(完整版)计量经济学一元线性回归模型

基于样本数据，所得到的总体回归函数的一个估 计函数称为样本回归函数。
问题：当我们设定总体回归模型的函数形式后， 如何通过样本数据得到总体回归函数的一个估计 （即样本回归函数）？--参数估计问题
E (Y | X i ) 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi f ( X i ) 0 1 X i
Xi确定
作此假设的理由：当我们把PRF表述为 时，我们假定了X和u(后者代表所有被省略的变量的影 响)对Y有各自的（并且可加的)影响。但若X和u是相关 25 的，就不可能评估它们各自对Y的影响。
线性回归模型的基本假设（4）
假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i~N(0, 2 ) i=1,2, …,n 意为：ui服从正态分布且相互独立。因为对两个正态 分布的变量来说，零协方差或零相关意为这两个变量 独立。 作该假设的理由：i代表回归模型中末明显引进的许多解释
Yi 0 1 X i i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项
3
回归分析的主要目的是要通过样本回归函 数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函 数（模型）PRF。
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i ui
同方差假设表明：对应于不同X值的全部Y值具有同 样的重要性。
22
线性回归模型的基本假设（2-3）
假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不自相关 性(不序列相关)： (2.3) 不自相关： Cov(i, j|Xi, Xj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 或记为 Cov(i, j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 意为：相关系数为0， i, j非线性相关。 几何意义如下

第三章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其基本假设一元线性回归模型第二章回归分析的基本思想指出，由于总体实际上是未知的，必须根据样本回归模型估计总体回归模型，回归分析的目的就是尽量使得样本回归模型接近总体回归模型，那么采取什么方法估计样本回归模型才使得估计出的样本回归模型是总体回归模型的一个较好估计值呢？这里包括两个问题：一是采用什么方法估计样本回归模型；二是怎样验证估计出的样本回归模型是总体回归模型的一个较好估计值。

这些将在接下来的内容中讲到。

这一章介绍最简单的一元线性回归模型，下一章再扩展到多元线性回归模型。

一元线性回归模型及其基本假设一、一元线性回归模型的定义一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在该一元模型中，仅仅只含有一个自变量，其一般形式为：yi = β0 + β1xi + μi（3.1.1）其中yi是因变量，xi是自变量，β0、β1是回归参数，μi是随机项。

由于式（3.1.1）是对总体而言的，也称为总体回归模型。

随机项μ代表未被考虑到模型中而又对被解释变量y有影响的所有因素产生的总效应。

二、一元线性回归模型的基本假设由于模型中随机项的存在使得参数β0和β1的数值不可能严格计算出来，而只能进行估计，在计量经济学中，有很多方法可以估计出这些参数值，但采用什么方法能够尽可能准确地估计出这些参数值，取决于随机项μ和自变量x的性质。

因此，对随机项μ和自变量x的统计假定以及检验这些假定是否满足的方法，在计量经济学中占有重要的地位。

估计方法中用得最多的是普通最小二乘法（Ordinary Least Squares），同样为了保证利用普通最小二乘法估计出的参数估计量具有良好的性质，也需要对模型的随机项μ和自变量x 提出若干种假设。

当模型中的随机项μ和自变量x满足这些假设时，普通最小二乘法就是适合的估计方法；当模型中的随机项μ和自变量x不满足这些假设时，普通最小二乘法就不是适合的方法，这时需要利用其他的方法来估计模型。

ndiv = 248 .8055 + 0 .206553 * Atprofits se = ( 31 .89255 )( 0 .049390 ) t = ( 7 .801368 )( 4 .182100 ) p = ( 0 . 00000 )( 0 .00060 ), R 2 = 0 .507103
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归： (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6)，获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。 Cov（ui,uj） = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：销售对研究与开发的影响 ^ R&D ＝ 266.2575 + 0.030878*Sales se＝(1002.963) (0.008347) t ＝(0.265471) (3.699508) p ＝(0.7940) R2 ＝ 0.461032 从回归结果可以看出： （1）随着销售额的增加，R&D也逐渐增加，即销售 额每增加一百万美元，研发相应的增加3.1 万美元。 （2）随着销售额的增加，R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大，表现出异方差性。 (0.0019)

可见，在满足一系列根本假设的情况下， 模型构造参数的最大或然估计量与普通最 小二乘估计量是一样的。
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。
解或然方程
sm2
L*
= n
2sm2
+1
2sm4
S(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
=0
即可得到sm2的最大或然估计量为：
sˆm2
1 =nS(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
s P (Y i)=
1 e2s 1m 2(Y ibˆ0bˆ1X i)2 2
i= 1,2,… ,n
因为Yi 是相互独立的，所以 Y 的所有样本观测值的联合概率， 也即或然函数(likelihood function)为：
L(bˆ0,bˆ1,sm2) = P(Y1,Y2,,Yn)
=
1
e 1 2sm2
S(Yi
，当
Q对
b$ 、 0
b$ 的一阶偏导数为 1
0 时， Q 达到最小。即
Q
bˆ 0 Q
bˆ1
=0 =0
(
( bˆ
bˆ
0
0 +
+ bˆ1 X bˆ1 X i
i
Yi ) Yi ) X
= i
0 =
0
SYi SYi X i
= nbˆ0 + bˆ1SX i
=
bˆ0 SX i
+
bˆ1S
X
2 i
解得：
bˆ0 = Y bˆ1X
bˆ1
=
nSYi Xi SYiSXi nSXi2 (SXi )2
由于
bˆ 0
、bˆ 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为 1