2020-2021学年北京教师进修学校高二上学期10月月考数学试卷无答案

北京市某校2020-2021学年高二上学期物理10月月考试卷一、单选题（共13题；共22分）1. 关于电场强度与电势的关系，下面各种说法中正确的是（）A.电场强度大的地方，电势一定高B.电场强度不变，电势也不变C.电场强度为零处，电势一定为零D.电场强度的方向是电势降低最快的方向2. 真空中两个等量异种点电荷电量的值均为q，相距r，两点电荷连线中点处的场强为（）A.0B.2kqr2C.4kqr2D.8kqr23. 两个放在支架上的相同金属球，相距为d，球的半径比d小得多，分别带有q和3q的电荷，相互斥力为3F。

现将这两个金属球接触，然后分开，仍然放回原处，则它们的相互斥力将变为（）A.0B.9FC.3FD.4F4. 如图所示，带箭头的实线表示某电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．其中A、B、C三点的电场强度大小分别为E A、E B、E C，电势分别为φA、φB、φC．关于这三点的电场强度大小和电势高低的关系，下列说法中正确的是（）A.E A=E BB.E A>E CC.φA=φBD.φB=φC5. 如图所示，真空中有两个点电荷分别位于M点和N点，它们所带电荷量分别为q1和q2．已知在M、N连线上某点P处的电场强度为零，且MP=3PN，则（）A.q1=3q2B.q1=9q2C.q1=13q2 D.q1=19q26. 如图所示为某电场中的电场线和等势面，已知φa=10V，φc=6V，ab=bc，则（）A.φb=8VB.φb>8VC.φb<8VD.上述三种情况都可能7. 两个等量异种电荷，a，b为它们的连线上的两点，c、d为连线中垂线上的两点，O 为其垂足，a，b、c、d四点到O点的距离都相等，则a，b、c、d、O五点的场强大小和电势高低的关系为()A.a，b，O三点场强O点最大B.a，b，O三点电势φa>φb>φOC.c、d、O三点场强O点最小D.c、d、O三点电势高低相等8. 一个点电荷，从静电场中A点移到B点，其电势能的变化为零，则（）A.A，B两点的电场强度一定相等B.该点电荷一定沿等势面移动C.作用于该点电荷的静电力与其移动的方向总是垂直的D.A，B两点的电势一定相等9. 关于电容器的电容，下列说法正确的是（）A.电容器所带电荷量越多，其电容一定越大B.电容器两板间的电压越高，其电容一定越大C.电容器不带电时，其电容一定为零D.电容器的电容只由它本身特性决定10. 假设空间某一静电场的电势φ随x变化情况如图所示，根据图中信息可以确定下列说法中正确的（）A.空间各点场强的方向均与x轴垂直B.电荷沿x轴从0移到x1的过程中，一定不受电场力的作用C.正电荷沿x轴从x2移到x3的过程中，电场力做正功，电势能减小D.负电荷沿x轴从x4移到x5的过程中，电场力做负功，电势能增加11. 如图所示，A、B是两个带有绝缘支架的金属球，它们原来均不带电，并彼此接触．现使带负电的橡胶棒C靠近A（C与A不接触），然后先将A、B分开，再将C移走．关于A、B的带电情况，下列判断正确的是（）A.A带正电，B带负电B.A带负电，B带正电C.A、B均不带电D.A、B均带正电12. 如图所示，电子在电势差为U1的电场中加速后，垂直射入电势差为U2的偏转电场．在满足电子能射出偏转电场的条件下，下列四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（）A.U1变小、U2变大B.U1变大、U2变大C.U1变大、U2变小D.U1变小、U2变小13. 如图所示，两块平行金属板正对着水平放置，两板分别与电源正、负极相连．当开关闭合时，一带电液滴恰好静止在两板间的M点．则（）A.当开关闭合时，若减小两板间距，液滴仍静止B.当开关闭合时，若增大两板间距，液滴将下降C.开关再断开后，若减小两板间距，液滴仍静止D.开关再断开后，若增大两板间距，液滴将下降二、多选题（共2题；共3分）如图所示为研究决定平行板电容器电容大小因素的实验装置．两块相互靠近的等大正对平行金属板M、N组成电容器，板N固定在绝缘座上并与静电计中心杆相接，板M和静电计的金属壳都接地，板M上装有绝缘手柄，可以执手柄控制板M的位置．在两板相距一定距离时，给电容器充电，静电计指针张开一定角度．在整个实验过程中，保持电容器所带电荷量不变，对此实验过程的描述正确的是（）A.只将板M从图示位置稍向左平移，静电计指针张角变大B.只将板M从图示位置沿垂直纸面向外的方向稍微平移，静电计指针张角变大C.只将板M从图示位置稍向上平移，静电计指针张角减小D.只在M、N之间插入陶瓷片，静电计指针张角变大如图所示匀强电场E的区域内，在O点处放置一点电荷+Q，a、b、c、d、e、f为以O 点为球心的球面上的点，aecf平面与电场平行，bedf平面与电场垂直，则下列说法中正确的是（）A.b、d两点的电场强度相同B.a点的电势等于f点的电势C.点电荷+q在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功D.将点电荷+q在球面上任意两点之间移动，从球面上a点移动到c点的电势能变化量一定最大三、填空题（共2题；共2分）图中的平行直线表示一簇垂直于纸面的等势面。

2020-2021学年高二技术上学期10月月考试题请先阅读试卷说明：1．本试卷分为两部分，其中信息技术部分占50分，通用技术部分占50分。

2．所有答案均需答在答题纸上，答在其它地方不给分。

3．选择题答案请用2B铅笔正确涂写，使用圆珠笔、钢笔或水笔无效。

画图题请先用铅笔，待确定无误后，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑。

一、选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)1．关系信息安全与网络道德，下列做法正确的是A．确认环境安全后输入支付密码B．随意扫描网页中的二维码C．未经许可，将他人的私人生活视频上传到网上D．在论坛里转发会造成社会不良影响的信息2．下列关于信息的说法正确的是A．语言、文字、声音属于信息的载体，磁带、光盘、书本不属于信息的载体B．人类社会的三大要素，物质、能源和信息都具有共享性C．信息的处理必须依靠计算机，所以信息技术是近代才有的D．因特网上信息的检索需要甄别信息的时效性和真伪性3．有关信息与信息技术，下列说法正确的是A．当信息失去价值时，不在依附于载体B．通过上网搜索得到若干关于某问题的答案，一般可以通过查看广大网友对该问题的赞成程度选择解答，因为统计评价具有较高的可信度C．通过手语表述信息，这属于信息的表达技术D．共享软件就是可以任意使用的软件，包括用技术手段突破一些软件的功能限制4. 下列应用中，体现了人工智能技术的有①停车管理系统通过拍摄识别车牌号码，并用语音进行播报②智能翻译机实现实时语音翻译③某同学和远方的朋友视频通话④智慧教室能根据光线情况调整照明亮度⑤阿法狗和李世石的终极之战A.①②⑤B. ②④⑤C. ①②④D.③④⑤5.一封电子邮件的附件携带病毒，在WEB模式下，当用户打开该附件时，病毒会向该用户邮件通讯录中每个用户发送带病毒的邮件，这充分说明了病毒具有较强的A．寄生性 B.潜伏性 C.破坏性 D.传染性6．某地发生了自然灾害，小秦想通过捐款奉献自己的一片爱心。

2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．60°D．120°3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1B．C．D．24．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或06．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）A．B．2C．D．49．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）复数z＝，则|z|＝．12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．三、解答题共5小题，共45分。

张家口市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 数学试题（普实）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面2．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是( )A ．若a 、b 与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b3．如图所示，在正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 4．点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0 5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e ＝( ) A.2B ．2 C. 3 D ．36．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．647．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa＋μb(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( )A ．m∥nB ．m⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能8．如图所示，∠C＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别是BC ，AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起至△B′MN 位置，使二面角B′­MN­B 的大小为60°，则B′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A ．25B ．45C ．35D ．35 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。

2021届北京师范大学第二附属中学高三上学期10月月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共10小题；共40分）1. 设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【详解】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．解：因为N ⊆M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．故选B ．2. 若35log log 33b ⋅=,则b =（ ）A. 6B. 5C. 53D. 35 【答案】D【解析】利用换底公式进行化简求值即可． 【详解】355lg lg 3lg log log 3log 3lg 3lg 5lg 5b b b b ⋅=⋅=== 35b ∴= 故选：D3. 已知∈，x y R ,且0x y >>，则（ ） A. 110x y -> B. 0cosx cosy -< C. 11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->【答案】C【解析】利用特殊值排除错误选项,利用函数的单调性证明正确选项.【详解】取2,1x y ==,则1102-<,所以A 选项错误. 取4,2x y ππ==,则cos4cos2110ππ-=-=,所以B 选项错误. 由于12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减,而0x y >>,所以111102222x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故C 选项正确. 取2,1x y ==,则()ln 210-=,所以D 选项错误.故选：C4. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()2f x x =-,那么不等式1()2f x <的解集是（ ） A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B. 302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C. {3|02x x -<<或502x ⎫<<⎬⎭ D. {3|2x x <-或502x ⎫≤<⎬⎭ 【答案】D【解析】根据()y f x =是定义在R 上的奇函数,求得函数解析式,然后再由分段函数的定义域,分0x <,0,0>=x x 三种情况讨论求解.【详解】设0x <,则0x ->,所以()2-=--f x x ,因为()y f x =是定义在R 上的奇函数,所以()()2=--=+f x f x x ,(0)0f =,所以2,0()0,02,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩,。

2020-2021学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）1．8，2的等差中项是（）A．±5B．±4C．5D．42．设S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝n2+1，则a5＝（）A．26B．19C．11D．93．下列结论正确的是（）A．若y＝sin x，则y′＝cos x B．若y＝，则y′＝C．若y＝cos x，则y′＝sin x D．若y＝e，则y′＝e4．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（）A．8B．6C．3D．15．若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（）A．16B．8C．﹣8D．±86．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（）A．10﹣2kJ B．10﹣1kJ C．102kJ D．103kJ7．已知{a n}为等比数列，下列结论中正确的是（）A．a3+a5≥2a4B．若a3＝a5，则a1＝a2C．若a3＜a5，则a5＜a7D．a4＝8．若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4] 9．直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（）A．﹣1或1B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知函数f（x）＝（x﹣1）2e x，下列结论中错误的是（）A．函数f（x）有零点B．函数f（x）有极大值，也有极小值C．函数f（x）既无最大值，也无最小值D．函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于s/m．12．函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为．13．写出一个公比q＝的递增等比数列的通项公式．14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝；若x＝2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是．15．设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{a n}，则a2＝，数列{a n}的前50项和S50＝．三、解答题共6小题，共75分。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年北京市高二（上）期末数学测试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数(1−2i)2(2+i)2的模为()A. 1B. 2C. √5D. 52.已知数列{a n}满足a n=2a n−1+1，且a3=5，则a1=()A. 12B. 2C. 11D. 233.椭圆2x2+3y2=6的长轴长是()A. √3B. √2C. 2√2D. 2√34.已知函数f(x)=√xsinx，则f′(π)=()A. √πB. −√πC. √π2πD. √2π2π5.若等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=()A. 1B. 2C. −2D. 46.向量a⃗=(x,1，−2)，b⃗ =(3,−x,4)，a⃗⊥b⃗ ，则x=()A. 8B. 4C. 2D. 07.下列不等式中，恒成立的个数有()①x+1x ≥2②x>1,x+1x−1≥3③x>0,x3+1x≥2x④a>b则1a<1bA. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为()A. √52B. √53C. 2√55D. 23第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线x236−y29=1的渐近线方程为______ ．10.设i为虚数单位，复数z满足z(2−i)=i3，则复数z的虚部为_________．11.函数f(x)=√1−2x⋅e x+1的极大值为________．12.不等式x+1x≤3的解为______ ．13.已知抛物线y=14x2，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A、B两点，则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为________．14.已知函数f(x)=x2e x与g(x)=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.等差数列{a n}中，已知a n>0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．16.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为12x+y−3=0．(1)求a,b的值；(2)求f(x)在[−2,4]的最值．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =4，AB =2，M 是PD 中点．(1)求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； (2)求面PAM 与面PAC 夹角的余弦值．18. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为√22，点(0,1)是E 上一点． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线BF 2的方程．+1，a∈R．19.已知函数f(x)=lnx+ax(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b，求a，b的值；)上有最小值，求实数a的取值范围；(2)记g(x)=f(x)+ax，若函数g(x)在区间(0,12(3)当a=0时，关于x的方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．20.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(I)求a2，a3；(II)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(III)求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】直接由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 【解答】 解：∵(1−2i)2(2+i)2=1−4i+4i 24+4i+i 2=−3−4i 3+4i=−1，∴|(1−2i)2(2+i)|=1．故选：A ．2.【答案】A【解析】解：a 3=2a 2+1=2(2a 1+1)+1=4a 1+3=5， 解得a 1=12， 故选A ．利用递推式逐步求解即可．本题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的计算能力．3.【答案】D【解析】解：整理椭圆方程2x 2+3y 2=6得x 23+y 22=1，∴a =√3∴长轴长为2a =2√3．故选：D ．先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的性质可知a 的值，进而求得椭圆的长轴长．本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．在解决椭圆问题时，一般需要把椭圆方程整理才标准方程，进而确定a ，b 和c ，进而利用三者的关系解决问题．4.【答案】B【解析】解：∵f′(x)=12⋅√xsinx+√xcosx，∴f′(π)=12√πsinπ+√πcosπ=−√π．故选：B．先对函数f(x)求导，进而可求出f′(π)的值．本题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式的应用，基本知识的考查．直接利用等比数列的通项公式化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，可得a2+a4a1+a3=(a1+a3)qa1+a3=q=4020=2．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =3x−x−8=0，解得x=4．故选：B．利用a⃗⊥b⃗ ⇔a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7.【答案】B【解析】当x<0时，不等式x+1x≥2不成立，所以①错误；当x>1,x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥3，所以②正确；，所以当x>0时原式成立，即③正确；当a>0>b原式不成立，所以④错误.故选B．本题考查基本不等式的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直线与平面之间所成角，属于简单题．连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在直角三角形AEB中求出正切值即可．【解答】解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，设棱长为2，AE=√22+12=√5，直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：ABAE =2√55．故选C．9.【答案】y=±12x【解析】解：双曲线x236−y29=1的a=6，b=3，由于渐近线方程为y=±bax，即为y=±12x.故答案为：y=±12x.由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，求出a，b即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】−25【解析】【分析】本题考查复数的概念以及基本运算，属于基础题．【解答】解：复数z 满足z(2−i)=i 3，则z =i 32−i =−i (2+i )(2−i )(2+i )=1−2i 5=15−25i ，所以复数z 的虚部为−25， 故答案为−25．11.【答案】e【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值，求导，由导数得到函数的单调性，由单调性可求函数的极大值． 【解答】解：函数f(x)=√1−2x ⋅e x+1的定义域为(−∞,12], 由f(x)=√1−2x ⋅e x+1得f′(x)=(√1−2x −√1−2x )e x+1，令f′(x)=(√1−2x √1−2x)e x+1=0，得x =0，则当x <0时，f′(x)>0；当0<x ≤12时，f′(x)<0， 所以f(x)在(−∞,0)内为增函数，在(0,12]内为减函数， 所以f(x)的极大值为f(0)=e ． 故答案为e ．12.【答案】{x|x ≥12或x <0}【解析】 【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法． 【解答】解：原不等式同解于x+1x−3≤0同解于1−2x x≤0同解于{x(1−2x)≤0x ≠0即{2x 2−x ≥0x ≠0解得x ≥12或x <0故答案为：{x|x ≥12或x <0}13.【答案】2【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．把抛物线方程化为标准方程，求出其焦点坐标，从而能求出直线AB ，把直线AB 与抛物线联立方程组，能求出|AB|，由此能求出三角形的面积． 【解答】解：∵抛物线y =14x 2的标准方程为x 2=4y ， ∴抛物线的焦点F(0,1)，∴过焦点且垂直于对称轴的直线方程为y =1， 把y =1代入x 2=4y ，得A(−2,1)，B(2,1)， ∴|AB|=4，∴坐标原点与A 、B 两点构成的三角形的面积： S =12×|AB|×|OF|=12×4×1=2．故答案为2．14.【答案】(2(1−√2)e √2,2(1+√2)e −√2)【解析】 【分析】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题． 令a =ℎ(x)=x 2e x −2xe x ，求导ℎ′(x)，从而确定函数的单调性及极值，从而求出a 的范围． 【解答】解：由题意得，x 2e x =2xe x +a ， ∴a =ℎ(x)=x 2e x −2xe x ，ℎ′(x)=2xe x+x2e x−2e x−2xe x=e x(x2−2)令ℎ′(x)>0，解得：x>√2或x<−√2，令ℎ′(x)<0，解得：−√2<x<√2，∴ℎ(x)在(−∞,−√2)上是增函数，在(−√2,√2)上是减函数，在(√2,+∞)上是增函数，∴ℎ(x)=ℎ(−√2)=2(1+√2)e−√2，极大值=ℎ(√2)=2(1−√2)e√2，ℎ(x)极小值函数f(x)=x2e x与g(x)=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则只需y=a和y=ℎ(x)图象有且只有三个交点，故a∈(2(1−√2)e√2,2(1+√2)e−√2)，故答案为：(2(1−√2)e√2,2(1+√2)e−√2).15.【答案】解：(1)等差数列{a n}的公差设为d，由a n>0，可得d>0，由a1+a2+a3=15，可得3a2=15，即a2=5，a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项，可得(a2+5)2=(a1+2)(a3+13)，即为100=(7−d)(18+d)，解得d=2(−13舍去)，则a n=a2+(n−2)d=5+2(n−2)=2n+1；所以等比数列{b n}的前三项为5，10，20，等比数列{b n}的首项为5，公比为2，则b n=5×2n−1，n∈N∗；(2)c n=a n⋅b n=5(2n+1)⋅2n−1，则前n项和T n=5×3×20+5×5×21+⋯+5(2n+1)⋅2n−1，2T n=5×3×2+5×5×22+⋯+5(2n+1)⋅2n，两式相减可得−T n=15+10(2+22+⋯+2n−1)−5(2n+1)⋅2n=15+10⋅2(1−2n−1)−5(2n+1)⋅2n，1−2化简可得T n=(10n−5)⋅2n+5．【解析】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和错位相减法求数列的和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的性质和通项公式，以及等比数列的通项公式，计算可得所求通项公式；(2)求得c n =a n ⋅b n =5(2n +1)⋅2n−1，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．16.【答案】解：(1)函数的图象在点M(1,f (1))处的切线方程为12x +y −3=0，即切点为(1,−9)，f ′(x )=3x 2+2ax +b ，∴{f (1)=−9f ′(1)=−12,∴{1+a +b +2=−93+2a +b =−12, ∴a =−3,b =−9．(2)由(1)得f (x )=x 3−3x 2−9x +2,f ′(x )=3x 2−6x −9， 令f ′(x )=0,∴x =−1或x =3，令f ′(x )>0,解得x <−1或x >3，函数单调递增； 令f ′(x )<0,解得−1<x <3，函数单调递减， ∴函数有极小值f (3)=27−27−27+2=−25， 极大值f (−1)=−1−3+9+2=7， 又∵f (−2)=0,f (4)=−18，∴函数f (x )在[−2,4]上的最大值为7，最小值为−25．【解析】本题主要考查导数的应用，属于中档题． (1)根据导数几何意义的建立方程组，解方程即可．(2)求导，算出函数的极大极小值，计算端点处的值，比较可得最大最小值．17.【答案】解：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA ⊥AB ，同理PA ⊥AD ， 由矩形ABCD ，可得AB ⊥AD ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，故A (0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,4，0)，P(0,0，4)， 所以M(0,2，2)．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，设平面ACM 的法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故{2x 1+4y 1=02y 1+2z 1=0，取y 1=−1，则x 1=2，z 1=1， 故n⃗ =(2,−1,1)， 所以cos〈CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=2×6=−√63， 故直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值√63．(2)因为AB ⊥AD ，AB ⊥AP ，AP ∩AD =A ，AP ，AD ⊂平面PAD ， 故AB ⊥平面PAD ，面PAM 就是平面PAD ，故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面PAM 的法向量， 平面PAC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故{2x 2+4y 2=0−4z 2=0，可取m⃗⃗⃗ =(2,−1,0)， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， 故cos〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=2×√5=2√55， 可知：面PAM 与面PAC 夹角是锐二面角， 故面PAM 与面PAC 夹角的余弦值为2√55．【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理以及计算能力．(1)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ACM 的法向量，进行求解即可． (2)可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面PAM 的法向量，求解平面PAC 的法向量，求解即可．18.【答案】解：(1)由椭圆的斜率e =c a =√1−b 2a 2=√22，则a =√2b ，由点(0,1)是E 上一点得b =1，a =√2， 椭圆E 的方程x 22+y 2=1；(2)设直线AB 的直线方程y =k(x +1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则{y =k(x +1)x 22+y 2=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=−4k 21+2k 2，①，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，② BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(−1−x 2,−y 2)=2(x 1+1,y 1)，则2x 1+x 2=−3，③ 由①③可知：x 1=−2k 2−31+2k ，x 2=3−2k 21+2k ，代入②整理得：2k 2=7，则B(−12,±√144)，则直线BF 2的斜率k =±√146，∴直线BF 2的方程：y =√146x −√146或y =−√146x +√146．【解析】(1)由题意的离心率公式，求得a =√2b ，由椭圆过点(0,1)，求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得B 点坐标，求得直线BF 2的斜率，即可求得直线BF 2的方程．本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)f′(x)=1x −ax 2，则f′(1)=1−a =2， 解得a =−1，则f(x)=lnx −1x +1，此时f (1)=ln1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2， 所以a =−1，b =−2;(2)g(x)=f(x)+ax =lnx +ax +ax +1， g′(x)=1x −ax +a =ax 2+x−ax ．①当a =0时，g′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0,12)上为增函数，g(x)在区间(0,12)上无最小值．②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根， 设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1， 则两根一正一负， 不妨设x 1<0<x 2．设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0)， (i)若a >0，若x 2∈(0,12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a4+12−a >0，解得0<a <23．此时x ∈(0,x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减， x ∈(x 2,12)时，m(x)>0，则g(x)递增，当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0,12)，m(x)<0，g(x)在(0,12)单调减，无最小值． (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增，x ∈(x 2,+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减，在区间(0,12)上，g(x)不会有最小值． 所以a <0不满足条件．综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0,12)上有最小值; (3)当a =0时，由方程f(x)=bx 2，得lnx +1−bx 2=0， 记ℎ(x)=lnx +1−bx 2，x >0， 则ℎ′(x)=1x −2bx =−2bx 2+1x．①当b ≤0时，ℎ′(x)>0恒成立，即ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数， 则函数ℎ(x)至多只有一个零点，即方程f(x)=bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．②当b >0时，当x ∈(0,√12b)时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)递增；当x ∈(√12b ,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)递减，则ℎ(x)max =ℎ(√12b )=ln√12b +12．要使方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根， 则ℎ(√12b )=ln√12b +12>0，解得0<b <e2，(i)当0<b <e2时，ℎ(1e )=−be 2<0. 又(1e )2−(√12b)2=2b−e 22be 2<0，则1e <√12b ，所以存在唯一的x 1∈(1e ,√12b )，使得ℎ(x 1)=0.(ii)ℎ(1b )=ln 1b +1−1b =−lnb +1−1b ，记k(b)=−lnb+1−1b ，0<b<e2，因为k′(b)=−1b +1b2=1−bb2，则k(b)在(0,1)上为增函数，在(1,e2)上为减函数，则k(b)max=k(1)=0，则ℎ(1b)≤0.又(1b )2−(√12b)2=2−b2b2>0，即1b>√12b，所以存在唯一的x2∈(√12b ,1b]，使得ℎ(x2)=0，综上，当0<b<e2时，方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是综合性题目．(1)求出函数f(x)的导数f′(x)，则f′(1)=1−a=2解得a的值，求得f(x)=lnx−1x+1，得切点即可；(2)函数g(x)=f(x)+ax=lnx+ax +ax+1，其导数g′(x)=1x−ax2+a=ax2+x−ax2，对a分类讨论，得出其单调性．20.【答案】解：(I)∵S n+1=4a n−2(n=1,2，3)，∴S2=4a1−2=6.∴a2=S2−a1=4．同理可得a3=8．(II)∵S n+1=4a n−2(n=1,2，3)，∴S n=4a n−1−2(n≥2)．两式相减得：a n+1=4a n−4a n−1，变形得：a n+1−2a n=2a n−4a n−1=2(a n−2a n−1)(n≥2)，则：a n−2a n−1=2(a n−1−2a n−2)(n≥3)，a n−2a n−1=2(a n−1−2a n−2)=22(a n−2−2a n−3)=23(a n−3−2a n−4)=2n−2(a2−2a1)，∵a2−2a1=0，∴a n−2a n−1=2n−2(a2−2a1)=0．数列{a n−2a n−1}是常数列．(III)由(II)可知：a n=2a n−1(n≥2)．数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴a n=2n，∴a n−1a n+1−1=2n−12n+1−1=12⋅2n−12n−12<12．a1−1 a2−1+a2−1a3−1+⋯+a n−1a n+1−1<12+12++12=n2．【解析】本题考查数列的性质及综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．(I)由S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)，知S2=4a1−2=6.所以a2=S2−a1=4.a3=8．(II)由S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)，知S n=4a n−1−2(n≥2)；所以a n+1=4a n−4a n−1由此入手能推导出数列{a n−2a n−1}是常数列．(III)由题设条件知a n=2n，所以a n−1a n+1−1=2n−12n+1−1=12⋅2n−12n−12<12.由此及彼可知a1−1a2−1+a2−1 a3−1++a n−1a n+1−1<12+12++12=n2．。