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弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章 (2)第三章 (3)第四章 (5)第五章 (6)第六章 (8)第七章 (9)第八章 (10)第九章 (12)2－1 是 2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在0M =∑的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA 边上，对于图2－15（a ）、（b ）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量, , x y xy σστ必须满足（1）平衡微分方程， （2）相容方程，（3）应力边界条件（假设σS S =)。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取3223120, , 6().4y x xy M Fσσy xy I hQS F h y bI h τ===-==--它们均满足平衡微分方程，相容方程及x =0和2hy =±的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量u 和v ，及转动量ω，再令0x y ==,便可得出。
3-1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力，（3）推求出每一边上的面力,,y x f f 从而得出这个应力函数所能解决的问题。
弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。
徐芝纶先生所著的弹性力学教材，以其清晰的逻辑和丰富的实例，成为众多学子学习弹性力学的重要参考资料。
课后习题则是巩固知识、加深理解的关键环节，而准确的答案更是帮助学习者检验自己掌握程度的有力工具。
在徐芝纶的弹性力学课后习题中，涵盖了众多方面的知识点。
从基本概念的理解，到复杂公式的推导与应用，每一道习题都经过精心设计，旨在引导学习者逐步深入掌握弹性力学的核心内容。
比如，在应力分析的相关习题中，要求学习者通过给定的条件，计算物体内部各点的应力分量。
这不仅需要对应力的概念有清晰的认识，还需要熟练掌握应力张量的运算规则。
通过这样的习题练习，可以让学习者真正理解应力在物体内部的分布规律，以及如何准确地描述和计算。
在应变分析的习题里，会给出物体的变形情况，让学习者计算相应的应变分量。
这对于理解物体的变形机制以及应变与位移之间的关系至关重要。
学习者需要灵活运用应变的定义和计算公式，同时注意坐标变换等相关问题，确保计算结果的准确性。
而对于能量原理这一部分的习题，往往涉及到功和能的计算，以及利用能量原理求解弹性力学问题。
这需要学习者对虚功原理、最小势能原理等有深入的理解，并能够将其应用到具体的问题中。
通过这些习题的练习，可以培养学习者从能量的角度思考和解决问题的能力。
在求解弹性力学问题的过程中，边界条件的处理是一个关键环节。
课后习题中会有大量涉及不同边界条件的题目，要求学习者正确地运用边界条件，结合平衡方程和几何方程，求解出物体内部的应力和应变分布。
这对于培养学习者的实际解题能力和工程应用能力具有重要意义。
下面我们来具体看几道典型的习题及答案。
习题一：已知一矩形薄板，在 x 方向受到均匀拉力作用，板的厚度为 h，长度为 a，宽度为 b。
假设材料为线弹性，杨氏模量为 E，泊松比为ν，求板内的应力分布。
答案：首先，根据题意可知，在 x 方向受到均匀拉力，所以σx ＝F/A，其中 F 为拉力，A 为薄板在 x 方向的横截面积，A ＝ bh。
【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjkδδδδ，(2)pqi ijkjke e A ，(3)ijp klpkilje e B B 。
解：(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpkδδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qpe e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ije e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jke a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jki e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()ij ijkk l m lmn n i j l m ijk lmk a b ec d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e【最新整理，下载后即可编辑】图2.4)(jmim jl δδ-=()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
6.522255112010Pa22226510Pa109010Pavx xl xym xznvy xy y yznvz zx zy znvv x y z yz xz xyvff l mf l mfl m n mn ln lmστττστττσσσσσττττ=++=++=++=⨯=+++++=⨯=⨯10.()222,,13vx x vy y vz zvv x y z x y zvf l f m f nfl m nσσσσσσσσσστ=====++=++=12. 边界条件①底面0y yxyq AB qστ=⎧=-=-⎪⎨⎪=⎩满足②斜面0,00,0v vxv vyffστ==⎧⎪⎨==⎪⎩设v沿坐标轴的方向余弦为(l，m，n)cos(90)sin,cos(180)0tanvx x xyvy xy yl m nf l mf l myxβββσττσβ=︒+=-=︒-==+==+==-将,,x y xyσστ代入边界条件的表达式，可解得：tantanqA B Cβββββ=-=-=--2-13 边界条件①铅垂面01100x xxy xgy B gAσρρτ==⎧=-=-⎪⎨==⎪⎩②斜面vxvyff=⎧⎪⎨=⎪⎩设v 的方向余弦为( l ，m ，n )cos sin 0tan vx x xy vy xy y xI m n yf I m f l mβββσττσ==-===+=+由上面两式可解得()21212C Ctg g gtg D gctg gβρρβρβρ=-=-r 方向( l ，m ，n )的伸长率公式： 3-5222213441344r x y y z yz xz xy mxa b x y xy c x y xy I I m n mn r In r I εεεεεγεεεεεεεε=++++++∴==++=+由上面3式可得：))22221333221333ax y b c axy b c v a b c a b c I m lmεεεεεεγεεεεεεεεε∴==+-=-⎛⎫∴=++-+- ⎪⎝⎭3-9 (1) 设主应变为123εεε>>将坐标轴选为应变主方向。
