2020高考数学逻辑与集合常用语思维导图

集合的表示集合与集合之间集合关系子集和真子集交集和并集相等集合补集幂集模糊集1集合的运算定律2表示方法韦恩图法(veen)区间法作者和集合之间康托尔是集合论和无穷数理论的创始人，对等式不等式和三角函数有重要的推动。

集合论可以看成是逻辑的几何化。

集合是最简单的空间集合与元素之间概念我们称研究对象为元素，研究的整体为集合性质元素确定性元素互异性元素无序性集合关系属于或不属于数集表示与关系数集表示3数集与数集4表示方法列举法（元素）描述法（性质，范围）集合的类型有限集（有限元素)集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。

无限集(无限元素）空集(不含元素)记为∅5备注：1. 用来表达模糊性概念的集合，又称模糊集、模糊子集2. 交换律：A∩B=B∩A ；A ∪B=B ∪A 结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C ；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 分配对偶律：A∩(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C)对偶律：(A ∪B)^C=A^C∩B^C ；(A∩B)^C=A^C ∪B^C 同一律：A ∪∅=A ；A∩U=A 求补律：A ∪A'=U ；A∩A'=∅对合律：A''=A 等幂律：A ∪A=A ；A∩A=A 零一律：A ∪U=U ；A∩∅=∅吸收律：A ∪(A∩B)=A ；A∩(A ∪B)=A 反演律（德·摩根律）：(A ∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'。

文字表述：1.集合A 与集合B 的并集的补集等于集合A 的补集与集合B 的补集的交集; 2.集合A 与集合B 的交集的补集等于集合A 的补集与集合B 的补集的并集。

3. 数学中一些常用的数集及其记法：1.所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z+或N+；2.所有负整数组成的集合称为负整数集，记作Z-；3.全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；4.全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；5.全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；6.全体实数组成的集合称为实数集，记作R ；7.全体虚数组成的集合称为虚数集，记作I ；8.全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集，记作C 。

第1讲集合一、思维导图：请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：二、知识梳理：1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A⊆B,并且A≠BA B(或B A)集合相等两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素A＝B运算 自然语言符号语言Venn 图交集 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合A ∩B ＝{x |x ∈A ,且 x ∈B }并集 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }补集设A ⊆S ,由S 中不属于A的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集∁S A ＝{x |x ∈S ,且x ∉A }集合运算中常用的结论 （1）集合中的逻辑关系 ①交集的运算性质．，， ，，．②并集的运算性质．，， ，，．③补集的运算性质．∁U (∁U A)=A ，∁U ∅=U ，∁U U =∅． ④结合律与分配律．结合律： ． 分配律： ． （2）由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．（3）．三、高考试题：1. （2022.新高考1）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A. {}02x x ≤< B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2. （2022.新高考2）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则AB =（ ）A B B A ⋂=⋂A B A ⋂⊆A B B ⋂⊆A I A ⋂=A A A ⋂=A ⋂∅=∅A B B A ⋃=⋃A A B ⊆⋃B A B ⊆⋃A I I ⋃=A A A ⋃=A A ⋃∅=()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃*(N )n n ∈A A 2n 21n -21n -22n -()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D.{1,4}-【答案】B【解析】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2AB =，故选：B.3. （2022.全国乙（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足∁U M ={1,3}，则（ ） A. 2M ∈ B. 3M ∈C. 4M ∉D. 5M ∉【答案】A【解析】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误，故选:A 4. （2022.全国甲（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则∁U (A ∪B)=（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}-D. {2,0}-【答案】D【解析】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以∁U (A ∪B )={−2,0}.故选：D.5. （2022.北京）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则∁U A =（ ） A. (2,1]- B.(3,2)[1,3)--C. [2,1)-D.(3,2](1,3)--【答案】D【解析】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．6. （2022.浙江）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ） A. {2} B. {1,2}C. {2,4,6}D. {1,2,4,6}【答案】D 【解析】{}1,2,4,6AB =，故选：D.7．（2021.全国乙卷（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N)=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.8．（2021.全国乙（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S ∩T =（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，ST T =.故选：C.9．（2021.全国甲（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.10．（2021.全国甲（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.11．（2021.新高考1）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2021.新高考2）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则A ∩∁U B =（ ） A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}【答案】B【解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1UB =，5，6}，故{1UAB =，6}．故选：B ．13.（2020.新高考1）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4} D. {x |1<x <4} 【答案】C 【解析】[1,3](2,4)[1,4)AB ==,故选：C14．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3AB =，故选：D.15．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}， 且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B. 16．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A ={x ||x |<3，x ⅠZ }，B ={x ||x |>1，x ⅠZ }，则A ∩B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-.故选：D.17．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B)=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故AB 中元素的个数为3.故选：B19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.。

第一章集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示 A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示 {x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）； 空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅A ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B =， 所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．32 B ．31 C ．16 D ．15【答案】D【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣， 其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ) ． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒ q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 p 是q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且q ⇏ p p 是q 的必要不充分条件 p ⇏ q 且q ⇒ pp 是q 的充要条件p ⇔ qp是q的既不充分也不必要条件p ⇏q且q ⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔A B；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。

资料正文内容下拉开始>>第一单元 集合与常用逻辑用语第1课集__合[过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N ，正整数集N *或N ＋，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 2．集合间的基本关系A B 或B A3．集合的基本运算(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . [小题速通]1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,8}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2解析：选B 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝8，则k ＝±10，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.2．(2018·河北武邑中学期中)集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪6y∈N *，y ∈A 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}＝{x |0<x <7，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪6y ∈N *，y ∈A ＝{1,2,3,6}，则B 中元素的个数为4个． 3．(2017·黄冈三模)设集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4<0}，则∁U A 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,4}D ．{1,3,4}解析：选B 因为集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4<0}＝{x ∈N |1<x <4}＝{2,3}，所以∁U A ＝{1,4}．4．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 5．(2017·衡水押题卷)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }，则A ∩B 为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(1,2)D ．[1,2]解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }＝{y |1≤y ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}．[清易错]1．在写集合的子集时，易忽视空集．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．1．(2018·西安质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个，故选B.2．已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|,2}，∁U A ＝{a ＋3}，则实数a 的值为________． 解析：∵∁U A ＝{a ＋3}，∴a ＋3≠2且a ＋3≠|a ＋1|且a ＋3∈U ， 由题意，得a ＋3＝3或a ＋3＝a 2＋2a －3， 解得a ＝0或a ＝2或a ＝－3，又∵|a ＋1|≠2且A U ，∴a ≠0且a ≠－3，∴a ＝2. 答案：23．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．解析：由题意知A ＝{2,3}，又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅，显然成立；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ⊆{2,3}，所以1m ＝2或1m ＝3，即m ＝12或13.故m 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度集合的基本概念5年2考集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系未考查集合的基本运算5年11考交、并、补运算，多与不等式相结合集合的基本概念[典例](1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5 D．6(2)(2018·厦门模拟)已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．[解析](1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5<k≤6.[答案](1)B(2)(5,6][方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |0<x <3}，C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．[0,2]D ．[0,3](2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)∵C ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤3，解得0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]．(2)因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，满足B ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． [答案] (1)C (2)(－∞，－1] [方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Ve nn 图帮助分析．[即时演练]1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若B ⊆A ，则m ＝________.解析：由已知得A ＝{x |x ＝－2或x ＝－1}， B ＝{x |x ＝－1或x ＝－m }．因为B⊆A，当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.答案：1或22．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：41．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝l n(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．角度二：交、并、补的混合运算3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁U B)＝()A ．(0,2]B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)解析：选D 因为A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－1<x <2}， 所以∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥2}， 所以A ∩(∁U B )＝{x |x ≥2}．4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<2x <4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则∁U B ＝{x |x <1}，所以A ∪(∁U B )＝{x |x <2}． 答案：{x |x <2}角度三：集合运算中的参数范围5．(2017·上海高考)设集合A ＝{x ||x －2|≤3}，B ＝{x |x <t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x <t }，且A ∩B ＝∅，所以t ≤－1，即实数t 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 角度四：集合的新定义问题6．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )＝( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解析：选B 设全集U ，由题意可得M －P ＝M ∩(∁U P )，所以M －(M －P )＝M ∩P .7．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB 的结果为________．解析：由题意知当x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A 时，有f A (x )·f B (x )＝－1成立，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12} [方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形常用的数形结合形式有数轴和Ve nn图．(4)创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：选A∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：选B因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B解析：选B因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R ，故选B.一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．设集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |2x ∈N }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 因为A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |2x ∈N }，所以由2x ∈N 可得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，3) C ．(0,3)D ．(－1,3)解析：选A 因为集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >0}，所以A ∪B ＝{x |x >－1}．5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：所以A *B 中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(如图所示)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B.8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1810．已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x －1≥1}．若A ∩B 是集合{x |x ≥a }的子集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵由x －1≥1，得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}． ∵A ＝{x |1≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}． 若集合A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}是集合{x |x ≥a }的子集， 则a ≤2. 答案：(－∞，2]11．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)． 由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )mi n ＝43－14＝29. 答案：①16 ②29 三、解答题13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， 所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，则m ≥1＋3m ，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A ，须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 14．记函数f (x )＝ 2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0， 解得x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0，∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，∵a <1，∴12≤a <1或a ≤－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.1．已知定义域均为{x |0≤x ≤2}的函数f (x )＝xe x －1与g (x )＝ax ＋3－3a (a >0)，设函数f (x )与g (x )的值域分别为A 与B ，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[1，＋∞)解析：选B 因为f ′(x )＝1－x e x －1，所以f (x )＝xex －1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数， 又因为f (1)＝1，f (0)＝0，f (2)＝2e ，所以A ＝{x |0≤x ≤1}；由题意易得B ＝[3－3a,3－a ]， 因为[0,1]⊆[3－3a,3－a ]，所以3－3a ≤0且3－a ≥1，解得1≤a ≤2.2．已知集合A ＝{x |x 2－2 018x ＋2 017<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 018x ＋2 017<0，解得1<x <2 017，故A ＝{x |1<x <2 017}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 017，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：11第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[过双基]1．命题2．(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[1．命题“若a>b，则ac>bc”的逆否命题是()A．若a>b，则ac≤bc B．若ac≤bc，则a≤bC．若ac>bc，则a>b D．若a≤b，则ac≤bc解析：选B由逆否命题的定义可知，答案为B.2．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．(綈p)∨q为真C．p∧(綈q)为真D．(綈p)∧q为真解析：选C由指数函数与基本不等式可知，命题p是真命题；当函数f(x)＝1x时，是奇函数但不过原点，则可知命题q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，故选C.3．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)解析：选A法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B、C；同理，取a＝－4，排除D，选A.4．已知命题p：x≠π6＋2kπ，k∈Z；命题q：si n x≠12，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B令x＝5π6，则si n x＝12，即p⇒/ q；当si n x≠12时，x≠π6＋2kπ或5π6＋2kπ，k∈Z，即q⇒p，因此p是q的必要不充分条件．[清易错]1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．1．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2＝0解析：选B 原命题的条件：x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0， 结论：x ，y 全为0.否命题是否定条件和结论．即否命题：“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．2．设a ，b ∈R ，函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则f (x )>0恒成立是a ＋2b >0成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 充分性：因为f (x )>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b >0，f (1)＝a ＋b >0，则a ＋2b >0，即充分性成立；必要性：令a ＝－3，b ＝2，则a ＋2b >0成立，但是，f (1)＝a ＋b >0不成立，即f (x )>0不恒成立，则必要性不成立．所以答案为A.[全国卷5年命题分析][典例] 0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定(2)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的依次判断正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假[解析] (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．(2)原命题是：“若a n ＋1<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n }为递减数列，n ∈N *，则a n ＋1<a n ”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案] (1)B (2)A [方法技巧]命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[即时演练]1．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． A ．①③ B ．② C ．②③ D ．①②③解析：选A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．充分、必要条件的判定[典例] n n S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设α：1≤x ≤3，β：m ＋1≤x ≤2m ＋4，m ∈R ，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤1，2m ＋4≥3，解得－12≤m ≤0. [答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤－12，0[方法技巧]充要条件的3种判断方法即设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件[1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，∴x ＋y >2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．2．已知m ，n ∈R ，则“mn <0”是“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若“mn <0”，则x 2＝－n m y 中的－nm >0，所以“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”，则x 2＝－n m y 中的－nm >0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴条件p 对应的集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴条件q 对应的集合为Q ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 法一：用“直接法”解题綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，即B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，∴0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 法二：用“等价转化法”解题 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p 是q 的充分不必要条件． ∴p ⇒q ，即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时演练]1．(2018·安阳调研)已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)2．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－11．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6， 故si n θ<12.由si n θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒si n θ<12，而当si n θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“| a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.5．(2015·重庆高考)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵x ＞1⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．一、选择题1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α＝π4D ．若tan α≠1，则α≠π4解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可． 所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4.2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0<b<1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交可得|b|2<1，所以－2<b<2，因此，“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”⇒/ “0<b<1”，但“0<b<1”⇒“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”．故选C.4．命题p：“∀x>e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≤1 B．a<1C．a≥1 D．a>1解析：选B由题意知∀x>e，a<ln x恒成立，因为ln x>1，所以a≤1，故答案为B.5．a2＋b2＝1是a si nθ＋b cos θ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a2＋b2＝1，所以设a＝cos α，b＝sin α，则a sin θ＋b cos θ＝si n(α＋θ)≤1恒成立；当a sin θ＋b cos θ≤1恒成立时，只需a sin θ＋b cos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足必要性．6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x＝2或x＝－12；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B在△ABC中，当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A显然成立，即必要性成立；当sin A－sin B＝cos B－cos A时，则sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝π2，即充分性不成立．则在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．8．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当m ⊂α时，“m ⊥β”⇒“α⊥β”；当m ⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m ⊥β”，故B 正确；当m ⊂α时，“m ∥n ”⇒/ “n ∥α”， n 也可能在平面α内，故C 错误；当m ⊂α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，反之不成立，故D 正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：210．下列命题正确的序号是________．①命题“若a >b ，则2a >2b ”的否命题是真命题；②命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件； ④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是a ＝±12.解析：①否命题“若2a ≤2b ，则a ≤b ”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a 2＝0，a ≠0，求解可得a ＝0或a ＝±12，故④是假命题．答案：①②③11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞) 12．给出下列四个结论：①若am 2<bm 2，则a <b ；②已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关； ③“已知直线m ，n 和平面α，β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题； ④m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件． 其中正确的结论是________(填序号)．解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y 和z 是正相关时，x 与z 负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；④当m ＝3时，直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直；当直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直时，(m ＋3)m －6m ＝0，则m ＝3或m ＝0，即m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．答案：①②④ 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.1．下列四个命题中，①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0且n ≠0”；⑤对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面．其中真命题的为________．(填序号)解析：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故①正确；②x ＝4⇒x 2－3x －4＝0；由x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4. ∴“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2＋x －m ＝0有实根，故③错误；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故④错误；⑤∵34＋18＋18＝1，∴对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面，故⑤正确．答案：①②⑤2．已知p ：－x 2＋4x ＋12≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)． (1)若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________； (2)若“綈p ”是“綈q ”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 解析：由题知，p 为真时，－2≤x ≤6，q 为真时，1－m ≤x ≤1＋m ， 令P ＝{x |－2≤x ≤6}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >6或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥6，解得m ≥5， ∴实数m 的取值范围是[5，＋∞)．(2)∵“綈p ”是“綈q ”的充分条件，∴“p ”是“q ”的必要条件，∴Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤6，m >0，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]． 答案：(1)[5，＋∞) (2)(0,3]第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[过双基]1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2．全称量词与存在量词3．全称命题和特称命题[1．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选C 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题． 2．若命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧q解析：选A 由指数函数的性质可知，命题p 是真命题，则命题綈p 是假命题； 显然，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，即命题q 是假命题，命题綈q 是真命题． 所以命题p ∧(綈q )是真命题．3．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”的否定为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0解析：选B 原命题∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0为全称命题， 所以原命题的否定为：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.4．若命题p ：∃x 0，y 0∈Z ，x 20＋y 20＝2 018，则綈p 为( )A ．∀x ，y ∈Z ，x 2＋y 2≠2 018B ．∃x 0，y 0∈Z ，x 20＋y 20≠2 018C ．∀x ，y ∈Z ，x 2＋y 2＝2 018D ．不存在x ，y ∈Z ，x 2＋y 2＝2 018解析：选A 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p ：∀x ，y ∈Z ，x 2＋y 2≠2 018.[清易错]1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”；p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”． 1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( ) A ．全等三角形的面积不一定都相等 B ．不全等三角形的面积不一定都相等 C ．存在两个不全等三角形的面积相等 D ．存在两个全等三角形的面积不相等解析：选D 命题是省略量词的全称命题，易知选D.2．已知命题p ：∀x <1，都有log 12x <0，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20≥2x 0成立，则下列命。

2020年高考理科数学一轮总复习：集合与常用逻辑用语第1讲 集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法A B (或B A )导师提醒1．熟记三种集合运算的性质(1)并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . (2)交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．熟记集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A B ，B C ，则A C . (4)含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．关注两个易错点(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×若集合P ＝{x ∈N |x≤ 2 018}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P 答案：D设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C.A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A ∩Z 中的元素个数为5.已知集合A ＝{1，2}，集合B 满足A ∪B ＝{1，2}，则满足条件的集合B 的个数为________．解析：因为A ＝{1，2}，B ∪A ＝{1，2}，所以B ⊆A ，故满足条件的集合B 的个数为22＝4个． 答案：4(教材习题改编)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)集合的概念(自主练透)1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.2．已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则( ) A ．k ＞8 B ．k ≥8 C ．k ＞16D ．k ≥16解析：选C.因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16，故选C. 3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________． 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.答案：0或984．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－325．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.答案：2求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意知A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则B A .(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)B (2)D (3)(－∞，3][迁移探究1] (变条件)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围？ 解：因为B A ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．[迁移探究2] (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围．解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.[迁移探究3] (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m 的取值范围．解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)判断两集合关系的方法①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系； ②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系． (2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．[提醒] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．1．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B.由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以BA ，故选B.2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：选A.由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个． 3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2)． 答案：[－2，2)集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1，2}D ．{0，1，2}(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}(3)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B 等于( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 (1)由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1，2}，故选C.(2)法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. 法二：因为A ＝{x |x 2－x －2>0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. (3)因为A ＝{y |y ＞0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}， 所以A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C. 【答案】 (1)C (2)B (3)C 角度二 利用集合的运算求参数(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12＞0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x ＞4}，则实数m的取值范围是( )A ．(－4，3)B ．[－3，4]C ．(－3，4)D ．(－∞，4](2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)集合A ＝{x |x ＜－3或x ＞4}，因为A ∩B ＝{x |x ＞4}，所以－3≤m ≤4，故选B.(2)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4. (3)因为A ＝{0，－4}，A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 【答案】 (1)B (2)D (3)(－∞，－1]∪{1}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P)∪Q ＝()A．{1} B．{3，5}C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}解析：选C.因为U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，所以∁U P＝{2，4，6}，因为Q＝{1，2，4}，所以(∁U P)∪Q＝{1，2，4，6}．2．若集合A＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，B＝{x|y＝x－2，x∈R}，则A∪B＝()A．[0，1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1)∪[2，＋∞) D．∅解析：选C.由题意得B＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜1或x≥2}，故选C.3．(2019·湖北名校学术联盟4月联考)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B ＝{4}，则a＝()A．3 B．2C．2或3 D．3或1解析：选A.因为A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.4．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.集合新定义问题中的核心素养(1)定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素，故选B.(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．【答案】 (1)B (2)②(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．(2)解决集合的新定义问题的两个切入点①正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝()A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}解析：选D.A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|2＜x＜5}，所以A－B＝{0，1，2，5}．2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6[基础题组练]1．设集合A＝{x|x2－x－2＜0}，集合B＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝()A．[－1，1]B．(－1，1]C．(－1，2) D．[1，2)解析：选B.因为A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤1}，所以A∩B ＝{x|－1＜x≤1}．故选B.2．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.3．(2019·湖南湘东五校联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B ＝()A．(1，3) B．(1，3]C．[－1，2) D．(－1，2)解析：选 C.A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，故选C.4．(2019·山西八校第一次联考)设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4＜0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B ＝()A．[2，4) B．{2，4}C．{3} D．{2，3}解析：选D.法一：由x2－3x－4＜0得，－1＜x＜4，因为x∈Z，所以A＝{0，1，2，3}，由2x≥4得x≥2，即B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2，3}，故选D.法二：通过验证易知3∈A，3∈B，故排除选项A，B.同理可知2∈A，2∈B，排除选项C.故选D.5．(2019·合肥调研性检测)已知集合A＝{y|y＝e x，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B＝()A．(0，2) B．(0，3]C．[－2，3] D．[2，3]解析：选B.由已知得A＝(0，＋∞)，B＝[－2，3]，所以A∩B＝(0，3]，故选B.6．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅解析：选A.因为3x＜1＝30，所以x＜0，所以B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.7．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁Z B)＝()A．{－2} B．{－1}C．[－2，0] D．{－2，－1，0}解析：选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁Z B)＝{－2，－1，0}，故选D.8.(2019·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.9．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]解析：选C.集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.10．(2019·安徽安庆模拟)已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．1或－1或2解析：选C.因为B ⊆A ，所以必有a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . ①若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，满足条件； 当a ＝2时，A ＝{1，3，2}，B ＝{1，3}，满足条件．②若a 2－a ＋1＝a ，则a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，此时集合A ＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a ＝1应舍去．综上，a ＝－1或2.故选C.11．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．答案：{－1，2，3，5}12．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，则A ∩B＝________．解析：不等式18<2x <8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解； 若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解； 若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.答案：{}－1，7[综合题组练]1．(应用型)(2019·山东日照3月联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( )A ．∅B ．{(4，0)，(3，0)}C ．[－3，3]D ．[－4，4]解析：选D.由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝[－4，4]．故选D.2．已知集合P ＝{y |y 2－y －2＞0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．若P ∪Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2，3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1解析：选A.P ＝{y |y 2－y －2＞0}＝{y |y ＞2或y ＜－1}．由P ∪Q ＝R 及P ∩Q ＝(2，3]，得Q ＝[－1，3]，所以－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.3．(创新型)(2019·河南八市质检)在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )＞0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，－1)∪(－1，0]C ．[0，1)∪(1，2]D ．[－2，0]解析：选D.依题意可得x (1－x ＋a )＞0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.故选D.4．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念导师提醒1．区别两个说法(1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B⇒/A.(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A⇒/B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．2．掌握充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (5)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/q ”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 下列命题为真命题的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2答案：A(教材习题改编)命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是 ( ) A ．若a ＞b ，则a －1≤b －1 B ．若a ＞b ，则a －1＜b －1 C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1 D ．若a ＜b ，则a －1＜b －1解析：选C.根据否命题的定义可知，命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”，故选C.设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x ≥0，则x ≤2，(x －1)2≤1，则－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，据此可知：“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的必要不充分条件．原命题“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.3．已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．4．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2018·高考北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝dc ，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝cd ，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. (3)a ＞b 不能推出a 2＞b 2，例如a ＝－1，b ＝－2；a 2＞b 2也不能推出a ＞b ，例如a ＝－2，b ＝1.故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 (1)B (2)A (3)D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A ，B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B ，A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2019·成都第一次诊断性检测)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A ＞sin B ”是“tan A ＞tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.在锐角△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B，知sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以A ＞B ⇔tan A ＞tan B ．故选C.2．(2018·高考北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为|a －3b |＝|3a ＋b |，所以(a －3b )2＝(3a ＋b )2，所以a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又因为|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ；反之也成立．故选C.3．(2019·咸阳模拟)已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m 2＝－1，m ＝±1.所以p 是q的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)(2019·湖南湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围．【解】 (1)选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．[迁移探究1] (变问法)若本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．[迁移探究2] (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈綈P ”是“x ∈綈S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈綈P ”是“x ∈綈S ”的必要不充分条件， 所以P ⇒S 且S ⇒/P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥9 B ．a ≤9 C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选 C.命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”⇔“∀x ∈[1，3]，x 2≤a ”⇔9≤a .则a ≥10是命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.2．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________． 解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. 因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案：3充分、必要条件中的核心素养设p ：|2x ＋1|＜m (m ＞0)；q ：x －12x －1＞0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．【解析】 由|2x ＋1|＜m (m ＞0)，得－m ＜2x ＋1＜m ， 所以－m ＋12＜x ＜m －12.由x －12x －1＞0， 得x ＜12或x ＞1.因为p 是q 的充分不必要条件，又m ＞0， 所以m －12≤12，所以0＜m ≤2.【答案】 (0，2]充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．若“x ＞2m 2－3”是“－1＜x ＜4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，3] B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]解析：选D.因为“x ＞2m 2－3”是“－1＜x ＜4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，因此2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.[基础题组练]1．已知命题p ：若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ，则下列说法正确的是 ( ) A ．命题p 的逆命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x ＜2ab ”解析：选C.命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ”，故C 正确，D 错误．2．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆否命题是( ) A ．若x ，y ∈R ，x ，y 全不为0，则x 2＋y 2≠0 B ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为0，则x 2＋y 2＝0 C ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0D ．若x ，y ∈R ，x ，y 全为0，则x 2＋y 2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x 2＋y 2＝0，结论为x ，y 全为零．逆否命题：若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，故选C.3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则1a ＞1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：选C.①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得A ∩B ＝A .所以“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．故选C.5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.6．(2019·郑州模拟)设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由b ＝c ，得b －c ＝0，得a ·(b －c )＝0；反之不成立．故“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的必要不充分条件．7．(2019·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.法一：设AB →与BC →的夹角为θ，因为AB →·BC →＞0，即|AB →|·|BC →|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.法二：由AB →·BC →＞0，得BA →·BC →＜0，即cos B ＜0，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.8．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A ，于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，即“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．9．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.10．(2019·南昌模拟)“a 2＋b 2＝1”是“a sin θ＋b cos θ≤1恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故“a 2＋b 2＝1”是“a sin θ＋b cos θ≤1恒成立”的充分不必要条件．故选A.11．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a －b ＞0 C ．ab ＞1D. a b＞1 解析：选A.因为a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，反之不成立，而由a ＞0，b ＞0不能推出a －b ＞0，ab ＞1，ab＞1，故选A.12．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( ) A ．k ≤－22或k ≥2 2 B ．k ≤－2 2 C ．k ≥2D ．k ≤－22或k ＞2解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，所以k 2＋1≥9，即k 2≥8，所以k ≥22或k ≤－22，所以圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.[综合题组练]1．(创新型)(2019·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2019·广东江门模拟)若a ，b 都是正整数，则a ＋b ＞ab 成立的充要条件是( ) A ．a ＝b ＝1 B ．a ，b 至少有一个为1 C ．a ＝b ＝2D ．a ＞1且b ＞1解析：选B.因为a ＋b ＞ab ，所以(a －1)(b －1)＜1.因为a ，b ∈N *，所以(a －1)(b －1)∈N ，所以(a －1)(b －1)＝0，所以a ＝1或b ＝1.故选B.3．(2019·四川达州一诊)方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( ) A ．a ＜0 B ．a ＜－1 C ．－1＜a ＜0D ．a ＞－1解析：选B.因为方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4（a ＋1）＞0，a ＋1＜0，解得a ＜－1.故选B.4．(应用型)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故实数a 的取值范围是－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]5．(应用型)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1.答案：[1，＋∞)第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”． (2)命题p ∧q 、p ∨q 、﹁p 的真假判断(1)全称量词和存在量词。

专题01 集合与常用逻辑用语 集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确． 关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的． §1－1 集 合 【知识要点】 1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示． 3．两类不同的关系： (1)从属关系——元素与集合间的关系； (2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)． 4．集合的三种运算：交集、并集、补集． 【复习要求】 1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集． 2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系． 3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算． 4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等． 【例题分析】 例1 给出下列六个关系： (1)0∈N* (2)0{－1，1} (3)∈{0} (4){0} (5){0}∈{0，1} (6){0}{0} 其中正确的关系是______． 【答案】(2)(4)(6) 【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集． 2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：aA． 3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：AB或BA． 如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．AB或BA． 4．子集的性质： ①任何集合都是它本身的子集：AA； ②空集是任何集合的子集：A； 提示：空集是任何非空集合的真子集． ③传递性：如果AB，BC，则AC；如果AB，BC，则AC． 例2 已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，