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三角函数模型的简单运用公开课优质课件

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高中数学高一必修第二章《三角函数模型的简单应用》教育教学课件

高中数学高一必修第二章《三角函数模型的简单应用》教育教学课件

深入探究
(3)如果肯定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才 进行 课堂检测
深入探究
解 由 y＝0.4sin π6t＋1≥0.8，得 sin π6t≥－12， 则－π6＋2kπ≤π6t≤76π＋2kπ(k∈Z)， 即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7， 或11≤t≤19，或23≤t≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
解 由(1)知挑选y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适. 令A>0，ω>0，|φ|<π. 由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以 ω＝2Tπ＝π6. 把 t＝0，y＝1 代入 y＝0.4sin(π6t＋φ)＋1，得 φ＝0. 故所求拟合模型的解析式为 y＝0.4sinπ6t＋1(0≤t≤24).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
处理曲线拟合与猜测问题时，通常需要以下几个步骤： 1.根据原始数据给出散点图. 2.通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合 直线或拟合曲线. 3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. 4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行猜测和控制，以便 为决策和管理提供根据.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
例1 (1)作出函数y＝|cos x|的图象，判定其奇偶性、周期性并写 出单调区间. 解 y＝|cos x|图象如图所示.
由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数； 单调递增区间为[－π2＋kπ，kπ]，k∈Z， 单调递减区间为[kπ，π2＋kπ]，k∈Z.
深入探究
探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数
摸索 怎样作出函数y＝|sin x|的图象，并根据图象判定其周期和 单调区间？ 答 函数y＝sin x位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|的图象，以下图所示：

1.6《三角函数模型的简单应用》展示课件

1.6《三角函数模型的简单应用》展示课件
（2）求b 最大值 最小值 2
（3）求 : 先根据图像求T,再由T 2 解得
（4）求：把已知点代入函数式(常常选取最值点代入)
感受高考
函数f
x
A
sin
x
6
1
A>0,
0的最大值为3，其图像相邻
两条对称轴之间的距离为 ，求函数的解析式。【2012年陕西卷】
2
解： 函数f x的最大值为3
A1 3
1.6 三角函数模型的简单应用
第一课时
一、情景引入 在我们现实生活中存在着大量的周期性变化现象。
正弦型函数：y A sin(x ) b A>0, >0
二、逐步探究
引例 （1）函数y 2sin x的图像如何变换得到y 2sin x 3的图像?
y 2sin x 3
y
向上平移单位长度 5
的图象求解析式；
2、根据函数解析式作出图像，并根据图像 认识性质。
四、课后作业
配套练习一份
2
最大值 最小值 2
探究一：根据函数图象求解析式 例1.如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b
问题一： 这一天6～14时的 最大温差是多少？
T/℃ 30 20 10
o 6 10 14 t/h
30°-10°=20°
探究一：根据函数图象求解析式
例1.如图，某地一天从6～14时 T/℃
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
即 f (x+ ) f (x)
根据图像还能看出该函数的哪些性质？
归纳小结
利用函数图像的直观性,通过观察图 像而获得对函数性质的认识,这是研 究数学问题的常用方法。

2三角函数模型的简单应用 公开课精品课件

2三角函数模型的简单应用 公开课精品课件

恰好是 1s, 线的长度 l 应当是多少？(精确
到 0.1cm) .
《习案》P.146第4题
3. 弹簧挂着的小球作上下运动, 它在 t 秒时相 对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度 h 厘 横米坐由标下,列h关为系纵式坐决标定, :作h出这2s个in函( t 数 4在)一. 以个t周为期 的闭区间上的图象, 并回答下列问题: (1)小球在开始振动时(即 t=0)时的位置在哪里? (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离 分别是多少? (3)经过多少时间小球往复运动一次? (4)每秒钟小球能往复振动多少次?
种称为造父(型)变星, 本身体积会膨胀收缩
造成亮度周期性的变化.右图为一造父变星
的亮度随时间的周期变化图.此变星的亮度
随时间的周期变化图.此变星的亮度变化的
周期为多少天?最亮时是几等星?最暗时是
几等星?
视3.5 星 等4.0
4.5
0
5
10 15
20
时间/ 天
课后作业
1. 教材P.58习题1.5B组第1题. 2. 《学案》P.34双基训练.
3
7
《习案》P.145第3题
2. 一根为 lcm 的线, 一端固定, 另一端悬挂
一个小球. 小球摆动时, 离开平衡位置的位
移 s(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是
s 3cosg lLeabharlann t3
,
t
[0, ).
(1)求小球摆动的周期；
(2)已知 g≈980cm/s2, 要使小球摆动的周期
作业讲评
主讲老师：陈震
《习案》P.144第1题
1. 不画图，直接写出下列函数的振幅、 周期与初相，并说明这些函数的图象可 由正弦曲线经过怎样的变化得到(注意 定义域):

三角函数模型的简单应用课件

三角函数模型的简单应用课件
(2)D(t)>10.5，即 3sin[326π5(t－79)]＋12>10.5， ∴sin[326π5(t－79)]>－12，t∈[0,365]， ∴49<t<292,292－49＝243. 所以约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时．
[点评] 利用解析式来研究相关问题，只需将具体的值代 入验算即可．
(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？ (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过 10.5 小时？ [分析] 抓住关键词，列出等式或不等式即可．
[解析] (1)白昼时间最长的一天，即 D(t)取得最大值的一 天，此时 t＝170，对应的是 6 月 20 日(闰年除外)，类似地，t ＝353 时，D(t)取得最小值，即 12 月 20 日白昼最短．
(2)由 sinx＋f(x)＝23，得 sinx＋cosx＝23. 两边平方，得 sinxcosx＝－158.
[点评] 本题解答的技巧是将图形语言转化为符号语言， 读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
命题方向 2 由实际数据求函数解析式
已 知 某 海 滨 浴 场 的 海 浪 高 度 y( 米 ) 是 时 间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各 时的浪高数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acosωt ＋b. (1)根据以上数据，求出函数 y＝Acosωt＋b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式；
三角函数模型的简单应用
命题方向 1 求函数的解析式
已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数， 且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 4＋π2.

三角函数模型的简单应用PPT优秀课件

三角函数模型的简单应用PPT优秀课件

3：00 7.500 9：00 2.500
4：00 7.165
5：00 6.250
10：00 11：00 2.835 3.754
时刻
水深 时刻 水深
12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00
5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250
18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻
0
3
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
5.0 7.5
时刻
0
3
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
5.0 7.5
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻
0
3
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
5.0 7.5
思考2：设想水深y 是时间x的函数， 作出表中的数据对 应的散点图，你认 为可以用哪个类型 的函数来拟合这些 数据？
y 8
6
4
2
o 6 12 18 24 x
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点， 得到一个函数图象，该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式？
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全 间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货， 吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那 么该船在什么时间必须停止卸货，将船 驶向较深的水域？ 货船最好在 y p 8 y =2 . 5 s i n x+5 6.5时之前停 6 6 止卸货，将 4 船驶向较深 y=-0.3x+6.1 2 的水域.

三角函数模型的简单应用 课件

三角函数模型的简单应用 课件

π
π
时间摩天轮旋转的角度是 5 t rad，即∠P1ON＝ 5 t rad.
由图不难看出：
y＝P1M＝ON－OQ
＝40.5－OP1cos∠P1OQ
＝40.5－40cosπ5 t
＝40.5＋40sinπ5 t－π2 .
即所求函数的解析式为
y＝40sinπ5 t－π2 ＋40.5.
(2)令 t＝8，得 y＝40sinπ5 ×8－π2 ＋40.5≈28.14，即登上摩
1．三角函数模型 周期现象是自然界中最常见的现象之一，_三_角__函__数___是研究 周期现象最重要的数学模型．
2．建立三角函数模型的步骤
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡
位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式
为：s＝6sin2πt＋π6 ，那么单摆来回摆动一
次所需的时间为( D )
[解] (1)当 k＝6 时，D(t)＝3sin326π5（t－79）＋12.
设 f(t)＝3sin326π5（t－79），利用“五点法”，列出下表：
t
79 170 262 353 444
f(t)
0
3
0 －3 0
描点并连线，作出 f(t)＝3sin326π5（t－79）的简图，如虚线
图．若 t＝0，
天轮 8 min 后与地面的距离约为 28.14 m.
(3)令 y＝30.5，得 40sinπ5 t－π2 ＝－10，即
cos
π 5 t＝0.25，
得 t≈2.1，即当第一次距地面 30.5 m 时，用了约 2.1 min.
(4)当第二次距地面 30.5 m 时，用了约 10－2.1＝7.9 min.当第
月份
12

三角函数模型的简单应用ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

由地理知识可知： 23026' 时，最小
h0
M
A
B
C
{h 0
- 23°26′
0°23°26’M A
B
C
解：如图，A、B、
C分别为太阳直射北回
归线、赤道、南回归线
时楼顶在地面上旳投影
{h0
点。要使楼房一层正午
旳太阳整年不被前面旳 - 23°26′ 0° 23°26’M A
B
C
楼房遮挡，应取太阳直射南回归线旳情况考虑，此时旳
呈周期性变化规律.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思索2：设想水深y y 是时间x旳函数， 8 作出表中旳数据相 6 应旳散点图，你以 4 为能够用哪个类型 2 旳函数来拟合这些 o 6 12 18 24 x 数据？
直射纬度为: 23026'
C 900 | 400 (23026' ) | 26034'
MC
h0 tan C
tan
h0 2634'
2.000h0
即在盖楼时为使后楼不被前楼遮挡，要留出 相当于楼高两倍旳间距。
练习1：绍兴市旳纬度是北纬300 ,开发商在某小区建若
干幢楼,楼高7层，每层3米。要使所建楼房一楼在一年四
例1、函数f (x) A sin( x )的图象如下图所示，
试依图推出：
（1）f (x)的最小正周期；
y
2
O
4
7 4
x
（2）f (x) 0时x的取值集合；
（3）使f (x) 0的x的取值集合；
例1、函数f (x) A sin( x )的图象如下图所示，

三角函数模型的简单应用 课件


已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.

1三角函数模型的简单应用 公开课精品课件


课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关
的简单函数模型.
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关
的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进行函数拟合，从而得到 函数模型.
曲线近似满足函数 y＝Asin(x＋)＋b
(1)求这一天6~14时
T /oC
的最大温差；
30
(2) 写出这段曲线
20
的函数解析式.
10
O 6 8 10 12 14 t /h
讲授新课
一、根据图象建立函数解析式
小结：利用函数的模型(函数的 图象)解决问题，根据图象建立函数 解析式.
讲授新课
例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其 周期.
讲授新课
小结：你能概括出建立三角函数模型 解决实际问题的基本步骤吗？
讲授新课
练习. 教材P.65练习第3题.
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤:
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式;
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
如果在北京地区(纬度数约为北纬40º)的一
幢高为h0的楼房北面盖一 新楼，要使新楼一层正午
－
的太阳全年不被前 面的楼房遮挡，两
北回归线
楼的距离不应小于 南回归线 多少？
B

太阳光
C
讲授新课

《三角函数模型的简单应用》课件17(14张PPT)(新人教A版必修4)


3
y 2sin(2x )
3
练习：
函数 y Asin(x ),(A 0, 0, | | )
的最小值是2，其图象最高点与最低点横 2
坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析 式.
曲线例近1似如满图足1函.6数-1,某y 地A一si天n(从x6~14)时 b的温y 度变化

30 10
. 将x
8
10, b 6,
y12103代0 入10上 式2， 0 解得＝34
.
综上，所求解析式为y 10sin( x 3 ) 20, x 6,14
84
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画
这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特
别注意自变量的变化范围.
情景引入：
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数
学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻
画周期变化数量的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型
函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用
（课题）
• 正弦型函数
y Asin( x ) ( A 0, 0)
(1)求这一天6~14时的最大温差;
30
(2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.
10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
函数 y Asin(x ) b的半个周期
0 6 10 14 x
的图象，所以，A
1 2
2
14 6
1 2

(3) y 2sin(2x )
A点的坐标为( , 2)
12
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(1)选用适当的函数模型来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出函 数解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的,如果某船 的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船何时能进入港口?在港口能呆多久？
【实践作业】(以小组为单位完成，以研究报告形式提交) 夏天是用电的高峰期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部
（5）结合生活经验，判断所求结果是否符合实际；
三、 运算求解，模型检验
（5）结合生活经验，判断所求结果是否符合实际； 2018年全年月平均气温统计表：
月份t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温T/0C -2 0 5.7 13 21 25.8 28 26.1 21.5 12.5 5.5 0.2
二、 抽象提炼，建立模型
（2）观察散点图，结合具体情境与生活经验，思考应该 选择什么样的函数曲线对散点图进行拟合呢？
二、 抽象提炼，建立模型
（3）在坐标系中补全图像，根据图像特点，求出三角函数 解析式T=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)；
二、 抽象提炼，建立模型
T 15sin( t 2 ) 13, (0 t 12)
二、 抽象提炼，建立模型
焦作市位于河南省西北部，南邻黄河与省会一衣带水，
北依太行与晋东南一脉相连.大山大河造化了焦作山水之大气， 成就了焦作旅游之大气.焦作属温带大陆性季风气候，日照充 足，冬冷夏热，春暖秋凉，年平均气温12.80C—14.80C，7月 最热，月均气温270C—280C，1月最冷，Βιβλιοθήκη 均气温-30C—10C.63
对于所求解析式与数学软件 拟合的函数解析式之间存在的 差异，应当如何解释呢？
三、 运算求解，模型检验
T 15sin( t 2 ) 13, (0 t 12)
63
（4）根据所求解析式，估计每年九月份的平均气温； T (9) 15sin( 9 2 ) 13 20.5
63
即9月份平均气温为20.50C.
北师大版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修4
三角函数模型 的简单应用
一、 创设情境，提出问题
“一赛一节”是焦作市 全力打造的节会品牌.
一、 创设情境，提出问题
“一赛一节”是焦作市 全力打造的节会品牌.
那么“一赛一节”举办 时间是什么时候？为什么定 于这个时间呢？
从数学的角度出发，对该问题进行探究和解释.（核心问题）
回顾所学函数类型：
初中： 一次函数、二次函数、反比例函数；
高中必修一： 幂函数、指数函数、对数函数；
高中必修四： 三角函数.
哪类函数能更好、更合理地与散点图相拟合呢？并说明理由.
二、 抽象提炼，建立模型
三角函数中具体学习了正弦函数、余弦函数及正切函 数，又当如何选择呢？
分组讨论，确定所选函数，并给出理由.
五月、六月、八月和九月最有利于月季生长.
五、 反思归纳，运用检测
通过探究气温对我市“一赛一节”举办时间的影响，你 都经历了什么过程？
实际生活问题
数 学 建 模
实际生活问题
问题抽象转化 数据收集整理
验 证
解决、决策
建立函数模型 图 像数 、形 解结 析合 式
函数模型求解
数学来源于生活，服务于生活.数学建模就是用数学的 视角看世界，用数学的语言表达世界，用数学的知识与方法 解释世界、服务世界.
六、 课堂小结，课后实践
【课堂作业】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮
叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根 据 生 理 学 家 研 究 ， 标 准 温 度 是 人 体 体 温 36.5℃ 和 0℃ 的 黄 金 分 割 ( 约 为 0.618) 点 ， 36.5*0.618=22.557 ， 所 以说人们在18 0C -25 0C的环境下会感觉很舒服.
四、 模型应用，拓展延伸
（6）月季是焦作的市花，月季在平均气温200C～26℃时 最有利于生长，根据所求函数的图像，判断焦作最有利于 月季生长的月份是哪几个月？
下表给出了2018年1—7月份的月平均气温统计：
月份t
12345 6 7
平均气温T/0C -2 0 5.7 13 21 25.8 28
（1）根据表格中数据，在坐标系中画出散点图；
二、 抽象提炼，建立模型
（2）观察散点图，结合具体情境与生活经验，思考应该 选择什么样的函数曲线对散点图进行拟合呢？
二、 抽象提炼，建立模型
五、 反思归纳，运用检测
【运用检测】 我市人民公园摩天轮直径为
36m,轮子的底部在地面上3m处，摩 天轮按逆时针方向旋转，每9min转 一圈，某游客从摩天轮底部乘坐开 始计时.
(1)求该游客相对于地面的高度 h( 单 位 :m) 关 于 时 间 t( 单 位 :min) 的 函数关系式；
(2)若游客在某天日落时分乘坐 摩天轮，由于周围建筑的遮挡，在 距离地面约30m时方能看到日落.在 摩天轮转动的一圈内，此人能看到 日落的时间约有多少分钟？
R=18m
游客M
轴O θ
h(t)
A
h0=3m
B
C
六、 课堂小结，课后实践
【课堂小结】 1.本节课你学到了什么？ 数学建模——三角函数模型
2.数学建模的基本过程有哪些？ 现实问题→转化数学模型→模型求解→回归现实
3.本节课涉及的数学知识、数学方法与思想有哪些？ 三角函数解析式的确定、图像的应用、不等式的求解； 数形结合、函数与方程、化归与转化、数学建模.
五、 反思归纳，运用检测
【运用检测】 我市人民公园摩天轮直径为
36m,轮子的底部在地面上3m处，摩 天轮按逆时针方向旋转，每9min转 一圈，某游客从摩天轮底部乘坐开 始计时.
(1)求该游客相对于地面的高度 h( 单 位 :m) 关 于 时 间 t( 单 位 :min) 的 函数关系式；
(2)若游客在某天日落时分乘坐 摩天轮，由于周围建筑的遮挡，在 地面 距离地面约30m时方能看到日落.在 摩天轮转动的一圈内，此人能看到 日落的时间约有多少分钟？