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中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。
下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。
相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（1）相似三角形对应边的比等于相似比。
（2）相似三角形对应角相等。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。
这时就可以利用相似三角形的知识来解决。
通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。
比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。
四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。
3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。
九年级图形的相似性知识点九年级的数学课程中，图形的相似性是一个重要的知识点。
相似性是指两个或多个图形在形状上相似的性质。
在学习相似性的过程中，我们将会了解到比例、角度、边长等概念的应用，进一步提高我们的几何思维能力。
一、比例和比例关系相似性的关键之一是比例。
比例在几何学中的应用非常广泛，它在描述相似图形的关系时起着重要的作用。
比例可以理解为两个或多个量之间的比较，通常可以用两个数字或表达式之间的比值表示。
在相似图形中，我们可以通过比较两个图形的对应边长的比例来判断它们是否相似。
例如，设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长的比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
通过比较他们的边长比例，我们可以得出它们形状相似的结论。
二、角度的对应关系除了比例关系外，角度的对应关系也是判断图形相似的重要依据。
两个相似的图形，其对应的内角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应内角度A、B、C和D、E、F是相等的。
这个性质在实际问题中非常有用。
通过测量两个图形的内角度的大小，我们可以判断它们是否相似，从而在解决几何问题时得到更精确的结果。
三、比例尺在实际应用中，我们经常会遇到需要进行测量并绘制缩放图形的情况。
比例尺是一种常用的工具，它能够将实际尺寸与绘制尺寸之间的比例关系呈现出来。
比例尺通常以分数的形式表示，例如1/50或1:50。
意思是1个单位的实际长度对应于绘制的50个单位长度。
通过使用比例尺，我们可以将实际的图形缩小或放大到所需的大小，以便更好地进行观察和研究。
四、图形的相似性应用图形的相似性在实际生活中有着广泛的应用。
举个例子，我们常常看到地图上的图形，它们是按比例绘制的，以便更直观地显示地理信息。
此外，相似性还被应用在建筑、工程、艺术等领域。
例如，在建筑设计中，相似三角形的原理被广泛运用。
建筑师可以通过相似性来计算建筑物的比例，以便在保持整体平衡和美观的同时，满足功能和结构的要求。
《图形的相似》相似PPT优质课件
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学习目标
1.了解相似图形和相似比的概念.
2.理解相似多边形的定义.
3.能根据多边形相似进行相关的计算.
探究新知
相似图形的定义
指能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全相同.
相似图形的关系
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
相似多边形的定义和相似比的概念
下图是两个等边三角形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?
两个等边三角形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?
两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对应边成比例.
归纳：
相似多边形的定义：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的特征：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
课堂小结
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
对应角相等，对应边成比例
相似多边形对应边的比叫做相似比
... ... ...
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九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
相似图形•主要性质：1.对应内角相等2.两个图形对应边成比例如果是正方形，则只要边长成比例就可以，所以所有的正方形，正三角形都相似长方形是长和高对应成比例3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
•相似图形基本法则:1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。
分别叫做这个线段比的前项后项。
2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。
3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。
4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d.5. 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d；那么（a±kb)/b=(c±kd)/d；那么a/b±ka=c/d±kc6如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，（√5-1）/2叫做黄金比。
8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。
9. 三角形ABC与三角形A’B’C’是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做<a>相似多边形。
11.相似多边形的比叫做相似比。
12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
若三角形ABC 与三角形DEF相似，记作：△ABC∽△DEF，把对应顶点的字母写在相应的位置上13.探索三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似。
②三边对应成比例的两个三角形相似。
③两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。
九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
九年级数学图形的相似1、黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
2、黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.作法：（1）过点B 作BD ⊥AB ，使BD=0.5AB ； （2）连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；（3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点。
（4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 4、性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
5、相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。
相似比为k 。
6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
7、直角三角形相似判定定理:斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
1、下列各组数能否成比例？如果能成比例，请写出一个比例式。
（1）3，-9，-2,6； （2）12,6,10,5 （3）3,3,2,22、根据下列条件，求x 与y 的比：（1）2232x y =（2）225x y y -=3、a 3b 2=已知，求下列算式的值：（1）a b b - （2）2a ba+2b -4、已知a ：b=c:d ，判断下列比例式是否成立，并说明理由。
（1）a:c=b:d ； （2）a a cb b d -=-5、已知点p 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞PB ，求：（1）APPBABP（2）若AB=2，求PB 。
6、已知0457x y z ==≠，则下列等式成立的是___ .A ．91=+-y x y x B.167=++z z y x C.38=-+++z y x z y x D.x z y 3=+7、已知653zy x ==，且623+=z y ，则__________,==y x8、DE 是∆ABC 的中位线，则∆ADE 与∆ABC 面积的比是（ ） A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：49、如图，已知△ACD ∽△BCA ，若CD=4，CB=9，则AC 等于（ ） （A ） 3 （B ） 4 （C ） 5 （D ） 6E DC B AFEDCAB10、如图，已知：AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高线，DE 是RtCADC 斜边AC 上的高线，如果DC ：AD=1：2，a S CDE =∆，那么ABC S ∆ 等于（ ）（A ） 4a （B ）9a （C ） 1 6a （D ）25a11、在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △ 的面积与ABC △的面积之比等于（ ） A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶2D ．3∶312、两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为__________。
13、如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。
14、如图，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=__________。
15、如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ：DB=3：4，E 是BC 上一点。
如果DB=DC ，∠1=∠2，那么S △ADC ：S △DEB=__________。
16、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则AF=__________cm17、已知：∆ABC 是直角三角形中,∠ACB=90︒,D 为AB 中点,ED ⊥AB 交BC 的延长线于E ，交AC 于F ， 求证：∆DCE ∽∆DFC18、已知：如图4，△PMN 是等边三角形，∠APB=120°。
求证：AM·PB = PN·AP 。
19、如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE ，连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H 。
（1）求证：AH ＝CE（2）如果AB=4AF ，EH ＝8，求DF 的长。
EB CA F D P NM A BE FG D BAC N A B C G FDE H O D ABCFE 20、已知：如图，正方形DEFG 是直角三角形ABC 的内接四边形，D 、G 在BC 边上，F 、G 分别在AB 、AC 上，求证正方形边长为BD 、EC 的比例中项21、已知：∆ABC 中,有内接矩形DEFG ，高AH 交GF 于N ， BC=8cm,AH=5cm, 矩形DEFG 的周长为12cm, 求 ⑴∆AGF 的面积，⑵矩形DEFG 的面积。
22、已知:∆ABC 中,O 是中线AD 上一点，CO 、BO 的延长线分别交边AB 、AC 于E 、F 求证：EF//BC23、如图，在△ABC 中，D 是AC 上的一点，已知2AB =AD AC ABD=40,C ∙∠∠，求的度数。
24、如图，在△ABC 在边中，点D,E,F 分别在边AB,AC,BC 上，DE ∥BC,DF ∥AC.已知AD BD =23，ABC S a DFCE =，求的面积25、如图，矩形ABCD ∽矩形BCFE ，且AD=AE,求AB:AD 的值。
26、如图，D,E 分别是AB,AC 上的点。
已知AD ：AB=AE:AC=1:3,DE=2cm 。
（1）求证：△ADE ∽△ABC ； （2）求BC 的长。
27、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，△AEF ∽△ACD ，△ADE ∽△ABC ，AF=4，AB=6. 求AD 的长.28、如图所示，在△ABC 中，P 为AB 上的一点，四边形PECF 为平行四边形.若△ABC ∽△APE ，△BPF ∽△ABC ，试证明：1=+BC BFAC AE题型1：相似三角形求线段长。
1、在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，△AEF ∽△ACD ，△ADE ∽△ABC ，AF=4，AB=6. 求AD 的长。
AB C D EPA BCDEKH G F 2、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AD=9，BD=4，求CD 的值？3、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 21=⑴求证：△ABF ∽△CEB;⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。
4、如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，写出图中的相似三角形及求出它们的对应边所成比例式？题型2：边与常数的关系。
1、如图所示，在△ABC 中，P 为AB 上的一点，四边形PECF 为平行四边形.若△ABC ∽△APE ，△BPF ∽△ABC ，试证明：1=+BCBFAC AE 。
2、已知，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE//AC ，交AB 于E ，求证：AEAC AB 111=+。
3、已知：过三角形ABC 内一点P ，引DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E ，引FG ∥AC ，交BC 、AB 于F 、G ，引HK ∥AB ，交BC 、AC 于H 、K ，求证：BC DE +CA FG +ABKH=2。
第2题第3题图 F A DE B CNMOA B CD E A B C D EF ED CA BABC EDE DB AC H A C D4、已知，在∆ABC 中，DE//BC ，CD 、BE 交于O ，过O 作MN//BC ，MN 分别交AB 、AC 于M 、N ， 求证：MNDE BC 211=+。
5、若ΔABC ∽ΔDEF ，且27AB BC CA DE EF FD ++=++，求EF FDBC CA+=+的值？题型3：证明三角形相似。
1、已知：∆ABC ∽∆DBE ，求证：∆ABD ∽∆BCE 。
2、已知：∆ABC 是直角三角形中,∠ACB=90︒，D 为AB 中点,ED ⊥AB 交BC 的延长线于E ，交AC 于F ，求证：∆DCE ∽∆DFC 。
3、已知：如图∠EAC=∠BAD=∠EDC 求证：∆ABC ∽∆ADE 。
4、已知∆ABC 中，∠A=90︒，AH ⊥BC 于H ，在以AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 、ACE ， 求证：∆BDH ∽∆AEH 。
5、已知：D 是∆ABC 内任一点，在∆ABC 外，任取一点E ，使∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。
求证：∆ABC ∽∆DBE 。
OAB DCEEO D CA B F E B F D C A FDB CA 6、如图，四边形ABEG 、GEF 、HFCD 都是边长为a 的正方形，（1）求证：ΔAEF ∽ΔCEA ；（2）求∠ACB+∠AFB+∠AEB 。
题型4：边成比例或者比例中项。
1、已知：在等腰∆ABC 中，AB=AC ，BD 是高，求证：BC 2=2AC ∙CD 。
2、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ∥CD ，BE 与CA 的延长线相交于E ，求证：OC 2=OA ∙OE 。
3、已知：AB ∥CD 、AO=BO 、DF=FB ，求证：DE 2=EC ∙OE 。
