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2020高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数fx=Asinωx+φ的图象及应用检测理新人教A版

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第四节 函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)解析：选 B.将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D.由函数图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解析：选A.点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，∴t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，又s >0，所以s 的最小值为π6.4．(2018·衡水模拟)将函数y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则下面对函数y ＝g (x )的叙述正确的是( )A ．函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．函数g (x )的周期为πC ．函数g (x )的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增解析：选C.将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，故g (x )的周期为2π4＝π2，排除A ，B.令x ＝－π12，求得g (x )＝0，可得g (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，故C 满足条件．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，函数g (x )没有单调性，故排除D.5．(2018·广东珠海质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos 2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度解析：选D.根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象，可得A ＝1，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2.因此f (x )＝sin(2x ＋φ)．由题图，知f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴7π6＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)．又|φ|＜π2，∴φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故把f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π12个单位，可得g (x )＝cos 2x 的图象．6．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝b (0＜b ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3，6k ]，k ∈ZC ．[6k ，6k ＋3]，k ∈ZD ．[6k π－3，6k π]，k ∈Z解析：选C.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝b (0＜b ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以T ＝6＝2πω，所以ω＝π3，且当x ＝3时函数取得最大值，所以π3×3＋φ＝π2，所以φ＝－π2，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13πx －π2，所以－π2＋2k π≤13πx －π2≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以6k ≤x ≤6k ＋3，k ∈Z.7．(2018·唐山模拟)已知角φ的终边经过点P (－4，3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：由角φ的终边经过点P (－4，3)，可得cos φ＝－45.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.答案：－458．(2018·南昌模拟)电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象如右图所示，则当I ＝t ＝1100秒时，电流强度是______安．由函数图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，解析：∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)，∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10， ∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5(安)．答案：－59．(2018·河北邯郸调研)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z)．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x .∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π6＜α＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.10．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)．(1)若f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，求ω的取值范围；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，求ω的值．解：f (x )＝sin ωx －sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝sin ωx －12sin ωx －32cos ωx ＝12sin ωx －32cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.(1)由x ∈[0，π]⇒ωx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，ωπ－π3，又f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即最小值为－32，最大值为1，则由正弦函数的图象可知π2≤ωπ－π3≤4π3，解得56≤ω≤53.∴ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，53. (2)因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，所以T 2≥π3－0，则πω≥π3，即ω≤3，又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是f (x )图象的对称中心，∴ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ⇒ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω≤3，所以ω＝2.B 级 能力提升练11．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∵f (x )的最小正周期大于2π.∴11π8－5π8＝T4，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.12．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，则m 的值可能为( )A.π6B ．π2C.7π6D ．7π12解析：选D.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图象，又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z)，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z)．令k ＝2，则m ＝7π12.13．(2018·青岛二中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，则f (x 1)＝f (x 2)，且f (x 1＋x 2)＝________．解析：观察题中图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案：3214．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z.令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z.由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.15．已知函数f (x )＝2cos πx ·cos2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ的值及图中x 0的值；(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移16个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cos πx ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos2φ2－1－sinπx ·sin φ＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)． 由题图可知，cos φ＝32，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，所以x 0＝53.(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位长度得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3.所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.C 级 素养加强练16．(2018·广东中山质检)已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4是它的最大值(其中m ，n 为常数，且mn ≠0)．给出下列命题：①f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为偶函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π4，0对称；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4是函数f (x )的最小值；④函数f (x )的图象在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π.其中正确命题的个数是________个．解析：由于函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m2＋n2sin(x ＋φ)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4是它的最大值，∴π4＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z.∴f (x )＝m2＋n2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋π4＝m2＋n2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.对于①，由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m2＋n2·sin(x ＋π4＋π4)＝m2＋n2cos x 是偶函数，故①正确； 对于②，由于当x ＝7π4时，f (x )＝0，故函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，0对称，故②正确；对于③，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝m2＋n2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－m2＋n2是函数f (x )的最小值，故③正确；对于④，由正弦函数的图象可知，|P 2P 4|等于最小正周期2π.故④不正确．答案：3精选中小学试题、试卷、教案资料。

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2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课后作业理

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课后作业理

3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·c os 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin 20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案π3解析 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝ 1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )． 即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32，从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24.18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值． 解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x－cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。

高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形

高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形

2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的

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2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.4 函数y ＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用［课时跟踪检测］[基础达标]1．(2017届江苏无锡模拟)函数y＝sin错误!在区间错误!上的简图是（)解析：令x＝0得y＝sin错误!＝－错误!,排除B、D项；由f错误!＝0,f错误!＝0,排除C项，故选A。

答案:A2．函数y＝sin x－cos x的图象可由y＝sin x＋cos x的图象向右平移( ）A。

错误!个单位B．π个单位C。

错误!个单位D．错误!个单位解析:y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!，y＝sin x－cos x＝错误!sin错误!＝错误!sin x－错误!＋错误!。

答案：D3．已知函数y＝sin(ωx＋φ）ω＞0，0＜φ≤错误!，且此函数的图象如图所示，则点P（ω，φ）的坐标是（）A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：∵T＝2错误!＝π,∴ω＝2。

∵2×错误!＋φ＝π,∴φ＝错误!,∴选B。

答案：B4．（2017届贵州省适应性考试)将函数f(x)＝sin2x＋错误!的图象向左平移φ错误!个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝( ）A。

第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用

第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用

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大一轮复习·数学·BSD（理）
(3)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解， 令 ωx利0＋用φy＝＝ksπi(nk∈x 的Z)对，称求轴得为对_称_x＝_中_k_心π_＋_为_2π_(_x_0,_0)(．k∈Z)求解，令 ωx＋φ ＝kπ＋2π(k∈Z)，求得其对称轴为 x＝x0.
解析：由函数f(x)＝2sin
2x＋π6
得周期T＝
2π 2
＝π，将函数f(x)
＝2sin2x＋6π的图像向右平移14个周期，即为函数f(x)＝2sin2x＋π6
的图像向右平移
π 4
个单位，得y＝f
x－4π
＝2sin
2x－4π＋6π
＝
2sin2x－3π.
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即f(3)＝sin32π＋π6＝－cos
π6＝－
3 2.
答案：－
3 2
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3 ． (2018·贵 州 贵 阳 检 测 ) 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ)(x ∈ R)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，如果 x1，x2∈－π6，π3，且 f(x1) ＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( B )
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2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ φ) ω>0，－2π≤φ≤π2 的图像上的一个最高点和它相邻的一个最 低点的距离为2 2 ，且过点 2，－12 ，则函数f(3)的值为 ________.