初三培优——平行四边形和相似三角形的分类讨论

相似三角形专题一——分类讨论类型一：AX 分类讨论例1、如图，在中，ABC 8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间t =________1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ；(2)是否存在某一时刻t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14；(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ，点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t 为何值时，△CPQ 与△CAD 相似？请直接写出t 的值．二、直角三角形分类例2、如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？1、如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2、如图，在平面直角坐标系中，点，点、分别在轴、轴的正半轴上，且满足．求点、点的坐标；若点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段由向运动，连接，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．1、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在BC 上，另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 边上的高；（2）求正方形EFGH 的边长．相似三角形专题三——面积比问题例1.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）1、如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是____．2、如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若：：，则：．。

初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点平行四边形是一个有特殊性质的四边形，其边界任意两边两边互相平行并且长度相等。

在研究平行四边形的时候，我们可以遇到以下几种相似的图形：1. 直角共边平行四边形：这是一种特殊的平行四边形，其中两条边是相互垂直的，我们可以通过相似性来研究它们。

由于这是一个直角平行四边形，角度大小为90度，因此我们可以利用相似三角形的概念来研究其它相似性质。

2. 斜边相等平行四边形：这是另一种特殊的平行四边形，其中两条斜边的长度相等。

根据这个特点，我们可以得出这两个平行四边形的其它边长也相等。

利用这种相似性，我们可以得到它们的一些共同特征，例如周长、面积等。

3. 高度等比例平行四边形：对于两个平行四边形，如果它们的高度相等，并且这两个平行四边形是相似的，那么它们的边长之比也是相等的。

这个性质可以通过相似三角形的概念进行证明。

4. 底边等比例平行四边形：对于两个平行四边形，如果它们的底边之比等于它们的相似比，那么这两个平行四边形是相似的。

同样地，这个性质也可以通过相似三角形进行证明。

在研究平行四边形的相似性质时，我们可以利用各种几何定理和性质来进行证明。

相似性质不仅可以帮助我们推导出平行四边形的其他性质，还能扩展我们对几何形状的理解，为后续的学习奠定坚实的基础。

平行四边形是在我们初中数学中经常会遇到的一个图形，它有着独特的性质和特点。

而在研究平行四边形的过程中，我们经常会遇到一些特殊情况，这些特殊的平行四边形图形包含着一些相似的知识点。

首先，我们来讨论直角共边平行四边形。

直角共边平行四边形是一个有趣且特殊的平行四边形，其中两条边是互相垂直的。

这使得我们可以运用相似三角形的概念来研究它们。

在这种情况下，平行四边形的两对对角线相交于一点，并且形成四个直角三角形。

我们可以利用直角三角形的性质，如勾股定理和三角函数，来探讨直角共边平行四边形的周长、面积和各边之间的关系。

其次，我们来考虑斜边相等平行四边形。

初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。

求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。

(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。

(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。

考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。

变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。

想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。

分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。

分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。

关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。

”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时 需要分类讨论。

分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形 成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。

笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。

，|)内/(•T)无零点。

当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。

当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。

综上可得，/U)有且仅有2个零点。

7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来 求解也是一个有效的途径。

要分类讨论做归纳整理。

1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。

无可奈何“落去”，似曾“相似”归来——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍“一题一课”，倡导一个题目上一节课，就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。

我抽到的题是第18题，主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到分类讨论。

这道题对学生来讲说不上难，因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了；可也说不上简单，毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。

可光就这个题目讲上一节课，是根本不可能的。

对这课我最初的设想是由浅入深，先温习或做些铺垫性的问题，把起点放在相似三角形的判定的复习上，编制单一的不涉及分类的相似题目，再重点像讲课文例题那样去启发分析，最后拓展提炼。

因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目，无果之后又尝试着自己去改编题目：赋予△ABC为等腰三角形的背景下，DE∥BC，在BC边上寻一点F，使△DEF与△ABC相似。

试上之后，这道题反响还不错，引入等方面修正完善一下就好。

杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天，期间我仔细思考教学设计中的这道题目，总觉得偏离了“一题一课”的理念。

可是箭在弦上不得不发，没机会再试上再磨课了！比赛当天，心里还是隐隐觉得不好，于是开始两手准备：一方面将这个课再次仔细整理准备上课；另一方面再次去找寻其他题目，最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。

感谢教研组听课的同事，每一位都给出了非常宝贵的意见和建议，帮我不断修正与完善。

在磨课的过程中，我受益良多。

课堂实录师：今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。

首先我们拿出练习纸，动手画画看。

（媒体显示题目，学生动手作图）如图，△ABC中，AB=12，AC=15。

D为AB 边上一点，过点D作一条截线交AC于点E，使△ADE与△ABC相似，你能作出几条？请画出图形。

师：谁来说说看你是怎么画的？生：先做BC的平行线，交AC于点E。

还有一个是做的那条线和AD相等……师：做的那条线和AD相等？生：作AD=AE师：在AC上取一点E，使得AD=AE师：说说看你是怎么想的?（学生回答不出）为什么这种情况下这两个三角形相似？生：因为平行师：依据的是什么？生：相似三角形中（学生说不出来师补充）师：作DE∥BC时，就是说∠ADE与∠ABC相等。

相似三角形与平行四边形的关系相似三角形与平行四边形是几何学中两个重要的概念。

它们在形状、性质和关系上都有着密切的联系。

本文将介绍相似三角形和平行四边形的定义以及它们之间的关系。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形指的是具有相同形状但可能有不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，对应边成比例。

具体表述为：对于三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC与DEF相似。

相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 如果两个角分别相等，则剩余的一个角也相等，即如果∠A=∠D，∠B=∠E，则∠C=∠F。

3. 相似三角形的周长之比等于相应边长之比。

相似三角形在实际应用中有重要意义，例如在地图测绘、建筑设计以及几何推理中经常会用到相似三角形的性质。

二、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

平行四边形的性质包括以下几点：1. 对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。

2. 对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

3. 相邻内角互补，即∠A+∠B=180°。

三、相似三角形与平行四边形的关系相似三角形与平行四边形之间存在紧密的关系。

下面将介绍两者之间的几个重要关系：1. 平行四边形的对角线引出相似三角形。

平行四边形的两条对角线可以将平行四边形分成四个三角形。

这四个三角形中，两对共对角线的三角形是相似三角形。

具体来说，对角线AC与对角线BD引出的三角形ABC与ABD相似，对角线AB与对角线CD引出的三角形ABC与ACD相似。

2. 相似三角形的比例关系引出平行四边形。

设有两个相似三角形ABC和DEF，且有AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么可以得到四边形AFBE为平行四边形。

通常情况下，这个四边形称为"纵比例四边形"。

此外，可以通过逆向推理得到其他平行四边形。

Q △ AMNABC △ AEF ABC2018年中考复习相似动点分类讨论1•如图，已知一个三角形纸片 ABC , BC 边的长为8, BC 边上的高为6 , B 和 C 都为 锐角，M 为AB 一动点(点M 与点A B 不重合)，过点M 作MN // BC ，交AC 于点N , 在△ AMN 中，设MN 的长为x , MN 上的高为h . (1 )请你用含x 的代数式表示h . (2)将厶AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点 A 落在平面 的点为A ,, △ AMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为 y ,当x 为何值 时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：(1) Q MN // BC △ AMN ABC - - h 3x 6 8 4 (2) Q △ AMN AMN △ A “MN 的边 MN 上的高为 h ,当点 A 落在四边形 BCNM 内或BC 边上时 c 1 S A AMN = — MN • h21 3 一 x •一 x2 4 ②当A 1落在四边形BCNM 外时，如下图(4 x 8),3 设厶A 1EF 的边EF 上的高为h 1，则h , 2h 6 -x 6 2 Q EF // MN △ A 1EF AMNS^ AEF SA ABC Q S A ABC1 6 8 242SA A 1 EF 24 3x 212x 242Q y S A A 1MN SA A 1EF3 2 3 29 2x -x 2 12x 24x 12x 24 828y9 2 -x 212x 248 (4 x 8)综上所述：当Ox < 4时， y 3x 2，取 x84 , y 最大6当4 x 8 时，y 9 2 -x 12x 24，取 x16 ,y 最大 883ACA 1Q 8 6当x 时，y 最大，y 最大832•如图，抛物线经过 A(4,0, B(1,0), C(0, 2)三点.(1 )求出抛物线的解析式；(2) P 是抛物线上一动点，过 P 作PM x 轴，垂足为M ，是否存在P 点, M 为顶点的三角形与 A OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标; 说明理由；将 A(4,0), B(1 ,0)代入,A B 两点.矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线h 、l 2上，顶点F 、点G 与点B 重合. (1 )求△ ABC 的面积；(2) 求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；(3) 若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动 时间为t(0 < t < 12)秒，矩形DEFG 与厶ABC 重叠部分的面积为 S ,求S 关于t 的函数【答案】解：(1) Q 该抛物线过点 C(0, 2), 可设该抛物线的解析式为2axbx使得以A , 若不存在，得16a 4b 2 °，解得a b 2 0.12此抛物线的解析式为如图，设 P 点的横坐标为 m ，贝y P 点的纵坐标为m 2 m 2 ,2 2 当1 m4时, AM 4 m ,PM - 25 m - m 2 .2 2又QCOAPMA 90°①当耐AO 2 时，△ APMPM OC 1即4 m 2 1 2 5 -mm 2 •解得m 1 2, m 24 (舍去)，P(21) •k/Xra②当AM PMOC OA1时，△ APM CAO ，即 22(41 2 5 m) - m m 2. 2 2解得 mi 4 , m 2 5 (均不合题意，舍去)4 时，P(2,1).类似地可求出当 m 4 时，P(5, 2).当m 1时，P( 3,14) •综上所述，符合条件的点 P 为(2,1)或(5, 2)或(3,14).2 83.如图，已知直线|1 : y - x 一与直线l 2 : y 2x3 316相交于点C , h 、|2分别交 x 轴于G 都在x 轴上，且(2)存在.关系式，并写出相应的t 的取值范围.3由 16 0,得 x 8. 2x 4. A 点坐标为4,0 . 2 y 3X2X 8316. S A ABC 1AB-y C 2 (2) 又•••点 OE 8 (3) B 点坐标为 8,0 . • AB412.5,6. 占 八、、 的坐标为 5,6 1 12 6 2 36. 解：•••点D 在11上且x DE 在l 2 4 4,解法一: X B 8, Y D88. • D 点坐标为8,8 .3 上且Y E Y D 8, EF 8. 2X E 16 8. X E 4. • E 点坐标为4,8 .①当0 < t 3时，如图1,矩形 DEFG 与△ABC 重叠部分为五边形 CHFGR ( t Rt △RGB s Rt △CMB. 过C 作CMBG BM D2 E F M G B X(图1) 为四边形CHFG ) (图2)(图3)RG，即-RG ,••• RG 2t.CM 3 6 Q Rt A AFH s Rt AAMC ,S SA ABC S A BRGSA AFH36 t 2t8时，如图2,为梯形面积,2t一 3 001 28 2t 8 80 s — 4[ —(4 t) 8] t2 333332当8 t 12时，如图3,为三角形面积，s 1 刍(12 t) & 4823 34•如图，矩形 ABCD 中，AD 3厘米，AB a 厘米(a 3) •动点M , N 同时从B 点 出发，分别沿 B A ，B C 运动，速度是1厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB ，分别交AN , CD 于P , Q •当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1 )若a 4厘米，t 1秒，则PM __________ 厘米；(2) 若a 5厘米，求时间t ，使△ PNBPAD ，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 P MBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围;(4 )是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形9 © 3 (a 1) -(a t) t t a __________ a 2 26aQt < 3,< 3，则 a < 6, 3 a < 6 ,6 a(4) Q3 a < 6时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则 CNX(a t) 3 t ，把t -6生代入，解之得a 2晶，所以a 243 • a 6 a形PQCN 的面积都相等？若存在，求【答案】解:(2) t 2， (3) Q PM △ AMP ABC ，(1) PM 3，4使△ PNBPAD ，相似比为3: 2 丄AB, CB 丄 AB, AMPPM AM BN AB QM当梯形 PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即ABC ， (QP PMt 口 ,Q PM a t(aAD)DQ2(MP BN)BMPMBN ，梯形 PQDA ，梯化简得t -6a -6 aPM所以，存在a ,当a ^.3时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.5. 如图，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t( s)，解答下列问题：(1 )当t= 2时，判断△ BPQ的形状，并说明理由；(2)设厶BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△ APR s^ PRQ?【答案】解：⑴△ BPQ是等边三角形，当t=2时,AP=2 X 1=2,BQ=2 X 2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP又因为/ B=60,所以△ BPQ是等边三角形•⑵过Q作QE! AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t • sin60 0= . 31,由AP=t,得PB=6-t,1 1 l~3所以S A BPQ」X BP X QE)(6-t) X、3 t= —12+3 3t ;2 2 2⑶因为QR// BA,所以/ QRC M A=600,/ RQC M B=60°,又因为/ C=6(f,1 所以△ QRC是等边三角形，所以QR=RC=QC=6-2t因为BE=BQ cos60°= X 2t=t,2 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP// QR,EP=QR所以四边形EPRQ是平行四边形所以PR=EQ= 3 t,又因为/ PEQ=9& 所以/ APR=/ PRQ=90.因为△ APR-A PRQ,所以/ QPR/ A=6C°,所以tan 60°=塑，即6 2t . 3,所以t= 6,所以当t= 6时，△ PR J3t 5 5 APR-A PRQ6. 在直角梯形OABC 中，CB // OA, / COA = 90o, CB= 3, OA = 6, BA = 3 5.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标；(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD= 5, OE = 2EB ,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式；(3)点M 是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.(第26题图1)5件皿"恼干点U W ECJ/HH.:.MECsMRH. .................... .............. (4 分) ・•・06 = 21・•・点用的屮林为（2. 4）.・•• （5分） XV 点"於樂标为（0. 5）.i 殳门线t ）E 的箫折式为r =4r >6. 则｛乩；心・解絆"■寺・"5.・・・甲逖处的梆析式为；厂-鼻T(3)礙存在 ............................................................① 如图I •当Oh = MW = WV - AV) «$时.囚边后0DHN 为菱形. 作W 轴于点几M ”P 〃・仙• •・• △MPDs △刚0MP Pt) WD 业，“ I u “ …• •斎总而二 F Q *•'当「0 时.-yr *5x0. ttij x = 10, ••• F 点的坐标为 <l». 0).Of = 10.(£ R 心""中・劝=JO 小”卢・v S^VlO 2 =5 &・•・¥結" A 叫岳.点M 的型林为(-2js.)・A 点A 的生杯为(-2$. 5) •...................................... ② 如图 2. on = /ZV = XM 5 \f(f - 5 B41 pq 边 形f"八初为菱毎.«R A W 交*釉于点几M vr 11M.•-•点"在血线y- -y* *5上・.・.设H 点坐标力(a, -yn*5), 庄 RlAOPM中.OP ♦ PM 1 =av\ 7°45) =5：,6 =4. a 2 =0 (命去).•・•虑”他圭标为(4 ")•-3妇图亍.W /J =：/>< = A7）nj t 边形加〃爪为旻呼・ifttAV.交OQ 1如・ 则・\WjO 〃兀郴乖口丫・分.；• y ・f 0。

姓名：班级27.2.1 相似三角形的判定全卷共24题，满分：100分，时间：60分钟一、单选题（每题3分，共36分）1．（2021·北京·牛栏山一中实验学校九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（）对．①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°．∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′．②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6．∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′．③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′．④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．3．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．【详解】∵AC22+AB=2，BC221310+=112A51210522：2比例，∴这两个三角形相似，A符合题意；B532B不符合题意；C51，2C不符合题意；D5213D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键．4．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）下列各组图形中可能不相似的是（）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形【答案】A【分析】根据判定三角形相似的方法：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似，逐项分析即可．【详解】解：A、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B、正确，由已知我们可以得到这是两个等边三角形，从而可以根据三组边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似；D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．5．（2021·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】A【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【详解】解：如图：AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，12 ACBC=；△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，12DEEF=；∴△ABC~△DEF；△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，111JKKL==；HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，∵5+2≠5，∴HG 2+ HI 2= GI 2，∴△HGI 不是直角三角形，综上，只有△ABC ~△DEF ；故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．6．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定ACD ∆与ABC ∆相似的是（ ）A ．CD AC BC AB = B ．AC AD AB AC= C ．ADC ACB ∠=∠ D ．ACD B ∠=∠ 【答案】A【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【详解】A 、当CD AC BC AB =时，无法得出ACD ABC ∆∆，符合题意； B 、,AC AD A A AB AC =∠=∠，ACD ABC ∴∆∆，能判定相似，不符合题意；C 、,A A ADC ACB ∠=∠∠=∠，ACD ABC ∴∆∆，能判定相似，不符合题意；D 、,A A B ACD ∠=∠∠=∠，ACD ABC ∴∆∆，能判定相似，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是（ ）．A ．∠APB ＝∠EPCB ．∠APE ＝90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC ＝2∶3【答案】C 【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A. ∠APB =∠EPC ，根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ΔABP ∽ΔECP ，不合题意；B. ∠APE =90︒，根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到∠APB =∠PEC ，可以得到ΔABP ∽ΔPCE ，不合题意；C. P 是BC 的中点，无法判断ΔABP 与ΔECP 相似，符合题意；D. BP :BC =2:3，根据正方形性质得到AB :BP =EC :PC =3:2，又∵∠B =∠C ，可以得到ΔABP ∽ΔECP ，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．8．（2021·全国全国·九年级专题练习）ABC 和A B C '''中，9cm AB =，8cm BC =，5cm CA =，4.5cm A B ''=， 2.5cm B C ''=，4cm C A ''=，则下列说法不正确的有（ ）A ．ABC 与B AC '''相似B ．AB 与B A ''是对应边C ．两个三角形的相似比是2:1D ．BC 与B C ''是对应边 【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、2AB CA BC A B B C C A ===''''''，所以两个三角形相似，选项正确； B 、AB 与B A ''是对应边，选项正确；C 、两个三角形的相似比是2:1，选项正确； D 、BC 与C A ''是对应边，选项错误．故选：D【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，根据定理内容解题是关键．9．（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．△CGE ∽△CBPB ．△APD ∽△PGDC ．△APG ∽△BFPD ．△PCF ∽△BCP【答案】A【分析】根据∠CPD ＝∠A ＝∠B ，∠D =∠D ，∠C =∠C 即可得到△APD ∽△PGD ，△PCF ∽△BCP ，再根据∠APG =∠C +∠P ，∠BFP =∠C +∠CPD ，可以得到∠APG =∠BFP ，即可证明△APG ∽△BFP ，由此即可求解．【详解】解：∵∠CPD ＝∠A ＝∠B ，∠D =∠D ，∠C =∠C∴△APD ∽△PGD ，△PCF ∽△BCP 故B 、D 选项不符合题意，∵∠APG =∠C +∠P ，∠BFP =∠C +∠CPD ，∴∠APG =∠BFP ，∴△APG ∽△BFP ，故C 选项不符合题意，对于A 选项不能得到两个三角形相似，故选A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，,ABC ADE BC ≌，DE 交于点O ，有下列三个结论：①12∠=∠，②BC DE =，③ABD ACE ∽．则一定成立的有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．【详解】①∵ABC ADE △≌△，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ，∴∠1=∠2，故①成立；②∵ABC ADE △≌△，∴BC=DE ，故②成立，③∵ABC ADE △≌△，∴AB=AD ，AC=AE ，∴AB AD AC AE =，又∠1=∠2，∴ABD ACE ∽，故③成立，综上，一定成立的有①②③共3个，故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．11．（2021·河北海港·九年级期中）如图，己知ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，12AB =，8AC =，6AD =，当AP 的长度为______时，ADP △和ABC 相似．（ ）A ．9B ．6C ．4或9D ．6或9【答案】C 【分析】分别根据当△ADP ∽△ACB 时，当△ADP ∽△ABC 时，求出AP 的长即可．【详解】解：当△ADP ∽△ACB 时，∴AP AD AB AC =，∴6128AP =，解得：AP =9， 当△ADP ∽△ABC 时，∴AD AP AB AC=，∴6128AP =，解得：AP =4， ∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故选C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．x﹣1与x轴交于A，与y轴12．（2021·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝12交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．【详解】解：∵点C在第一象限，∴当点C为直角顶点时，有两种情形，当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．二、填空题（每题3分，共18分）13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．【答案】一定相似【分析】分别计算两个三角形的三边长，看三边是否成比例，即可判定这两个三角形是否相似．【详解】根据图示知：AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5；DE ＝25，EF ＝5，DF ＝5， ∴1555AB BC AC DE EF DF ====，∴△ABC ∽△DEF ．故答案为：一定相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，关键是熟悉相似三角形的判定． 14．（2021·山东张店·八年级期末）如图，D 是ABC 的边AB 上一点（不与点A ，B 重合），请添加一个条件后，使ACD ABC ~，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．【答案】ACD B ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件ACD B ∠=∠即可．【详解】解：添加条件是：ACD B ∠=∠，理由是：A A ∠=∠，ACD B ∠=∠，ACD ABC ∴△∽△，故答案为：ACD B ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．15．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC ∽△ADE ．【答案】∠B ＝∠D【分析】先证出∠BAC ＝∠DAE ，再由∠B ＝∠D ，即可得出ABC ∽△ADE ．【详解】解：添加条件∠B ＝∠D 后，△ABC ∽△ADE ．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE ＝∠2+∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE ，又∵∠B ＝∠D ，∴ABC ∽△ADE ．故答案为：∠B ＝∠D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．16．（2021·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【答案】0.8或2【分析】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQ BA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=，解得：2t =； 当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，解得：0.8t =； 综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．17．（2020·江苏·南通市跃龙中学九年级月考）如图，D 、E 是以AB 为直径的半圆O 上任意两点，连接AD 、AE 、DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使ADC 与ABD △相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．①ACD DAB ∠=∠；②AD DE =；③2AD BD CD =⋅；④CD AB AC BD ⋅=⋅．【答案】①②③【分析】由两角法可得①正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知②正确；由两边夹一角法可以判断③正确，④错误．【详解】解：如图，∠ADC=∠ADB ，①、∵∠ACD=∠DAB ，∴△ADC ∽△BDA ，故①选项正确；②、∵AD=DE ，∴AD DE =，∴∠DAE=∠B ，∴△ADC ∽△BDA ，故②选项正确； ③、∵2AD =BD•CD ，∴AD ：BD=CD ：AD ，∴△ADC ∽△BDA ，故③选项正确；④、∵CD•AB=AC•BD ，∴CD ：BD=AC ：AB ，但∠ADC=∠ADB 不是对应夹角，故④选项错误．故答案为①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．熟练掌握三角形相似的判定方法及圆周角定理是解题关键．18．（2021·黑龙江集贤·九年级期中）已知在Rt ABC ∆中，90,3,4C BC cm AC cm ︒∠===，点,M N 分别在边AC AB 、上，将ABC ∆沿直线MN 对折后，点A 正好落在对边BC 上，且折痕MN 截ABC ∆所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与ABC ∆相似，则折折痕MN =__________cm 【答案】32或158． 【分析】先画草图借草图分析．如图重叠的小三角形为'AMN △，由对折知'A MA N ∠=∠，所以要使△ABC 和'AMN △相似，只需'A90NM ANM ACB∠=∠=∠=︒，此时'A和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需'A90MN AMN ACB∠=∠=∠=︒，此时'A与B点重合，'A M=BM=AM=12AB，再由相似的知识算得MN的值．【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：第一种情况如图1当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA又由对折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得1133222MN BC==⨯=（㎝）；第二种情况如图2当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB又由对折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴B MN M BC AC=又由对折知115B5222M AB==⨯=∴52B15348MMN BCAC==⨯=（㎝）．综上分析得MN=32㎝或158㎝．故答案为：32或158．【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，在5×6的方格中，点A、B 是两个格点，请按要求作图．（1）在图1中，以AB 为边作矩形ABEF （要求E 、F 两点均是格点）；（2）在图2中，点C 、D 是两个格点，请在图中找出一个格点P ，使△P AB 和△PCD 相似（找出一个即可）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据矩形的定义作出图形即可．（2）连接BD ，AC ，延长BD 交AC 的延长线于点P ，点P 即为所求．【详解】解：（1）如图，四边形ABEF 即为所求．（2）如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，矩形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．20．（2021·辽宁·大连市第三十七中学九年级月考）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是AD 上一点，且BE BD =．求证：ABE ACD ∽△△．【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD ＝∠CAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BED ＝∠BDE ，由等角的补角相等得到∠AEB ＝∠ADC ，根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】证明：∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠．∵BE BD =，∴BED BDE ∠=∠．∴AEB ADC ∠=∠．∴ABE ACD ∽△△． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．21．（2021·全国·九年级课时练习）如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△；（2）CBD ABC ∽△△． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．22．（2021·上海市实验学校九年级月考）已知抛物线y 32433x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）试判断AOC 与BOC 是否相似，并说明理由．【答案】（1）(1,0),(3,0)A B --，3)C ；（2）相似，理由见解析【分析】（1）根据抛物线与坐标轴有交点，分别令,0x y =解方程即可求得,,A B C 的坐标；（2）根据（1）的结论，求得,,OA OB OC 的长，根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可．【详解】（1）抛物线y 32433x 轴交于A 、B 两点，A 在B 的右侧，与y轴交于点C ，令0x =，解得3y =，(0,3)C ∴，令0y =，即23433033x x ++=， 解得121,3x x =-=-，∴(1,0),(3,0)A B --；（2）AOC COB △∽△，理由如下，如图，(1,0),(3,0)A B --，(0,3)C ；，1,3,3AO BO CO ∴===，133,333AO CO CO BO ===，AO CO CO BO ∴=， 又AOC COB ∠=∠，AOC COB ∴△∽△．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定，根据题意求得,,A B C 的坐标是解题的关键．23．（2021·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学九年级月考）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∠B ＝∠ADE ＝∠C ．（1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】（）见解析；（2）632-或3．【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD =AE ，②AD =DE ，③AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ ∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC =22BC =32 ①当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上 ∴此情况不符合题意． ②当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠：BDA CED ≌ ∴AB =DC =32632BD =-③当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥∴1=32BD BC =．综上所述：BD =632-3． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．24.（2021·浙江衢江·九年级期末）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝m （m ＞1），点E 、F 分别在边AD 、AB 上，且AE ＝1．（1）当m ＝3，AF ：FB ＝1：3时，求证：AEF ∽BFC ；（2）当m ＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB 上确定所有使AEF 与以点B 、F 、C 为项点的三角形相似的点F （请保留画图痕迹）；（3）探究：对于每一个确定的m 的值，线段AB 上存在几个点F ，使得AEF 与以点B 、F 、C 为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，再由已知可推出13AE AFBC FB==，即可利用相似三角形的判定得出结论；（2）利用对称性或辅助圆解决问题即可；（3）根据交点个数分类讨论即可解决问题；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3，∴13AE AFBC FB==，∴AEF∽BFC；解：（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．点F1、F2、F3即为所求；（3）如（2）中所作图形，当m=4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5，即圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时圆心到AB的距离为2.5，等于半径，点F2、F3重合，符合条件的点F有2个；当m＞4时，圆和AB相离，此时点F2、F3不存在，即符合条件的点F只有1个；当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的点F有3个；综上所述，可得：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．【点睛】本题考查了作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

2018年中考复习 相似 动点 分类讨论1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或BC 边上时，1A M N y S =△=211332248MNh x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大MNA86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△， 即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E Ey y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则R t R t R G B C M B△∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++． ··························································当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,（图3）（图1）（图2）∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．N5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2ADOBC21MN图7-1图7-3ADOBC21MN（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求ACBD的值．【答案】解：（1）AO = BD，AO⊥BD；（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，∴△AOC ≌△BOE．∴AC = BE．又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．又∵∠BOE = ∠AOC，∴△BOE ∽△AOC．∴AOBOACBE=．又∵OB = kAO，由（2）的方法易得BE = BD．∴kACBD=．10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。

初三数学四边形及相似形知识精讲一. 本周教学内容： 四边形及相似形二. 重点、难点（一）四边形1. 多边形在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的性质：（1）n 边形的内角和等于()n -2180·°； （2）任意多边形的外角和等于360°； ※（3）n 边形的对角线的条数等于123n n ()-。

2. 四边形的分类四边形平行四边形一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形正方形梯形一般梯形特殊梯形等腰梯形直角梯形其它四边形⎧⎨⎩⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3. 平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：（1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）两条对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

平行四边形的判定：（1）根据平行四边形的定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4. 矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）两条对角线相等；（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它有两条对称轴，即过每组对边中点的直线。

矩形的判定：（1）根据矩形的定义判定；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形。

5. 菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边都相等；（3）两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线。

菱形的判定：（1）根据菱形的定义判定；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34x h ∴=（2）1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤）②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 MNA当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大 86>Q ∴当163x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）Q 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． （2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=Q °，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=． 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC Q △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即（图3）（图1）（图2）241644333S t t =-++．····························· 当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-, ∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，AMP ABC△∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ，，(1)3t a QM a-∴=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+，3t Q ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， N（4）36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66at a=+代入，解之得23a =±，所以23a =． 所以，存在a ，当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等． 5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ；(3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标； （2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．A BDEFC OMNxy精选文档图7-2A D O BC 2 1MN 图7-1ADB M N12图7-3AD O BC21MN O .7．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°． ∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ． 又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AO BOAC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。

第26讲 分类讨论思想1．分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．2．分类讨论的一般步骤：首先确定讨论的对象和讨论的范围；其次确定分类的标准，进行合理分类；然后逐级进行讨论并总结出结论．1．运用分类讨论思想的解题关键是如何正确进行分类，正确分类的标准：对所讨论的对象要“既不重复，又不遗漏”．2．解决下列问题常常用到分类讨论思想：(1)求解时用到分类的定义．(2)由分类给出的数学公式、性质引起的讨论．(3)由几何图形位置或形状的不确定性引起的讨论．(4)参变量的不同取值会导致不同结果的参数问题．例1 已知函数162+-=x mx y (m 是常数)．(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点．(2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．【方法归纳】此题考查抛物线与z 轴的交点或一次函数与x 轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用问题，此外代数中的分类讨论还可以有以下类型：概念型分类讨论题，如｜ a ｜的定义是分a<0、a=0和a>0三种情况描述的；性质型分类讨论题；参数型分类讨论题；解集型分类讨论题；统计型分类讨论题；方案设计型分类讨论题等等，【误区提醒】解决此类问题要根据定义或者性质，按照“不重不漏”的原则进行分类，还要注意最终结论的合理性．例2 在△ABC 中，D BC AC AB ,>=为BC 的中点，动点P 从点B 出发，沿C A B →→的方向运动．运 动过程中使得△PBD 为等腰三角形的点P 的位置有( )．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【参考答案】B【方法归纳】本题考查等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的分类按边分BD= PD ，PB —PD ，PB=BD 三种情况，用“两圆一线”的作图方法寻找点P 的位置，【误区提醒】等腰三角形的分类通常是按边分类，即三条边中任选两条为腰，有三种选择方法，分类时不要遗漏．例3 【南平】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，CD 上的点，且,31AB CF AE ==点0为线段EF 的中点，过点0作直线与正方形的一组对边分别交于点P ，Q 两点，并且满足PQ=EF ，则这样的直线PQ(不同于EF)有__________条．图1【参考答案】3【方法归纳】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质与判定，本题虽然是作一条线段与EF 相等，实际上是做好两件事：①画线段PQ;②能证明这两条线段相等，这比单纯的证明更为复杂，因此首先要构建直角三角形全等，找到与EF 相等的边长的位置．【误区提醒】本题是按图形的位置分类，符合条件的线段不止一条，容易漏解，要思考周全，例4 如图，在正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都是格点，E 是线段AC 上任意一点，如果AD-1，那么当=AE ________时，以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似.【方法归纳】此题考查相似三角形的性质，难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，【误区提醒】相似三角形中的分类讨论先根据角进行讨论，角确定后根据角的两边进行分类讨论．例 5 【兰州】如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，O)，B(O ，2).动点P 在直线x y 23=上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与DABCO 的边相切时，点P 的坐标为__________．图1【误区提醒】本题是根据切线的性质将问题转化为按等腰三角形的边进行分类讨论，分类讨论先确定分类标准才能保证分类不重不漏，点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N．图1 图2(1)如图1，当点M 与点C 重合时，求证：DF=MN.(2)如图2，假设点M 从点C 出发，以1 cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点A 出发，以s cm /2速度沿AC 向点C 运动，运动时间为t(s)(t>0)．①判断命题“当点F 是边AB 中点时，点M 是边CD 的三等分点”的真假，并说明理由，②连接FM ，FN ，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出a ，t 之间的关系；若不能，请说明理由．【误区提醒】本题是根据切线的性质将问题转化为按等腰三角形的边进行分类讨论，分类讨论先确定分类标准才能保证分类不重不漏，于点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N．图1 图2(1)如图1，当点M 与点C 重合时，求证：DF=MN.(2)如图2，假设点M 从点C 出发，以1 cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点A 出发，以s cm /2速度沿AC 向点C 运动，运动时间为t(s)(t>0)．①判断命题“当点F 是边AB 中点时，点M 是边CD 的三等分点”的真假，并说明理由，②连接FM ，FN ，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出a ，t 之间的关系；若不能，请说明理由．【方法归纳】本题是运动型几何综合题，考查相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题与证明等知识点，解题要点：(1)明确动点的运动过程；(2)明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；(3)运用分类讨论的数学思想，避免漏解．1．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为两个全等的等腰直角三角形，且这条对角线长为6 cm ，则另一条对角线长( )． cm A 56. cm B 8. cm C 56.或cm 8 cm D 6.或cm 562．-宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有( )．A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种3．已知函数xy 1=的图象如图，当x 1-≥时，y 的取值范围是( )．1.-<y A 1-≤⋅y B 1-≤⋅y C 或0>y 1-<⋅y D 或0≥y4．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的OM 的圆心坐标是(4，2)，将直线12+-=x y 向上平移k 个单位后恰好与⊙M 相切，则k 的值是( )．.11A ++.11B ++.99C +-.1010D +-（第4题） （第5题）5．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E 和F ，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图，那么原等腰三角形的底边长为( )． 34.A 524.B 424.或35C 212.或35D6．若,||m n n m -=-且,3|ln ,4||==m 则=+2)(n m __________7．【呼和浩特】已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB=2，若点A 的坐标为（a ，b ），则点D 的坐标为________8．如图，正方形ABCD 的面积为,32cm E 为BC 边上一点， ,30 =∠BAE F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN =AE ，则AM 的长等于_______cm.（第8题）9．【牡丹江】在矩形ABCD 中，,8,6==AD AB 点M 在对角线AC 上，且,3:2:=MC AM 过点M 作⊥EF AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ．在AC 上取一点P ，使,EAC MEP ∠=∠则AP 的长为_______10．已知二次函数ax x y 22-=（a 为常数）．当41≤≤-x 时，y 的最小值是-12，则a 的值为_______.11.先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式.092>-x解：),3)(3(92-+=-x x x.0)3)(3(>-+∴x x由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有⎩⎨⎧>->+03,03x x ①或⎩⎨⎧<-<+.03,03x x ② 解不等式组①，得x>3，解不等式组②，得x<-3，故0)3)(3(>-+x x 的解集为3或3,x x ><-即一元二次不等式092>-x 的解集为x>3或x<-3．问题：求分式不等式03215<-+x x 的解集．12.【绍兴】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图1，在等腰直角四边形ABCD 中，AB =BC ，.90 =∠ABC①若,//,1CD AB CD AB ==求对角线BD 的长，②若AC⊥BD，求证：AD=CD ．(2)如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=9，点P 是对角线BD 上一点，且BP=2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形，求AE 的长．图1 图213.已知，如图，AB 是半⊙0的直径，弦CD∥AB，动点P ，Q 分别在线段OC ，CD 上，且DQ= OP ，AP 的延长线与射线 OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C ，D 不重合），420,cos ,5AB AOC =∠=设CPF x OP ∆=,的面积为y ．备用图(1)求证：AP=OQ ．(2)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围．(3)当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．14.如图，四边形OABC 是矩形，点A ，C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点0顺时针旋转90得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC ，OC 的长是方程0862=+-x x 的两个根，且.BC OC > (1)求直线BD 的表达式．(2)求△OFH 的面积．(3)点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点D ，F ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．1．【重庆】根据如图的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于( )．9.A 7.B 9.-C 7.-D2．【武汉】如图，在Rt△ABC 中，=∠C ,90 以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )．4.A5.B6.C7.D3．【黑龙江】若点0是等腰△ABC 的外心，且BOC ∠=,60 底边BC=2，则△ABC 的面积为( )．32.+A 332.B .22C +-.42D +-4．【乐山】二次函数3)2(2+-+=x a x y 的图象与一次函数)21(≤≤=x x y 的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )．323.±=a A 21.<≤-a B 1.322C a a =+-≤<1.312D a a =--≤<-5．【甘孜州】直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD=7，AB=2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为_______．6．【本溪】如图，在△ABC 中，AC=6．AB=4，点D 与点A 在直线BC 的同侧，且∠ACD =∠ABC，CD =2，点E 是线段 BC 延长线上的动点，△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为_______．7．【铁岭】在口ABCD 中，∠DAB 的平分线交直线CD 于点E ，且DE=5，CE=3，则口ABCD 的周长为________.8．【抚顺】如图，点B 的坐标为(4，4)，作BA⊥x 轴，BC⊥y 轴，垂足分别为点A ，C ，点D 为线段OA 的中点，点P 从点A 出发，在线段AB ，BC 上沿C B A →→运动，当OP= CD 时，点P 的坐标为________．9．【泰州】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，P 的坐标分别为(1，O)，(2，5)，(4，2).若点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心，则点C 的坐标为_________．10．【呼和浩特】如图，在平行四边形ABCD 中，==∠AB B ,30 O AC ,是两条对角线的交点，过点0作AC 的垂线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，点M 是边AB 的一个三等分点，则△AOE 与△BMF 的面积比为__________．11．【兰州】如图，在平面直角坐标系中，一次函数ax y =1b +的图象与反比例函数xk y =2的图象交于点A(l ，2)和B(-2，m)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)请直接写出21y y >时，x 的取值范围． (3)过点B 作x BE //轴，BE AD ⊥于点D ，点C 是直线BE 上一点，若,2CD AC =求点C 的坐标．12.【牡丹江】在Rt△ABC 中，,90 =∠ACB 点D 为斜边AB 的中点，,5,6==CD BC 过点A 作AE ⊥ AD 且AE=AD ，过点E 作EF 垂直于AC 边所在的直线，垂足为点F ，连接DF ，请你画出图形，并直接写出线段DF 的长．13．【黑龙江】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 的坐标为（-3，0），点C 在y 轴正半轴上，且,54sin =∠CBO 点P 从原点0出发，以每秒一个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，移动时间为t(0≤t≤5)秒，过点P 作平行于y 轴的直线Z ，直线Z 扫过四边形OCDA 的面积为S ．(1)求点D 的坐标．(2)求S 关于t 的函数表达式．(3)在直线Z 移动过程中，Z 上是否存在一点Q ，使以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由，14.【巴彦淖尔】如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴相交于A （-1，O ），B(4，O)两点，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)将△ABC 绕AB 中点M 旋转,180 得到△BDA.①求点D 的坐标．②判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P ，使△BMP 与△BAD 相似？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．1．【武汉】已知关于x 的二次函数a x a ax y --+=)1(22的图象与x 轴的一个交点坐标为(m ，0).若,32<<m则a 的取值范围是_________2．【天门】在△ABC 中，D AC AB ,=为BC 的中点，以D 为顶点作.B MDN ∠=∠(1)如图1，当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．(2)如图2，将∠MDN 绕点D 按逆时针方向旋转，DM ．DN 分别交线段AC ，AB 于点E ，F （点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．(3)在图2中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的41时，求线段EF 的长．图1 图23．【苏州】如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以1 cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合，在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连结CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连结PD ．已知正方形ABCD 的边长为lcm ，矩形EFGH 的边FG ，GH 的长分别为4 cm ，3 cm ，设正方形移动时间为x(s)，线段GP 的长为y(cm)，其中.5.20≤≤x(1)试求出y 关于x 的函数表达式，并求当3=y 时相应x 的值．(2)记△DGP 的面积为1s ，△CDG 的面积为,2s 试说明21s s -是常数．(3)当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长．4．如图，在矩形ABCD 中，,32,6==BC AB 点0是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP=3．一动点E 从点0出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达点A 后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从点P 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E ，F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E ，F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧，设运动的时间为t 秒(t≥O)．(1)当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值．(2)在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数表达式和相应的自变量t 的取值范围．(3)设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．答案。

九年级相似三角形的知识点相似三角形是初中数学中重要的概念之一。

它的应用广泛，并在高中数学学习中占据着重要的位置。

在九年级数学课程中，相似三角形的概念和性质是必修内容。

本文将详细介绍九年级相似三角形的知识点，并探讨其在实际问题中的应用。

一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。

简单来说，当两个三角形的形状相似，但大小不同，我们就称它们为相似三角形。

二、相似三角形的判定条件1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，而另外两边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边的比值都相等，那么这两个三角形是相似的。

需要注意的是，只有满足以上判定条件，我们才能断定两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。

这是判定两个三角形相似的重要性质之一。

对应角的相等性保证了两个相似三角形的形状相似。

2. 相似三角形的对应边成比例。

这是判定两个三角形相似的另一个重要性质。

对应边的成比例性质意味着两个相似三角形的大小关系。

3. 相似三角形的高线成比例。

在相似三角形中，如果两个三角形中的高线分别与对应边垂直相交，那么这些高线也成比例。

四、相似三角形的应用相似三角形的概念和性质在实际问题中有广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1. 测量高度和距离。

通过相似三角形的原理，我们可以利用测得的一边和一个角度，计算另一个边的长度。

这在测量高楼大厦的高度、测量两个点之间的距离等方面非常有用。

2. 画图和制图。

在制图过程中，我们可以利用相似三角形的性质，通过已知的线段和角度，准确地绘制复杂的图形。

3. 解决实际问题。

相似三角形的原理和性质可以帮助我们解决很多实际问题，如计算棱镜的体积、计算太阳的半径等。

总之，相似三角形是九年级数学课程中的重要知识点。

通过理解相似三角形的定义、判定条件和性质，我们可以更好地应用它们解决实际问题。

初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点在初中数学中，平行四边形是一个常见的图形，很多初中数学知识都与平行四边形有关，如平行四边形的性质、面积公式、重心、中线等等。

但是，有些平行四边形比较特殊，会涉及到相似的知识点。

下面我们来详细介绍这些特殊的平行四边形和相似知识点。

菱形菱形是一个特殊的平行四边形，它的四条边都相等，且对角线互相垂直。

菱形的性质比较特殊，菱形中任意两边都是相似三角形，且菱形的对角线互相平分。

这些性质与相似三角形的性质有很大的相似之处。

对于两个相似的菱形，它们的边长之比为1:2，而面积之比为1:4。

当两个菱形具有相同的内角时，它们就是相似的。

这可以通过类似三角形的性质进行证明。

因此，当充分了解了菱形相关的相似知识点，对于计算菱形面积、对角线长度等等问题，也有更深入的认识。

等腰梯形等腰梯形也是一个特殊的平行四边形，它包括两条平行的底边和两条相等的斜边。

因为等腰梯形具有两组相似的三角形，因此计算等腰梯形面积和对角线长度时，都需要用到相似三角形的知识。

对于两个相似的等腰梯形，它们的面积之比等于底边长度之比。

具体而言，设ABCD和A′B′C′D′为两个相似等腰梯形，AB和A′B′、CD和C′D′分别为它们的底边长度，ℎ和ℎ′为它们的高，则它们的面积之比为$\\dfrac{AB+CD}{A'B'+C'D'}。

\\dfrac{h}{h'}$。

直角梯形直角梯形也是一个特殊的平行四边形，它的两个底边互相垂直，且它的高度恰好在两个底边的中线上。

对于两个相似的直角梯形，它们的面积之比等于梯形的两个底边之比。

因为直角梯形可以看成一个由两个直角三角形拼接而成的图形，所以直角梯形的相似性质可以通过类似三角形的性质进行证明。

因此，在计算直角梯形的面积时，也需要了解相似三角形的知识。

总结对于初三数学中的平行四边形图形，掌握相似三角形知识点是非常重要的。

对于上述介绍的特殊平行四边形，都具有相似的性质，因此在计算它们的面积、对角线长度等等问题时，可以采用相似三角形的方法。

几何中的相似三角形与平行四边形的综合应用在几何学中，相似三角形和平行四边形是一些重要的概念，它们在很多实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍相似三角形和平行四边形的定义、性质，以及它们在实际问题中的综合应用。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应的角度相等，并且对应边的比例相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，可以表示为∆ABC ∼ ∆DEF。

在相似三角形中，以下性质成立：1. 对应角相等性质：如果∆ABC ∼ ∆DEF，则∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边比例性质：如果∆ABC ∼ ∆DEF，则AB/DE = BC/EF =AC/DF。

3. 高度比例性质：如果∆ABC ∼ ∆DEF，则三角形的高度（到底边的垂直距离）的比例等于对应边的比例。

4. 边长比例性质：如果∆ABC ∼ ∆DEF，则三角形的边长的比例等于对应边的比例。

相似三角形的性质使它们在实际问题中有着广泛的应用。

下面，我们将介绍一些具体的应用案例。

二、相似三角形的应用案例1. 测量高度无法直接测量的物体：通过利用相似三角形的高度比例性质，我们可以测量高度无法直接测量的物体。

例如，我们可以利用一个简单的仪器，在测量自己的身高时利用相似三角形的原理来估算高楼的高度。

2. 工程中的测量与设计：在建筑工程和工业制造中，相似三角形的概念被广泛应用于测量与设计。

例如，在设计一条桥梁时，可以通过相似三角形找到合适的缩放比例，以便在模型上进行测试和优化。

3. 地球地图的绘制：由于地球是一个球体，无法直接将其绘制在平面上。

但利用相似三角形的概念，可以通过画地球的切线来近似表示地球在平面上的形状，从而制作出准确的地图。

通过以上案例，我们可以看出相似三角形在实际问题中的重要性和应用价值。

三、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有对边平行的四边形。

平行四边形的特点包括：对边相等、对角线互相平分、相邻角互补等。