隐函数的求导课件

z z dx dy. dz xz ( x z) y
2
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法 x z ex2.设 ln , 求dz. z y
解2 （全微分法） x z 原式两边微分得: d ( ) d (ln ) z y zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2 z z 整理得dz ( dx dy) xz y z z2 dx dy. xz ( x z) y
sin y x cos y y ye x ye x 0
sin y ye 所以, 得 y . x x cos y e
x
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性， 并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数 的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的
F F ( x , f ( x )) F F ( x , y ), y f ( x )
连 续函 数 y f ( x ), 且y0 f ( x0 ); Fx dy (2)有连续导数 （一元隐函数的求导公式） . dx Fy 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: x 将函数 y f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) 0 得 F dy F[ x, f ( x )] 0, 即Fx Fy 0, y dx 上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得
Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),

y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 值 .
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数 的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法

① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx

函数的求方 件
• 隐函数求导的应用 • 隐函数求导的注意事项 • 隐函数求导的常见错误分析 • 隐函数求导的习题与解析
01
函数求
隐函数定义
隐函数
如果对于每一个$x$的值，$y$都 有唯一确定的值与之对应，那么 我们说$y$是$x$的隐函数。
举例
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函 数，因为对于每一个$x$的值， $y$都有唯一确定的值与之对应。
几何解释是理解隐函数求导的直观方 法。当我们对一个隐函数求导时，我 们实际上是在找到等值线的斜率。这 个斜率告诉我们函数值在各个点的变 化速度和方向。在解决各种实际问题 时，了解函数的几何意义可以帮助我 们更好地理解和应用求导的结果。
03
函数求的用
极值问题
极值问题
隐函数求导在求解极值问题中具有重 要应用。通过求导，我们可以找到函 数的最值点，进而确定函数的极值。
隐函数求导的几何意义
几何意义
总结词
详细描述
隐函数求导的几何意义在于找到等值 线的斜率。在二维平面上，等值线是 一组具有相同函数值的点组成的曲线。 通过求导，我们可以找到等值线的斜 率，从而了解函数值的变化趋势。
隐函数求导的几何意义是理解函数值 变化的关键。通过找到等值线的斜率， 我们可以更好地理解函数的性质和行 为。
习题三：求函数的极值
总结词
理解隐函数极值的求解方法
详细描述
通过求解一个具体的隐函数极值问题，掌握如何利用隐函数求导的结果来找到函数的极 值点，理解极值的判定条件和求解步骤。
感您的 看
THANKS
详细描述
在求隐函数导数时，复合函数的处理是关键。如果对复合函数的求导规则理解不准确，会导致求导结果错误。例 如，在处理复合函数时，没有正确地应用链式法则，或者在处理复合函数的变量替换时出现错误，都会导致求导 结果不准确。

隐函数的特点
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4

通过二阶导数和隐函数表达式，求出三阶导数。
4. 以此类推，直到求出想要的阶数导数
通过以上方法，我们可以求出任意阶数的隐函 数导数。
举例
例1：$x^2+y^2=25$
解析一个关于圆的隐函数，通过 求导得到圆上某点的切线斜率。
例2：$xy=x+y$
研究一组直线的交点，通过求导 找到斜率和截距的关系。
例3：$sin(xy)=cos(x-y)$
解析一个三角函数的隐函数，通 过求导得到函数的性质。
求导过程中的注意事项
1 求导法则的运用
合理运用导数的基本法则，简化求导过程。
2 链式法则Βιβλιοθήκη 运用当隐函数中包含复合函数时，要运用链式法则。
3 积、商、加、减法则的运用
当隐函数的表达式包含多个运算符时，要适当运用相关法则。
总结
隐函数求导的基本方法
通过求导的步骤，我们可以 得到隐函数关于自变量的导 数。
《隐函数的求导》PPT课件
# 隐函数的求导 ## 前言 - 隐函数概述 - 隐函数存在的意义
隐函数求导的基本方法
1. 求一阶导数
通过求函数的一阶导数，找到隐函数关于自变 量的导数。
2. 利用一阶导数和式子本身求二阶导数
通过一阶导数和隐函数表达式，求出二阶导数。
3. 利用二阶导数和式子本身求三阶导数
求导过程中的注意事项
合理运用求导法则以及链式 法则，简化求解的过程。
练习题
通过练习题进一步巩固对隐 函数求导的理解与应用。

且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)
y z
dx
七、设 y f ( x, t), 而t 是由方程F ( x, y, t) 0 所确定的
x, y 的函数,求dy . dx
八、设z z( x, y)由方程F ( x x , y z )=0 所确定, yx
证明: x z y z z xy. x y
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y 2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
二、方程组旳情形
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v)在
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 ) ，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y,z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2 x, Fz 2z 4,
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v

隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号 连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函 数，但两者都表示了因变量与自变量 之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程 ，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将 其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导 数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存 在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要 确定，根据求导法则和运算优先 级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的 顺序处理，确保运算的正确性和 一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能 会发生变化，需要根据求导法则 和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的 类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词

对数函数的隐函数求导
对于形如 (y = log_{a}{f(x)}) 的函数， 其导数为 (dy/dx = frac{1}{x ln a} cdot f'(x))。
三角函数的隐函数求导
正弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = sin{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = cos{f(x)} cdot f'(x))。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
商式法则是隐函数求导的基本法则之一，其基本思想是将两个函数的导数相减， 得到商的导数。具体来说，如果两个函数分别为u和v，那么它们的商的导数为 u'/v-uv'/v^2。
反函数求导法则
总结词
反函数求导法则用于求解反函数的导数，通过反函数求导法则可以将对反函数的求导转化为对原函数的求导。
详细描述
实践应用
建议学习者多做练习，通过解决实际问题来提高应用这些公式的熟练 度和准确性。
持续更新
提醒学习者隐函数求导公式并非一成不变，随着数学理论的发展，这 些公式可能会被改进或更新，需要保持关注和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习。
跨学科应用
强调这些公式在其他学科（如物理、工程等）中的应用价值，鼓励学 习者尝试将这些公式应用到其他领域中。
VS
余弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = cos{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = -sin{f(x)} cdot f'(x))。
参数方程的隐函数求导
参数方程的隐函数求导
对于参数方程 (x = x(t), y = y(t)) 描述的曲线，其导 数为 (dy/dx = frac{y'(t)}{x'(t)})。
参数方程的隐函数求导的应用

x)
cos(1
x) (1)
所以
y
y
12 2x
3
1 3(x
5)
2 x
cot(1
x)
(2x 3)6 3 x x2 sin(1 x)
5
12 2x
3
1 3(x
5)
2 x
cot(1
x)
练习：用对数求导法求下列函数的导数
（1） y sin x tan x
（2）
y 3 x(x 1) (2 x)(x 3)
(含导数 y的方程)
例1 求由方程y2+3y2x2+xln3=0所确定的函数y=f(x) 的导数yx.
解 按题设，所给方程确定y是关于x的函数， x是自变量，y=f(x)，y2就相当于[f(x)]2， 这样，y2对x求导数时，需用复合函数的导数法则 将方程两端同时对x求导数，得 (y2+3y2x2+xln3)x=(0)
3x2 +ex (1y2 +x2yy ) +(siny) y =0
解出y ，得
y 3x2 ex y2 2xy sin y
学生练习：1.由下列方程确定y是x的函数，求y′
（1） b2 x2 a2 y2 a2b2 0
（2） x y 2 2xey
（3） x2 sin(x y) ln xy
y
b a
2 2
x y
y
1 2e y 2xey 1
y y 2x2 y sin( x y) x3 y cos(x y) x3 y cos(x y) x
例3 求由方程lny=xysinx+1所确定的函数y=f(x)
的导数y及y | x=0