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§3.2.2复数代数形式的乘除运算
编写人：闫兰兰 2012 9 18
【学习目标】
1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.
【重点难点】
重点：复数代数形式的除法运算.
难点：对复数除法法则的运用.
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2
i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】
1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；
2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；
3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；
4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；
5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:乘法运算规则
设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数， 规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
引导2:试验证复数乘法运算律
（1）1221z z z z ⋅=⋅
（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅
（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
探究二、复数的除法运算
引导1：复数除法定义：
满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者
di
c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则： 利用()()2
2d c di c di c +=-+.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的
23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
【典例分析】
例1计算()()()i i i +-+-24321
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2
i 换成－1. 例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()
21i +.
引导:按照复数乘法运算展开即可.
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.
例3计算(12)(34)i i +÷-
引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.
点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.
例4计算i
i i i 4342)1)(41(++++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.
点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
1.复数2
2i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．4i
B ．4i -
C ．2i
D ．2i -
2.设复数z 满足
12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+
B ．2i --
C ．2i -
D ．2i + 3*.复数32321⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）
A.i -
B.i
C.1-
D.1
4.已知复数z 与()i z 822
-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.
5.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.
(2)由（1）推测()
*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2
i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
【总结反思】
知识 .
重点 .
