第1章 1.3.2 第2课时三角函数

第1课时 正弦、余弦函数的图象(1)正弦曲线、余弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)．(2)“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，⎝ ⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．(3)正弦、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度 制吗？ [提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．1．思考辨析(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )(2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( )(3)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．[答案] 0，π4，π2，3π4，π3．不等式cos x ＜0，x ∈[0,2π]的解集为________． [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2利用“五点法”作简图【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]； (3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]．思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．[解] (1)列表如下：描点连线，如图①所示．①(2)列表如下：②(3)列表：③用五点法画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)或y ＝A cos x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下(1)列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，y ，(π，y )，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，y ，(2π，y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结．提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．1．用“五点法”作出函数y ＝3＋2cos x 在一个周期内的图象． [解] 按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．【例2】 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．思路点拨：作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解．[解] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示， 作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立，所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤： 1画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；2写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集； 3把此解集推广到整个定义域上去.2．求下列函数的定义域：(1)y ＝2sin x ＋1；(2)y ＝sin x －cos x .[解] (1)要使y ＝2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12.结合正弦曲线或三角函数线，如图所示，知函数y ＝2sin x ＋1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z. (2)要使函数有意义，必须满足sin x －cos x ≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z正、余弦函数图象的应用 [探究问题]1．你能借助图象的变换作出y ＝|sin x |的图象吗？试画出其图象．提示：先画出y ＝sin x 的图象，然后将其x 轴下方的对称到x 轴的上方(x 轴上方的保持不变)即可得到y ＝|sin x |的图象，如图．2．方程|sin x |＝a ，a ∈R 在[0,2π]上有几解？ 提示：当a ＜0时，方程|sin x |＝a 无解； 当a ＝0时，方程|sin x |＝a 有三解； 当0＜a ＜1时，方程|sin x |＝a 有四解； 当a ＝1时，方程|sin x |＝a 有两解； 当a ＞1时，方程|sin x |＝a 无解．【例3】 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．思路点拨：作图―→看图―→交点个数 ―→sin x ＝lg x 解的个数[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数或两函数图象的交点个数求参数的范围问题.3．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π＜x ≤2π的图象如图所示，故由图象知1＜k ＜3.教师独具1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 (1)正、余弦函数图象的画法．(2)利用正、余弦函数的图象解不等式． (3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x 轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与x 轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，一个最低点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1；y ＝cos x ，x ∈[0,2π]与x轴有两个交点：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．1．用“五点法”作出函数y ＝3－cos x 的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．①(π，－1)；②(0,2)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3；④(π，4)；⑤⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1. ①⑤[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3，(π，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3，(2π，2)，故①⑤不是关键点．] 2．函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图象关于________对称．x 轴 [在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x的图象(略)，可知它们关于x 轴对称．]3．sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是________．(0，π) [如图所示是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象， 由图可知满足sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是(0，π)．] 4．用“五点法”作出y ＝1－sin 2x (0≤x ≤2π)的简图． [解] y ＝1－sin 2x ＝|cos x |(x ∈[0,2π])． 列表：。

因此应有 kπ<x<kπ+π2(k∈Z).
故所求函数定义域为
������
������π
<
������
<
������π
+
π 2
,������∈Z
.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)y=2cos
2 π
������-
π 3
;(2)y=3tan
2������
分析根据式子有意义,列出不等式组求解即可.
解由题意,得
tan������ + 1-tan������
1 >
≥0,0,即-1≤tan
x<1.在
-
π 2
,
π 2
内,满足上述
不等式的 x 的取值范围是
-
π 4
,
π 4
.
因为 y=tan x 的周期为 kπ(k∈Z),所以所求 x 的范围是
������π-
π 4
+
π 3
;
(3)y=|sin x|+|cos x|.
分析(1)用公式 T=2|���π���|,(2)用公式 T=|���π���|,(3)用函数的周期的定义求 解.
题型一 题型二 题型三 题型四
解(1)∵ω=π2,且 T=2|���π���|,
∴函数的最小正周期为
T=
2π
2
=π2.
π
(2)∵ω=2,且 T=|���π���|,
+
π 2
(k∈Z)上都是增函数.它们也存在大量的共性:
如均为周期函数,均具有奇偶性,且对 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)而 言,T=���π���,y=tan x 是奇函数,它的图象既可以类似地用正切线的几何方 法作图,又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图,这里三个点

Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα 2、负角诱导公式
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α 3、四象限诱导公式
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
5、三象限诱导公式 Sin(π+α)=sin α cos(π+α)= - cosα
sin
.
y
P(x,y)
P(y,x)
α
2
O
x
y=x
2
2
由公式四和公式五得
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
的正弦 (余2弦)函数值,分别 等于α的余弦(正弦) 函数值,前面加上一 个把α看成锐角时 原函数值的符号.
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式（2）
函数名不变，符号看象限
化简：
cos sin
180 180
sin cos
360 180
．
思考：终边与角α的终边关于直线y=x对称 的角与α有什么关系?它们的三角函数之间 有什么关系? 公式五
sin
2
cos ,
cos
2
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard

跟踪训练
3．化简：
cosθ＋4πcos2θ＋πsin2θ＋3π sinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ.
解：scinosθθ－＋44ππscinos52πθ＋＋θπcsoisn22－θ＋π＋3πθ
＝cos sin
θθcsions2θπs＋inθ2cθo＋s2πθ＝csoins
θsin2θ＋π θsinπ＋θ
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规范解答 化简含参数的三角函数式 例4 (本题满分 12 分)化简：cos(3k＋ 3 1π＋α)＋cos(3k－ 3 1π
第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
诱导公式二～四 的推导方法
―理―解→
诱导公式一～ 四的作用
―掌―握→
诱导公式并 能运用公式
重点难点 重点：初步运用诱导公式二、三、四求三角函 数值． 难点：利用诱导公式进行一般的三角关系式的化简和证明．
＝－cos sin
θθssiinn2θθ＝－cos
θ.
方法感悟
1．诱导公式的记忆方法 诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限” 记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同 名，“符号”是指等号右边是正号还是负号， “看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．
2．公式一～四的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任意一角的三角函数 问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角三角函数转化成正角三角函数． (3)公式二、四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
＝sinπ＋siαn＋αc2ossinαα－π＝－ssiinn