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线性系统分析

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第二章 线性系统分析

第二章 线性系统分析

2-1
线性系统
一、定义 1）线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，
S a1 f1 x1 , y1 a2 f 2 x1 , y1 a1S f1 x1,y1 a2 S f 2 x1,y1 a1 g1 x2 ,y2 a2 g 2 x2 ,y2
(二)光在自由空间的传播
f x1 , y1
输入,如图像
光学系统
S{ }
g x2 , y2
输出，如图像、频谱
（如成像、FT等）
g x2 , y2 S f x1 , y1
严格讲，光学系统是非线性的，但大多数光学系统,可 近似作为线性系统来处理，得到与实际相符的结果。 线性系统可用FT、卷积运算来描述。
则称该系统是线性系统。 2）叠加性： 若 g1 x2 , y2 S f1 x1 , y1 g2 x2 , y2 S f 2 x1 , y1
S f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 S f1 x1 , y1 S f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2
三、线性平移不变系统的传递函数
线性平移不变系统的空域描述：
g x, y f x, y hx, y
由FT的卷积定理：可得：线性平移不变系统的 频域描述为
Gu, v F u, v H u, v
其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y) 和h(x,y)的频谱. 该式在频域中描述线性平移不变系统的性质、作用。
H(u,v) 称为线性平移不变系统的传递函数。一般是
H u, v Au, vexp j u, v
其模A(u,v)的作用是改变输入信号各频率基元成分的模 其辐角(u,v)的作用是改变这些频率基元成分的初相位

线性系统理论3线性系统的运动分析

线性系统理论3线性系统的运动分析

THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。

第二章 线性系统分析

第二章 线性系统分析
b0 y x sx a0
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制

一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。



线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3

信号与系统中的线性系统特性分析

信号与系统中的线性系统特性分析

信号与系统中的线性系统特性分析一、引言在信号与系统的研究中，线性系统是非常重要的概念。

线性系统具有许多特性，包括线性性质、时域特性和频域特性等。

本文将详细分析线性系统的特性，包括线性性质、时域特性和频域特性。

二、线性性质线性性质是线性系统最基本的特性之一。

线性系统满足两个重要的性质，即线性叠加性和齐次性。

线性叠加性表明线性系统对输入信号的加权和具有相应的输出信号的加权和关系。

齐次性表示线性系统对于输入信号的缩放会导致输出信号的缩放。

三、时域特性时域特性是描述线性系统在时域上的行为。

常见的时域特性包括冲击响应、单位阶跃响应和频率响应等。

冲击响应是指当输入信号为单位冲激函数时，线性系统的输出信号。

单位阶跃响应是指当输入信号为单位阶跃函数时，线性系统的输出信号。

频率响应是指线性系统对不同频率的输入信号的响应。

四、频域特性频域特性是描述线性系统在频域上的行为。

常见的频域特性包括频率响应、幅频特性和相频特性等。

频率响应是指线性系统对不同频率的输入信号的响应。

幅频特性是指频率响应的振幅随频率变化的特性。

相频特性是指频率响应的相位随频率变化的特性。

五、线性系统的稳定性线性系统的稳定性是指系统对于输入信号的响应是否有界。

稳定性是判断线性系统是否能够长时间运行的重要指标。

常见的稳定性分析方法有极点分析法和BIBO稳定性分析法等。

六、应用举例线性系统的特性分析在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在音频处理中，对音频信号的增强、滤波和降噪等处理都需要对线性系统的特性进行分析和设计。

在通信系统中，传输信道可以被看作是线性系统，对通信信号的传输特性进行分析可以优化通信系统的性能。

七、总结本文详细分析了信号与系统中线性系统的特性，包括线性性质、时域特性和频域特性等。

线性系统在信号与系统的研究和实际应用中具有重要作用。

通过对线性系统特性的分析，可以更好地理解和设计信号与系统。

理解线性系统的特性对于工程领域中的信号处理、通信系统设计以及控制系统分析都具有重要的意义。

线性系统理论和设计

线性系统理论和设计

线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容，涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。

以下是关于线性系统理论和设计的基本内容：
1. 线性系统模型
-线性系统描述：线性系统是指具有线性性质的动态系统，其输出与输入之间满足线性关系。

-线性系统模型：通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。

2. 线性系统分析
-系统稳定性分析：通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。

-频域分析：通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。

-时域分析：通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。

3. 线性系统设计
-控制器设计：设计合适的控制器来实现系统的性能要求，常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、根轨迹设计等。

-系统鲁棒性设计：设计具有鲁棒性的控制器，能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。

-最优控制设计：利用最优控制理论设计最优的控制器，使系统性能
达到最佳。

4. 线性系统应用
-自动控制系统：将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统，实现对各种工程系统的自动控制和调节。

-信号处理系统：利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等，对信号进行处理和提取。

-机电系统：应用线性系统理论设计机电系统的控制器，实现机电系统的精密控制和运动规划。

线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用，能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略，提高系统的性能和稳定性。

第3章 线性系统的结构分析

第3章 线性系统的结构分析

一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,

实验二线性系统分析

实验二线性系统分析一、实验目的通过实验，掌握线性系统的特性和分析方法，了解系统的幅频特性和相频特性。

二、实验原理1.线性系统线性系统是指遵循叠加原理和比例原理的系统，可以表示为y(t)=h(t)⊗x(t)，其中h(t)为系统的冲激响应，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号，⊗为线性卷积操作。

2.系统的频域特性系统的频域特性可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）来进行分析，DFT是将离散时间域信号变换到离散频域的方法。

3.系统的幅频特性系统的幅频特性描述了输出信号的幅度随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。

4.系统的相频特性系统的相频特性描述了输出信号的相位随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。

三、实验步骤1.准备工作：a.将信号发生器的频率设置为100Hz，幅度设置为5V。

b.将示波器的触发模式设置为自动，并调节水平位置使信号波形居中显示。

2.测量系统的幅频特性：a.将信号发生器的输出信号连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道1连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道2连接到线性系统的输出端口。

b.调节示波器的时间基准使波形显示在适当的范围内。

c.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的波形。

d.在示波器中进行幅度测量，并记录下输入信号和输出信号的幅值。

e.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到幅频特性曲线。

f.绘制输入信号和输出信号的幅频特性曲线，并进行比较和分析。

3.测量系统的相频特性：a.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的相位差。

b.在示波器中进行相位测量，并记录下输入信号和输出信号的相位。

c.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到相频特性曲线。

d.绘制输入信号和输出信号的相频特性曲线，并进行比较和分析。

线性系统状态空间分析和运动解

线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。

它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。

状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。

在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。

状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。

假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。

状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。

常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。

稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。

在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。

特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。

如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。

可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。

在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。

如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。

可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。

在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。

如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。

除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。

线性系统分析的控制理论及应用研究

线性系统分析的控制理论及应用研究线性系统分析是控制理论中的基础，其研究对象是线性系统，即系统性质满足线性叠加原理，而且输出与输入之间存在线性关系。

控制理论则是利用数学方法研究如何将系统从原状态引导到目标状态，也称为控制设计。

线性系统控制的应用广泛，例如自动控制、航空航天、机械制造等领域。

本文将从线性系统分析和控制理论相结合的角度，探讨此领域的研究进展以及应用实践。

1.线性系统分析的基础理论线性系统分析的基础理论有线性代数、矩阵论、微积分和信号处理等。

其中，线性代数是描述线性系统的数学基础，主要研究线性空间、矩阵和线性变换等概念；矩阵论则是线性代数的具体应用，包括矩阵乘法、矩阵逆和行列式等；微积分则是研究系统变化的数学工具，如导数、积分和微分方程等；信号处理则是研究从信号中提取有效信息的方法，如滤波、变换和压缩等。

这些基础理论不仅为线性系统分析奠定了坚实的数学基础，更为后续的控制理论提供了基础条件。

2.线性系统控制理论的研究进展线性系统控制理论主要研究如何对线性系统进行建模、分析和设计，其中最主要的问题是如何设计合适的控制器。

控制器可以分为时域控制器和频域控制器两类。

时域控制器通过时间域分析线性系统的状态变量来设计控制器，是一种基于状态空间的控制设计方法；频域控制器则基于系统的频率响应，设计频域控制器来实现控制。

尤其是基于现代控制理论的控制设计，提出了状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等新方法，大大推动了线性系统控制理论和应用的发展。

3.线性系统控制的应用实践目前，线性系统控制的应用范围已经非常广泛了。

其中最常见的应用领域是机械制造和航空航天。

例如，利用线性系统控制理论可以设计自动化生产线，使生产效率得到大幅提高；在飞行器控制系统中，线性控制可以保证飞机稳定地飞行和着陆，并保证信号传输的准确性和及时性。

除此之外，线性系统控制在生命科学和医学工程领域也有很大的应用前景，例如可以研发出基于线性系统控制的心脏起搏器、人工肝脏和人工肾脏等生物医学工程设备，来帮助病人进行治疗。

线性系统分析

如果满足：
L {af1 ( x1 , y1 ) bf 2 ( x1 , y1 )} aL { f1 ( x1 , y1 )} bL { f 2 ( x1 , y1 )} ag1 ( x2 , y2 ) bg 2 ( x2 , y2 )
则称该系统为线性系统。
四、平移不变性
若一物函数在物平面上有一位移，其像函 数形式也不变，只在像平面上有一相应的 位移，则称为平移不变性。同时满足线性 性和平移不变性的系统称为平移不变线性 系统，或者空不变线性系统（Linear Space Invariant System）。 输 入
3.可分离变量性质
( x, y) ( x) ( y)
4.偶函数性质
x, y x, y x, y x, y
5.乘积性质(又称为采样性质 )
f ( x, y) ( x x0 , y y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
函数f(x1,y1)通过系统后的输出为：
g ( x2 , y2 ) L {

f ( , ) ( x , y
1
1
)dd}
这里的L {}作用的变量是x1,y1。根据线性 系统的叠加性质，算符L {}与对基元函数 积分的顺序可以交换
g ( x2 , y 2 )
( x) 1
例题：求 F {rect ( x)rect ( y)}
解：由矩形函数定义
1 1 x rect ( x) 2 0 其他
F {rect ( x)} exp( j 2x)dx
1 1 exp( j 2x) 2 1 j 2 2 1 2 1 2
1
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=
bnsn +bn−1sn−1 +......+b1s +b0 sn +an−1sn−1 +......+a1s +a0
( ) ( ) ( ) = bn +
bn−1 − bnan−1 sn−1 + ......+ b1 − bna1 s + sn + an−1sn−1 + ......+ a1s + a0
⎥ ⎥ ⎥
− a2 L− an−1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎢
xn−1
⎥ ⎥
⎣xn ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎢0⎥⎥ ⎢M⎥u ⎢0⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
[ ] y = β0
β1
L
β n−1
⎢ ⎢
x
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
+
bn u
⎢⎥
⎣xn ⎦
u
1
bn x’n 1/s xn
βn-1 1/s xn-1
M
βn = b0 − β an−1 n−1 − β an−2 n−2 −La1β1 −a0β0
0 L 0]x + bnu
复习其证明 （p35-38）
18
9
线性系统理论1
3 Jordan标准型实现——并联分解（p39结论2.3）
1) N(s)/D(s)只含单实数极点
⎧x& = Ax + Bu ⎩⎨y = Cx + Du
8
4
线性系统理论1
7) 结构图——积分环节、比例环节、比较环节组成。
⎧x& = Ax + Bu
⎨ ⎩
y
=
Cx
+
Du
D
u
x’
x
y
B
I/s
C
A
复习教材p20：2.2线性系统的状态空间描述 作业2：绘制式(2.17) (2.18)系统的结构图。
9
2-2 由系统输入—输出描述建立状态空间表达式
⎡y1 ⎤T
y(t)
=
⎢ ⎢
y
2
⎥ ⎥
⎢⎢M
⎥ ⎥
⎢⎣ y q ⎥⎦
6
3
线性系统理论1
4) 状态方程——状态变量一阶导数与状态变量和输入变量的关系方程。 对n阶单输入系统，状态方程(state differential equation)一般形式为：
⎡ f1(x,u,t)⎤
x&
=
f
(x,
u,
t
)
=
试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。
解：Y (s) = Ts + 1 U(s) s2 + 2ζωs + ω2
U
1
Z
s2+2ζωs+ ω2
Ts+1
Y
=
s2
+
1 2ζωs +
ω2
× (Ts
+ 1)
设中间变量z： &z& + 2ζω z& + ω 2 z = u
x1 = z x2 = z& = x&1
b1u'+b0u
其中：a0，a1，…an及b0，b1，… b0是由系统特性决定的常系数。 相应的传递函数为：
G(s)
=
Y(s) U(s)
=
bnsn +bn−1sn−1 +......+b1s +b0 sn +an−1sn−1 +......+a1s +a0
10
5
线性系统理论1
G(s)
=
Y(s) U(s)
13
U
1
Z N(s)
Y*
D(S)
Z(s)
Y(s)
U(s)
Z(s)
Y *(s) = (βn−1sn−1 + βn−2sn−2 + ......+ β1s + β0 )Z(s)
y*
=
β z(n−1) n−1
+
βn−2z(n−2) ... +
β1z&
+
β0z
⎡ x1 ⎤
[ = βn−1 xn + βn−1 xn−1 + ... + β1 x1 + β0 x1= β0
时间响应、稳定性、能控性、能观测性。 3 系统综合——系统分析的反命题，即根据已知系统模型和性能要求确定 控制器。
综合的目的：使系统的性能达到希望的指标。 系统综合的基本问题：
1）可综合性问题——建立系统综合所需条件。 2）综合算法——建立用来确定控制器的算法。 3）综合的工程实现问题。 作业1，总结线性系统理论的发展过程，1000字左右。
b0 − bna0
=
bn
+
βn−1sn−1 + βn−2sn−2 + ......+ β1s + sn + an−1sn−1 + ......+ a1s + a0
β0
=
bn
+
N (s) D(s)
其中：βi = bi − bnai 显然当bn=0(分母阶次大于分子阶次）时, βi = bi
Y (s ) =
当状态空间表达式中得A，b具有 上述形式时，称为可控标准型。 （p33结论2.1）
14
7
线性系统理论1
状态变量图
⎡ x&1 ⎤
⎢ ⎢
x&2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎢ ⎣
x& n−1 x&n
⎥ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−
0 0 M 0 a0
1 0 M 0 − a1
0L 0 ⎤
1L 0
⎥ ⎥
MO M 0L 1
1
四、教材及主要参考书 1. 郑大钟，线性系统理论，清华大学出版社 2. 李友善，自动控制原理（第二版），国防工业出版社 （第八、九章） 3. 胡寿松 自动控制原理（第四版） ，科学出版社（第九章） 4. 程鹏，线性系统理论，北京航空航天大学出版社 5. 吕林等译，线性系统理论，机械工业出版社 6. 郑大钟，线性系统理论习题解答，清华大学出版社 7. [美]Katsuhiko Ogata著，卢伯英，于海勋等译，《现代控
线性系统理论1
线性系统理论
一、计划学时与学分：
学时：36学时
学分：2学分
二、适用专业：检测技术与自动化装置；电机与电器
三、预修课程：矩阵论，自动控制原理 四、教学目的
掌握系统建模、系统分析及综合的方法。 1 线性系统状态空间描述、传递矩阵及标准形实现； 2 运动分析、可控性、可观性及稳定性分析； 3 极点配置、解耦补偿器、观测器、动态补偿器等的设计。
βn-2 …x3=x’2 1/s x2
β1 1/s x1 β0 y
-an-1
-an-2
-a1 -a0
注意：1)每个积分器的输出都对应一个状态变量； 2)状态方程由积分器的输入输出关系确定； 3)输出方程由方块图的输出端获得。
15
例2-1 已知系统微分方程：&y& + 2ζ ω y& + ω2 y = Tu& + u
7
6) 状态空间表达式——状态方程与输出方程的组合。一般形式：
x& = f (x,u, t) y(t) = g(x,u, t)
对于线性系统，有：
⎧x& = A(t)x + B(t)u ⎩⎨y = C(t)x + D(t)u
x& = f (x,u) 对于时不变系统，有：
y(t) = g(x,u)
对于线性时不变系统，有：
制工程》(第三版)，电子工业出版社，2000年
2
1
线性系统理论1
第一章 绪论
1.1 线性系统控制理论研究的对象 1 系统（system）
从控制论的角度讲，系统是由相互关联、相互制约的若干“部分”组 成的具有特殊功能的一个“整体”。 系统具有：整体性、抽象性和相对性。
2 动态系统（dynamic system）
系统输入输出描述
微分方程 传递函数
一一对应
这种由输入输出描述确定状态空间表达式的过程称为“实现”。
对于同一传递函数可以有多种实现方式。
设单输入单输出（SISO）n阶系统的微分方程：
y(n)
+
an−1
y(n−1)
+
an−2
y(n−2)
+L+
a1
y'+a0
y
=
bnu(n)
+
b u(n−1) n−1
ห้องสมุดไป่ตู้
+L+
y = [1
T
]
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
状态变量图:
T
u
x’2 1/s x2 x’1 1/s x1
y
-2ζω
-ω2
17
2 由微分方程求状态空间表达式（p35结论2.2）
系统描述：
y(n)
+
an−1
y(n−1)
+
an−2
y(n−2)
+L+
a1
y'+a0
y
=
bnu(m)
+
b u(m−1) n−1