挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标2、如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所⽰现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理⽈如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为⼀点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂⾜为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的⼀动点，过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N设OP的长度为m，连结CM、BN，当m 为何值时，四边形BCMN为平⾏四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接⽤含t的代数式分别表⽰：QB= ，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某⼀时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的⼀动点，且满⾜O=2x，连结DE，以DE、DA为边作平⾏匹边形DEFA（1）如果平⾏四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平⾏四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直⾓边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12,0）（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正⽅向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为⼀边，O 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是菱形？并求出此时t 的值8、（19连云港26）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所⽰）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平⾏线交MN 于点①求DE 的最⼤值②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x轴的⼀个交点为A（-1,0），另⼀个交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上⼀点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上⼀点，点Q是⼀次函数y=2x+2的图象上⼀点，若四边形OAPQ 为平⾏四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试⽤含a的代数式分别表⽰点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的⾯积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在⼀点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所⽰，已知抛物线y=-x2+bx+c与⼀直线相交于A（-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意⼀点，过点E 作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平⾏四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上⽅的⼀个动点，直接写出△APC的⾯积的最⼤值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。

平行四边形存在性问题巩固练习1．在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，8），C （6，8），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒2个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，速度为每秒3个单位，当这两点有一点到达自己的终点则另一点也停止运动，设从出发起，运动了t 秒．①求直线OC 的解析式．②试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．③从运动开始，梯形被直线PQ 分割后的图形中是否存在平行四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．④t 为何值时，直线PQ 把梯形OCBA 分成面积为1：7的两部分？【分析】（1）利用待定系数法根据点O 、点C 的坐标就可以求出直线的解析式．（2）分Q 在OC 上，和在CB 上两种情况进行讨论．利用直线OC 的解析式就可以求出Q 点在OC 上和CB 上的坐标．即0≤t ≤5和5＜t ≤10两种情况．（3）当CQ ＝OP 时，四边形OPQC 是平行四边形，就可以表示出CQ ＝3t ﹣10，OP ＝2t ，由平行四边形的性质就可以求出t 的性质，然后根据t 的取值范围就可以确定值的存在性．（4）直线PQ 把梯形OCBA 分成面积为1：7的两部分从两种情况进行计算．当五边形CQP AB 为7份时和四边形BQP A 为1份时分别计算出t 的值就可以了．【解答】解：（1）设OC 的解析式为y ＝kx +b ，∵O 、C 两点的坐标分别为O （0，0），C （6，8），∴{b =08=6k，解得：k =43，b ＝0， ∴y =43x ； （2）当Q 在OC 上运动时，可设Q （m ，43m ），依题意有：m 2+（43m ）2＝（3t ）2∴m =65t ， ∴Q （95t ，125t ），（0≤t ≤103）当Q 在CB 上时，Q 点所走过的路程为3t ，∵OC ＝10，∴CQ ＝3t ﹣10，∴Q 点的横坐标为3t ﹣10+6＝3t ﹣4，∴Q （3t ﹣4，8），（103＜t ≤223）．（3）当四边形OPQC 是平行四边形时，∴CQ ＝OP ．∵CQ ＝3t ﹣10，OP ＝2t ，∴3t ﹣10＝2t ，∴t ＝10．∵t ≤223，∴不存在四边形当四边形P ABQ 为平行四边形时，∴BQ ＝P A ，∵BQ ＝22﹣3t ，P A ＝18﹣2t ，∴22﹣3t ＝18﹣2t ，∴t ＝4（4）∵A （18，0），B （18，8），C （6，8），∴OA ＝18，BC ＝12，AB ＝8，∴S 四边形OABC =8(12+18)2=120∵直线PQ 把梯形OCBA 分成面积为1：7，设两部分的面积分别为x 、7x ，∴x +7x ＝120，∴x ＝15，当2t⋅125t 2=15时，t =52， 当8(3t−10+2t)2=120﹣15时，t =294．综上所述当t=52或t=294时直线PQ把梯形OCBA分成面积为1：7的两部分．【点评】本题考查了直角梯形的性质，函数自变量的取值范围，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，平行四边形的判定，梯形的面积的运用．2．已知抛物线y＝x2﹣（m+3）x+32（m+1）．（1）小明发现无论m为何值时，抛物线总与x轴相交，你知道为什么吗？请给予说明．（2）如图，抛物线与x轴的正半轴交于M，N两点，且线段MN的长度为2，求此抛物线的解析式．（3）如图，（2）中的抛物线与y轴交于点A，过点A的直线y＝x+b与抛物线的另一个交点为点B，与抛物线的对称轴交于点D，点C为抛物线的顶点．问在线段AB上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积；若不存在，说明理由．【分析】（1）运用判别式进行判断即可；（2）设M（x1，0），则N（x2，0），由根与系数关系得x1+x2＝m+3，x1•x2=32（m+1），再由|x1﹣x2|＝2，两边平方，将两根关系代入求m的值；（3）存在．根据抛物线解析式求A点坐标及顶点C的坐标，确定直线y＝x+b的解析式，再求D点坐标，得到CD的长，设过P点的直线为x＝n，分别代入直线、抛物线解析式，可求P、E两点的纵坐标，表示线段PE的长，根据PE＝CD，列方程求n的值，再求平行四边形的面积．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣（m+3）x+32（m+1）的判别式为△＝[﹣（m+3）]2﹣4×32（m+1）＝m2+3＞0，∴无论m为何值时，抛物线总与x轴相交；（2）设M（x1，0），则N（x2，0），（m+1），|x1﹣x2|＝2，∵x1+x2＝m+3，x1•x2=32∴两边平方，得（x1﹣x2）2＝4，即（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4，（m+1）＝4，将两根关系代入，得（m+3）2﹣4×32解得m＝±1，（m+1）＝0，不符合题意，舍去，当m＝﹣1时，x1•x2=32∴m＝1，y＝x2﹣4x+3；（3）存在．∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴A（0，3），C（2，﹣1），∴直线AB：y＝x+3，D（2，5），则CD＝5﹣（﹣1）＝6，设过P点的直线为x＝n，则P（n，n+3），E（n，n2﹣4n+3），∴PE＝（n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+5n，当四边形DCEP为平行四边形时，PE＝CD，即﹣n2+5n＝6，解得n＝2或3，当n＝2时，PE与CD重合，舍去，当n＝3时，▱CDPE的面积＝（﹣n2+5n）×（3﹣2）＝6．【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线与x轴的交点横坐标和根与系数的关系，列方程求待定系数m的值．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G．（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tan∠ACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于A （3，0）、B （1，0）、C （0.3）三点在二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象上，直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式就可以求出顶点坐标．（2）过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，GF ⊥y 轴于点F ，由勾股定理求出AC 、GC 、AG 从而求得△AGC 是直角三角形，从而求得tan ∠ACG 的值．（3）当AG 为边时，作GH ⊥x 轴于H ，PN ⊥x 轴于点N ，由平行四边形的性质可以得出PE ＝AG ，可以证明PN ＝GH ，可以求出P 的坐标，当AG 为对角线时，不存在．【解答】解：（1）∵A （3，0）、B （1，0）、C （0.3）在二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象上，∴{9a +3b +c =0a +b +c =0c =3解得：{a =1b =−4c =3，∴二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3，∴y ＝（x ﹣2）2﹣1，∴顶点G （2，﹣1）．（2）G 作GH ⊥x 轴于点H ，GF ⊥y 轴于点F ，∵G （2，﹣1）、A （3，0）、B （1，0）、C （0.3），∴CF ＝4，GF ＝2，GH ＝1，HA ＝1，在Rt △GFC 、Rt △AOC 、Rt △GHA 中由勾股定理，得AC 2＝18，GC 2＝20，AG 2＝2∴△ACG 是直角三角形，且∠CAG ＝90°，∴tan ∠ACG =AG AC =13（3）当AG为边时，作GH⊥x轴于H，PN⊥x轴于点N∴∠PNE＝∠GHA＝90°∵四边形PEGA是平行四边形，∴PE＝AG，∠PEA＝∠GAE，∴△PNE≌△GHA，∴PN＝GH＝1，设P（m，1）∴m2﹣4m+3＝1，∴m＝2±√2，∴P（2±√2，1），当AG为对角线时，不可能．综上所述，点P的坐标为（2±√2，1），【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．4．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点A（1，0），B（5，0）两点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，①当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值？②在y 轴上确定一点M ，使点M 到D 、B 两点的距离之和d ＝MD +MB 最小，求点M 的坐标．（3）如图2，若四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设点E 的坐标为（x ，x 2﹣6x +5），S ＝S △OEB =12•OB •y E =−52（x 2﹣6x +5），即可求解；②连接B ′D 交y 轴于点M ，此时，MD +MB 最小，即可求解；（3）当四边形OEBF 为正方形，则点E 的坐标为（52，−52），当x =52时，y ＝x 2﹣6x +5≠−52，即可求解．【解答】解：（1）抛物线y ＝ax 2+bx +5经过点A （1，0），B （5，0）两点，则函数表达式为：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝a （x ﹣1）（x ﹣5）＝a （x 2﹣6x +5），则5a ＝5，即a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣6x +5；（2）①设点E 的坐标为（x ，x 2﹣6x +5）S ＝S △OEB =12•OB •y E =−52（x 2﹣6x +5），∵a =−52＜0，故函数有最大值， 当x =−b 2a =3时，函数最大值为S ＝10；②找到点B 关于y 轴的对称点B ′（﹣5，0），连接B ′D 交y 轴于点M ，此时，M 到D 、B 两点的距离之和d ＝MD +MB 最小，y ＝x 2﹣6x +5，顶点D 坐标为（3，﹣4），设直线B ′D 的表达式为：y ＝mx +n ，将点B ′、D 的坐标代入上式得：{−4=3m +m 0=−5m +n ，解得：{m =−12n =−52，则直线B ′D 的表达式为：y =−12x −52， 令x ＝0，则y =−52，即点M 的坐标为（0，−52）；（3）当四边形OEBF 为正方形，则点E 的坐标为（52，−52），当x =52时，y ＝x 2﹣6x +5＝（52）2﹣6×52+5=−154≠−52， 即点E 不在抛物线上，故不存在点E ，使平行四边形OEBF 为正方形．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到三角形的面积计算、特殊四边形基本性质等知识点，是一道中等难度的题目．5．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c ，当1＜x ＜3时，y 值为正；当x ＜1或x ＞3时，y 值为负．（1）求抛物线的解析式．（2）若直线y ＝kx +b （k ≠0）与抛物线交于点A （12，m ）和B （4，n ），求直线的解析式．（3）设平行于y 轴的直线x ＝t 和x ＝t +2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G ．①求t 的取值范围；②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意知，抛物线与x 轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），用交点式求解析式即可；（2）先求出A 、B 两点坐标，然后用待定系数法求直线解析式；（3）①根据题意列不等式组，求解集即可；②首先表示出E ，F ，G ，H 各点的坐标，进而根据平行四边形的性质求出t 的值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c ，当1＜x ＜3时，y 值为正，当x ＜1或x ＞3时，y 值为负． ∴抛物线与x 轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），∴y ＝﹣（x ﹣1）（x ﹣3）＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）∵直线y ＝kx +b （k ≠0）与抛物线交于点A （12，m ）和B （4，n ），∴m ＝﹣（12）2+4×12−3=−54，n ＝﹣42+4×4﹣3＝﹣3， ∴A （12，−54）B （4，﹣3），把A 、B 两点坐标代入直线y ＝kx +b （k ≠0）得：{12k +b =−544k +b =−3， 解得：k =−12，b ＝﹣1， ∴y =−12x ﹣1；（3）①∵平行于y 轴的直线x ＝t 和x ＝t +2分别交线段AB 于E 、F ，交抛物线于H 、G ，∴{t ≥12t +2≤4， 解得：12≤t ≤2；②存在；∵HE ∥FG ，∴当HE ＝FG 时，四边形EFGH 是平行四边形，∵HE ＝﹣t 2+4t ﹣3+12t +1＝﹣t 2+92t ﹣2，FG ＝﹣（t +2）2+4（t +2）﹣3+12（t +2）+1＝﹣t 2+12t +3； ∴﹣t 2+92t ﹣2＝﹣t 2+12t +3； 解得：t =54，∵t =54在12≤t ≤2的解集内， ∴当t =54时，四边形EFGH 是平行四边形． 【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及平行四边形的性质，根据点的坐标性质得出E ，F ，G ，H 点的坐标，进而利用平行四边形对边相等得出是解题关键．6．如图，抛物线l 1：y ＝x 2﹣4的图象与x 轴交于A ，C 两点，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称．（1）直接写出l 2所对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线l 1上的动点（B 与A ，C 不重合），以AC 为对角线，A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：D 点在l 2上．（3）当点B 位于l 1在x 轴下方的图象上，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线l1的解析式求出点A、C的坐标，以及顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出l2的顶点坐标，然后利用待定系数法求出l2的解析式；（2）设点B的坐标为（x1，x12﹣4），根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点D的坐标，代入解析式即可证明：点D在l2上；（3）首先表示出S的值，当点B在x轴下方时，﹣4≤y1＜0，根据一次函数的增减性判断出点B的位置，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明，并求出S最大＝16．【解答】解：（1）∵l1与x轴的交点A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），l1与l2关于x轴对称，∴l2过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），设y＝ax2+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴l2的解析式为y＝﹣x2+4；（2）设B（x1，y1），∵点B在l1上，∴B（x1，x12﹣4），∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，∴B、D关于O对称，∴D（﹣x1，﹣x12+4），将D（﹣x1，﹣x12+4）的坐标代入l2：y＝﹣x2+4，∴左边＝右边，∴点D在l2上；（3）当y ＝0时，﹣x 2+4＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝﹣2， 所以AC ＝4，则S ▱ABCD ＝AC •（﹣y B ）＝﹣4x 2+16， 当x ＝0时，S ▱ABCD 取得最大值16， ∵当点B 在x 轴下方时，﹣4≤y 1＜0，∴S ＝﹣4y 1，它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而减小， ∴当y 1＝﹣4时，S 有最大值16，但它没有最小值， 此时B （0，﹣4）在y 轴上，它的对称点D 也在y 轴上， ∴AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了关于x 轴对称的点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质和菱形的判定，利用一次函数的增减性求最值问题． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 1和l 2相交于点A ，它们的解析式分别为l 1：y =34x ，l 2：y =−43x +203．直线l 2与两坐标轴分别相交于点B 和点C ，点P 在线段OB 上从点O 出发．以每秒1个单位的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发以每秒4个单位的速度沿B →O →C →B 的方向向点B 运动，过点P 作直线PM ⊥OB 分别交l 1，l 2于点M ，N ．连接MQ ．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0） （1）求点A 的坐标；（2）点Q 在OC 上运动时，试求t 为何值时，四边形MNCQ 为平行四边形；（3）试探究是否存在某一时刻t ，使MQ ∥OB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将两直线解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到A 的坐标；（2）由PM 垂直于x 轴，y 轴垂直于x 轴，得到MN 与QC 平行，当MN ＝QC 时，四边形MNCQ 为平行四边形，MN ＝NP ﹣MP ，由OP ＝t ，得到M 与N 的横坐标都为t ，分别代入两直线方程中，表示出出NP 与MP ，得到MN ，由Q 走过的路程减去OB 得到OQ 的长，再由OC ﹣OQ 表示出QC ，列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到满足题意t 的值；（3）分别根据①当点Q 在OC 上时，②当点Q 在BC 上时，求出即可． 【解答】解：（1）将两直线解析式联立得：{y =34xy =−43x +203，解得：{x =165y =125，∴A （165，125）；（2）∵PM ⊥x 轴，y 轴⊥x 轴， ∴PM ∥CQ ，当PM ＝CQ 时，四边形MNCQ 为平行四边形， 对于直线l 2：y =−43x +203，令x ＝0，求出y =203；令y ＝0，求出x ＝5，∴B （5，0），C （0，203），即OB ＝5，OC =203，∴CQ ＝OC ﹣OQ =203−（4t ﹣5）=353−4t ，∵OP ＝t ，∴M 与N 横坐标为t ， ∴MN ＝PN ﹣PM =−43t +203−34t =−2512t +203，∴353−4t =−2512t +203， 解得：t =6023，则当t =6023秒时，四边形MNCQ 为平行四边形；（3）①当点Q 在OC 上时，如图2，OQ ＝4t ﹣5，MP =34t ， ∵QM ∥OB ，OQ ∥PM ，∠POQ ＝90°， ∴四边形POQM 是矩形， ∴OQ ＝PM ，∴4t ﹣5=34t ，解得：t =2013，②当点Q 在BC 上时，如图3： 在△BOC 中， sin ∠OBC =OC BC=45，MP =34t ，QB ＝20﹣4t ，在Rt △BPQ 中，点Q 到x 轴的距离＝QB sin ∠OBC =45（20﹣4t ）， 点Q 到x 轴的距离为MP ，即34t =45（20﹣4t ），解得：t =32079．综上所述：当t =2013或t =32079时，MQ ∥OB ．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点问题，平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，属于动点问题，是近几年中考的热点试题．8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，该抛物线的对称轴为x =32． （1）求a ，b 的值；（2）若点P 在抛物线上，且在x 轴的下方，作射线BP ，当∠PBA ＝∠ACO 时，求点P 的坐标； （3）若点M 在抛物线上，点N 在对称轴上，是否存在点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由A 点坐标和抛物线的对称轴方程可求出答案； （2）得出tan ∠PBA ＝tan ∠ACO =13=OEOB =OE4，求出OE =43，得出点E 的坐标，求出直线BE 的解析式，联立直线BE 和抛物线方程，则可得出点P 的坐标；（3）设出点M ，N 的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为x =32．∴{a −b −3=0−b 2a=32，解得，{a =34b =−94．∴a =34，b =−94．（2）如图，设直线PB 与OC 交于点E ，∵抛物线解析式y =34x 2−94x ﹣3与y 轴交于点C ， ∴C （0，3）， 又∵A （﹣1，0）， ∴OA ＝1，OC ＝3，∴tan ∠ACO =OA OC=13，∵∠PBA ＝∠ACO ， ∴tan ∠PBA ＝tan ∠ACO =13=OE OB=OE 4，∴OE =43，∴E （0，−43），设直线BE 的解析式为y ＝mx +n ， ∴{4m +n =0n =−43，解得{m =13n =−43，∴直线BE 的解析式为y =13x −43，∴{y =13x −43y =34x 2−94x −3， 解得，x 1=−59，x 2＝4（舍去），∴P （−59，−4127）．（3）由（1）知，抛物线解析式为y =34x 2−94x ﹣3，对称轴直线为x =32， ∴设N （32，b ），M （m ，34m 2−94m ﹣3），∵以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当CB 为对角线时，12（0+4）=12（32+m ）， ∴m =52，∴M （52，−6316），②当CM 为对角线时，12（m +0）=12（4+32）， ∴m =112，∴M （112，11716），③当CN 为对角线时，12（0+32）=12（4+m ）， ∴m =−52，∴M （−52，11716），即：抛物线上存在这样的点M ，点M 的坐标分别为：M （52，−6316）或（112，11716）或（−52，11716）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y =−12x +3与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90°得到线段CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ． （1）求证：△BOC ≌△CED ；（2）请直接写出点D 的坐标，并求出直线BC 的函数关系式；（3）若点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是线段CB 上的点（不与点B 、C 重合），是否存在以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点坐标．若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠OBC ＝∠ECD ，由旋转的性质可得出BC ＝CD ，结合∠BOC ＝∠CED ＝90°即可证出△BOC ≌△CED （AAS ）；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，设OC ＝m ，则点D 的坐标为（m +3，m ），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m 值，进而可得出点C ，D 的坐标，由点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式；（3）设点Q （x ，﹣3x +3），由题意得DQ ∥PC ，DQ ＝PC ，则点Q 的纵坐标＝点D 的纵坐标＝1，求出x =23，则PC ＝DQ =103，设点P 的坐标为（a ，0），分两种情况，由平行四边形的性质得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BOC ＝∠BCD ＝∠CED ＝90°， ∴∠OCB +∠OBC ＝90°，∠OCB +∠ECD ＝90°， ∴∠OBC ＝∠ECD ，∵将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90°得到CD ， ∴BC ＝CD ，在△BOC 和△CED 中，{∠BOC =∠CED∠OBC =∠ECD BC =CD ，∴△BOC ≌△CED （AAS ）；（2）解：在y =−12x +3中，令x ＝0，则y ＝3；令y ＝0，则x ＝6，∴点B 的坐标为（0，3），点A 的坐标为（6，0）， 设OC ＝m ，由（1）得：△BOC ≌△CED ， ∴OC ＝ED ＝m ，BO ＝CE ＝3， ∴点D 的坐标为（m +3，m ）， ∵点D 在直线y =−12x +3上， ∴m =−12（m +3）+3，解得：m ＝1，∴点D 的坐标为（4，1），点C 的坐标为（1，0）， 设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， 将B （0，3）、C （1，0）代入解析式得：{3=b0=k +b，解得：{k =−3b =3，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣3x +3； （3）解：存在，理由如下：∵点Q 在线段CB 上，直线BC 的解析式为y ＝﹣3x +3， ∴设点Q （x ，﹣3x +3），∵点P 在x 轴上，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴DQ ∥PC ，DQ ＝PC ，∴点Q 的纵坐标＝点D 的纵坐标＝1， ∴﹣3x +3＝1， 解得：x =23， ∴PC ＝DQ ＝4−23=103，设点P 的坐标为（a ，0），分两种情况： ①如图1所示：则1﹣a =103，解得：a =−73， ∴P （−73，0）；②如图2所示：则a ﹣1=103，则a =133，∴P （133，0）；综上所述，存在以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，P 点坐标为（−73，0）或（133，0）．【点评】本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，由待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB ：y =23x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．直线CD ：y =−13x ﹣1与直线AB 相交于点M ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ． （1）直接写出点B 和点D 的坐标．（2）若点P 是射线MD 的一个动点，设点P 的横坐标是x ，△PBM 的面积是S ，求S 与x 之间的函数关系，并指出x 的取值范围．（3）当S ＝10时，平面直角坐标系内是否存在点E ，使以点B ，E ，P ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，共有几个这样的点？请求出其中一个点的坐标（写出求解过程）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x ＝0和y ＝0，可求点A ，点B ，点C ，点D 坐标；（2）分当P 点在y 轴左侧和当P 点在y 轴右侧两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线AB ：y =23x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ∴点A （﹣6，0），点B （0，4），∵直线CD ：y =−13x ﹣1交x 轴于点C ，交y 轴于点D ． ∴点C （﹣3，0），点 D （0，﹣1）；（2）∵直线CD ：y =−13x ﹣1与直线AB 相交于点M ，∴{y =23x +4y =−13x −1， 解得：{x =−5y =23，∴M 点的坐标是(−5，23)，∵点B （0，4），点 D （0，﹣1）， ∴BD ＝5，∵点P 的横坐标是x ， ∴点P 坐标为（x ，−13x ﹣1）， 如图1，点P 当P 点在y 轴左侧时，∴△PBM的面积是S＝S△BMD﹣S△PBD=12×5×5−12×5×（﹣x）=252+52x；如图2，当P点在y轴右侧时，∴△PBM的面积是S＝S△BMD﹣S△PBD=12×5×5+12×5×（x）=252+52x；综上所述，所求的函数关系式是S=252+52x（x≥﹣5）；（3）存在，共有3个；当S＝10时，∴10=252+52x，∴x＝﹣1，∴P点为（﹣1，−23），设点E（a，b），若MB，MP为边时，∵四边形MPEB是平行四边形，∴BP与ME互相平分，∴−1+02=−5+a 2，−23+42=23+b 2， ∴a ＝4，b =83，∴E 点为（4，83）；若MB ，BP 为边，∵四边形BMEP 是平行四边形，∴MP 与BE 互相平分，∴−5−12=0+a 2，−23+232=4+b 2，∴a ＝﹣6，b ＝﹣4，∴E 点为（﹣6，﹣4）；若MP ，BP 为边，∵四边形EBPM 是平行四边形，∴BM 与PE 互相平分，∴−5+02=−1+a 2，4+232=−23+b 2∴a ＝﹣4，b =163，∴E 点为（﹣4，163）；综上所述：点E 的坐标为（4，83）或（﹣6，﹣4）或（﹣4，163）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．11．如图所示，抛物线y ＝x 2﹣2x +c 的顶点A 在直线l ：y ＝x ﹣5上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），判断△ABD 的形状，并说明理由；（3）将抛物线沿直线l 的方向平移，平移后抛物线的顶点为A ′，是否存在点A ′，使以点A ′、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移后所有满足条件的抛物线的函数表达式；若不存在，说明理由．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴，从而得到点A的横坐标，然后可求得点A的纵坐标；（2）先求得点B、D的坐标，然后再依据两点间的距离公式求得BD、AB、AD的长，然后再依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（3）首先证明BD∥l，则构成的平行四边形只能是A'ADB或A'ABD，则A'A＝BD＝3√2，设A'（x，x﹣5），最后，再依据两点间的距离公式列方程，可求A'的坐标，即可求解．=1，【解答】解（1）∵抛物线的对称轴为x=−b2a∴顶点A的横坐标为x＝1，∴点A的纵坐标为y＝1﹣5＝﹣4，∴A（1，﹣4）；（2）△ABD是直角三角形，理由如下：将A（1，﹣4）代入y＝x2﹣2x+c中，可得到1﹣2+c＝﹣4，解得：c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴C（﹣1，0）、D（3，0）．∵BD2＝OB2+OD2＝18，AB2＝12+（﹣4+3）2＝2，AD2＝（3﹣1）2+42＝20，∴BD2+AB2＝AD2，∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形；（3）存在．由题意知：直线y＝x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0），∴OE＝OF＝5，又∵OB＝OD＝3，∴∠OEF＝∠OBD＝45°，∴BD∥l，即A'A∥BD，则构成平行四边形只能是A'ADB或A'ABD，∴AA'＝BD＝3√2，设A'（x，x﹣5），两点间的距离公式可得到（1﹣x）2+（1﹣x）2＝18，x2﹣2x﹣8＝0，解得：x＝﹣2或x＝4，∴点A'（﹣2，﹣7）或A'（4，﹣1）．∴存在点A'（﹣2，﹣7）或A'（4，﹣1）使得以点A'，A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，∴平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+2）2﹣7或y＝（x﹣4）2﹣1．【点评】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，平行线四边形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标（﹣3，1）；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出OA＝6，OG＝7，DG＝3，再判断出△DGA≌△AHB（AAS），得出DG＝AH＝3，BH ＝AG＝1，即可得出结论；（2）先根据运动表示出点B'，D'的坐标，进而求k，t，即可得出结论；（3）先求出点B'，D'的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图，过点B、D分别作BH⊥x轴、DG⊥x轴交于点H、G，∵点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），∴OA＝6，OG＝7，DG＝3，∴AG＝OG﹣OA＝1，∵∠DAG+∠BAH＝90°，∠DAG+∠GDA＝90°，∴∠GDA＝∠BAH，又∠DGA＝∠AHB＝90°，AD＝AB，∴△DGA≌△AHB（AAS），∴DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，∴点B坐标为（﹣3，1）；（2）由（1）知，B（﹣3，1），∵D（﹣7，3）∴运动t秒时，点D'（﹣7+2t，3）、B'（﹣3+2t，1），，设反比例函数解析式为y=kx∵点B'，D'在反比例函数图象上，∴k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，，k＝6，∴t=92；∴反比例函数解析式为y=6x（3）存在，理由：由（2）知，点D'（﹣7+2t，3）、B'（﹣3+2t，1），t=9，2∴D'（2，3）、B'（6，1），由（2）知，反比例函数解析式为y=6，x），点P（0，s），设点Q（m，6m以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形，∴①当PQ与B'D'是对角线时，∴12（0+m ）=12（2+6），12（s +6m ）=12（3+1）， ∴m ＝8，s =134， ∴Q （8，34），P （0，134），②当PB '与QD '是对角线时，∴12（0+6）=12（2+m ），12（s +1）=12（6m +3）， ∴m ＝4，s =72， ∴Q （4，32），P （0，72）．③当PD '与QB '是对角线时，∴12（0+2）=12（m +6），12（s +3）=12（6m +1），∴m ＝﹣4，s =−72， ∴Q （﹣4，−32），P （0，−72）， 综上：Q （8，34），P （0，134）或Q （4，32），P （0，72）或Q （﹣4，−32），P （0，−72）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，用分类讨论的思想和方程的思想解决问题是解本题的关键．。

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题6 二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1. 平面直角坐标系中，点 A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++. 2. 平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A CB D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K 的坐标．【例4】（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【例5】（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E 沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．1．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB 于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M 的坐标，如果不存在，请说明理由．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC 于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax （a＞0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【题组三】9．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D 为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．10．（2020•烟台模拟）如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD ＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（2020•龙城区一模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2020•长沙模拟）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D为该二次函数图象顶点．（1）求该二次函数解析式，及D点坐标；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD 相切，求点P的坐标；（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMC＝S△AOC，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点F，使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2020•东莞市一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S 的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．15．（2020•郑州一模）如图，直线y=−23x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+103x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16.（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N 上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2020•东营区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．18．（2020•唐山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．19．（2020•安定区校级三模）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−52）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，则点P的坐标为（2，−3 2）；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•高州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组五】21.（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PN ⊥BC ，交BC 于点N ．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m 的代数式表示PN ，并求出PN 的最大值以及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线y ＝ax 2+bx +4沿着射线CB 的方向平移，使得新抛物线y '过原点，点D 为原抛物线y 与新抛物线y '的交点，若点E 为原抛物线的对称轴上一动点，点F 为新抛物线y '上一动点，求点F 使得以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F 的坐标，并写出一个F 点的求解过程．22．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的顶点为D ，与y 轴的交点为C ．过点C 的直线CA 与抛物线交于另一点A （点A 在对称轴左侧），点B 在AC 的延长线上，连结OA ，OB ，DA 和DB ．（1）如图1，当AC ∥x 轴时，①已知点A 的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD 是平行四边形，求证：b 2＝4c ．（2）如图2，若b ＝﹣2，BC AC =35，是否存在这样的点A ，使四边形AOBD 是平行四边形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C （0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM 的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【题组七】25．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．26．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH 的值是定值．28．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1例2 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x m=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，m与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1例3 直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例6 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1例7 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,例8 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝3．D为射线BA上的点（点D不与点10B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例6 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例7 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图11.3 因动点产生的直角三角形问题例1如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1例2在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值．例3 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例4 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1例 7 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图11.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例 2 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例 3 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例4将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例6 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2例 7 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例8 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图11.5 因动点产生的梯形问题例1已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73t a n =∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．图1例2 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1例3 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图例 4 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2例5 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 6 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例7 如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题例 1 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 2 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1例 3 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1例5 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1例 6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E 在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图例7 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图21.7 因动点产生的相切问题例1 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1例2如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一1.8 因动点产生的线段和差问题例1 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1第二部分 函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例2 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1。

二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。

∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。

如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

探究平行四边形的存在性问题以２０１６年安顺市中考的一道抛物线题为例刘利果(河北省邢台市沙河市第三中学ꎬ河北邢台０５４１００)摘㊀要:抛物线中的动点问题ꎬ尤其是与存在性有关的动点问题ꎬ是中考的一个难点.文章以２０１６年贵州省安顺市的一道中考题为例ꎬ借助网络画板ꎬ从试验探究㊁思路分析㊁一题多解的角度来进行深度探究.关键词:抛物线ꎻ动点ꎻ平行四边形ꎻ存在性ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００９２－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:刘利果(１９８１.１０－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ本科ꎬ中小学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀抛物线中平行四边形的存在性问题ꎬ是中考的一个难点ꎬ也是热点ꎬ常常以压轴题的形式出现.如何突破这一类试题呢?笔者以２０１６年安顺市一道中考题为例进行探究.１试题呈现抛物线经过Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(５ꎬ０)ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷三点.(１)求抛物线的解析式.(２)在抛物线的对称轴上有一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＣ的值最小ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)若Ｍ为ｘ轴上一动点ꎬ在抛物线上是否存在一点Ｎꎬ使ＡꎬＣꎬＭꎬＮ四点构成的四边形为平行四边形?若存在ꎬ求点Ｎ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由[１].２思路分析第(１)(２)问略.第(３)问:①如图１所示ꎬＡＣ为对角线时ꎬ取ＡＣ中点Ｏᶄꎬ连接Ｍ４Ｏᶄꎬ交抛物线于点Ｎ４ꎻ如图２所示ꎬ若ＡＣ为边ꎬ平移ＡＣ得到另外三种情况.过四边形顶点作横平坚直线(平行于坐标轴)构造全等三角形解决问题.图１㊀ＡＣ为对角线②设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬ分别以ＡＣꎬＡＭꎬＡＮ为对角线ꎬ分三种情况根据平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等ꎬ纵坐标之和也相等ꎬ表示出点Ｎ的坐标ꎬ代入抛物线解析式求解即可.③如图３所示ꎬ从路径(轨迹)角度分析.假设以ＡꎬＣꎬＭꎬＮ为顶点的平行四边形存在.在ｘ轴上任取一动点Ｍꎬ把Ｍ看作定点ꎬ然后分别以ＡＭꎬＡＣꎬＣＭ为对角线作出三个平行四边形ꎬ设第四个顶点分别为Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３.若拖动动点Ｍ可以发现ꎬ动点Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３运动的路径均为与ｘ轴平行的直线.易得Ｎ１ꎬＮ３到ｘ轴的距离等于ＯＣ＝５２ꎬ到ｘ轴的距离为２９５２的直线有两条.易知ꎬ点Ｎ１的路径为直线ｙ＝５２ꎬ点Ｎ２ꎬＮ３的路径为直线ｙ＝－５２.所以求点Ｎ的坐标就可以转化为由抛物线的解析式与点Ｎ的路径解析式组成的方程组的解的问题.图２㊀ＡＣ为边３一题多解解㊀(１)ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２.(２)点Ｐ的坐标是２ꎬ－３２æèçöø÷.过程略.(３)解法１㊀存在点Ｎꎬ使ＡꎬＣꎬＭꎬＮ四点为顶点构成的四边形为平行四边形.①当ＡＣ为边时ꎬ如图２所示ꎬ若点Ｎ在ｘ轴下方.图３㊀让Ｍ运动又对称轴为直线ｘ＝２ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ所以点Ｎ１４ꎬ－５２æèçöø÷.当点Ｎ在ｘ轴上方时ꎬ过点Ｎ２作Ｎ２Ｄʅｘ轴于点Ｄ.ȵＡＣ＝Ｍ２Ｎ２ꎬøＣＡＯ＝øＮ２Ｍ２ＤꎬøＣＯＡ＝øＮ２ＤＭ２ꎬʑәＡＯＣ≅әＭ２ＤＮ２ꎬʑＮ２Ｄ＝ＯＣ＝５２ꎬ即Ｎ２点的纵坐标为５２.ʑ１２ｘ２－２ｘ－５２＝５２ꎬ解得ｘ＝２＋１４或ｘ＝２－１４ꎬʑＮ２２＋１４ꎬ５２æèçöø÷ꎬＮ３２－１４ꎬ５２æèçöø÷.②如图１所示ꎬ当ＡＣ为对角线时ꎬ由四边形ＡＭ４ＣＮ４为平行四边形ꎬ知ＣＮ４ʊＡＭ４ꎬ所以点Ｎ４的纵坐标为－５２ꎬʑＮ４４ꎬ－５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷或２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法２㊀设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬＮｘＮꎬｙＮ().①若ＡＣ为对角线ꎬ则有－１＋０＝ｘ＋ｘＮꎬ０－５２＝０＋ｙＮꎬìîíïïï即ｘＮ＝－１－ｘꎬｙＮ＝－５２.ìîíïïï将Ｎ－１－ｘꎬ－５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ得１２(－１－ｘ)２－２(－１－ｘ)－５２＝－５２ꎬ解得ｘ＝－１或－５ꎬ即ｘＮ＝０或ｘＮ＝４ꎬ所以Ｎ０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ４ꎬ－５２æèçöø÷.②若ＡＮ为对角线ꎬ则有－１＋ｘＮ＝ｘ＋０ꎬ０＋ｙＮ＝０－５２ꎬìîíïïï即ｘＮ＝ｘ＋１ꎬｙＮ＝－５２.ìîíïïïꎬ将Ｎｘ＋１ꎬ－５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ即１２(ｘ＋１)２－２(ｘ＋１)－５２＝－５２ꎬ解得ｘ＝－１或３ꎬ即ｘＮ＝０或ｘＮ＝４ꎬ所以Ｎ０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ４ꎬ－５２æèçöø÷.③若ＡＭ为对角线ꎬ则有－１＋ｘ＝ｘＮ＋０ꎬ０＋０＝ｙＮ－５２ꎬìîíïïï即ｘＮ＝ｘ－１ꎬｙＮ＝５２.ìîíïïï将Ｎｘ－１ꎬ５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ即１２(ｘ－１)２－２(ｘ－１)－５２＝５２ꎬ解得ｘ１＝３＋１４３９或ｘ２＝３－１４ꎬ即ｘＮ＝２＋１４或ｘＮ＝２－１４ꎬ所以Ｎ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或Ｎ２－１４ꎬ５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷或２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法３㊀如图４所示ꎬ在ｘ轴上任取一点Ｍꎬ连接ＣＭꎬ分别过点ＡꎬＣꎬＭ作ＣＭꎬＡＭꎬＡＣ的平行线ꎬ得平行四边形ＡＣＭＮ１ꎬ四边形ＣＭＡＮ２ꎬ四边形ＡＣＮ３Ｍꎬ分别过Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３作ｘ轴的垂线ꎬ垂足分别为ＦꎬＧꎬＥ.过点Ｍ作ＭＨʅＮ２Ｎ３于点Ｈ.易证明Ｎ１Ｆ＝Ｎ２Ｇ＝Ｎ３Ｅ＝ＯＣ＝５２.图４㊀探究点Ｎ的路径所以Ｎ１运动的路径为直线ｙ＝５２ꎬＮ２ꎬＮ３运动的路径为直线ｙ＝－５２.因为Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３在抛物线ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２上ꎬ所以Ｎ的坐标满足ｙ＝５２ꎬｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２ìîíïïïï或ｙ＝－５２ꎬｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２ꎬìîíïïïï解得ｘ１＝２＋１４ꎬｙ１＝５２ꎬìîíïïïｘ２＝２－１４ꎬｙ２＝５２ꎬìîíïïïｘ３＝０ꎬｙ３＝－５２ìîíïïï(舍去)ꎬｘ４＝４ꎬｙ３＝－５２.ìîíïïï综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法４㊀如图３所示ꎬ因为Ａ(－１ꎬ０)ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ所以ＡꎬＣ两点间的水平距离为１ꎬ坚直距离为５２.设点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ将点Ｍ按ＣңＡ方向平移ꎬ得到点Ｎ１ｍ－１ꎬ５２æèçöø÷ꎬ将点Ｃ按ＭңＡ方向平移ꎬ得到点Ｎ２－ｍ－１ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ将点Ｍ按ＡңＣ方向平移ꎬ得到点Ｎ３ｍ＋１ꎬ－５２æèçöø÷.将点Ｎ１ｍ－１ꎬ５２æèçöø÷ꎬＮ２－ｍ－１ꎬ－５２æèçöø÷ꎬＮ３ｍ＋１ꎬ－５２æèçöø÷分别代代入抛物线的解析式ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２得①１２(ｍ－１)２－２(ｍ－１)－５２＝５２ꎬ解得ｍ＝３－１４或ｍ＝１４＋３ꎬʑＮ１２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或Ｎ１２－１４ꎬ５２æèçöø÷.②１２(－ｍ－１)２－２(－ｍ－１)－５２＝－５２ꎬ解得ｍ＝－１或ｍ＝－５ꎬʑＮ２０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ２４ꎬ－５２æèçöø÷.③１２(ｍ＋１)２－２(ｍ＋１)－５２＝－５２ꎬ解得ｍ＝－１或ｍ＝３ꎬʑＮ３０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ３４ꎬ－５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.对于平行四边形的存在性问题中已知两个定点ꎬ先虚拟一个动点ꎬ围成一个三角形ꎬ过三角形的每一个顶点画对边的平行线ꎬ三条直线两两相交ꎬ就可以确定平行四边形的第四个顶点.按照虚拟的第三个点ꎬ第四个顶点存在三种情况.但是第四个点到底有几个ꎬ要具体问题具体分析.参考文献:[１]董红凤.有效解决函数中动点型综合题教学探究[Ｊ].数学学习ꎬ２０１６(０１):２５－３０.[责任编辑:李㊀璟]４９。

1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛 物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。

中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒()05t <<．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数213442y x x =--与x 数轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ． 发现：点A 的坐标为__________，求出直线BC 的解析式；拓展：如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，连接PB 、PC ，当PBC 面积最大时，求出P 点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D ，抛物线对称轴交BC 于点E ，M 是线段BC 上一动点（M 不与B 、C 两点重合），连接PM ，设M 点的横坐标为()08<<m m ，当m 为何值时，四边形PMED 为平行四边形？6．解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =+-的图像交坐标轴于()1,0A -、()4,0B 两点，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点()30A -,和()4,0B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点P 在直线BC 上方的抛物线上运动，过点P 作PD AC ∥交BC 于点D ，作PE x ⊥轴交BC 于点E ，求724PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中724PD PE +取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点G ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点Q 、G 、M 、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是（4，0），与y 轴交于点C （0，－3），点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E 在x 轴上运动时，探究以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(30)A -，，()1，0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点D ，与直线相交于点E ，且:4:3CD DE =．(1)求点E 的坐标和二次函数表达式． (2)过点D 的直线交x 轴于点M ．①当DM 与x 轴的夹角等于2DCO ∠时，请直接写出点M 的坐标；①当DM CD ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点D ，E 重合），作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于()()1,04,0A B C -、、三点，且OB OC =，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）13．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k >0）的图象与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线1:l y x b k=-+交线段OC 于点M （不与O 、C 重合），过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N ，若在点T 运动的过程中，2ON OM =常数m ，求m 、k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于、、A B C 三点，其中点A的坐标为()0,8，点B 的坐标为()4,0-．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC CD 、，以AC CD 、为邻边作平行四边形ACDE ，设平行四边形ACDE 的面积为.S ①求S 的最大值；①当S 取最大值时，Р为该二次函数对称轴上--点，当点D 关于直线CP 的对称点E 落在y 轴上时，求点Р的坐标．参考答案1．【答案】(1)()4,0B - ()8,3D 211384y x x =--(2)当点P 运动到距离点52A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为8182．【答案】(1)4x =-(2)()4,16或()4,16--或()4,16-3．【答案】(1)()4,0A - ()0,16B (2)4x =-(3)()4,16或()4,16-或()4,16--． 4．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()712-，或()72-，或()14，或()23， 5．【答案】发现：()2,0-，直线BC 的解析式为1y x 42=-；拓展：()4,6P -；探究：当5m =时，四边形PMED 为平行四边形6．【答案】(1)234y x x =--(2)当P 点坐标为(2,6)-时，16(3)Q 的坐标为(2,6)--或(10,6)7．【答案】(1)211344y x x =-++(2)724PD PE +的最大值为12，此时522⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)1611632N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2471632N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32147216N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8．【答案】(1)239344y x x =--(2)(1,0)或(7,0)或41502⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或41502⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 9．【答案】(1)224233y x x =--+(2)存在，点M 的坐标为(2,2)-或---，(172)或(17,2)-+-10．【答案】(1)2722y x x =-++(2)①302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或302⎛⎫⎪⎝⎭，；①3192-或3192+ 11．【答案】(1)234y x x =--(2)(2,6)P -，四边形PBOC 的最大面积为16(3)存在，Q 的坐标为(2,6)--或(10,6) 12．【答案】(1)223y x x =+-(2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--13．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在 12(1,0),(5,0)Q Q -- 34(27,0),(27,0)+-Q Q ．14．【答案】（1）22y x x =-；（2）点P 的坐标(15,4)+或(13,2)+；（3）554m =12k =．15．【答案】（1）y =-14x 2+x +8，C 点坐标为(8，0)；（2）①32；①P （2，2）或（2，6）。