江苏省南京市高二数学 暑假作业(15)平面向量的概念及运算

平面向量的概念与运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，它具有方向和大小两个基本特征。

本文将介绍平面向量的概念以及其常见的运算。

一、平面向量的概念平面向量是由起点和终点确定的有向线段，一般用小写字母加上→来表示。

例如，向量AB可以表示为→AB。

平面向量的起点在原点O，终点在坐标系中的某一点P，那么向量OP可以用字母加上向上的箭头来表示。

二、平面向量的大小平面向量的大小又称作模或长度，用两点之间的距离来表示。

设有向线段→AB的起点为A(x1, y1)，终点为B(x2, y2)，那么向量→AB的大小可以用以下公式来计算：|→AB| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)三、平面向量的运算1. 平面向量的加法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的和向量→AD可以通过将两个向量首尾相连来得到。

具体计算如下：→AD = →AB + →CD = (x2-x1, y2-y1) + (x4-x3, y4-y3)2. 平面向量的减法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的差向量→AC可以通过将第二个向量取负后再进行加法运算得到。

具体计算如下：→AC = →AB - →CD = (x2-x1, y2-y1) - (x4-x3, y4-y3)3. 平面向量的数量积：平面向量的数量积又叫点积或内积，它是两个向量的数量乘积与夹角余弦的乘积。

设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的数量积A·B可以通过以下公式来计算：A·B = |A| |B| cosθ4. 平面向量的向量积：平面向量的向量积又叫叉积或外积，它是两个向量的数量乘积与夹角正弦的乘积。

设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的向量积A×B可以通过以下公式来计算：A×B = |A| |B| sinθ四、平面向量的运算性质1. 加法的交换律和结合律：设有向线段→AB，→CD和→EF，那么有：→AB + →CD = →CD + →AB(→AB + →CD) + →EF = →AB + (→CD + →EF)2. 数量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A·B = B·A(A·B)·C = A·(B·C)3. 向量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A×B = -B×A(A×B)×C = A×(B×C)五、应用举例平面向量的概念与运算在几何、力学等学科中有着广泛的应用。

平面向量的基本概念和运算平面向量是指具有大小和方向的矢量，它在平面内进行运算和表示。

平面向量的概念和运算是数学中的重要内容，在几何、物理等学科中都有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。

一、平面向量的表示方法平面向量可以用一个有序对表示，即(A, B)，其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

另一种表示方法是使用向量符号，如→AB，表示从点A指向点B的向量。

向量符号上方的箭头表示向量的方向，向量的长度表示向量的大小。

二、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的和为向量→AC，即：→AB + →CD = →AC向量的加法满足交换律和结合律，即不论加法的顺序如何，结果都是相同的。

三、平面向量的减法平面向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A减去向量B的差为向量→AD，即：→AB - →CD = →AD减法可以看作是加法的逆运算，即将被减去的向量取相反数后再进行加法运算。

四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积，表示两个向量之间的乘积。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的数量积为：→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ其中，|→AB|和|→CD|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有交换律和分配律，即对于两个向量A、B和一个实数k，有以下性质：1. →AB · →CD = →CD · →AB2. (k→AB) · →CD = k(→AB · →CD)3. (→AB + →CD) · →EF = →AB · →EF + →CD · →EF五、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积，表示两个向量之间的向量乘积。

平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。

平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。

向量的大小记为|→AB|。

三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。

2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。

3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。

4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。

5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。

四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。

总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。

平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。

平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。

1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。

2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。

设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。

(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。

(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。

也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。

(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。

4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。

平面向量的概念与计算平面向量，是指在二维平面上具有大小与方向的几何量。

它由有序的两个实数（或复数）组成，分别表示向量在水平和垂直方向的分量。

平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在数学与物理学中，平面向量是一种重要的概念，广泛应用于各个领域，如几何、力学等。

平面向量的表示平面向量用小写字母加上一个箭头来表示，如 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 等。

平面向量可以用其坐标表示法或分解表示法来表示。

1. 坐标表示法：根据平面直角坐标系，平面上的任意一个点都可以用有序数对 $(x, y)$ 表示，其中 $x$ 和 $y$ 分别为该点在水平和垂直方向的坐标。

以原点 $O$ 为起点，连接原点到该点的向量就是该点的坐标向量。

即向量 $\vec{a}$ 的坐标表示为 $(a_x, a_y)$。

2. 分解表示法：平面向量可以分解为水平分量与垂直分量。

假设向量 $\vec{a}$ 的起点为原点 $O$，终点为点 $P$，向量的水平分量表示为 $\vec{a_x}$，垂直分量表示为 $\vec{a_y}$。

根据直角三角形的性质，可以得到 $\vec{a_x} = |\vec{a}| \cdot \cos{\theta}$，$\vec{a_y} =|\vec{a}| \cdot \sin{\theta}$，其中 $|\vec{a}|$ 表示向量的长度，$\theta$ 表示向量与水平轴的夹角。

平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数乘三种运算。

1. 加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，形成一个平行四边形，向量的和就是对角线的向量。

设有向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，则它们的和表示为 $\vec{a} + \vec{b}$。

2. 减法：向量的减法可以理解为加法的逆运算。

设有向量$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，则它们的差表示为 $\vec{a} - \vec{b}$，即$\vec{a} + (-\vec{b})$。

平面向量的定义及其运算平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成。

平面向量可以表示为有向线段，并且与其他向量的比较以及运算都是在同一平面内进行的。

一、平面向量的定义平面向量是有向线段的表示，它由长度和方向两个属性组成。

如果两个有向线段的长度相等且方向相同，那么这两个有向线段就代表同一个向量。

同一个向量可以用不同的有向线段表示出来。

二、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新向量的过程。

图1. 向量加法的图示由上图可知，向量AB和向量BC相加得到向量AC。

向量的加法满足以下三个性质：(1) 交换律：a+b=b+a(2) 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(3) 零向量：对于任意向量a，都有a+0=a2. 向量数量积向量数量积是指将两个向量相应的分量相乘，再将乘积相加得到一个数的过程。

图2. 向量数量积的图示由上图可知，向量a和向量b的数量积为a*b，它表示向量a 在向量b上的投影与向量b的长度的乘积。

向量的数量积满足以下性质：(1) 交换律：a*b=b*a(2) 结合律：a*(kb)=(ak)*b=a*k*b，其中k为一个数(3) 零向量：对于任意向量a，都有a*0=03. 向量减法向量减法是指将两个向量相应分量相减得到一个新向量的过程。

图3. 向量减法的图示由上图可知，向量ab和向量bc的差为向量ac。

向量的减法满足以下性质：(1) a-b=a+(-b)(2) a-a=0三、总结平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成，可以表示为有向线段。

向量加法、数量积和减法是平面向量的三种基本运算，它们分别代表了向量的加法、倍数和减法。

通过这三种运算，我们可以对向量的大小、方向等属性进行计算和描述。

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。

在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。

一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。

例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。

平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。

向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。

向量的长度是一个非负数。

二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。

例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。

2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。

例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。

3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。

例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。

4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。

4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。

数量积的结果是一个标量。

对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。

4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。

平面向量的概念与运算一、概念平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，常用箭头表示。

平面向量可以表示物体在平面上的位移或运动，是数学中重要的研究对象。

二、向量的表示方法1. 线段表示法：将向量表示为连接两点的线段，线段的方向和长度表示向量的方向和大小。

2. 坐标表示法：以坐标系为基础，用有序数对表示向量在坐标系中的位置。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量首尾相连形成一个闭合的四边形，对角线所代表的向量即为两个向量的和。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量乘以一个实数，结果是一个新的向量，它的方向与原向量相同或相反，大小为原向量的绝对值与实数的乘积。

3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来进行计算，即将减数取负后与被减数相加。

4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

数量积的结果是一个实数。

5. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个向量的长度之积与它们夹角的正弦值的乘积。

向量积的结果是一个向量。

四、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。

2. 结合律向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。

3. 数量乘法的分配律向量的数量乘法对加法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。

4. 内积的性质a) A·B=B·A，内积满足交换律。

b) A·(kB)=(kA)·B=k(A·B)，内积满足数量乘法的结合律。

c) A·A=|A|^2，即向量的内积等于向量的模长的平方。

5. 外积的性质a) A×B=-B×A，外积满足反交换律。

b) (kA)×B=A×(kB)=k(A×B)，外积满足数量乘法的结合律。

第9讲平面向量——运算是灵魂向量的复习要从“数”与“形"两个方面来认识和理解，牢牢抓住向量的运算，向量有了运算,其威力变的无限，使向量成为解决代数问题和几何问题的有力工具．1．准确表述知识内容，梳理知识结构，体会工具性作用．对向量基础知识是否熟练掌握,一看能否准确表述有关概念和定理，包括向量有关概念及线性运算、坐标运算、数量积运算的有关概念、性质．二看能否梳理向量的知识结构，用图或表的形式把向量的知识框架表示出来．三看能否通过利用向量解决平面几何、解析几何问题体会到向量在解决问题中的作用．2．利用平面向量“数”与“形”的双重性，用不同的运算方法解决问题，提高灵活运用方法的能力．平面向量兼有代数和几何的“双重特性”，对同一问题，从“数”与“形”两个角度入手解决,会对问题的认识更为全面、深刻，就会培养灵活运用数形结合、坐标法等思想方法解决问题的能力，以及选择最佳方法的能力．【温故知新】已知｜a｜＝3，|b|＝4，且a与b不共线．求k为何值时，向量a＋k b与a－k b互相垂直？3．重视课本例题、习题,旧题重做，总结规律与方法．高考对向量的考查主要体现在三个方面:一是基础知识，包括向量的有关概念,加减法的几何意义,线性表示和坐标表示；二是数量积及其几何意义;三是向量的工具作用,主要用来描述题目条件和结论,会用向量方法解决简单的几何问题或力学问题．难度一般不大，所以要重视课本，充分挖掘课本例题、习题的价值,从课本中得到规律与方法．例1 设D，E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD＝错误!AB，BE ＝错误!BC。

若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!(λ1，λ2为实数），求λ1＋λ2的值．解后反思向量的线性运算是向量转化的工具,通过三角形法则、向量共线基本定理，将向量逐步转化为指定向量．例2 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则｜错误!＋3错误!｜的最小值为________．解后反思1．最值问题是运动变化中的特定状态，基本的解决方法就是通过影响运动变化的量建立其目标函数，转化为函数最值问题．由于向量的坐标运算使向量实数化，向量问题就可以转化为代数问题．2．平面向量中的最值问题的求解通常有两种思路，一是利用坐标运算，转化为函数问题．二是利用图形，从图象中发现影响最值的变化向量．在方法二中，将错误!、错误!这两个变化向量逐步转化为单一的变化向量,从而容易看出取得最值的状态．例3 一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1,F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解后反思向量的数量积运算使向量实数化，也有鲜明的几何背景，利用性质|a|＝错误!，cos θ＝错误!,|a·b｜≤｜a｜｜b｜,可以求解线段的长度，角的大小等几何问题及某些不等式问题．总结感悟1．向量的线性运算是转化向量的工具，利用有向线段所处的三角形，所处的线段，通过三角形法则、向量共线基本定理，将向量逐步转化为指定向量．2．数量积运算使向量实数化，可以求解向量的模、夹角、投影．因此，数量积也有鲜明的几何背景，通过数量积运算，可以求解线段的长度，角的大小等几何问题,以及某些不等式问题．3．坐标法是重要的数学方法，合理建立平面直角坐标系，构造向量坐标，就可以利用向量的坐标运算解决问题．A级1．化简：错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝________．2．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则向量错误!＝________．3．已知向量a＝(1，m）,b＝(m，2)，若a∥b，则实数m＝________．4．已知两个非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b|，则下面结论正确的是________．①a∥b②a⊥b③｜a|＝|b| ④a＋b＝a－b5．(2016·全国Ⅰ)设向量a＝（m，1)，b＝（1，2)，且｜a＋b｜2＝|a｜2＋｜b|2，则m＝________．6．(2016·全国Ⅱ改编)已知向量a＝(1，m），b＝(3，－2)，且(a＋b）⊥b，则m＝________．B级7．在四边形ABCD中，错误!＝(1，2),错误!＝（－4，2），则该四边形的面积为________．8．已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a －2b垂直，则a与b的夹角为________．9．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________．10.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R)，则错误!＝________．11．已知在△ABC中,错误!＝a，错误!＝b，a·b〈0，S△ABC＝错误!，|a｜＝3,|b|＝5，则∠BAC＝________．12．已知△ABC为等边三角形,AB＝2,设点P，Q满足错误!＝λ错误!，错误!＝(1－λ)错误!，λ∈R。

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平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例,掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义(3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。

以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：（1)题型可能为1道选择题或1道填空题;（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。