2020-2021学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理跟踪训练（含解析）新人教A版

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

2.1.1 合情推理课时跟踪检测一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是一种由一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能解析：归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程，故A 不对． 答案：A2．观察图形：☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆…，则第30个图形比第27个图形中的“☆”多( )A ．59颗B ．60颗C ．87颗D.89颗解析：观察图形知第n 个图形中“☆”的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多30×312－27×282＝87(颗)，故选C.答案：C3．下面使用的类比推理中恰当的是( )A ．“若m ·2＝n ·2，则m ＝n ”类比得出“若m ·0＝n ·0，则m ＝n ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比得出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比得出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(pq )n＝p n·q n”类比得出“(p ＋q )n＝p n＋q n” 解析：由数的运算律及运算性质可判断只有C 正确． 答案：C4．(2019·蚌埠第二中学高二月考)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x ) D.－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案：D5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n >2，n ∈N )，经计算可得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.观察上述结果，可得出的一般结论是( )A ．f (2n )>2n ＋12(n ≥2，n ∈N )B ．f (n 2)>n ＋22(n ≥2，n ∈N )C ．f (2n)>2n ＋12(n ≥2，n ∈N )D ．f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N )解析：由f (4)>2，得f (22)>2＋22； 由f (8)>52，得f (23)>3＋22；由f (16)>3，得f (24)>4＋22；由f (32)>72，得f (25)>5＋22；…以此类推，f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N )，故选D.答案：D6．(2019·正定一中高二月考)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行：②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D.①④解析：根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论． 答案：B 二、填空题7．已知{a n }为等差数列，a 6＝3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝11×3，若{b n }为等比数列，且b 6＝3，则在{b n }中类似的结论是________．答案：b 1b 2b 3…b 11＝3118．(2019·阜阳一中高二月考)解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝29．先阅读下面的文字：“求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下的方式：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，两边平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1＋52(负值已舍去)”．可用类比的方法，求2＋12＋12＋…的值为________．解析：按照类比的方法，则2＋1x＝x (x >0)，即x 2－2x －1＝0，解得x ＝1＋2或x ＝1－2(舍)．答案：1＋ 2 三、解答题 10．观察下列等式： 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋…＋10＝49 照此规律，请写出第n 个等式．解：观察等式第一个左边是1，右边是12，第二个等式，左边第一个数是2，连续3个数的和，右边是32，第三个等式第一个数是3，连续5个数的和，右边的值为52，第4个等式，第一个数为4，连续7个数的和，右边是72，第n 个数为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋[n ＋(2n －2)]＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.11．我们已经学过了等比数列，请你类比“等比数列”，给出“等积数列”的定义．若{a n }为等积数列，且a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式．解：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中这个常数叫做公积．由于{a n }为等积数列，且a 1＝2，公积为6，∴a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，…，即{a n }中的所有奇数项为2，所有的偶数项为3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.∴其前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，5(n －1)2＋2，n 为奇数.12．(2019·大庆实验高二月考)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的表达式．解：(1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (2)－f (1)＝4×1，f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3，…f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)， f (n )－f (n －1)＝4·(n －1)．∴f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)] ＝2(n －1)·n ， ∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.13．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题的计算方法，可以求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B．63aC.54a D.64a解析：正四面体的底面面积为12×32a2＝34a2，高为63a，设正四面体内任一点到四个面的距离为h1，h2，h3，h4，∴13S(h1＋h2＋h3＋h4)＝13S·63a，∴h1＋h2＋h3＋h4＝63a，故选B.答案：B。

2.1.1 合情推理[A 组 学业达标]1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( ) A.r 22B.l 22 C.lr2D ．无法确定解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2. 答案：C3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )A．丁酉年B．庚午年C．乙未年D．丁未年解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.答案：B4．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为( )A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D.答案：D5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想a n＝3n－1.答案：A6．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此规律，第五个等式应为________．解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A ­BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A ­BCD ＝________.解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R .△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比棱锥A ­BCD 各面面积和． 答案：V A ­BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. [B 组 能力提升]1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则在表中数字2 019出现在( )A．第44行第78列B．第45行第82列C．第44行第77列D．第45行第83列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 019＜2 025，∴2 019在第45行．又2 025－2 019＝6，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 019在第89－6＝83列．答案：D2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C24．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC＝AC BC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC类比成V A ­CDE V B ­CDE.平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC类比成S △ACD S △BDC.故有V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD S △BDC.答案：V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD S △BDC5．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理学 习 目 标核心 素 养1．了解合情推理的含义．(易混点)2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)1．通过学习归纳推理和类比推理，培养数学逻辑推理的素养．2．借助合情推理，培养抽象概括的素养.1．归纳推理与类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) 特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？[提示] 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理⎭⎪⎬⎪⎫归纳推理类比推理→合情推理→从具体问题出发―――――――――――→经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比提出猜想1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr2 D ．不可类比 C [结合类比推理可知S 扇＝lr 2.]3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝________，a n ＝______(n >1，n ∈N *)．15 3n －3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N *)．]数、式中的归纳推理12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________．(2)已知：f (x )＝x 1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x[(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. (2)∵f (x )＝x1－x ，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x 1－2x＝x 1－4x ， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x 1－4x＝x 1－8x ， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x 1－8x＝x 1－16x ， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.](3)解：①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法,①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论.(2)数列中的归纳推理,在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和公式.①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式.[跟进训练]1．(1)数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________． (2)已知下列各式： 1＞12， 1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2， …，请你归纳出一般性结论：________.(1)65 (2)1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2 [(1)因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.(2)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增加1，且终止项为2n －1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2.]几何图形中的归纳推理图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．(1)5n ＋1 (2)509 [(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.[跟进训练]2．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形中由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．16 3n ＋1 [数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第5个图形中有火柴棒16根，第n 个图形中有火柴棒(3n ＋1)根．]类比推理及其应用(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13.【例3】 (1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系，并给予必要证明．思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .1．(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[解]如图所示，在四面体P－ABC中，S 1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面P AB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有1AD2＝1 AB2＋1AC2成立”．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解]猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.下面证明上述猜想成立如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD, AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．类比推理的一般步骤1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．判断正误(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．()[答案](1)×(2)×(3)√2．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第六个三角形数是()A．27B．28C．29 D．30B[第一个三角形数是1＋2＝3，第二个三角形数是1＋2＋3＝6，第三个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n 个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2(个)．由此可以得出第六个三角形点数是28.]3．等差数列{a n }中有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________．b 2n ＝b n －1b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) [类比等差数列，可以类比出结论b 2n ＝b n －1b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)]4．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P －A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P －A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。

第二章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2 000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1 200个小时，终于证明了四色问题．四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主预习·探新知情景引入人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在．新知导学1．归纳推理由某类事物的__部分对象__具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由__个别事实__概括出__一般结论__的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理．2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__归纳推理__．3．类比推理由两类对象具有__某些类似特征__和其中一类对象的__某些已知特征__，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特殊到特殊__的推理．4．合情推理归纳推理和类比推理都是根据__已有的事实__，经过__观察、分析、比较、联想__，再进行__归纳__、__类比__，然后提出__猜想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．5．归纳推理是由部分到__整体__，由具体到__抽象__，由特殊到__一般__，从个别事实中概括出__一般结论__的思维模式．类比推理是在__两类不同__的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相同或相似__之处的一种推理模式．类比推理是由__特殊__到__特殊__的推理．预习自测1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(B)A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对[解析]推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．2．下列表述正确的是(A)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④B．①③C．②③D．②④[解析]根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；类比推理是由特殊到特殊的推理．故④对③错，则正确的是①④，故选A．3．观察式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出式子(C)A．1＋122＋132＋…＋1n2＜12n－1(n≥2)B．1＋122＋132＋…＋1n2＜12n＋1(n≥2)C．1＋122＋132＋…＋1n2＜2n－1n(n≥2)D．1＋122＋132＋…＋1n2＜2n2n＋1(n≥2)[解析]由题意可知，当n≥2时，第n个式子左边是1＋122＋132＋…＋1n2，右边为2n－1n，故选C．4．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，…，根据图案中点的排列规律，组成第(50)个图案的点的个数是(B)A ．2 450B ．2 451C ．2 452D ．2 453[解析] 设组成第(n )个图案的点的个数为a n ，由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝13，a 5＝21，故a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝6，a 5－a 4＝8，…， 由此可推得当n ≥2时，a n －a n －1＝2(n －1)， 以上(n －1)个式子相加可得：(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)，化简可得a n －a 1＝(n －1)(2＋2n －2)2＝n (n －1)，即a n ＝n (n －1)＋1． 故a 50＝50×49＋1＝2 451，即第(50)个图案由2 451个点组成．故选B ．5．设f (n )＝n 2＋n ＋41，n ∈N *，计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)、…、f (10)的值，同时作出归纳推理，并用n ＝40验证猜想的结论是否正确．[解析] 首先分析题目的条件，并对n ＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．f (1)＝12＋1＋41＝43，f (2)＝22＋2＋41＝47， f (3)＝32＋3＋41＝53，f (4)＝42＋4＋41＝61， f (5)＝52＋5＋41＝71，f (6)＝62＋6＋41＝83， f (7)＝72＋7＋41＝97，f (8)＝82＋8＋41＝113，f (9)＝92＋9＋41＝131，f (10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n 为任意正整数时，f (n )＝n 2＋n ＋41都是质数．当n ＝40时，f (40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f (40)为合数，因此猜想的结论不正确．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶数与式的归纳典例1 观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34．分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． [思路分析] 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．[解析] 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34．证明：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝1－cos2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin (2α＋30°)－sin30°2＝1＋cos (2α＋60°)－cos2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(2α＋30°)＝34． 所以sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34成立．『规律方法』 1.归纳推理的一般步骤(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题． (3)猜测一般性结论．2．归纳推理的基本逻辑形式是： S 1是(或不是或具有性质)P ， S 2是(或不是或具有性质)P ， S 3是(或不是或具有性质)P ， …S n 是(或不是或具有性质)P ．∵S 1、S 2、S 3、…、S n 是S 类的对象，∴所有S 都是(或都不是或都具有性质)P ． 3．由已知数、式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论． ┃┃跟踪练习1__■ 观察下列不等式： 12×1≥1×12， 13×⎝⎛⎭⎫1＋13≥12×⎝⎛⎭⎫12＋14， 14×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15≥13×⎝⎛⎭⎫12＋14＋16， 15×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15＋17≥14×⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋18， 试写出第n 个不等式．[思路分析] 观察各式不难发现，左侧括号内是连续奇数的倒数之和，右侧括号内是连续偶数的倒数之和，而另一个数与项数有关，从而得出一般性结论．[解析] 第1个不等式为12×1≥1×12，即11＋1×1≥1×12×1；第2个不等式为13×⎝⎛⎭⎫1＋13≥12×⎝⎛⎭⎫12＋14， 即12＋1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1≥12×⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2；第3个不等式为14×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15≥13×⎝⎛⎭⎫12＋14＋16， 即13＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1＋12×3－1 ≥13×⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2＋12×3； …猜测第n 个不等式为 1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋…＋12n －1 ≥1n ⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋…＋12n (n ∈N ＋)． 命题方向❷图形中的归纳推理典例2 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n 个图案中需用灰色瓷砖__4n ＋8__块(用含n 的代数式表示)．[思路分析] 分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论．[解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，… 由此可猜测第n 个图案灰色瓷砖数为(n ＋2)(n ＋4)－n (n ＋2)＝4(n ＋2)＝4n ＋8．『规律方法』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：┃┃跟踪练习2__■有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( B )A ．26B ．31C ．32D ．36[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 第一个 第二个 第三个 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B ．命题方向❸数列中的归纳推理典例3 下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1,5,9,13,17，( 21 )； (2)34，1,113，179，21027，( 31381 )； (3)2＋23，3＋38，4＋415，5＋524，(6＋635)． [思路分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．[解析] (1)考察相邻两数的差： 5－1＝4,9－5＝4， 13－9＝4,17－13＝4，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21．(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为34，1，43，169，6427．可以发现：1÷34＝43，43÷1＝43， 169÷43＝43，6427÷169＝43． 后一个数是前一个数的43倍，按照这个规律，括号中的数应是6427×43＝25681＝31381．(3)每个数都是算术根，根号下有两项，一项是整数n ＋1，另一项是分数，分子与整数项相同，分母是分子的平方减1，按此规律，下一个数应为6＋635． 『规律方法』 由数列的递推公式容易写出数列的前n 项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．┃┃跟踪练习3__■若a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．且a 1＝1． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n ．[解析] (1)由已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，得 a 2＝3＝22－1， a 3＝7＝23－1， a 4＝15＝24－1， a 5＝31＝25－1．(2)归纳猜想，得a n ＝2n －1(n ∈N *)．将命题的条件、结论类比推广命题方向❹典例4 已知△ABC 的边长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC的面积，则S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A －BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A －BCD ＝__13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )__．[思路分析] 解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．[解析] 内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ， 三角形面积公式系数12――→类比三棱锥体积公式系数13．∴类比得三棱锥体积V A －BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )．『规律方法』 类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．(3)检验这个猜想一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．┃┃跟踪练习4__■在△ABC 中，若AB ⊥AC 且AD ⊥BC 于D ，则有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[解析] 猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则1AE 2＝1AB2＋1AC 2＋1AD2．如图所示，连接BE 并延长交CD 于F ． ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD ．而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF ．在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2． 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2． ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确．易混易错警示典例5 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝！！！n c 1·c 2·c 3·…·c n __(n ∈N *)也是等比数列．[错解] c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n n，类比结论时未考虑等差数列与等比数列的运算性质的区别． [辨析] 等差数列的运算相似特性是和的形式，等比数列的运算相似特性是积的形式．[正解] 由等差、等比数列之间的运算的相似特征知“和――→类比积，商――→类比开方”，容易得出d n ＝n c 1·c 2·c 3·…·c n 也是等比数列．学科核心素养新定义、新运算中的类比问题1．围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，已成为一种趋势．其目的是使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透，真正考查考生的学习潜能和个性品质．在这个背景下近几年出现了形式新颖的试题，其中以新定义型、新运算型为代表，主要考查学生的类比迁移能力．2.解答此类问题时，首先要借助于特例来读懂、理解新定义、新运算，然后根据新定义、新运算做出类比推理．3．类比推理的一般形式：对象A：具有属性a1，a2，…，a n，m．对象B：具有属性a′1，a′2，…，a′n，m′．(a1与a′1，a2与a′2，…，a n与a′n相同或相似) 对象B具有属性m′(m′与m相同或相似)．典例6若记“*”表示两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝a＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，那么对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是__(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)或(a*b)＋c＝(b*a)＋c等__．[解析]解决这道试题要把握住a*b＝a＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．『规律方法』由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．。

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N*)B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N*)D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N*),各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.已知不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162<()A.95B.115C.116D.136,第n(n∈N*)个不等式的左边=1+122+132+…+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116.3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是(),该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.4.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n n2+n n(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为()A .a n =2nB .a n =2n +1 C .a n =1nD .a n =1n +1a 1=1,a 2=2n 12+n 1=23,a 3=2n 22+n 2=432+23=24,a 4=2n 32+n 3=2×122+12=25,……由此可猜想a n =2n +1(n ∈N *).5.设f (x )=1+n1-n ,记f 1(x )=f (x ),若f n+1(x )=f (f n (x )),则f 2 016(2 016)等于( ) A .2 016 B .-12016 C .-10091008D .10081009f 1(x )=1+n1-n ,f 2(x )=-1n ,f 3(x )=n -1n +1,f 4(x )=x ,f 5(x )=1+n1-n ,f 6(x )=-1n,f 7(x )=n -1n +1,f 8(x )=x ,……可得f n (x )是以4为周期的函数,因此f 2016(x )=f 504×4(x )=f 4(x )=x ,故f 2016(2016)=2016.6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( ) A .6(66-1)6-1只 B .66只 C .63只D .62只,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B .7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )A.81B.121C.364D.1 093,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n 个黑色三角形内去掉小三角形的个数为a n ,则n=1时,a 1=1;n=2时,a 2=3×1+1=4;n=3时,a 3=3×4+1=13;n=4时,a 4=3×13+1=40;n=5时,a 5=3×40+1=121;n=6时,a 6=3×121+1=364.故选C .8.给出若干个数:√2+23,√3+38,√4+415,√5+524,……由此可猜测第n (n ∈N *)个数为 .,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n 个数为√n +1+n +1(n +1)2-1.n +1+n +1(n +1)2-19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; ④sin 2(-18)°+cos 248°-sin(-18)°cos 48°; ⑤sin 2(-25)°+cos 255°-sin(-25)°cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证法一:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°·cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+√32sin αcos α+14sin 2α-√32sin αcos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34.故上式成立.证法二:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2n2+1+cos(60°-2n )2-sin α(√32cos n +12sin n )=1+12[12cos2n +√32sin2n -cos2n ]−√34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=1-14=34.故上式成立. 10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.:第1个等式左边有1项,右边为12×1+1;第2个等式左边有2项,右边为22×2+1;第3个等式左边有3项,右边为32×3+1;第4个等式左边有4项,右边为42×4+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=n2n +1(n ∈N *).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n +1) =1211−13+13−15+15−17+…+12n -1−12n +1=12(11-12n +1)=n2n +1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。