实数(实数的概念运算及大小比较)

实数知识点总结一、实数的定义实数是可以在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为两个整数之比。

二、实数的分类1. 有理数a. 整数：正整数、负整数和零。

b. 分数：可以表示为两个整数之比的数，包括有限小数和无限循环小数。

2. 无理数a. 非循环小数：无法表示为分数的小数，其小数部分无限且不重复。

b. 根号开不尽的数：如根号2、根号3等。

3. 特殊实数a. 圆周率πb. 自然对数的底数e三、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。

2. 封闭性：实数集合在加法、减法、乘法和除法（除以非零实数）下是封闭的。

3. 完备性：任何实数序列都有极限，即任何实数序列都收敛于某个实数。

四、实数的运算1. 加法a. 同号相加，结果的符号与原数相同。

b. 异号相加，结果的符号取决于绝对值较大的数。

c. 任何实数与零相加等于原数。

2. 减法a. 减去一个数等于加上这个数的相反数。

3. 乘法a. 正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数。

b. 正数乘以负数得负数，负数乘以正数得负数。

c. 任何实数与零相乘等于零。

4. 除法a. 除以一个非零实数，等于乘以这个数的倒数。

b. 零除以任何非零实数等于零。

五、实数的绝对值和倒数1. 绝对值：一个实数的绝对值是它与零之间的距离，用符号| |表示。

2. 倒数：一个非零实数的倒数是1除以这个数。

六、实数的平方和平方根1. 平方：一个实数的平方是它自身乘以自身。

2. 平方根：一个正实数的平方根是满足平方等于该实数的数。

七、实数的对数1. 对数定义：如果 \(a^x = b\)，那么 \(x\) 叫做以 \(a\) 为底\(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)。

2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作 \(\log b\) 或\(\log_{10} b\)。

3. 自然对数：以 \(e\) 为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。

实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。

例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。

而像 3、－5、025 等则是有理数。

二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。

无理数：无限不循环小数。

2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。

三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。

2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。

3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。

四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。

五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。

绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。

2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。

例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。

六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。

例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。

若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。

非零实数 a 的倒数是 1/a。

例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。

八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

实数的概念及运算法则实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能被表示为两个整数的比值。

实数包括了所有的整数、分数和无限不循环小数。

实数的运算法则1. 加法法则：实数的加法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 减法法则：实数的减法可以视为加法的逆运算。

即对于任意实数a、b和c，有：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法法则：实数的乘法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)4. 除法法则：实数的除法可以视为乘法的逆运算。

即对于任意实数a、b和c，有：- 除法定义：a / b = a * (1 / b)5. 分配律：实数的乘法对加法具有分配律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 左分配律：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)- 右分配律：(a + b) * c = (a * c) + (b * c)6. 幂的法则：实数的幂运算满足以下法则：- a^0 = 1，其中a是非零实数- a^n * a^m = a^(n + m)，其中a是非零实数，n和m是整数这些实数的运算法则可以帮助我们在数学计算中正确地进行加减乘除等运算。

通过熟练掌握这些法则，我们可以更好地理解和应用实数的运算概念。

初中数学实数的大小关系有哪些实数的大小关系是指对于任意给定的两个实数，我们可以比较它们的大小。

在数学中，实数的大小关系可以通过比较运算符（>、<、≥、≤、=）来表示。

下面我们将详细介绍实数的大小关系以及其相关性质。

1. 实数的大小关系：-大于（>）：如果一个实数a 大于另一个实数b，则记作a > b。

这表示a 比b 更大。

-小于（<）：如果一个实数a 小于另一个实数b，则记作a < b。

这表示a 比b 更小。

-大于等于（≥）：如果一个实数a 大于等于另一个实数b，则记作a ≥ b。

这表示a 不小于b。

-小于等于（≤）：如果一个实数a 小于等于另一个实数b，则记作a ≤ b。

这表示a 不大于b。

-等于（=）：如果一个实数a 等于另一个实数b，则记作a = b。

这表示a 和b 相等。

2. 实数的大小关系的性质：实数的大小关系具有以下性质：-反对称性：如果a > b，则不成立b > a。

即，如果一个实数大于另一个实数，则后者不大于前者。

-传递性：如果a > b，且b > c，则a > c。

即，如果一个实数大于另一个实数，而后者又大于第三个实数，则第一个实数一定大于第三个实数。

-对称性：如果a > b，则b < a。

即，如果一个实数大于另一个实数，则后者小于前者。

-三角不等式：对于任意实数a、b 和c，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

即，两个实数的绝对值之和不大于它们的绝对值的和。

-加法性质：对于任意实数a、b 和c，如果a > b，则a + c > b + c。

即，如果一个实数大于另一个实数，则它们分别加上同一个实数后的大小关系保持不变。

-乘法性质：对于任意正实数a、b 和c，如果a > b，则a × c > b × c。

即，如果一个正实数大于另一个实数，则它们分别乘以同一个正实数后的大小关系保持不变。

专题01 实数的有关概念及运算☞解读考点 知 识 点名师点晴实数的分类1.有理数 会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数2.无理数会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 实数的有关概念1.相反数、倒数、绝对值会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 2.科学计数法、近似数 掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 3.实数的非负性利用实数的非负性解决一些实际问题 实数的运算和大小比较1.实数的估算 求一个无理数的范围2.实数的大小比较 理解实数的大小比较的方法3.实数的运算掌握实数的混合运算☞2年中考【2015年题组】1．（2015南京）估计512 介于（ ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间【答案】C ．考点：估算无理数的大小．2．（2015常州）已知a=22，b=33，c=55，则下列大小关系正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b 【答案】A ．考点：实数大小比较．3．（2015泰州）下列4个数：9，227，π，()03，其中无理数是（ ）A ．9B ．227 C ．π D ．()03【答案】C ． 【解析】试题分析：π是无理数，故选C ． 考点：1．无理数；2．零指数幂．4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数35-的点P 应落在线段（ ）A ．AO 上B ．OB 上C ．BC 上D ．CD 上 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵2＜5＜3，∴0＜35-＜1，故表示数35-的点P 应落在线段OB 上．故选B ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．5．（2015广元）当01x <<时，x 、1x 、2x 的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x xx <<【答案】C ．【解析】试题分析：∵01x <<，令12x =，那么214x =，14x =，∴21x x x <<．故选C ． 考点：实数大小比较． 6．（2015绵阳）若5210a b a b +++-+=，则()2015b a -=（ ）A ．﹣1B ．1C ．20155 D ．20155-【答案】A ． 【解析】试题分析：∵5210a b a b +++-+=，∴⎩⎨⎧=+-=++01205b a b a ，解得：⎩⎨⎧-=-=32b a ，则()20152015321b a -=-+=-（）．故选A ．考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．5 D ．3 【答案】A ．考点：实数大小比较． 8．（2015荆门）64的立方根是（ ） A ．4 B ．±4 C ．8 D ．±8 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A ． 考点：立方根． 9．（2015北京市）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a ．故选A ． 考点：实数大小比较．10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④ 【答案】C ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．11．（2015六盘水）如图，表示7的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A．【解析】试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜7＜3，则表示7的点在数轴上表示时，所在C和D 两个字母之间．故选A．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．12．（2015通辽）实数tan45°，38，0，35π-，9，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】D．【解析】试题分析：在实数tan45°，38，0，35π-，9，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：35π-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．考点：无理数．13．（2015淄博）已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则2m n-的平方根为（）A．±2 B ．2C ．2±D．2 【答案】A．考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题．14．（2015成都）比较大小：512-____58（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＜． 【解析】试题分析：512-为黄金数，约等于0.618，50.6258=，显然前者小于后者．或者作差法：515459808102888----==<，所以，前者小于后者．故答案为：＜．考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．15．（2015资阳）已知：22(6)230a b b ++--=，则224b b a --的值为 ． 【答案】12．【解析】试题分析：∵22(6)230a b b ++--=，∴60a +=，2230b b --=，解得，6a =-，223b b -=，可得2246b b -=，则224b b a --=6(6)--=12，故答案为：12．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方． 16．（2015自贡）若两个连续整数x 、y 满足y x <+<15，则x+y 的值是 ．【答案】7．【解析】试题分析：∵2＜5＜3，∴3＜51+＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7． 考点：估算无理数的大小．17．（2015巴中）计算：01123(2015)2sin 60()3π----++． 【答案】4．【解析】试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．试题解析：原式=3231232--+⨯+=1+3=4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．18．（2015龙岩）计算：0312201522sin 30893-+-+-⨯．【答案】0．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值． 19．（2015临沂）计算：(321)(321)+--+． 【答案】22．【解析】试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可．试题解析：解：原式=[3(21)+-][3(21)--]=22(3)(21)--3(2221)=--+32221=-+-22=．考点：实数的运算．【2014年题组】 1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（ ）A ．41110⨯ B ．51.110⨯ C ．41.110⨯ D ．60.1110⨯ 【答案】B ．考点：科学计数法．2．（2014年福建三明中考）13-的相反数是（ ）A. 13 B.13-C. 3D. 3-【答案】A．试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此，13-的相反数是13. 故选A．考点：相反数．3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（）A. ﹣|﹣5|＞4B. ﹣3＜|﹣3|C. ﹣|﹣4|=4D. |﹣5.5|＜5【答案】B．【解析】试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可：A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误．故选B．考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较．4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A. m+n＜0B. -m＜-nC. m|-|n|＞0D. 2+m＜2+n【答案】D．考点：1．数轴；2．不等式的性质．5．（2014年贵州黔南中考）计算()20123-+--的值等于（）A. 1-B. 0C. 1D. 5【答案】A．【解析】试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果： ；2．故选A．考点：实数的运算．6．（2014年黑龙江大庆中考）若x y y20-+-=，则y3x-的值为．【答案】12．【解析】试题分析：∵x y y 20-+-=，∴x y 0x 2y 20y 2-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．∴y 32311x 222---===． 考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂．7．（2014年吉林省中考）若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b2﹣a2= ． 【答案】7．【解析】试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜13＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7．考点：无理数的估算． 8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．31⎡⎤=⎣⎦，按此规定，131⎡⎤-⎣⎦=_____________ 【答案】2．【解析】试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜13＜4．∴2＜131-＜3，∴131⎡⎤-⎣⎦=2． 考点：1．新定义；2．无理数的估算．9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．【答案】2015312-． 考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题．10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算：()1013328sin 454π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭【答案】-3．【解析】 试题分析：()1123328sin 451428434242342π-⎛⎫-+--=+-⨯-=---=- ⎪⎝⎭．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．☞考点归纳归纳 1：实数及其分类 基础知识归纳：基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；【例1】在实数313,,,8,0,tan 453π︒中，其中无理数的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】A ．考点：无理数．归纳 2：实数的有关概念 基础知识归纳： 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1．基本方法归纳：如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数【例2】若实数x ，y 满足2270x x y ++-+=，则x y = ．【答案】19．考点：非负数．归纳 3：实数的大小比较 基础知识归纳：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．基本方法归纳：（1）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（2）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b ab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔>（3）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22．注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．【例3】用“＜”号，将1)61(-、0)2(-、2)3(-、22-连接起来______ 【答案】2102)3()61()2(2-<<-<--．【解析】试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则比较．∵6)61(1=-，1)2(0=-，9)3(2=-，422-=- ∴2102)3()61()2(2-<<-<--．考点：实数的大小比较．归纳 4：科学计数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为 A ．5.475×1011 B ．5.475×1010 C ．0.5475×1011 D ．5475×108 【答案】B ．考点：科学计数法． 归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．【例5】计算：()114sin451282-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭【答案】1．【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：()1124sin4512824122122-⎛⎫-︒--+=-⨯-+= ⎪⎝⎭考点：实数的运算．☞1年模拟1．（2015届山东省日照市中考一模）4的算术平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ．2 D ．±2 【答案】C ．【解析】试题分析：∵4=2，而2的算术平方根是2，∴4的算术平方根是2，故选C ．考点：算术平方根．2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、13、2、tan60°中，无理数的个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵tan60°=3，∴在实数π、13、2、tan60°中，无理数有： ，2和tan60°．故选C ．考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）14的算术平方根是（ ） A ．-12 B ．12 C ．±12 D ．116【答案】B ．考点：算术平方根． 4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（ ） A ．3-2 B ．3×（-2） C ．3-2 D ．3 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可． B ：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可．C ：3-2=19，计算结果是正数，据此判断即可．D ：3是一个正数，据此判断即可．试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A 不正确； ∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B 正确；∵3-2=19，计算结果是正数，∴选项C 不正确；∵3是一个正数，∴选项D 不正确．故选B ．考点：实数的运算． 5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ） A ．2m 与3m 之间 B ．3m 与4m 之间 C ．4m 与5m 之间 D ．5m 与6m 之间【解析】试题分析：正方形的边长为10，∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∴其边长在3m 与4m之间．故选B．考点：估算无理数的大小．6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（）A．-5B ．5C．-3D ．3【答案】B．考点：估算无理数的大小．7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（）．A．15B．-15C．﹣5 D．5【答案】C．【解析】试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C．考点：实数的性质．8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（）．A．tan45°B ．3C．πD．8 3【答案】A．【解析】试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜3＜83＜π，所以tan45°＜3＜83＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A．考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值．9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+256y y-+=0，则第三边长为．【答案】22、13或5．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+3）0= ．【答案】-1 2．【解析】试题分析：原式=1323122+⨯--=-12．故答案为：-12．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）的算术平方根为．【答案】2．【解析】试题分析：∵4=2，2的算术平方根是2，∴4的算术平方根为2．故答案为：2．考点：算术平方根．12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算：()10 12sin603133π-⎛⎫--︒+-+-⎪⎝⎭．【答案】-3．【解析】试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照实数的运算法则计算即可．试题解析：原式=3323112--⨯+-+=333--+=3-．考点：实数的运算．13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+．【答案】-9．考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（-12）-1+（π-2015）0-3tan30°+|-3|【答案】-1．【解析】试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．试题解析：原式=-2+1-3×33+3=-1．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算：﹣2sin30°﹣（﹣13）﹣2+（2﹣π）0﹣38 +（﹣1）2012．【答案】-6．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．。

数学实数知识点总结数学实数是数学中的一种数系，包括有理数和无理数。

实数是一种可以表示在数轴上的点的数，它们可以精确地描述和计算连续和无限的数量。

实数是数学中的基础，无论是在初中数学还是高中数学中都有很重要的地位。

下面是对数学实数知识点的总结。

1. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。

有理数是可以表示为两个整数的比例的数，如正整数、负整数、分数和小数等。

无理数是不能表示为两个整数的比例的数，如根号2、圆周率π和自然对数的底数e等。

2. 实数的表示方法：实数可以用十进制、分数、小数、百分数等形式来表示。

在十进制表示中，无论整数部分是正整数、负整数还是0，小数部分均可以是有限的或者无限的循环小数。

3. 实数的性质：实数具有传递性、相容性、反对称性、存在性等基本性质。

传递性指的是如果a<b，并且b<c，则a<c；相容性指的是对于任意的a≠b，要么a<b，要么a>b；反对称性指的是对于任意的a≠b，要么a<b，要么b<a；存在性指的是在实数中，存在一个最小的正数（0不是最小的正数）以及一个最大的负数（0不是最大的负数）。

4. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

在实数的加法和乘法中，满足交换律、结合律和分配律。

在实数的减法和除法中，减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法。

5. 实数的大小比较：在实数中，可以通过比较大小符号（<、>、≤、≥）来比较两个实数的大小。

当a<b时，称a小于b，记作a<b；当a>b时，称a大于b，记作a>b；当a≤b时，称a小于等于b，记作a≤b；当a≥b时，称a大于等于b，记作a≥b。

6. 实数的绝对值：实数的绝对值是该实数到0的距离，用|a|表示。

实数a的绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

7. 实数的相反数和倒数：实数a的相反数为-b，满足a+b=0；实数a的倒数为1/a，满足a*(1/a)=1。

实数概念例题和知识点总结实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。

它包括有理数和无理数两大类，涵盖了我们日常生活和数学学习中的众多应用场景。

接下来，让我们一起深入了解实数的相关知识，并通过一些例题来加深对其的理解。

一、实数的定义和分类实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

例如，3、0、－5 都是整数，而 1/2、－3/4 则是分数。

无理数则是无限不循环小数，比如圆周率π（约等于 314159）、根号 2（约等于 1414）等。

二、实数的性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定满足 a ＜ b、a ＝ b、a ＞b 中的一种关系。

2、实数的稠密性：在任意两个不相等的实数之间，必定存在无数个实数。

3、实数的运算性质：实数的加法、减法、乘法、除法（除数不为0）运算都满足相应的运算法则。

三、实数的数轴表示实数与数轴上的点一一对应。

也就是说，数轴上的每一个点都表示一个实数，反之，每一个实数都可以在数轴上找到对应的点。

例如，在数轴上，点 2 表示实数 2，点－15 表示实数－15 。

四、实数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

2、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较 3 和 5 的大小，因为 3 ＜ 5 ，所以 3 小于 5 。

再比如，比较－2 和－5 的大小，因为｜－2 ｜＝ 2 ，｜－5 ｜＝ 5 ，而 2 ＜ 5 ，所以－2 ＞－5 。

五、实数的运算1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8 ，－3 ＋ 5 ＝ 2 。

2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。

3、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如，3 × 5 ＝ 15 ，－3 × 5 ＝－15 。

实数的大小比较及运算好嘞，今天咱们就聊聊实数的大小比较和运算，别担心，这可不是教科书里那种枯燥乏味的东西。

想象一下，实数就像一群五光十色的小精灵，大小不一，性格各异，今天我们就要看看它们之间的那些趣事。

咱们说说大小比较。

实数啊，就像一场聚会，大家都在比谁更高、更低。

比如说，想象一下你的朋友小明和小红。

小明说：“我有5块钱！”小红立刻来了一句：“我才有3块！”这时候，小明脸上那种得意的笑容，简直像拿了冠军一样。

这就是在比较大小嘛，简单明了。

用数字来说，小明的5大于小红的3。

这就是实数的魅力所在，没什么好争的，直接比数字就行。

但是呀，生活可不止是简单的数字游戏。

那天我在咖啡店，看到一个姑娘在点咖啡，她说：“我想要一杯2.5美金的拿铁。

”旁边的哥们儿听了，眼睛一亮：“那我来一杯3.5美金的摩卡。

”这时候，坐在桌子旁的我默默地想，哎呀，这俩人可真是让人捧腹啊。

3.5大于2.5，没错，但要是你再想想，一杯2.5的咖啡，喝着也不错呀，简单生活嘛。

说到运算，咱们可不能忽视加减乘除的乐趣。

就拿加法来说吧，假如你有3块钱，我有4块钱，咱们一起去买冰淇淋，哈哈，听起来美滋滋的。

这时候，我们就把3和4加在一起，结果是7。

这就像是在一起分享快乐，数字加起来，幸福加倍。

不过，要是你一口气吃了我的冰淇淋，那我可就不乐意了，这就是减法的悲伤了。

想象一下，我只剩下2块钱，你却把我的冰淇淋吃得干干净净，心里那个怨气啊，真是没得说。

再说乘法，咱们把这事儿想象成扩张。

比如你想要做生意，你卖一块钱的饼干，今天卖了5个，那就赚了5块钱。

这可是生意兴隆的好兆头呀，乘法就像是给你加了杠杆，让你财富翻倍。

听起来不错吧？可是，得注意，不能只想着赚钱，还得想着花钱。

咱们有时候也得把自己的一些实数乘以0，哈哈，这就意味着你一分钱没了，生活有时候就是这么奇妙。

实数的运算可不止这些，看看除法吧。

当你把10块钱分给5个朋友，每个人就得2块。

简单吧？可是，假如分不均呢？这时候，可能就要出现一些纠纷了。

《实数》知识点归纳 一、实数的定义 实数是有理数和无理数的总称。有理数包括整数和分数，整数又包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数。无理数则是无限不循环小数，例如圆周率π、根号 2 等。

二、实数的分类 1、 按定义分类 实数可以分为有理数和无理数。 有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

无理数：不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 2、 按性质分类 实数可以分为正实数、零和负实数。 正实数：大于零的实数，包括正有理数和正无理数。 零：既不是正数也不是负数的数。 负实数：小于零的实数，包括负有理数和负无理数。 三、实数的运算 1、 加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋ （－5) ＝ －8，3 ＋ （－5) ＝ －2，5 ＋ （－5) ＝ 0，0 ＋ 3 ＝ 3

2、 减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 例如：5 3 ＝ 5 ＋ （－3) ＝ 2，3 5 ＝ 3 ＋ （－5) ＝ －2 3、 乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。

例如：3 × 5 ＝ 15，（－3) × （－5) ＝ 15，3 × （－5) ＝ －15，0 × 5 ＝ 0

4、 除法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不为 0 的数都得 0。

例如：6 ÷ 2 ＝ 6 × 1/2 ＝ 3，（－6) ÷ （－2) ＝ 3，6 ÷ （－2) ＝ －3，0 ÷ 5 ＝ 0 5、 乘方 求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 例如：2³ ＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8，（－2)³ ＝ （－2) × （－2) × （－2) ＝ －8

实数知识点总结一、实数的基本概念实数是指所有有理数和无理数的集合，用符号R表示。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数；无理数是不能表示为有理数的数，如根号2、圆周率等。

实数包括正实数、负实数和零。

正实数是大于零的实数，用正数符号+表示；负实数是小于零的实数，用负号-表示；零是没有方向的实数，用0表示。

二、实数的性质1. 实数集的有序性：实数集是有序的，任意两个实数a和b之间一定有大小关系，即a <b、a = b、a > b。

2. 实数集的稠密性：实数集中任意两个不相等的实数之间永远存在另一个实数。

3. 实数集的等差性：实数集中的任意两个数相减得到的差总是一个实数。

4. 实数集的无限性：实数集是无限的，不仅包括无限的有理数，还包括无限的无理数。

5. 实数集的稳定性：实数集中的任意两个数进行加法、减法、乘法、除法等运算后，得到的结果仍然是一个实数。

三、实数的表示与比较实数可以用小数、分数、根式等形式进行表示。

对于小数，可以用有限小数和无限循环小数两种形式；对于分数，可以用最简分数形式进行表示；对于根式，可以用开平方、开立方等形式进行表示。

对于实数的比较，可以通过大小关系符号进行比较。

当a > b时，表示a比b大；当a < b 时，表示a比b小；当a = b时，表示a等于b。

四、实数的运算规则1. 实数的加法：实数a和b的加法运算按照一般的加法规则进行，即a + b = b + a。

其中，满足交换律、结合律和单位元。

2. 实数的减法：实数a和b的减法运算可以看作加法运算的逆运算，即a - b = a + (-b)。

其中，a减b等于a加上b的相反数。

3. 实数的乘法：实数a和b的乘法运算按照一般的乘法规则进行，即a * b = b * a。

其中，满足交换律、结合律和单位元。

4. 实数的除法：实数a和b的除法运算可以看作乘法运算的逆运算，即a / b = a * (1/b)。