：S=6×5=30. 点评：本题涉及平行四边形的面积，不能停留在对公式的简单套用，而要搞清底和与它对 应的高. 2、性质糊涂用 【例2】如图2，线段BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F分别为BC、AD上任意一点，连结EF交BD于点P,判断PE=PF. 错解：对. 剖析：平行四边形的对角线互相平分，而此处线段EF不是平行四边形ABCD的对角线. 正解：错. 点评：本题主要考查同学们能否合理运用平行四边形性质的能力，如果添加AF=CE这 一条件，结果会怎么样呢？ 3、审题不清楚 【例3】如图3，在□ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么?
错解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，又∠1＝∠2（对顶角相等），OE ⊥ AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°可得△AOE ≌△COF (AAS)， ∴OE ＝OF .. 剖析：错解中默认了E 、O 、F 三点共线，而已知条件中并没有这个结论，因此E 、 O 、F 三点共线在证题过程中必须加以证明，否则就是错误的. 正解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠3＝∠4，AO ＝OC ，∵OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90° 可得△AOE ≌△COF (AAS)， ∴OE ＝OF .. 或者： 证法2：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ． ∵OE ⊥AD ，∴OE ⊥BC ．又OF ⊥BC ， ∴直线OE 与OF 重合，即E 、O 、F 三点共线．∴∠1＝∠2． 又∵OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°， ∴△AOE ≌△COF (AAS)，∴OE ＝OF ． 点评：平行四边形蕴含着很多特性，如：对边相等且平行，邻角互补、对角线平分、是中心对称图形等. 4、考虑不全面 【例4】如图4，在 ABCD 中，∠A 的平分线分BC 为3.5cm 和4.5cm 的两部分，求ABC D 的周长 图4 错解：∵ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA ，又AE 平分∠BAD ，∴∠D AE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∴ABCD 的周长为[])5.45.3(5.3++×2=23cm 剖析：错在因为思维形成定势，忽略了在分成的两部分中，BE 可以为3.5也可以为4.5，因
初三培优——平行四边形和相似三角形的分类讨论问题 一、平行四边形的分类讨论问题（比划比划寻找平行四边形） 例:1：（2016·福建龙岩）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分 别为A（﹣4，0），B（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标； （4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
相关练习：（2016·贵州安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
二、相似三角形的分类讨论问题 例题2：（2016·山东潍坊）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
相关练习：（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3） （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
15.3平行四边形的性质(1) 一、教学目标： 1．理解平行四边形的对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关 的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、教学重点、难点： 1.重点：平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2.难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、教学方法与手段 根据八年级学生的心理特点和认知水平，应用全等三角形的素材温故知新，让学生经历平行四边形的产生过程，让学生动手操作、观察猜想、积极思维，勇于探索，主动地获取知识，全方位地让学生亲身经历知识的产生过程，便于学生自然地理解知识。同时，采用了现代化教学技术，激发学生的学习兴趣，使整个课堂活起来，提高课堂效率。本节课通过让学生拼接两个全等三角形成四边形的过程，让学生亲自尝试，接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，以此完成教学的四个步骤: （1） 认识性质 （2）理解性质 （3）巩固性质 （4）运用性质 最后进行探索演练内化方法，以此达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新。为终身学习和发展打下一定的基础。 四、教学过程： （一）复习引入： 平行四边形的定义所包涵的两层涵义 判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 用数学符号语言表示为： ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ∴四边形ABCD 为平行四边形 性质：（1）平行四边形的对边平行 用数学符号语言表示为： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC 引出课题《平行四边形的性质》 （二）探索新知： 活动一：（合作探究，引入新课） 你们能用两张全等的三角形纸片，拼出四边形吗？ 合作一：小组拼图：在同一平面内，用两张全等的三角形纸片拼四边形, 有哪几
平行四边形中的分类讨论思想 一教学目标 1、知识目标： （1）掌握平行四边形相关性质； （2）学会利用平行四边形性质求点的坐标； （3）了解分类讨论思想. 2、能力目标： （1）在平行四边形活动中培养学生的拼图能力； （2）通过不同问题的解决，提高学生的分类思想。 3、情感目标： （1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； （2）通过平行四边形讲解，对学生进行分类有序教育． 教学重点：已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标。 教学难点：求顶点坐标 二、教学方法设计：启发讨论探究 三、学习方法设计：观察、思考、归纳、探索、合作、交流、反思等 四、教学过程 引入 拼一拼：小付同学打算用两个全等的三角形纸板拼成一个平行四边形纸板，你知道小付是怎么拼的吗？请你画出小付拼出的平行四边形？ A B C D E F
引入 画一画：在边长为1的正方形网格中有A ，B ，C 三点，请你画出以A ，B ，C 为其 中三个顶点的平行四边形. 想一想：1.在平行四边形分类讨论问题中，常以什么为分类标准？ 2.这些平行四边形的面积之间有什么数量关系呢？（面积相等） 填一填：(1)在平面直角坐标系中，若以点A (2，1)，B (5，1)，C (3，3)，D 四点为顶点的四 边形是平行四边形，请你写出点D 的坐标. （点D 的坐标为（6,3），（0,3），（4，-1）） (2)在平面直角坐标系中，若以点A (2，1)，B (5，1)，C (a ，b )，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，请你写出点D 的坐标. 想一想：在平行四边形ABCD 中，若点A （a ，b ），B （c ，d ），C （e ，f ），D （g ，h ），则四个顶点的坐标之间有什么关系？ A B C A B C D A C D a A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O -1 1 2 3 4 5 6 -1 A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O -1 1 2 3 4 5 6 -1 A B C (a ，b )
平行四边形分类讨论问题 上海市松江区中考 如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan ∠ABO 的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标． 图1 （1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 1,164 3. c b c =?? -++=? 解得9 2b =，c ＝1． 所以抛物线的解析式是29 1 2 y x x =-+ +． （2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5． 如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5 AOH OBC ∠=∠=， 所以4 sin 5 AH OA AOH =?∠= ． 图2 所以35OH =，22 5 BH OB OH =-=． 在Rt △ABH 中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷=． （3）直线AB 的解析式为1 12y x =+． 设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1 (,1)2 x x +， 那么2291 (1)(1)422 MN x x x x x =-++-+=-+． 当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3． 解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3． 因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9 (1,)2 （如图3）．
平行四边形中的分类讨论思想 一教学目标 1、知识目标： （1）掌握平行四边形相关性质； （2）学会利用平行四边形性质求点的坐标； （3）了解分类讨论思想. 2、能力目标： （1）在平行四边形活动中培养学生的拼图能力； （2）通过不同问题的解决，提高学生的分类思想。 3、情感目标： （1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； （2）通过平行四边形讲解，对学生进行分类有序教育. 教学重点：已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标。 教学难点：求顶点坐标 二、教学方法设计：启发讨论探究 三、学习方法设计：观察、思考、归纳、探索、合作、交流、反思等 四、教学过程 引入拼一拼：小付同学打算用两个全等的三角形纸板拼成一个平行四边形
引入画一画：在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，请你画出以A, B, C为其 中三个顶点的平行四边形? 想一想：1.在平行四边形分类讨论问题中，常以什么为分类标准？ 2.这些平行四边形的面积之间有什么数量关系呢？（面积相等） （2）在平面直角坐标系中，若以点 点为顶点的四边形是平行四边形，请你写出点 想一想：在平行四边形ABCD中，若点A（a，b），B（c，d），C（e，f），D（g，h）,则四个顶点的坐标之间有什么关系？ 6 5 4 .C 31P C 2 1A 11 B -1O12345678 -1 6 5 4 3 2 1 -1 -1 ? C(a，b) A B「 O 1 ~2 3 4~5~6 7 8 x A2，1），B（5，1），C（a，b），D 四 D. 边形是平行四边形，请你写出点 （点D的坐标为（6,3）， 0,3 D的坐标. (4,-1 )) y x
第十八章专题：《平行四边形》分类讨论（一） 1.在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC于点E、F， 点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长_______________________。 2.如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD 中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB=90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD 边AB、CD上的直角点，且AB=5，BC=6，则线段EF的长为_______________________。 3.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=43，点E是BC的中点，点F在AB上，FB=2，P是矩形上一 动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE=30°时，FP的长为________________。 4.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（-4，0）．正方形OEFG的顶点F落在y 轴的正半轴上，直线AE与直线FG相交于点P，若△OEP的其中两边之比为2：1，则点P的坐标为_______________________。 5.在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，则平行四边形ABCD周长等于 _____________。 6.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的 长为_______________________。 7.菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为_________________。
平行四边形存在性问题 考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D C A B D C x x x x y y y y -=-??-=-?， 可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同． y D -y C x D -x C y A -y B x A -x B A B C D （2）对角线互相平分转化为：2222 A C B D A C B D x x x x y y y y ++?=???++?=??， 可以理解为AC 的中点也是BD 的中点． D C B A 【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B A B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+??→?? -=-+=+??， 2222 A C B D A C B D x x x x y y y y ++?=??? ++?=??→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+??+=+?． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？
反例如下： D 之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例． 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线． （2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动 已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形． D 3 D 2 D 1 O y x C B A 思路1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得： （1）BC 为对角线时，531352m n +=+??+=+?，可得()17,6D ； （2）AC 为对角线时，135253m n +=+??+=+?，解得()21,4D -； （3）AB 为对角线时，153235m n +=+??+=+? ，解得()33,0D ．
特殊四边形分类讨论 1、如图，抛物线c bx ax y ++=2与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点） ，（、04)0,1(B A ，OBC OCA ∠=∠．在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标； 2．如图，已知A （1，0）、C （0，1）、B （m ，0）且m>1，在平面内求一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形。 例题1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33） . 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； (2) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标. y x 0 C B A
例题2 已知抛物线：y 1＝－ 2 1x 2 ＋2x ． （1）求抛物线y 1的顶点坐标； （2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式； （3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由． 1、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式 表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点 若存在，请求出点Q
第十八章专题：《平行四边形》分类讨论（二） 1.已知点A（2，2），B（-2，0），C（3，-1），且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点 D的坐标为_______________________。 【答案】（-1，-3）或（-3，3）或（7，1） 2.已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=8，DC=4，点M、N分别为边AB、DC的中点，点P从点D 出发，以每秒1个单位的速度从D→C方向运动，到达点C后停止运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度从B→A方向运动，到达点A后立即原路返回，点P到达点C后点Q同时停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为_______________________。 【答案】1或1.5或2.5 3.矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E、F为直线AD上两点，且满足四边形BCFE为菱形，若M为EF 的中点，则AM的长为_______________________。 【答案】5.5或0.5 4.如图，已知平行四边形ABCD中，AD=6，AB=32，∠A=45°．过点B、D分别作BE⊥AD，DF⊥BC， 交AD、BC与点E、F．点Q为DF边上一点，∠DEQ=30°，点P为EQ的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=EQ，则EM的长等于_______________________。 【答案】1或2 5.在面积为621的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB=37， BC=27，则CE+CF的值为_______________________。 【答案】10+57或2+7 6.在一个长为3，宽为m（m＜3）的矩形纸片上，剪下一个面积最大的正方形（称为第一次操作）；再 在剩下的矩形上剪下一个面积最大的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=2时，m的值为_______________________。 【答案】1或2