动点问题中的平行四边形.doc

平面直角坐标系。

动点问题。

好平面直角坐标系动点问题已知平面直角坐标系中，点A(4,0)，点B(0,3)，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在x轴上向右平移，点Q从B 点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y=3向右平移，又P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒。

1) 求当t为多少时，四边形OBPQ的面积为8.首先，可以求出四边形OBPQ的坐标：O(0,0)，B(0,3)，P(4+t,0)，Q(2t,3)。

由于四边形OBPQ是平行四边形，所以它的面积可以用它的对角线之积来表示：S(OBPQ) = |OB| × |PQ|× sinθ。

其中，|OB| = 3，|PQ| = √[(4+t-2t)²+3²] = √(t²+16)，θ是OB与PQ之间的夹角。

由于OB与PQ平行，所以θ = 0，sinθ = 0，因此S(OBPQ) = 0.所以，四边形OBPQ的面积始终为0，无法等于8，因此无解。

2) 连接AQ，当△APQ是直角三角形时，求Q的坐标。

由于△APQ是直角三角形，所以根据勾股定理，有AP²+PQ² = AQ²。

又因为AP = 4+t，PQ = 3-2t，所以可以列出方程：(4+t)² + (3-2t)² = AQ²。

化简后得到：AQ² = 25-8t+5t²。

又因为Q在直线y=3上，所以可以列出另一个方程：yQ = 3.将Q的坐标表示为(xQ。

yQ)，则有xQ² + yQ² = AQ²，代入上面的方程，得到xQ² + 9 = 25-8t+5t²，化简后得到：xQ² = 16-8t+5t²。

因为Q在第二象限，所以xQ<0，因此xQ = -√(16-8t+5t²)，yQ = 3.所以Q的坐标为(-√(16-8t+5t²)。

四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y= 234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得： 16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC =2EM=2(23382x x -+)=()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1， 即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), ∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， ∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， ∵FH ⊥CE ， ∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ， S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4 =－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn)，B (5,0)，C (0，－5)， ①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn=0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3， ②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-， 由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上， ∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， ∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：0），0），（12，0），（12-，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3. （2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +， ∵点P 的横坐标为t ， ∴M (t ,334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC =∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC =∠OMC ， ∴∠MCO =∠OMC ， 即OM =OC =3，∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t =0（舍）或t =7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t =7225. （3）设P (t , 34-t 294-t +3)， ①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，334t +),∴PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD =54t -，∴34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536； ②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0， 解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2； （2）以AC 为边或对角线分类讨论： A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1， 设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)； 综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩,即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴 ∴点E 的纵坐标为2， ∵点E 在直线y ＝﹣x 上， ∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， ∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4）， S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ， ∴AP =AQ =QE =EP ， ∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AF FQ t ==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ），∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上，∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4，∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）．8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c=-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得： 21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++，∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t --+， ∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4. （2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点， ∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上， ∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3. （2）存在，E （0，－3），∴DE =4， 由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形， 设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)， ∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值； （3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-，∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， ∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， ∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， ∴CE =()344m -，AE =()544m -， ∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ， ∴△DFE ∽△ACE ， ∵S 1=4S 2， ∴AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。

解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。

数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。

这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。

解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

平行四边形的动点问题
例1、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。

(1)运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形?
(2)运动多少秒时，四边形APQB的面积和四边形PDCQ的面积相等?
例2.直角坐标系中菱形OABC的位置如图，A点坐标（4，0），∠AOC=60°。

经过点O的一条直线a沿x轴的正方向以每秒1单位长度的速度运动，且始终保持与OC垂直.
（1）求点B的坐标。

（2）设直线运动时扫过的菱形的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式。

（0≤t≤12）
例3、如图已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s，若设运动时间为t(s)，连接PC,当t
为何值时，△PBC为等腰三角形？
(2)若点P从点A沿 AB运动，速度仍是1cm/s，当t为何值时，△PBC为等腰三角形？（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分？
4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12．动点P从 D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终C点运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1）梯形ABCD的面积等于；（2）当PQ∥AB时，点P离开D点的时间等于秒；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？。

特殊四边形：动点问题题型一：1．已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为A 、17172B 、17174C 、 17178D 、3 2.如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝6,BC ＝16,E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动.当运动时间t ＝ 秒时,以点P ,Q ,E ,D 为顶点的四边形是平行四边形.3．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=045,点P 是BC 边上一动点,设PB 长为x.1当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. 2当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.3点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由.4.在一个等腰梯形ABCD 中,AD1.t 为何值时,四边形ABQP 为平行四边形2.四边形ABQP 能为等腰梯形吗如果能,求出t 的值,如果不能,请说明理由;6.梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从点A 开始,沿AD 边,以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始,沿CB 边,以3厘米/秒的速度向B 点运动;已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发,,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动;假设运动时间为t 秒,问：1t 为何值时,四边形PQCD 是平行四边形2在某个时刻,四边形PQCD 可能是菱形吗为什么3t 为何值时,四边形PQCD 是直角梯形4t 为何值时,四边形PQCD 是等腰梯形5 t 为何值时, APQ 是等腰三角形7．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AD ‖BC,且AD=4cm,AB=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒4cm 的速度沿线段AD 、DC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒5cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PQCD 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=DC4是否存在t,使得P 点在线段DC 上,且PQ ⊥DC 如图2所示若存在,列出方程求出此时的t ；若不存在,请说明理由;8．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AB ‖CD,且AB=4cm,BC=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒1cm 的速度沿线段AB 、BC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒1cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PBCQ 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=BC.10. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4,点P 从开始沿AB 边向点B 以每秒3cm 的速度移动,点Q 从开始沿CD 边向点D 以每秒1cm 的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达终点时运动停止;设运动时间为t 秒; 1求证：当t 为何值时,四边形APQD 是平行四边形；2PQ 是否可能平分对角线BD 若能,求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能,请说明理由； 3若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形,求t 的值;11.如图,在直角梯形ABCD 中,AB1求CD 的长;2当四边形PBQD 为平行四边形时,求四边形PBQD 的周长；3在点P,点Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得ΔBPQ 的面积为20cm 2若存在,请求出所有满足条件的t 的值；若不存在,请说明理由;13. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .1如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；2如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b 单位:cm ,0ab ≠,已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.14.已知：如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC,∠B=90°,BC=8cm,CD=24cm,AB=26Cm,点P 从C 出发,以1cm/s 的速度向D 运动,点Q 从A 出发,以3cm/s 的速度向B 运 动,其中一动点达到端点时,另一动点随之停止运动．从运动开始．1经过多少时间,四边形AQPD 是平行四边形2经过多少时间,四边形AQPD 成为等腰梯形3在运动过程中,P 、Q 、B 、C 四点有可能构成正方形吗为什么A BC D EF 图10-1 O 图10-2 备用图如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动,动点Q 从点A 出发,在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动,点P,Q 分别从点B,A 同时出发,当点Q 运动到点D 时,点P 随之停止运动,设运动的时间为t 秒．①当t 为何值时,四边形PQDC 是平行四边形；②当t 为何值时,以C,D,Q,P 为顶点的梯形面积等于60cm 2 ③是否存在点P,使△PQD 是等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的t 的值,若不存在,请说明理由． 15.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=6,DC=10,AB=65,∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．16.1求BC 的长．17.2当MN ∥AB 时,求t 的值．18.3△MNC 可能为等腰三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（4）△MNC 可能为直角三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（5）△MNC 为20时,请求出t 的值．如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠A=90°,AB=34,AD=4,DC=234 ,点P 从点A 出发沿折线段AD-DC-CB 以每秒3个单位长的速度向点B 匀速运动,同时,点Q 从点A 出发沿射线AB 方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P 与点B 重合时停止运动,点Q 也随之停止,设点P,Q 的运动时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点B 时,求t 的值；2设△APQ 的面积为S,分别求出点P 运动到AD 、CD 上时,S 与t 的函数关系式；3当t 为何值时,能使PQ ∥DB ；4当t 为何值时,能使P 、Q 、D 、B 四点构成的四边形是平行四边形;16.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=60,AD=75,BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA-AD-DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC,交折线段CD-DA-AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC ；3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的函数关系式；不必写出t 的取值范围4△PQE 能否成为直角三角形若能,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．17.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=33,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M,交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．1求NC,MC 的长用t 的代数式表示；2当t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形3当t 为何值时,射线QN 恰好将△ABC 的面积平分并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．19.如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10．1求梯形ABCD 的面积S ；2动点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度、沿B →A →D →C 方向,向点C 运动；动点Q 从点C 出发,以2cm/s 的速度、沿C →D →A 方向,向点A 运动．若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B →A 上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形若存在,请求出所有符合条件的t 的值；若不存在,请说明理由．20.在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm 如图1．动点Q 从点B 出发,沿BC 运动到点C 停止,运动的速度都是1cm/s ．同时,动点P 也从B 点出发,沿BA →AD 运动到点D 停止,且PQ 始终垂直BC ．设P,Q 同时从点B 出发,运动的时间为ts,点P 运动的路程为ycm ．分别以t,y 为横、纵坐标建立直角坐标系如图2,已知如图中线段为y 与t 的函数的部分图象．经测量点M 与N 的坐标分别为4,5和2, 25．1求M,N 所在直线的解析式；2求梯形ABCD 中边AB 与AD 的长；3写出点P 在AD 边上运动时,y 与t 的函数关系式注明自变量的取值范围,并在图2中补全整运动中y 关于t 的函数关系的大致图象．22.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=3 3,点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM 返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止．设点P,Q运动的时间是t秒t＞0．23.1设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式不必写t的取值范围；24.2当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；已知：如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,∠AOC=90°,AB=4,AO=8,OC=10,以O为原点建立平面直角坐标系,点D为线段BC的中点,动点P从点A出发,以每秒4个单位的速度,沿折线AOCD 向终点C运动,运动时间是t秒．1D点的坐标为；2当t为何值时,△APD是直角三角形；3如果另有一动点Q,从C点出发,沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动,当一点到达终点时,两点均停止运动,问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28如果可能,求出对应的t；如果不可能,请说明理由．在梯形ABCO中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标分别是A8,0,B8,10,C0,4．点D4,7为线段BC的中点,动点P从O点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OAB的路线运动,运动时间为t秒．1求直线BC的解析式；2设△OPD的面积为s,求出s与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围；33当t为何值时,△OPD的面积是梯形OABC的面积的8如图,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O为原点建立直角坐标系,A、C的坐标分别为A10,0、C0,8,CB=4,D为OA中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动,速度为1个单位/秒,移动时间为t秒．1求AB的长,并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值,并指出此时点P在哪条边上；2动点P在从A到B的移动过程中,设△APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式,并指出t的取值范围；3几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分求出此时点P的坐标已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动．1求B点坐标；2设运动时间为t秒；①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积；③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动．在②的条件下,PM+PN 的长度也刚好最小,求动点P的速度．如图1,以梯形OABC的顶点O为原点,底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A14,0,B11,4,C3,4,点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA 向A点运动,同时点F以每秒3个单位的速度,从O点出发沿折线OCB向B运动,设运动时间为t．1当t=4秒时,判断四边形COEB是什么样的四边形2当t为何值时,四边形COEF是直角梯形3在运动过程中,四边形COEF能否成为一个菱形若能,请求出t的值；若不能,请简要说明理由,并改变E、F两点中任一个点的运动速度,使E、F运动到某时刻时,四边形COEF 是菱形,并写出改变后的速度及t的值如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为直角梯形,OA∥BC,BC=14,A16,0,C0,2．1如图①,若点P、Q分别从点C、A同时出发,点P以每秒2个单位的速度由C向B运动,点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动,当点Q停止运动时,点P也停止运动．设运动时间为t秒0≤t≤4．①求当t为多少时,四边形PQAB为平行四边形②求当t为多少时,直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2,并求出此时直线PQ 的解析式．2如图②,若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点不与线段BC、AO的端点重合,且四边形OQPC面积为10,试说明直线PQ一定经过一定点,并求出该定点的坐标．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形ABCO的变OC落在x轴的正半轴上,且AB方形ODEF 的两边分别坐落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形ABCO面积,将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S;（1）求正方形ODEF的边长;（2）求OA所在直线的解析式（3）当正方形ODEF移动到顶点O与C重合时,求S的值（4）设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为x,当正方形ODEF的边ED与y轴重合时,停止移动,求重叠部分面积S与x的函数关系式;如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,等腰RT△DEF中,∠D=90°,EF=在BC所在直线L上,开始时点F与点C重合,让等腰RT△DEF沿直线L向右以每秒1cm的速度做匀速运动,最后点E和点B重合;（1）请直接写出等腰RT△DEF运动6S时与△ABC重叠部分面积（2）设运动时间为xS,运动过程中,等腰RT△DEF与△ABC重叠部分面积为ycm2①在等腰RT△DEF运动6S后至运动停止前这段时间内,求y与x之间的函数关系式②在RT△DEF整个运动过程中,求当x为何值时,y=1/2.题型二：1.如图,正方形ABCD的边长为4cm,两动点P、Q分别同时从D、A出发,以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动;试解答下列各题：1当P出发后多少秒时,三角形PDO为等腰三角形；2当P、Q出发后多少秒,四边形APOQ为正方形；3当P、Q出发后多少秒时,ABCD PQDSS正方形325=∆.2.如图所示,有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发,沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动;1试判断四边形PQEF 是正方形并证明;2PE 是否总过某一定点,并说明理由;（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时,其面积最小,最大各是多少（4）3.已知：如图,边长为a 的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,E 是异于A 、D 两点的动点,F 是CD 上的动点;请你判断：无论E 、F 怎样移动,当满足：AE+CF=a 时,△BEF 是什么三角形并说明你的结论;4.如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD 不含B 点上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时,AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时,求正方形的边长.题型三：1.如图,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,∠C ＝90°,BC ＝16,DC ＝12,AD ＝21;动点P 从点D 出发,沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动;设运动的时间为t 秒;（1）设▲BPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式;（2）当t 为何值时,四边形ABPQ 平行四边形3当t 为何值时,以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形4是否存在时刻t,使得PQ ⊥BD 若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由;E A DB C N M2.如图①,在等腰梯形ABCD中,AD边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N．1如图25－1,当点M在AB边上时,连接BN．△≌△；①求证：ABN ADN②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M到AD的距离及tanα的值；2如图25－2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x6≤x≤12．试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形．4．在正方形ABCD中,M是边BC中点,E是边AB上的一个动点,MF⊥ME,MF交射线CD于点F,AB=4,BE=x,CF=y1求y关于x的解析式及定义域2当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化请说明理由3当DF=1时,求点A到直线EF的距离;5.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E是AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F;AB=4,BC=6,∠B=60°1求点E到BC的距离;2点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN‖AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时,△PMN的形状是否发生改变若不变,求出△PMN的周长,若改变,说明理由.②当点N在线段DC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的x的值,若不存在,说明理由.6.在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD;一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A-B-C的路线做匀速运动,过点P做直线PM,使PM⊥AD;当点P运动2秒时,另一动点Q也从A 出发沿A-B-C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动;过Q做直线QN,使QN∥PM;设点Q的运动时间为t秒0≤t≤10,直线PM与QN截平cm行四边形所得图形的面积为S2①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值;7.菱形ABCD中∠A=60°,边长为4CM,动点P从A出发,以1CM/秒的速度沿A-B-C的路线运动,在点P出发1秒后,点Q以同样的速度,沿同样的路径运动,过点P、Q的直线L1、L2互相平行,且都与AB边所在的直线成60°角,设点P运动的时间是X1≤X≤8秒,直线L1、L2在菱形上截出的图形周长为Y厘米1求Y与X的函数关系;2当X取何值时,Y的值最大最大值是多少8．如图,在矩形ABCD中,AB＝12cm,BC＝8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G即点F与点G重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时,△EF G的面积为Scm2．1当t＝1秒时,S的值是多少2写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围．。

因动点产生的平行四边形问题1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB 于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．3、已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．4、将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．5、如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （3，2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B 。

有关平行四边形的动点问题
平行四边形是由两组相邻的平行线和它们之间的四条线段组成的四边形。

在平行四边形中，我们可以考虑一个点在它沿着一个方向移动的同时，沿着另一个方向的轨迹。

这个点被称为“动点”。

如果动点沿着平行四边形的一条边上移动，那么它所相应的高度和底边也会相应地改变。

因此，如果我们将平行四边形分成许多小长方形，并在这些小长方形的顶点处放置动点，则可以形成一条光滑的曲线。

这个曲线被称为平行四边形的“径线”。

如果动点同时沿着两个方向移动，则可以得到一个新的曲线，称为“余弦曲线”。

这个曲线看起来像是一个上下波动的曲线，与平行四边形的一条对角线平行。

有趣的是，这两个曲线都是周期性的，其周期等于平行四边形的面积除以它沿着这个方向的速度。

因此，我们可以通过这些曲线来计算平行四边形的面积和周长。

通过研究这些平行四边形的动点问题，我们能够深入了解其内在的几何性质和性质之间的相互关系。

这不仅有助于帮助我们更好地理解平行四边形，还可以为其他更复杂的几何形状和问题提供有用的洞见和启示。

平行四边形的动点问题1. 平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

在这个问题中，我们关注一个动点在平行四边形内移动的情况。

2. 首先，让我们定义平行四边形的四个顶点为A、B、C和D，并假设它们按顺时针方向排列。

我们还假设动点记为P，并且它可以在平行四边形内的任意位置移动。

3. 问题的第一部分是，如果动点P从A点出发，按一定路径移动，最后回到A点，那么它经过的路径会是什么样子4. 要回答这个问题，我们需要注意到平行四边形的两对相对边分别是AB和CD，以及AD和BC。

因此，如果动点P从A点出发并回到A 点，它必定会经过平行四边形的另外两个顶点，即C和B。

5. 为了更具体地描述动点P的路径，我们可以进一步假设动点P沿着直线AC移动到顶点C，然后沿着直线CB移动到顶点B，最后沿着直线BA移动回到顶点A。

这样，动点P所经过的路径形成了一个三角形ABC。

6. 需要注意的是，这个路径并不是唯一的。

动点P可以按任意方式从A到C，再从C到B，最后从B到A。

但无论路径如何，最终的路径都是一个三角形ABC。

7. 接下来，让我们来看问题的第二部分。

如果动点P从一个顶点出发，按一定路径移动，最后回到另一个顶点，那么它经过的路径会是什么样子8. 在这种情况下，我们可以假设动点P从顶点A出发，并沿着直线AC移动到顶点C。

然后，它会继续按照平行四边形的形状，沿着直线CB移动到顶点B，并最终沿着直线BA返回到顶点A。

9. 与第一部分类似，这个路径也不是唯一的。

动点P可以从任意顶点出发，按照相应的顺序经过其他两个顶点，最后回到初始的顶点。

10. 总结起来，平行四边形的动点问题涉及动点在平行四边形内移动的路径问题。

无论是从一个顶点出发回到同一个顶点，还是从一个顶点出发回到另一个顶点，最终路径都可以看作是一个三角形。

11. 这个问题的解答可以帮助我们更好地理解平行四边形的形状和特性，以及动点在平行四边形内移动时的可能路径。

它也为我们提供了一种思考和探索几何问题的方式。