弹性力学习题答案(陈国荣)

弹性力学复习题答案弹性力学是固体力学的一个重要分支，主要研究在外力作用下固体材料的变形和应力分布。

以下是一些弹性力学的复习题及其答案，供学习者参考。

问题一：什么是弹性力学？答案：弹性力学是固体力学的一个分支，它研究在外部作用下，材料在弹性范围内的变形和内力的分布规律。

材料在弹性范围内，当外力去除后，能恢复到原始形状和状态。

问题二：简述胡克定律的内容。

答案：胡克定律是描述材料在弹性范围内应力与应变关系的定律。

它指出，在弹性范围内，材料的应力与应变成正比，比例常数称为杨氏模量（E）。

数学表达式为：σ = Eε，其中σ是应力，ε是应变。

问题三：什么是平面应力和平面应变问题？答案：平面应力问题指的是物体的应力只在一个平面内分布，而平面应变问题指的是物体的应变只在一个平面内分布。

在实际工程问题中，薄板和薄膜等结构常常可以简化为平面应力问题。

问题四：什么是圣维南原理？答案：圣维南原理是弹性力学中的一个基本原理，它指出在远离力作用区域的地方，物体的应力分布只与力的性质有关，而与物体的形状无关。

这意味着在远离力作用区域，应力分布是均匀的。

问题五：什么是弹性模量和剪切模量？答案：弹性模量，也称为杨氏模量，是描述材料抵抗拉伸或压缩的物理量，其数值等于应力与应变的比值。

剪切模量，也称为刚度模量，是描述材料抵抗剪切变形的物理量，其数值等于剪切应力与剪切应变的比值。

问题六：简述泊松比的概念。

答案：泊松比是材料在单轴拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变的比值。

它是材料的一个固有属性，反映了材料在受力时的体积变化特性。

问题七：什么是主应力和主应变？答案：主应力是物体上某一点应力状态中最大的三个正应力，它们作用在相互垂直的平面上。

主应变是物体上某一点应变状态中最大的三个应变，它们也作用在相互垂直的平面上。

问题八：什么是应力集中？答案：应力集中是指在物体的某些局部区域，由于几何形状、材料不连续性或其他因素，应力值远大于周围区域的应力平均值的现象。

弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。

2－14 见教科书。

2－15 2－16 见教科书。

见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

弹性力学试题及答案一、选择题（每题10分，共40分）1. 在弹性力学中，下列哪个物理量表示应变能密度？A. 应力B. 应变C. 位移D. 应力能密度答案：D2. 在平面应力状态下，下列哪个方程是正确的？A. σ_x + σ_y = 0B. σ_x + σ_y = σ_zC. σ_x + σ_y = τ_xyD. σ_x + σ_y = 0答案：D3. 在弹性体中，应力与应变之间的关系可以用下列哪个关系式表示？A. σ = EεB. σ = GγC. τ = μγD. σ = λε答案：A4. 在弹性力学中，下列哪个方程表示平衡方程？A. σ_x + σ_y + σ_z = 0B. ε_x + ε_y +ε_z = 0 C. τ_xy = τ_yx D. σ_x + σ_y + σ_z = F答案：D二、填空题（每题10分，共30分）1. 弹性力学中的基本假设有：连续性假设、线性假设和________假设。

答案：各向同性2. 在三维应力状态下，应力分量可以表示为：σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_xz, τ_yz。

其中，τ_xy表示________面上的切应力。

答案：xOy3. 在弹性力学中，位移与应变之间的关系可以用________方程表示。

答案：几何方程三、计算题（每题30分，共90分）1. 已知一弹性体在平面应力状态下的应力分量为：σ_x = 100 MPa，σ_y = 50 MPa，τ_xy = 25 MPa。

弹性模量E = 200 GPa，泊松比μ = 0.3。

求应变分量ε_x, ε_y, γ_xy。

解：首先，利用胡克定律计算应变分量：ε_x = σ_x / E = 100 MPa / 200 GPa = 0.0005ε_y = σ_y / E = 50 MPa / 200 GPa = 0.00025γ_xy = τ_xy / G = 25 MPa / (E / 2(1 + μ)) = 25 MPa / (200 GPa / 2(1 + 0.3)) = 0.000375答案：ε_x = 0.0005，ε_y = 0.00025，γ_xy = 0.0003752. 一弹性体在三维应力状态下的应力分量为：σ_x = 120 MPa，σ_y = 80 MPa，σ_z = 40 MPa，τ_xy = 30 MPa，τ_xz = 20 MPa，τ_yz = 10 MPa。

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于M dxdy D=⎰⎰2ϕ杆截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准ϕ点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。

0,=+i j ij X σ)(21,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。

ϕ题二（2）图（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。

试求薄板面积的改变量。

S∆题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为。

由得，l ∆q E)1(1με-=)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为，由功的互等定理有：S ∆lP S q ∆⋅=∆⋅将代入得：l ∆221b a P ES +-=∆μ显然，与板的形状无关，仅与E 、、l 有关。

(完整版)《弹性力学》试题参考答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)《弹性力学》试题参考答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)《弹性力学》试题参考答案的全部内容。

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分)1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程(变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中, M dxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M .4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为:0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用.圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同）,则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用:(1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替.（2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 已知。

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比已知。

试求薄板面积的改变量S ∆。

题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。

由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。

弹性力学练习--答案一、填空题1. 等截面直杆扭转问题中， 2Ddxdy M φ=⎰⎰的物理意义是 : 杆端截面上剪应力 对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。

5．弹性力学的基本假定为:连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形性。

6． 一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 、相容方程（变形协调条件） 。

7． 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程 、应力边界条件 。

13．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：,0ij j i X σ+=，,,1()2ij i j j i u u ε=+17. 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。

其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

18. 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

19. 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

20. 为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（√）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（×）3、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。

（×）4、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

（√）5、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。

（×）6、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。

（×）7、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。

（×）8、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。

《弹性力学》习题答案一、单选题1、所谓“完全弹性体”是指（B）A、材料应力应变关系满足虎克定律B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关C、本构关系为非线性弹性关系D、应力应变关系满足线性弹性关系2、关于弹性力学的正确认识是（A ）A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。

A、杆件B、块体C、板壳D、质点4、弹性力学对杆件分析（C）A、无法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采用一些关于变形的近似假定5、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）A、材料力学B、结构力学C、弹性力学D、塑性力学6、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）A、任务B、研究对象C、研究方法D、基本假设7、下列外力不属于体力的是（D）A、重力B、磁力C、惯性力D、静水压力8、应力不变量说明（ D ）。

A. 应力状态特征方程的根是不确定的B. 一点的应力分量不变C. 主应力的方向不变D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变9、关于应力状态分析，（D）是正确的。

A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同B. 应力不变量表示主应力不变C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的10、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（ D ）。

A. 没有考虑面力边界条件B. 没有讨论多连域的变形C. 没有涉及材料本构关系D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响11、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（ C ）。

A. 由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移B. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移C. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为 z 轴方向）（ C ）A、 xB、 yC、 zD、 x, y, z13、平面应力问题的外力特征是（A）A 只作用在板边且平行于板中面B 垂直作用在板面C 平行中面作用在板边和板面上D 作用在板面且平行于板中面。

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。

试求薄板面积的改变量S ∆。

题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。

由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。

1习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk ;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A ;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B 。

2.2证明：若ijji a a ，则0ijk jk e a 。

证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a 。

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,] a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()() a b c d a c b d a d b c证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c ()()()() a c b d a d b c 。

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弹性力学复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系?在应用这些方程时，应注意些什么问题？答:平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系.应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ,因此，决定应力分量的问题是超静定的,还必须考虑形变和位移,才能解决问题。

平面问题的几何方程：揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系.应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。

反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定.平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。

应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。

2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题?试作简要说明。

答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题.位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数.应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的,即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。

混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移,因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。

3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出.如何确定它们的正负号? 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x、y、z、xy、yz、、。

弹性⼒学答案《弹性⼒学》习题答案⼀、单选题1、所谓“完全弹性体”是指（B）A、材料应⼒应变关系满⾜虎克定律B、材料的应⼒应变关系与加载时间、历史⽆关C、本构关系为⾮线性弹性关系D、应⼒应变关系满⾜线性弹性关系2、关于弹性⼒学的正确认识是（A ）A、计算⼒学在⼯程结构设计中的作⽤⽇益重要B、弹性⼒学从微分单元体⼊⼿分析弹性体,因此与材料⼒学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性⼒学的研究对象D、弹性⼒学理论像材料⼒学⼀样，可以没有困难的应⽤于⼯程结构分析3、下列对象不属于弹性⼒学研究对象的是（D ）。

A、杆件B、块体C、板壳D、质点4、弹性⼒学对杆件分析（C）A、⽆法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采⽤⼀些关于变形的近似假定5、图⽰弹性构件的应⼒和位移分析要⽤什么分析⽅法？（C）A、材料⼒学B、结构⼒学C、弹性⼒学D、塑性⼒学6、弹性⼒学与材料⼒学的主要不同之处在于（ B ）A、任务B、研究对象C、研究⽅法D、基本假设B、磁⼒C、惯性⼒D、静⽔压⼒8、应⼒不变量说明（ D ）。

A. 应⼒状态特征⽅程的根是不确定的B. ⼀点的应⼒分量不变C. 主应⼒的⽅向不变D. 应⼒随着截⾯⽅位改变，但是应⼒状态不变9、关于应⼒状态分析，（D）是正确的。

A. 应⼒状态特征⽅程的根是确定的，因此任意截⾯的应⼒分量相同B. 应⼒不变量表⽰主应⼒不变C. 主应⼒的⼤⼩是可以确定的，但是⽅向不是确定的D. 应⼒分量随着截⾯⽅位改变⽽变化，但是应⼒状态是不变的10、应⼒状态分析是建⽴在静⼒学基础上的，这是因为（ D ）。

A. 没有考虑⾯⼒边界条件B. 没有讨论多连域的变形C. 没有涉及材料本构关系D. 没有考虑材料的变形对于应⼒状态的影响11、下列关于⼏何⽅程的叙述，没有错误的是（ C ）。

A. 由于⼏何⽅程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移B. ⼏何⽅程建⽴了位移与变形的关系，因此，通过⼏何⽅程可以确定⼀点的位移C. ⼏何⽅程建⽴了位移与变形的关系，因此，通过⼏何⽅程可以确定⼀点的应变分量D. ⼏何⽅程是⼀点位移与应变分量之间的唯⼀关系12、平⾯应变问题的应⼒、应变和位移与那个（些）坐标⽆关（纵向为 z 轴⽅向）（ C ）A、 xB、 yC、 zD、 x, y, z13、平⾯应⼒问题的外⼒特征是（A）A 只作⽤在板边且平⾏于板中⾯B 垂直作⽤在板⾯C 平⾏中⾯作⽤在板边和板⾯上D 作⽤在板⾯且平⾏于板中⾯。

弹性力学习题解答2003.5.211．试证下述为双调和函数：；；，（1）其中。

反之，任一双调和函数可写成上述三种形式。

证明:“”：设（1）成立。

先对（1）式计算一次拉普拉斯运算：，，从上述三式，不难看出为双调和函数。

“”：首先，我们有下面两个引理，引理1：设为调和函数，则存在函数，使为的共轭调和函数，即满足：引理2：若为一对共轭调和函数，则存在另一对共轭函数，使得下式成立：下面我们将证明任一双调和函数都可写成（1）式的三种形式。

令，显然有。

根据上面两个引理，我们总可以找到三个调和函数满足：（2）由（2）式，有得从而其中。

将上式移项即得（1）的第1 式。

由（2）式有得从而其中。

将上式移项即得（1）的第2 式。

从（1）的第1、2 两式，可得令则只要指出与为调和函数，即完成逆命题的证明。

事实上，（3）利用（3）式和（2）式，我们有：由很容易验算。

由此完成了证明。

逆命题的第二种证明按Мусхелишвили的复变公式，对调和函数，总存在两个复解析函数和，使得表成（4）其中表示实部。

今将（4）改写成如下三种形式：不难看出上述三式分别就是（1）式中的三个式子，且有2．若平面应力问题的Airy应力函数已知，则位移可如下给出：其中：证明：我们知道用Airy应力函数表示的应力分量为：从而由本构关系可得：考虑到：所以应变分量可以写成：将上式整理后可得到：按此式，把，看成是位移场，它们所形成的应变场为零，于是依照第二章§6中Volterra 公式的推论6.1，可知此位移场应为刚体位移场。

如果不计刚体位移，那么此式即为用应力函数表示出来的位移场。

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《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。

试求薄板面积的改变量S ∆。

题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。

由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。

一、填空题1. 等截面直杆扭转问题中，2Ddxdy M φ=⎰⎰的物理意义是: 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M。

5．弹性力学的基本假定为:连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形性。

6．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程、相容方程（变形协调条件）。

7．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程、应力边界条件。

13．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：,0ij j i X σ+=，,,1()2ij i j j i u u ε=+3、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。

（×）4、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

（√）5、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。

（×）6、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。

（×）7、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。

（×）8、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。

（×）9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

（√）10、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

（√）11、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√ ）12、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。

（×）13、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

（×）三、问答题1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

答：圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．简述弹性力学的研究方法。

答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

《弹性力学》试题参考答案（答题时间:100分钟）一、填空题（每小题4分）1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程,应力边界条件o2.一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程,相容方程（变形协调条件）。

3.等截面直杆扭转问题中，2jj/^Az/y = M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩必o4.平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数0在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。

5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：% + X, = 0，兮=£ j + Uj i） o二、简述题（每小题6分）1.试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如呆物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2.图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数0的分离变量形式。

3•图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力只板的几何尺寸如图，材料的弹性模量从泊松比已知。

试求薄板面积的改变量45。

题二（3）图0（兀y） = ax2 + bxy + cy20（x, y） = ax z + bx2 y + cxy2 + dy z（b）\设当各边界受均布压力Q时，两力作用点的相对位移为△/<>由£=当（1-〃）彳得,△心石乔=还丰1-“）E设板在力尸作用卞的面积改变为45,由功的互等定理有：q\S = P-M将△/代入得：显然，M与板的形状无关，仅与& “、2有关。

4•图示曲杆，在r = b边界上作用有均布拉应力g在自由端作用有水平集中力只试写出其边界条件（除固定端外）。

（1）汕广°；f>h f»h（3） j （y d dr = -P CQS O j r r^Jr = Psin.0f a e rdr - -Pcos8°5.试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love. Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数u（x,y）,v（x,y）,w（x,y）或/（厂,&）,知（r,8）为求一些特殊函数,如调和函数、重调和函数。

一、填空题1. 等截面直杆扭转问题中， 2Ddxdy M φ=⎰⎰的物理意义是 : 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。

2. 在弹性力学里分析问题，要思量静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

3. 弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

4. 在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相习惯。

5．弹性力学的基本假定为:延续性、彻底弹性、均匀性、各向同性、小变形性。

6． 一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 、相容方程（变形协调条件） 。

7． 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程、应力边界条件 。

8. 在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相习惯。

9. 物体受外力将来，其内部将发生内力，它的集度称为应力。

与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也算是正应力和切应力。

应力及其分量的量纲是L -1MT -2。

10. 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

11. 边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

12．按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

13．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ,0ij j iX σ+=，,,1()2ij i jj i u u ε=+14. 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

15. 每个单元的应变普通总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

16. 为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移延续性。

知识归纳整理求知若饥，虚心若愚。