隐函数的求导法则
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微积分课件第5节隐函数的求导公式
z z dx dy. dz xz ( x z) y
2
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法 x z ex2.设 ln , 求dz. z y
解2 （全微分法） x z 原式两边微分得: d ( ) d (ln ) z y zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2 z z 整理得dz ( dx dy) xz y z z2 dx dy. xz ( x z) y
sin y x cos y y ye x ye x 0
sin y ye 所以, 得 y . x x cos y e
x
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性， 并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数 的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的
F F ( x , f ( x )) F F ( x , y ), y f ( x )
连 续函 数 y f ( x ), 且y0 f ( x0 ); Fx dy (2)有连续导数 （一元隐函数的求导公式） . dx Fy 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: x 将函数 y f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) 0 得 F dy F[ x, f ( x )] 0, 即Fx Fy 0, y dx 上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得
Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
高数课件25隐函数求导法则
隐函数的特点
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
隐函数的求导公式
两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
§8.5隐函数求导法
2. F(x, y, z)=0 隐函数存在定理2: 设函数F(x, y, z)在点 0, y0, z0) 隐函数存在定理 设函数 在点P(x 在点 的某一邻域内有连续的偏导数, 的某一邻域内有连续的偏导数 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)≠0, 则方程 在点P ≠ 则方程F(x, y, z)=0在点 0的某一邻域内恒能 在点 唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x, y), 它满足条件 0=f(x0, y0), 并有 它满足条件z Fy Fx ∂z ∂z (2) =− , =− . Fz ∂y ∂x Fz 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图: 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图 x (1) F y x (2) F z y
∂2z 例3: 设 x2+y2+z2–4z=0, 求 2 . ∂x 解: 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2–4z. 则Fx=2x, Fz=2z–4, Fx x ∂z , =− = 所以 ∂x Fz 2 − z x ∂z (2 − z ) + x ⋅ (2 − z ) + x 2 ( 2 − z )2 + x 2 ∂ z 2−z = ∂x = = . 2 2 2 3 (2 − z ) (2 − z ) (2 − z ) ∂x
2
dy Fx x+ y =− =− . dx Fy y− x
在点(0, 的某邻域内能 例2: 验证方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内能 唯一确定一个单值可导, 的隐函数y=f(x), 唯一确定一个单值可导 且 x=0 时 y=1 的隐函数 时的值. 并求这函数的一阶和二阶导数在 x=0 时的值 解: 令F(x, y)= x2+y2–1 = 0, 则Fx=2x, Fy=2y, 而 F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2≠0, ≠ 依定理知, 在点(0, 的某邻域内 依定理知 方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f(x). 该函数的一阶和二阶导数为 函数的一阶和二阶导数为: dy Fx x dy =− | x = 0 = 0, =− , dx Fy y dx x y − x( − ) 2 1 d2y d y y − xy′ y =− | = − 1. =− 3, =− 2 2 2 2 x =0 y dx y y dx
隐函数求导法则
（十） 隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。
从方程()0,=y x F 中有时可解出y 是x 的显函数 ,如从方程0153=++y x 可解出显函数5153--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程()00222>=-+R R y x 中可以解出22x R y -±=。
它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。
但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100sin <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。
现在讨论当y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数y '呢？其办法是在方程()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y ' 即可。
例2.14 求方程()0222>=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '. 解 当我们对方程222R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='⋅+y y x . 解出()0≠-='y yxy .思考题 证明：圆()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为200R y y x x =+.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。
解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-.故所求切线方程为 ()1211--=-x y ， 即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y . 解 方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21cos 211,0πππ-=⋅='-y 例 2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证 在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为 ().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-y x xy ，求 0=x dx dy.解 两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅y y x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+yy x xy y x xy y当0=x 时，由 ()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即 .,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-ey e . ()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点） 先看几个例题。
隐函数的求导法(4)
二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z, 证明：z z 1. x y
23
三、如 果 函 数 f ( x, y, z) 对 任 t何 恒 满 足 关 系 式
f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z),则称函数 f ( x, y, z)为
k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
5
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z (2 z) x x
(2 z)2 x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
12
u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv 例5 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
27
v
g1 ( xf1 uf1 1)
.
x ( xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
26
六、 du dx
f x
f x gx gy
f y gz hx gy hz
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有 z Fx ， z Fy .
23
三、如 果 函 数 f ( x, y, z) 对 任 t何 恒 满 足 关 系 式
f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z),则称函数 f ( x, y, z)为
k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
5
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z (2 z) x x
(2 z)2 x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
12
u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv 例5 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
27
v
g1 ( xf1 uf1 1)
.
x ( xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
26
六、 du dx
f x
f x gx gy
f y gz hx gy hz
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有 z Fx ， z Fy .
隐函数的求导法则__取对数求导法
隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。
在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。
然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。
在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。
本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。
1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。
2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。
(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。
(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。
对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。
根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。
对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。
(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。
3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。
首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。
根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。
右侧的导数为0。
于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。
最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。
4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
10-4 隐函数求导法则
2
其中
dFy dFx Fy Fx Fx d dx dx [ ] 2 dx Fy Fy
dFx dFx ( x, y ) Fx Fxx Fxy dx dx Fy
dFy dx dFy ( x, y ) dx Fx Fyx Fyy Fy
E-mail: xuxin@
解
x 把 x 看成 z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 令 u x y z, v xyz ,
则
z f ( u, v ),
E-mail: xuxin@
把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得
z z f u (1 ) f v ( yz xy z ), x x x z f u yzf v 整理得 , x 1 f u xyf v
把 x 看成 z, y 的函数对y 求偏导数得
x x 0 f u ( 1) f v ( xz yz ), y y
行列式 :
F F ( F , G ) u v J G G (u , v) u v 在点P ( x0 , y0 , u0 , v0 )不等于零.
E-mail: xuxin@
则方程组 F ( x, y, u , v) 0, 在点( x0 , y0 , u0 , v0 ) G ( x, y, u , v) 0 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏 导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件
2
(2 z ) x . 3 (2 z )
2 2
E-mail: xuxin@
z x y 例 3 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z z 思路： z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， 把 x
十隐函数求导法则
（十） 隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。
从方程()0,=y x F 中有时可解出y 是x 的显函数 ,如从方程0153=++y x 可解出显函数5153--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程()00222>=-+R R y x 中可以解出22x R y -±=。
它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。
但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100sin <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。
现在讨论当y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数y '呢？其办法是在方程()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y ' 即可。
例2.14 求方程()0222>=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '. 解 当我们对方程222R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='⋅+y y x . 解出()0≠-='y yxy .思考题 证明：圆()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为200R y y x x =+.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。
解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-.故所求切线方程为 ()1211--=-x y ， 即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y . 解 方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21cos 211,0πππ-=⋅='-y 例 2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证 在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为 ().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-y x xy ，求 0=x dx dy.解 两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅y y x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+ΛΛyy x xy y x xy y当0=x 时，由 ()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即 .,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-ey e . ()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点） 先看几个例题。
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Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法 方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导 怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若 则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y
F ( F , G ) u J= = ( u, v ) G u
F v G v
不等于零, 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零,则方程组 F ( x , y , u, v ) = 0 , G ( x , y , u, v ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u = u( x , y ) , v = v ( x , y ) ,它们满足条件u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ) ,并有
则 Fx = 2x , Fz = 2 z 4,
2z x 2
x z (2 z ) + x (2 z ) + x 2 z x = = ( 2 z )2 ( 2 z )2
( 2 z )2 + x 2 . = 3 (2 z )
z Fx x , = = Fz 2 z x
z x y 例 4 设z = f ( x + y + z, xyz), 求 , , . x y z 思路: 思路: z 把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 , x x 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 , y y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . z
v u x x y x = u , y u + x v = v x x
的条件下, 在 J ≠ 0 的条件下,
x y J= y x
=x +y ,
2 2
u y x u u v x xu+ yv v y v = = 2 2 , = x y x x + y x x y y x y x
yu xv = 2 2, x +y
求导, 将所给方程的两边对 y 求导,用同样方法得
u xv yu = 2 2, y x + y
xu+ yv v = 2 2. x +y y
注
这组公式不太好记,具体做题时应 这组公式不太好记, 用的是其基本思想
关于隐函数求二阶偏导数
为例, 主要有三种方法: 以 F ( x , y , z ) = 0 为例, 主要有三种方法: ①公式法
解 令 u = x + y + z, 则
v = xyz ,
z = f ( u, v ),
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得
z z + f ( yz + xy z ), = f u (1 + ) v x x x z f u + yzf v , = 整理得 x 1 f u xyf v
二,方程组的情形
1,对于方程组 , 怎样求偏导数
{
F ( x, y,z )=0 Φ ( x, y,z )=0
首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组 如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)
思考题解答
x y 记 F ( x , y , z ) = ( ), z z
y 1 Fy = ′( ) , z z x y ( y ) Fz = 2 ′( ) 2 , z z z
z Fx z , = = Fz x y ′( y ) x z
z z 于是 x + y = z. y x
y z ′ ( ) Fy z z , = = Fz x y ′( y ) y z
Fx Fv G x Gv 1 (F ,G ) u , = = Fu Fv J ( x, v ) x Gu Gv
Fu Fx 1 (F ,G ) v = = Gu G x J ( u, x ) x
Fu Fv Gu Gv
Fy 1 (F ,G ) u = = Gy J ( y, v ) y
Fv Gv
Fu Fv , Gu Gv
三, 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) ,则称函数 f ( x , y , z ) 为 次齐次函数,试证: k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程 f f f x +y +z = kf ( x , y , z ) . x y z 2z 四,设 z 3 3 xyz = a 3 , 求 . x xy 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: 五,求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: z = x 2 + y 2 dy dz ,求 1 ,设 2 ,求 , . dx dx x + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 u = f ( ux , v + y ) u v 2 ,设 ,求 , . 2 x x v = g( u x , v y ) 具有一阶连续偏导数) (其中 f , g 具有一阶连续偏导数)
则 Fx = 2x , F = 2 y , y
F (0,1) = 0,
2 2
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
依定理知方程 x + y 1 = 0 在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导, 内能唯一确定一个单值可导,且 x = 0 时 y = 1 的 函数 y = f ( x ).
函数的一阶和二阶导数为
解得: 解得:
1 = 3 [Fxx Fz2 2Fxz Fx Fz + Fzz Fx2 ] Fz
两种方法相比,法二较简便, 两种方法相比,法二较简便,因为可避免 商的求导运算, 商的求导运算,尤其是在求指定点的二阶偏导数 时,毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入 即可求得二阶偏导数,使运算大为简化. 即可求得二阶偏导数,使运算大为简化.`
把x看成z, y的函数对y 求偏导数得
x x 0 = f u ( + 1) + fv ( xz + yz ), y y 整理得 x = fu + xzfv , y fu + yzfv
把y看成x, z的函数对z 求偏导数得 y y 1 = f u ( + 1) + fv ( xy + xz ), z z y 1 fu xyfv = . 整理得 z fu + xzfv
z Fx = , Fz x
Fy z = . Fz y
u = F(r, s),r = x, s = y( x)
u = F( x, y, z),z = z( x, y)
r
u s
x y x
u
x
y
z
z 例3 设x + y + z 4z = 0, 求 2. x
2
2
2
2
解
令
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 4z,
dy = 0, dx x=0 x y x 2 d y y xy′ y = 1 , = 2 = 2 2 y3 dx y y 2 d y = 1. 2 dx x=0
dy Fx = dx Fy
dy y 例2 已 ln x + y = arctan , 知 求 . x dx
2 2
x = , y
隐函数的求导法则
一,一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数, 某一邻域内具有连续的偏导数,且 F ( x0 , y0 ) = 0 , Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ,则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x ),它满足条件 y0 = f ( x0 ),并 有