北师大九年级数学《图形的相似》总复习课件

C
变 式 练 习
如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位
似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），
点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（C）
A.（4，2） C.（5，2） B.（4，1） D.（5，1）
1.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是 ( B ) A.∠ADB=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.∠CDB=∠CAB D.∠ABD=∠BDC
范 例
如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4）， B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限 内将线段AB缩小为原来的 端点C和D的坐标分别为（ 后得到线段CD，则 ）
C
A.（2，2），（3，2）
B.（2，4），（3，1）
C.（2，2），（3，1）
D.（3，1），（2，2）
在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比 为 ，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐 标是（ ） A.（﹣2，1） B.（﹣8，4） C.（﹣2，1）或（2，﹣1） D.（﹣8，4）或（8，﹣4）
求△ABC的面积.
解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C
D
A
25
E
∴△ADE∽△EFC
S ∴ S
ADE
∵DE∥BC
S ∴ S
36
B
F
C
=
EFC
AE2 EC2
=
25 36
∴△ADE∽△ABC
ADE EFC
∴
AE 5 = CE 6
25 = = 2 121 AC
AE2
AE 5 = ∴ AC 11
△ABC相似,那么AF=________
A E
.
F1 F2
C
8 5 或 5 2
B
相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、
对应角平分线，对应中线的比都等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
范 例
已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则
△ABC与△DEF的对应高之比为( A )
A．2∶3
C．4∶9
B．3∶2
D．9∶4
变 式 练 习
已知△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，h1，h2分别
为AB，DE边上的高，则 ＝( A )
巩 固 提 高
已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若
△ABC中∠A的平分线AM＝8，则△DEF中∠D
6 的平分线DN＝________.
A
P
2
1
Bபைடு நூலகம்
∠ACP=∠B
C
或∠APC=∠ACB
或AP:AC=AC:AB
范 例
如图，在△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，
点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无
法判定△ABC∽△DAE的是（ ）
A. B.∠B=∠D C.AD∥BC D.∠BAC=∠D
B
变 式 练 习
如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，
变 式 练 习
1. 如图，AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2， 4 BE=10，则CE的长为 .
定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
ABC ∽ A’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么 A’B’C’与 1 ABC 的相似比为 _________. 2
B
C
E
F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
相似三角形基本图形的回顾：
A D B D E B C E
E A B
D C
A
C
△ADE绕点A 旋转
E
A
D
点
重 移 合 到 A 与 点 ∠ACB=90° CD⊥AB
B
C A D
D B
E C
B
C
13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使 △APC∽△ACB,则需补上哪一个条件?
给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；
②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；
④AB•BC=AC•BD.其中单独能够判定 △ABC∽△ADB的个数是（ ） A A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比 等于相似比的平方.
做一做
如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形 （图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似， 那么留下的矩形面积为多少？ 解： 设留下矩形的面积为 x cm， 6cm 由题意得 x 6 2
2 2
二、黄金分割
A C B
★点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
如果
AC2 = AB BC ★那么称线段AB被点C 黄金分割。 ★点C叫做线段AB的 黄金分割点。 ★AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比。
5 1 2
AC BC = AB AC
★黄金比 =
≈0.618
C是线段AB的黄金分割点，线段 AB = 2, 5 1或3 5 则AC = ____.
=
a
1 ， 求 2
a-b b
x 7 y 。3
=
6 5
，
求
b ，
1 4 ， 5 5
3 1 x y z x yz y = _____, = ______. 4 1 = = , 则 3 5 x yz 2 3 4 2 x y 3z
11 x 2 xy 3 y 2已知x y : 4 = y : 3, 则 = _______ . 5 2 2 x y
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵E是BC中点，FC=
DE 1 CF 1 ∴ = AD 2 CE = 2 ∴ DE = CF AD CE
1 4
A
1
3
D
E
BC
B F
2
C
∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF
∴△ADE∽△ECF ∴∠1=∠2
例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
范 例
如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点
O，则S△DOE∶S△COB为( )
A．1∶4
C．1∶3
B．2∶3
D．1∶2
A
巩 固 提 高
如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部
分面积相等，则 ＝____________.
相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等
定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形. 相似多边形的性质：
∵ S△ADE=25 ∴S
△ABC=121
1、如图，小明在打网球时，使球恰好能 打过网，而且落在离网5米的位置上， 求球拍击球的高度h.
2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在 某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某 一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
3、四个正数a、b、c、d能构成比例式，其中 b=3,c=2,d=6，则a= 4或9或1 。
一、比例的性质？
★比例的基本性质─ ★比例的合比性质─
a = c ad = bc . b d
a c ab cd = = 。 b d b d
★比例的更比性质— ★比例的等比性质─
a c a b = = b d c d
1. 成比例的数（线段）：
a c = 若 或a : b = c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。 b d
b （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果
a
=d
c
a∶b=c∶d
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项，
a c m a c m a = = = = ， (b d n 0) b d n b d n b
做一做
a c 5 1、若 = = ，则 b d 2
a b c d 5 2 7 = = = 2 2 b d
ab cd = = b d
2.△ABC中，AC=6，BC=4，CA=9，△ABC∽△A′B′C′， △A′B′C′最短为12，则它的最长边的长度为( C ) A.16 B.18 C.27 D.24
3.如图，正方形ABCD的边长为8，E是 AB的中点，点M，N分别在BC，CD上， 1或 4 且CM=2，则当CN=_________ 时， △CMN与△ADE相似。
若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S
2 =____cm 18 △ADF
D F A E B C
54
cm2
8、已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD
交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积
2 25 为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm
解: ∵AD∥BC
2
48
=
解得：x =27
cm 2
答：留下矩形的面积为 27 cm2
（
（8
8cm
1、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的 连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O 叫做位似中心．
2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或
缩小
范 例
如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中
心是( )
A
A．点P
B．点O C．点M D．点N
ACP与△ABC的相似比是_______ _______， 2 : ，周长之比是 3
2 : 3 _______。 4 : 9 面积之比是 A A P
B C
5 3
C D B
6、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，
BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
练一练
7、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
∴△AOD∽△COB ∴OD:OB=2:3 B ∴S△AOD : S△AOB =2:3 ∴S△AOB =6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2 S△AOD :S△COB =4:9
A
O
D
C
1 例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 4
求证: AE⊥EF
证明:∵四边形ABCD是正方形
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例。 符号语言： 如图，若a∥b∥c ，则 A1 A2 B1 B2 = . A2 A3 B2 B3
m n
a b c A3
A1
A
2
B1 B2 B
3
练习 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的 长度如图所示，求x的值.
3 4 21 = ,x = . x 7 4
相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两 个三角形相似. A D C E F
B
AB AC BC △ABC∽△DEF = = DE DF EF
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似. A D C E F
B
AB AC = DE DF A=D
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角 形相似 A D
3.如何作位似图形(放大).
E′ A B C D G F E
●
D′ B′ C′
A′ G′ B F′ C D
A G F E
●
P
P
G′
F′ A′
C′
B′
D′
E′
4.如何作位似图形(缩小).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O
P
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果 位似变换是以原点为位似中 心，相似比为k，那么位似 图形对应点的坐标的比等于 k或－k.
比例的性质： a
= b d
c ad bc; =
练习:
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=
6
2、下列各组线段的长度成比例的是（ D） A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5
D. 1 ,
,2.5 ,6.5 , 4.5
2 , 2 , 4
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4
3 2
a 2b c 2d 5 2 2 9 = = = 2 2 b d
ac = 5 bd 2
m n m 已知 ,求 的值. 2、 = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：
2x 3y 3、已知 (1)若 x y
(2) 若 b
a+b
m 6 n = 5 m n 方法(2)因为 ,所以5m=6n = 6 5 m 6 所以 n = 5
A D
E B N C
M
4.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3） , C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O， B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐 （0，1.5）或（0，2/3） 标是__________________.
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
5、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______ ，△ 6