二元Freund型指数分布的特征及参数估计

指数分布的特征函数指数分布是概率论与统计学中常用的一种连续概率分布，它具有许多重要应用。

为了完整地理解指数分布，首先需要了解特征函数的概念。

特征函数是概率论中的一个重要工具，用于描述一个随机变量的分布。

对于一个随机变量X，其特征函数φX(t)定义为E[e^(itX)]，其中E表示期望，i表示虚数单位，t是一个实数。

特征函数是一个复数函数，它包含了随机变量X的所有统计信息。

对于指数分布而言，其概率密度函数为f(x;λ)=λe^(-λx)，其中λ是指数分布的一个参数，表示单位时间内事件发生的频率。

通过计算指数分布的特征函数，我们可以了解指数分布的一些重要特征。

首先，我们计算指数分布的特征函数。

根据定义，指数分布的特征函数为φX(t) = E[e^(itX)] = ∫e^(itx) λe^(-λx) dx，积分范围为0到正无穷。

通过简单的计算，可以得到φX(t) = λ / (λ - it)。

指数分布特征函数的重要性在于，它可以用来推导指数分布的各种特征性质。

以下是几个重要的示例：1. 矩生成函数：在概率论中，矩生成函数用于计算随机变量的各阶矩。

对于指数分布而言，矩生成函数即特征函数的负对数，即M(t) = -ln(φX(t)) = -ln(λ / (λ - it)) = -ln(λ) + ln(λ - it)。

通过对矩生成函数求导，我们可以得到指数分布的各阶矩。

2. 累积分布函数的瞬时率（hazard rate）：累积分布函数的瞬时率是指在给定时刻t下，随机变量X在t时刻还未发生事件的条件下，下一次事件发生的概率密度。

对于指数分布而言，累积分布函数的瞬时率可以通过特征函数进行导数计算得到，即h(t) = -d/dt(ln(φX(t))) = λ。

3.无记忆性：指数分布具有无记忆性的特点，即给定事件到达其中一时刻后继续等待的时间与先前已等待的时间没有关系。

这个特点可以通过指数分布的特征函数计算得到，即φX(s+t，s)=e^(-λt)=φX(t)。

数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma分布与其他分布的联系今天的主⾓是指数分布，由此导出\(\Gamma\)分布，同样，读者应尝试⼀边阅读，⼀边独⽴推导出本⽂的结论。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：指数分布的参数估计指数分布是单参数分布族，总体\(X\sim E(\lambda)\)有时也记作\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，此时的总体密度函数为\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{x>0}. \]现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为\[\begin{aligned} f(\boldsymbol{x})&=\lambda^n\exp\left\{-\lambda\sum_{j=1}^n x_j \right\}I_{x_1>0}\cdots I_{x_n>0}\\ &=\lambda^ne^{-n\lambda \barx}I_{x_{(1)}>0}, \end{aligned} \]由因⼦分解定理，取\[g(\bar x,\lambda)=\lambda^ne^{-n\lambda \bar x},\quad h(\boldsymbol{x})=I_{x_{(1)}>0}, \]可以得到\(\bar X\)是\(\lambda\)的充分统计量。

但是指数分布的参数并⾮均值，⽽是均值的倒数，所以对\(\bar X\)也有\[\mathbb{E}(\bar X)=\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}. \]注意，千万不要想当然地认为期望和⼀般的函数之间是可交换的，即⼀般来说\(\mathbb{E}[f(X)]\ne f[\mathbb{E}(X)]\)，所以你不能认为\(\bar X^{-1}\)就是\ (\lambda\)的⽆偏估计量。

指数分布参数无偏估计指数分布是一种常见的概率分布，它在很多领域都有广泛的应用，比如在可靠性分析、风险管理、金融工程等方面。

在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地理解和应用这种分布。

本文将介绍指数分布参数的无偏估计方法。

我们需要了解指数分布的概率密度函数。

指数分布的概率密度函数为：f(x) = λe^(-λx)其中，λ是指数分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。

x是事件发生的时间间隔。

在实际应用中，我们通常需要根据样本数据来估计指数分布的参数λ。

常见的估计方法有最大似然估计和无偏估计。

最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它的基本思想是选择最能解释观测数据的参数值。

对于指数分布，最大似然估计的公式为：λ = n / Σxi其中，n是样本容量，Σxi是样本数据的总和。

最大似然估计的优点是计算简单，但它的估计结果可能会偏离真实值。

为了避免估计结果的偏差，我们可以使用无偏估计。

无偏估计是指估计量的期望值等于真实值的估计方法。

对于指数分布的参数λ，无偏估计的公式为：λ = n / Σxi + 1 / 2n其中，n是样本容量，Σxi是样本数据的总和。

无偏估计的优点是估计结果更接近真实值，但计算稍微复杂一些。

需要注意的是，无偏估计并不是一定比最大似然估计更好。

在样本容量较小的情况下，无偏估计可能会出现较大的方差，导致估计结果不稳定。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的估计方法。

指数分布是一种常见的概率分布，它在很多领域都有广泛的应用。

在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地理解和应用这种分布。

无偏估计是一种常用的估计方法，它可以避免估计结果的偏差，但需要注意在样本容量较小的情况下可能会出现较大的方差。

二元分布的参数估计二元分布是概率论和统计学中一个重要的离散概率分布，常用于描述伯努利试验的结果。

在二元分布中，每个试验只有两种可能的结果，通常用0和1表示，其中0表示失败，1表示成功。

二元分布有两个参数，分别是成功的概率p和失败的概率q=1-p。

在实际问题中，我们经常需要根据观测数据来估计二元分布的参数。

下面将介绍两种常用的估计方法：最大似然估计和贝叶斯估计。

1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计模型的参数。

对于二元分布而言，似然函数可以表示为：L(p) = p^x * (1-p)^(n-x)其中，x表示成功的次数，n表示总的试验次数。

我们的目标是找到使得似然函数最大的参数p。

为了求解最大似然估计，我们需要对似然函数取对数，并对参数p 求导数，令导数等于0，求解得到最优解。

最终可以得到最大似然估计的闭式解为：p = x/n最大似然估计具有良好的性质，当样本量足够大时，最大似然估计的估计结果具有无偏性和一致性。

2. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法，它通过引入先验分布和后验分布来估计模型的参数。

对于二元分布而言，我们可以选择Beta分布作为参数p的先验分布。

假设参数p的先验分布为Beta(a, b)，则参数p的后验分布可以表示为：p|X ~ Beta(a+x, b+n-x)其中，a表示先验分布的超参数，b表示先验分布的超参数，x表示成功的次数，n表示总的试验次数。

我们的目标是找到后验分布的最优解，即后验分布的期望。

后验分布的期望可以表示为：E(p|X) = (a+x)/(a+b+n)贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，当样本量较小时，贝叶斯估计可以提供比最大似然估计更稳定的估计结果。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择最适合的估计方法。

二元混合型指数分布的识别性及其应用张菁菁;李国安【摘要】对新提出的一类二元混合型指数分布和其他三类二元混合型指数分布，讨论了它们的分布识别问题，即记z=min（x1，x2），I=i，当z=xi；记U-max （＆,x2），J=j，当U=Xi；已知（Z，I）或（U，J）的分布，求（X1，X2）分布的唯一性问题．给出了（x1，x2）服从Marshall-Olkin型指数分布时，有关寿险中Z及u的精算现值的2个公式．%Considering a new bivariate mixed exponential distribution and other three kinds of bivariate mixed exponential distribution, the identification of their distributions is presented. Z = min （X1, X2） is first defined, by letting/=/ withZ=X;U=max（X1,X2） is defined. LetJ=jwhileU=Xj, if the distribution of （Z,I）or （U, J）is known, the uniqueness of the distribution of （X1, X2） needs being calculated. In the end, the author puts forth two formulae which are related to the net single premium of Z and U in life insurance, while （X1, X2） obey Marshall-Olkin type＇s exponential distribution.【期刊名称】《宁波大学学报（理工版）》【年(卷),期】2011(024)004【总页数】6页(P45-50)【关键词】二元指数分布;混合型;识别性;精算现值【作者】张菁菁;李国安【作者单位】宁波大学理学院,浙江宁波315211;宁波大学理学院,浙江宁波315211【正文语种】中文【中图分类】O212.4在寿险精算中,构造生命表是一个至关重要的环节. 众所周知,构造生命表要利用尽可能可以利用的人口数据和寿险数据,其中的一部分寿险数据是联合生存状态数据和最后生存状态数据,要从联合生存状态数据和最后生存状态数据中分离出人的寿命数据,即从 Z =min(X1, X2)或U=max(X1,X2)的分布中分离出 ( X1,X2)的分布. 这个问题早期的一般提法来自文献[1-2]. 令X1,X2,X3,…,XP 是有联合分布函数 F ( X1,X2,…,XP )的p元随机变量,令Z =min(X1,X2,…,XP ),I = i,若Z=Xi,在复杂的数据系统中,Z或(Z, I)的分布可能直接决定F ( X1,X2,…,XP )的分布,这就是所谓的识别性问题. 文献[2]给出了二元正态分布的可识别性问题和几个指数分布的可识别性问题;文献[3]给出了二元及多元Marshall-Olkin型指数分布的识别性; 文献[4]分析了三元正态分布的可识别性问题. 笔者考虑对新提出的一类二元混合型指数分布和其他 3类二元混合型指数分布全部识别性问题. 在第2节,引入了一类新的二元混合分布,讨论了在2种情形下的分布识别性问题; 在第3节,讨论了已知(U, J)的分布时,( X1,X2)的分布识别性问题; 在第 4节,讨论了在 2种情形下,Proschan-Sullo型指数分布的识别性问题; 在第 5节,讨论了在2种情形下,Friday-Patil型指数分布的识别性问题; 在第 6节,给出了 ( X1,X2)服从Marshall-Olkin型指数分布时,有关寿险中Z及U的精算现值的2个公式.1 一类二元混合型指数分布的识别性类似于Marshall-Olkin型指数分布的定义,设Y1 ～E(λ1),Y2 ～E(λ2 ),Y12 ～E(λ12 ),这里Y1,Y2,Y12为 3个相互独立的随机变量,令 X1= m ax(Y1,Y12),X2 =max(Y2, Y12).定义 1 若 Y1 ～E(λ1),Y2 ～E(λ2 ),Y12 ～E(λ12 ),且 X1 =max(Y1, Y12),X2=max(Y2, Y12)(X1,X2)的联合分布函数 F ( x1, x2 )表达式为:证明 (1) 当 x1 ＜x2时同理可求得:综上所述令并且记为(U, J)的联合密度,Gj( t) ( j = 1,2,3)分别是 Y1, Y2, Y12的分布函数,则有如下定理.定理1 若分别是 Y1, Y2, Y12的分布函数,则有:证明所以有:两边求导,并令则同理可得:若并令U ′并记为(U′, J′)的联合密度,则有下面的识别性定理.定理 2 若(U, J)与(U′, J′)有相同分布,则证明由定理1可得:pjfj ( u ) = pj′ fj ′(u),则有:由对应系数相等可得:所以令并且记pifi ( z)为(Z, I)的联合密度,Gi ( t)(i = 1,2,3)分别是 Y1, Y2, Y12的分布函数,则有如下的定理.定理3 若分别是的分布函数,则证明所以两边求导,并令则同理可得:若并令并且记为(Z′, I′)的联合密度,则有下面的识别性定理.定理 4 若(Z, I)与(Z′, I′)有相同分布,则证明类似于定理2直接验证可得.2 二元Marshall-Olkin型指数分布的识别性称 ( X1, X2)为服从二元 Marshall-Olkin型指数分布的随机变量,指它有如下的尾概率[3]:记作令记并记表示(Z, I)的联合密度,i=1,2,3.引理1[3] 设则这里证明直接计算可得.由引理1可知,参数λ, λ1, λ2, λ12 是可识别的.记 ( X1j,X2j )( j = 1,…,n)是来自 ( X1,X2)的容量为n的随机样本,文献[3]中给出了λ1,λ2,λ12的最大似然估计及基于一阶矩的矩估计均为:这里若令并记pjfj ( u)为(U, J)( j = 1,2,3)的联合密度,则有如下的定理.定理5 设则证明 J=2时,对U求导,有:同理由定理5可知,参数都是可识别的.若W1,W2,W3,W1j,W2j,W3j如上所定义,则有:定理 6 设 ( X1,X2 ) ～BVED (λ1, λ2, λ12 ),(X1j,X2j )( j =1,…,n)是随机样本,则λ1,λ2,λ12的基于一阶矩的矩估计为:证明直接计算可得.3 二元Proschan-Sullo型指数分布的识别性称 ( X1, X2)为服从二元 Proschan-Sullo型指数分布的随机变量,指它有如下的尾概率[5]:记为这里令记并记pi fi ( z)表示(Z, I)的联合密度,i = 0,1,2,有如下的引理.引理3[6] 设 ( X1,X2 ) ～ P ～S (λ1, λ2, λ1′, λ2′,λ0),则有:证明直接计算可得.显然由引理3可知,可识别的参数λ, λ1, λ2, λ0 .而参数λ1′, λ2′是不可识别的. 若令并记pjfj ( u)为(U, J)( j = 1,2,0)的联合密度,则有如下的定理.定理 7 设 ( X1,X2 ) ～ P ～S (λ1, λ2, λ1′, λ2′,λ0),则有:证明方法同定理5可直接计算得到.若令U并记的联合密度,则有如下的识别性定理.定理 8 若(U, J)与(U′, J′)有相同的分布,则证明由定理7可得:由(3)式可得,代入(1)式,由则有由且λ= λ0 + λ1 + λ2 ,α= α0 + α1 + α2. 有λ1=α1.同理,代入(2)式可得:所以有:4 二元Friday-Patil型指数分布的识别性称 ( X1,X2)为服从二元Friday-Patil型指数分布的随机变量,指它有如下的联合密度[7].绝对连续部分的联合密度为:奇异部分为:其中λ1, λ2, λ1′, λ2′ ＞0,0 ≤ γ ≤1,记为:令记并记(Z, I)的联合密度为引理4 设则证明略.显然由引理 4,得到可识别的参数为而参数是不可识别的.若令并记的联合密度,则有如下的定理.定理9 设则证明方法同定理5直接计算可得.若令U并记为(U′, J′)的联合密度,则有如下的识别性定理.定理 10 若(U, J)与(U′, J′)有相同的分布,则有:证明由定理9可得:由(6)式可得:代入(4)式,由得由得λ2=α2.同理,代入(5)式可得所以有:5 精算现值的2个公式联合生存状态情形下,当 ( X1, X2)服从二元Marshall-Olkin型指数分布时所以这里λ的估计式为:最后生存者状态情形下,当 ( X1, X2)服从二元Marshall-Olkin型指数分布时,U=max(X1,X2)如定理5中(1)式,所以这里1λ,2λ,λ12的估计式为:参考文献:[1]Anderson T W,Ghurye S G. Identification of parameters by the distribution of a maximum random variable[J].Royal StatistSoc,1977,39B:337-342.[2]Basu A P,Ghosh J K. Identifiability of the multinormal and other distributions under competing risks model[J].Journal of Multivariate Analysis,1978,8(3):413-429.[3]李国安. 混合分布的识别性及其应用[J]. 宁波大学学报: 理工版,1993,6(3):28-38.[4]Mohamed Elnaggar,Arunava Mukherjea. Identification of the parameters of a trivariate normal vector by the distribution of the minimum[J]. Journal of Statistical Planning and Inference,1999,78:23-37.[5]Proschan F,Sullo P. Estimating the parameters of a bivariate exponential distribution in several sampling situations[C]//Proschan F,Serfling R. Statistical Analysis of Life Length,Philadelphia: SIAM,1974:423-440.[6]李国安. 二元Proschan-Sullo型指数分布的特征及其应用[J]. 宁波大学学报: 理工版,2007,20(4):468-472.[7]Friday D S,Patil G P. A bivariate exponential model with applications toreliability and computer generation of random variables[C]//Tsokos C P,Shimi L. Theory and Applications of Reliability,New York: Academic Press,1977:527-549.[8]杨静平. 寿险精算基础[M]. 北京: 北京大学出版社,2002:45-49.。

二元 Weinman 型指数分布随机变量之和、差、积、商及比率的分布李国安【摘要】出于水文科学应用的需要 ,本文导出了二元Weinman型指数分布随机变量之和、差、及比率的精确分布;计算了二元Weinman型指数分布随机变量之积、及商的精确分布 ,所得结果可应用于水文科学的教学和研究之中 .%Motivated by hydrological applications ,the exact distribution of U= X+Y ,Z= X -Y ,W = XX+Y when X and Y follow Weinman's bivariate exponential distribution is derived in this paper ;also ,The exact distribution of V= XY , T= XY when X and Y follow Weinman's bivariate exponential distribution is calculated ,the results can be applied to hydrological sciences .【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)005【总页数】6页(P114-119)【关键词】二元Weinman型指数分布;和;积;比率;水文科学【作者】李国安【作者单位】宁波大学理学院 ,浙江宁波 315211【正文语种】中文【中图分类】O212.4Weinman[1]于1966年引入了如下的二元指数分布它是所有不独立的二元指数分布中所含参数最小的二元指数分布，同时又是一个对称指数分布，称之为二元Weinman型指数分布，文献[2]获得了来自二元Weinman型指数分布II型截尾样本的应力—强度结构系统可靠度的一致最小方差无偏估计；文献[3]对它的特征及参数估计问题进行了研究，导出了二元Weinman型指数分布的一个特征，获得了参数的最大似然估计及矩估计，给出了二元Weinman型指数分布的二种模拟，还得到了强度为二元Weinman型指数分布时并联结构系统可靠度的估计；几乎与此同时，国外学者对二元指数分布随机变量之和、积、商的分布展开了研究，文献[4]研究了二元Gumbel指数分布随机变量之和、积、比率的分布；文献[5]研究了二元Freund型指数分布随机变量之和、积、比率的分布；文献 [6]研究了二元Lawrance-Lewis型指数分布随机变量之和、积、比率的分布；文献[7]研究了二元downton型指数分布随机变量之和、积、比率的分布；文献[8]研究了可靠性模型中的五类二元指数分布，分别研究了二元downton型、Arnold-Strauss型、Marshall-Olkin型、Freund型、Lawrance-Lewis型指数分布随机变量之和的精确分布.出于教学和科研二方面的需要：本文导出了二元Weinman型指数分布随机变量之和、差、积、商、及比率的精确分布.称为服从二元Weinman型指数分布的随机变量，指它有如下的密度函数：定理1 若，则U，Z及W的密度函数分别为证由，得X=UW，Y=U(1-W)，由U=X+Y，Z=X-Y，得，由定理2 设V=XY, T=X/Y.若，则V，T的密度函数分别为证由X=X，V=XY，得由得行列式【相关文献】[1]Weinman D G.A multivariate extension of the exponential distribution[D].Ph. D. thesis, Ari zona State University, 1966.[2] Cramer E，Kamps U.The UMVUE of P{X<Y)} based on Type-II censored samples fromWeinman multivariate exponential distributions[J].Metrika，1997，46：93-121.[3] 李国安.二元Weinman型指数分布的特征及其应用[J].数学研究与评论，2005，25(2)：337-340.[4]Nadarajah S.Sums, products, and ratios for the bivariate gumbel distribution[J].Mathemati cal and Computer Modelling，2005，42：499-518.[5] Gupta A K，Nadarajah S.Sums, products, and ratios for Freund’s bivariate exponential distribution[J]. Applied Mathematics and Computation，2006，173：1334-1349.[6] Saralees Nadarajah S，Ali M M.The distribution of sums, products and ratios for Lawrance and Lewis’s bivariate exponential random variables[J].Computational Statistics & Data Analysis，2006，50：3449-3463.[7] Nadarajah S，Kotz S.Sums, products, and ratios for downton’s bivariate exponential distribution[J].Sto ch Environ Res Risk Assess，2006，20：164-170.[8] Nadarajah S，Kotz S.Reliability models based on bivariate exponential distributions[J].Probabilistic Engin eering Mechanics，2006，21：338-351.[9] Arnold B C，Strauss D J.Bivariate distributions with exponential conditionals[J].Journal of the American Statistical Association，1988，83：522-527.[10] Marshall A W，Olkin I.A multivariate exponential distribution[J].Journal of the American Statistical Associ ation，1967，62(1)：30-44.[11]Nadarajah S.Exact distributions of XY for some bivariate exponential distributions[J].Statist ics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics, 2006，40(4)：307-324.[12]Block, H W and Basu, A P. A continuous bivariate exponential extension[J].Journal of the A merican Statistical Association，1974，69：1031-1037.[13] Nadarajah S，Gupta A K.Friday and Patil’s bivariate exponential distribution with application to drough t data[J] ].Water Res. Manag. 2006，20：749-759.[14] Friday D S，Patil G. P.A bivariate exponential model with applications to reliability and computer gene ration of random variables [C] . in: C.P. Tsokos, I. Shimi (Eds.), Theory and Applications of Reliability, vol. I, New York ：Academic Press, 1977：527-549.。

母体为指数分布的参数估计和检验指数分布是随机变量服从的概率分布之一，常用于描述独立随机事件之间的间隔时间或时间随机过程的事件发生间隔时间。

在实际应用中，需要通过样本数据对指数分布的参数进行估计和检验。

本文将简要介绍指数分布的概念，以及参数估计和检验方法。

一、指数分布的概念指数分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为：f(x)=λexp(-λx) （x≥0，λ>0）其中，λ称为指数分布的参数，表示单位时间内随机事件发生的平均次数。

指数分布的累积分布函数为：F(x)=1-exp(-λx)指数分布在实际应用中比较常见，例如组织失效时间、物品寿命、客户到达时间等。

二、参数估计指数分布的参数估计是指根据样本数据，推断总体分布的未知参数λ的值。

常用的方法有最大似然估计和矩估计。

1. 最大似然估计最大似然估计是常用的参数估计方法之一。

假设有n个样本数据，那么它们的概率密度函数为：L(λ|x1,x2,…,xn)=∏f(xi)=∏λexp(-λxi)对其取对数得到：lnL(λ|x1,x2,…,xn)=nlnλ-λ∑xi将其关于λ求导得到似然函数的极大值点为：λ^=n/∑xi因此，对于给定的样本数据，可以通过最大似然估计得到λ的值。

2. 矩估计矩估计是指通过样本的矩来估计总体的矩，从而得到总体参数的估计值。

对于指数分布，它的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。

因此，可以通过样本的均值和方差来估计λ的值：λ^=1/均值三、参数检验参数检验是指根据样本数据，检验总体分布的未知参数是否符合某种假设条件。

常用的检验方法包括最大似然估计检验和贝叶斯假设检验。

1. 最大似然估计检验最大似然估计检验是指在给定样本数据的条件下，用最大似然估计得到总体参数的值，进而根据其是否符合假设条件，进行一定的判断。

对于指数分布，假设其参数为λ0，那么可以计算出样本数据服从参数为λ0的指数分布的概率，进而计算似然比L：L=似然函数(λ^)/似然函数(λ0)若L>1，则拒绝λ0；若L<1，则接受λ0；若L在某个置信水平下的临界值之间，则无法判断，需要进一步研究。