浙教版九年级下册数学 第二章 直线与圆的位置关系 单元练习题-教学文档

浙教版九年级数学下册《第二章直线与圆的位置关系》单元达标测试卷--附带答案一、单选题1．如图AB为⊙O的切线点A为切点OB交⊙O于点C 点D在⊙O上连接AD、CD、OA 若⊙ADC＝40° 则⊙ABO的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°2．如图AB是⊙O的切线A为切点连接OA OB 若⊙B＝20° 则⊙AOB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．已知⊙O的半径为3 直线l与⊙O相交则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（）A．d＝3B．d＞3C．0≤d＜3D．d＜34．圆的直径为13cm 如果圆心与直线的距离是d 则．（）A．当d=8cm 直线与圆相交．B．当d=4.5cm时直线与圆相离．C．当d=6.5cm时直线与圆相切．D．当d=13cm时直线与圆相切．5．内心和外心重合的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形PA=则PB=（）6．如图P为⊙O外一点PA、PB分别切⊙O于A、B两点若3A．2B．3C．4D．57．如图⊙P内含于⊙O ⊙O的AB切⊙P于点C 且AB OP．若阴影部分的面积为9π 则弦AB的长（）A ．3B ．4C ．6D ．98．如图 AD BC ，是O 的直径 点P 在BC 的延长线上 PA 与O 相切于点A 连接BD 若40P ∠=︒ 则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．60︒C ．50︒D ．25︒9．如图 在平面直角坐标系中 x 轴上一点A 从点（﹣3 0）出发沿x 轴向右平移 当以A 为圆心 半径为1的圆与函数y=33x 的图象相切时 点A 的坐标变为（ ）A ．（﹣2 0）B ．3 03 0）C ．3 0）D ．（﹣2 0）或（2 0）10．将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30° 得正方形AB 1C 1D 1 B 1C 1交CD 于点E AB=3则四边形AB 1ED 的内切圆半径为（ ）A ．312B ．332- C ．313D ．333- 二、填空题11．已知⊙O 的直径为8cm 如果直线AB 上的一点与圆心的距离为4cm 则直线AB 与⊙O 的位置关系是 ．12．如图 AB 为O 的直径 C 为 O 外一点 过点 C 作 O 的切线 切点为 B 连接 AC 交O 于点 D 38C ∠=︒ . 点 E 在 AB 右侧的半圆周上运动（不与 ,A B 重合）则 AED ∠ 的度数是 .13．⊙O 的半径是10cm 点O 到直线l 的距离为6cm 直线l 和⊙O 的位置关系是 14．如图 AB 是O 的直径 点C 是O 上一点 AD 与过点C 的切线垂直 垂足为点D 直线DC与AB 的延长线相交于点P 弦CE 平分ACB ∠ 交AB 于点F 连接BE 下列四个结论中：AC ①平分DAB ∠ PC PF =② 2PF PB PA =⋅③ ④若4tan ABC 3∠= BE 72= 则PC 的长为12.其中正确的结论有： .(写出所有正确结论的序号)三、解答题15．如图 AB 是⊙O 的直径 P 是⊙O 外一点 PA⊙PB 弦BC//OP 求证：PC 是⊙O 的切线.16．已知直线MN 过⊙O 上点A B 、C 是⊙O 上两点 ⊙ACB ＝⊙NAB ．求证：直线MN 是⊙O 的切线．17．已知：如图 PA 、PB 是⊙O 的切线 切点分别是A 、B Q 为AB 上一点 过Q 点作⊙O 的切线交PA 、PB 于E 、F 点 已知PA=12cm 求⊙PEF 的周长．18．如图 已知PA 、PB 是⊙O 的切线 A 、B 为切点 AC 是⊙O 的直径 若⊙PAB=40° 求⊙P 的度数.四、综合题19．如图AB为O的直径C为半圆上一动点过点B作O的切线l的垂线BD垂足为OC CE AE AE交OC于点F.D BD与O交于点E 连接,,,≌（1）求证：CDE EFCAB=连接AC.（2）若4①当AC=时四边形OBEC为菱形②当AC=时四边形EDCF为正方形.20．如图割线ABC与⊙O相交于B、C两点D为⊙O上一点E为弧BC的中点OE交BC于FDE交AC于G⊙ADG＝⊙AGD．（1）求证明：AD是⊙D的切线（2）若⊙A＝60° ⊙O的半径为4 求ED的长．21．如图AD是⊙O的直径BA＝BC BD交AC于点E 点F在DB的延长线上且⊙BAF＝⊙C.（1）求证：AF是⊙O的切线（2）若BC＝2 6BE＝4 求⊙O半径r.22．如图1 ⊙O的直径为BC 点A在⊙O上⊙BAC的平分线AD与BC交于点E 与⊙O交于点D 2AB=22BD=（1）求tan ADB∠．（2）求证：2AB AC AD+=．（3）如图2 点F是AB延长线上一点且CD DE BF CE⋅=⋅．求证：DF是⊙O的切线并求线段DF的长．23．如图在⊙ABC中AB=AC 以AB为直径的半圆交BC于点D 过点D作EF⊙AC于点F 交AB 的延长线于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线（2）当BD=3 DF= 125时求直径AB．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB为圆O的切线∴AB⊙OA 即⊙OAB＝90°∵⊙ADC＝40°∴⊙AOB＝2⊙ADC＝80°∴⊙ABO＝90°−80°＝10°.故答案为：A.【分析】由圆的切线垂直于过切点的半径可得⊙OAB＝90° 再根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可得⊙AOB＝2⊙ADC 然后由直角三角形两锐角互余可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线A为切点∴⊙A＝90°∵⊙B＝20°∴⊙AOB＝90°﹣20°＝70°.故答案为：D.【分析】根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径可得⊙A＝90° 根据直角三角形两锐角互余即可计算⊙AOB.3．【答案】C【解析】【解答】∵⊙O的半径为3 直线l与⊙O相交∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3故答案为：C.【分析】根据直线l和⊙O相交⊙d＜r 即可判断.4．【答案】C【解析】【解答】∵圆的直径为13cm ∴圆的半径为6.5cmA. 当d=8cm时因为6.5cm＜8cm 所以直线与圆相离故A错误B. 当d=4.5cm时因为6.5cm＞4.5cm 所以直线与圆相交故B错误C. 当d=6.5cm时因为6.5cm＝6.5cm 所以直线与圆相切故C正确D. 当d=13cm时因为6.5cm＜13cm 所以直线与圆相离故D错误故答案为：C.【分析】根据圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系逐一判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：A、直角三角形的外心在斜边的中点处内心在三角形内部故A不符合题意B、钝角三角形的外心在三角形的外部内心在三角形内部故B不符合题意C、等腰三角形可以为等腰直角等腰锐角还可能是等腰钝角故C不符合题意D、等边三角形的外心内心在三角形内部重合与一点故D不符合题意故答案为：D。

第2章直线与圆的位置关系2.1 直线与圆的位置关系(1)(见B本59页)A 练就好基础基础达标1．如果一个圆的半径是8 cm，圆心到一条直线的距离也是8 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( B)A．相交B．相切C．相离D．无法确定2．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点(O除外)，若以P为圆心的⊙P与OC相交，那么⊙P 与OB的位置关系是( C)A．相离B．相切C．相交D．相交或相切3．2017·莱芜中考如图所示，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连结BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为( C)第3题图A．46°B．47°C．48°D．49°4．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( B)A．d＝3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞35．如图所示，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( B)第5题图A．1 B．1或5 C．3 D．56．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__相切__．7．若一条直线与圆有公共点，则该直线与圆的位置关系是__相切或相交__．8．永州中考如图所示，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM ＝d，我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：第8题图(1)当d＝3时，m＝__1__；(2)当m＝2时，d的取值范围是__1<d<3__．9．如图所示，在△ABC中，CA＝CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O 为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与CB相切于点E.9题图证明：∵CA＝CB，点O在高CH上，∴∠ACH＝∠BCH.∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE＝OD，∴⊙O与CB相切于点E.10．如图所示，已知⊙O的半径为5 cm，点O到直线l的距离OP为7 cm.(1)怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？(2)要使直线l与⊙O相交，应把直线l向上平移多少cm?第10题图解：(1)∵⊙O的半径为5 cm，点O到直线l的距离OP为7 cm，∴需要向上平移7－5＝2(cm)或7＋5＝12(cm)，才能使l与⊙O相切．(2)由(1)可知要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2 cm且小于12 cm.B 更上一层楼能力提升11．下列判断正确的是( D)①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．A．①②③B．①②C．②③D．③12．嘉兴中考如图所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( B)12题图A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.613．已知⊙O的半径r＝5，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为7，则l1与l2的距离为__2或12__．C 开拓新思路拓展创新14．2017·百色中考以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D)A．0≤b＜2 2 B．－22≤b≤2 2C．－23<b<2 3 D．－22＜b＜2 215．已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2－4x＋3上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为(2，－1)或(2±2，1) ．16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以C为圆心、r为半径作圆．(1)当斜边AB与⊙C相切时，求r的值；(2)当线段AB与⊙C只有一个公共点时，求r的取值范围．16题图第16题答图解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，∵12AC·BC＝12AB·CD，∴12×3×4＝12×5·CD，解得CD＝2.4，(1)当直线AB与⊙C相切时，即d＝r＝2.4.(2)①当r＝2.4时，AB与⊙C相切，斜边AB与⊙C只有一个公共点．②当2.4<r<3时，⊙C与AB有两个交点．③当3<r≤4时，⊙C与AB有一个公共点．④当r>4时，⊙C与AB没有公共点．综上所述，当AB与⊙C只有一个公共点时，r的取值范围是3<r≤4或r＝2.4.2.1直线与圆的位置关系(2)(见A本61页)A 练就好基础基础达标1．下列直线是圆的切线的是( B)A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，以B为圆心、5为半径的圆与直线AC的位置关系是( A)A．相切B．相交C．相离D．不能确定第3题图3．如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线，且∠AOB＝80°，则∠ABC的度数为( B)A．30°B．40°C．50°D．60°4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，以点A为圆心、5为半径的圆与直线y＝－x的位置关系是( C)A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能5．如图所示，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( D)第5题图A．AB＝4，AT＝3，BT＝5B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝55°，∠TAC＝55°D．∠ATC＝∠B6．如图所示，⊙O的半径为4 cm ，BC是直径，若AB＝10 cm，当AC＝__6__ cm时，AC 是⊙O的切线．6题图7题图7．如图所示，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为__相切__．8．2017·北京模拟阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在△ABC中，∠A＝90°.求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．小轩的主要作法如下：如图，(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.所以⊙P为所求．老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是角平分线上的点到角两边的距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．9．衡阳中考如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：CE为⊙O的切线．(2)判断四边形AOCD是否为菱形，并说明理由．第9题图解：(1)证明：连结OD，∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝12∠BOD，又∠BAD＝12∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD，∴AE∥OC，∵AD⊥EC，∴OC⊥EC，∴CE为⊙O的切线．(2)四边形AOCD是菱形，理由如下：∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∵OA＝OD＝OC，∴△AOD和△COD都是等边三角形，∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD，∴四边形AOCD是菱形．B 更上一层楼能力提升10．如图所示，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，有下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③OC＝BC；④AB＝BD.其中，能使命题成立的有( D)A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④10题图第11题图11．2017·玉田期末如图所示，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、12OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转( B) A．40°或80°B．50°或110°C．50°或100°D．60°或120°12．如图所示，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD，CD及BC的延长线于E，F，G，⊙O是△CGF的外接圆．求证：CE是⊙O的切线．第12题图证明：连结OC.∵⊙O 是△CGF 的外接圆，∠FCG ＝90°，点O 是FG 的中点， ∴OC ＝OG ，∠OCG ＝∠G；在△ADE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，∠ADE ＝∠CDE＝45°，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE(SAS)，∴∠DAE ＝∠DCE， 又∵∠G＝∠DAE，∴∠OCG ＝∠DCE.∵∠FCO ＋∠OCG＝90°，∴∠FCO ＋∠DCE＝90°，即∠ECO＝90°，∴CE 是⊙O 的切线． C 开拓新思路 拓展创新13．2017·庆阳中考如图所示，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C. (1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标； (2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．第13题图解：(1)∵A 的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN ＝4， ∵∠ABN ＝30°，∠ANB ＝90°， ∴AB ＝2AN ＝8，∴由勾股定理可知：NB ＝AB 2－AN 2＝43， ∴B(43，2)．(2)证明：连结MC ，NC. ∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN ＝90°，∴∠NCB ＝90°， 在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点， ∴CD ＝12NB ＝ND ，∴∠CND ＝∠NCD，∵MC ＝MN ，∴∠MCN ＝∠MNC， ∵∠MNC ＋∠CND＝90°，∴∠MCN ＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD. ∴直线CD 是⊙M 的切线．第13题答图2.1 直线与圆的位置关系(3)(见B 本61页)A 练就好基础 基础达标 1．下列说法中正确的是( A ) A ．圆的切线垂直于经过切点的半径B ．垂直于切线的直线必经过切点C ．垂直于切线的直线必经过圆心D ．垂直于半径的直线是圆的切线第2题图2．如图所示，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C＝65°，则∠P 的度数为( B ) A ．45° B ．50° C ．60°D ．70°3．在平面直角坐标系中，以点(－1，－2)为圆心、与x 轴相切的圆的半径长是( B )A ．1B ．2C ．－1D ．－24．如图所示是两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若AB ＝6 cm ，则图中圆环的面积为( B )A ．6π cm 2B ．9π cm 2C ．18π cm 2D ．36π cm 24题图5题图5．2017·日照中考如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( A )A ．5 3B ．5 2C ．5D.526．如图所示，已知∠CAB＝30°，⊙O 与AC 边相切于点P ，且OA ＝3，则⊙O 的半径为__1.5__．第6题图第7题图7．如图所示，⊙M 与x 轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是 (5，4) ．第8题图8．如图所示，已知⊙O 的半径等于4，P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，PA ＝25，直线PO 与⊙O 相交于C ，D ，求：(1)PC 的长； (2)sin P 的值． 解：(1)连结OA ， ∵PA 是⊙O 切线， ∴∠PAO ＝90°，∴PO ＝AP 2＋OA 2＝6，∴PC ＝PO －OC ＝6－4＝2.(2)在Rt △PAO 中，sin P ＝AO PO ＝46＝23.第9题图9．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B ，点D 是⊙O 上的一点，且AD∥OC.求证：AD·BC＝OB·BD.证明：∵BC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴∠CBO ＝∠D＝90°，∵AD∥OC，∴∠COB＝∠A.∴△ABD∽△OCB.∴AD∶OB＝BD∶BC.∴AD·BC＝OB·BD.第10题图10．聊城中考如图所示，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连结AD并延长，交BE于点E.(1)求证：AB＝BE.(2)若PA＝2，cos B＝35，求⊙O半径的长．解：(1)证明：连结OD，第10题答图∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO＝∠E，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE.(2)由(1)知，OD∥BE，∴∠POD＝∠B，∴cos∠POD＝cos B＝35，在Rt △POD 中，cos ∠POD ＝OD OP ＝35，∵OD ＝OA ，PO ＝PA ＋OA ＝2＋OA ， ∴OA 2＋OA ＝35， ∴OA ＝3， ∴⊙O 半径为3.B 更上一层楼 能力提升11．如图所示，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC 的大小等于__50__度．第11题图12题图12．2017·衢州中考如图所示，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是．第13题图13．2017·北京中考 如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D.(1)求证：DB ＝DE.(2)若AB ＝12，BD ＝5，求⊙O 的半径．第13题答图解：(1)证明：∵AO＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA，∵BD 是切线， ∴OB ⊥BD ，∴∠OBD ＝90°，∴∠OBE ＋∠EBD＝90°， ∵EC ⊥OA ，∴∠CAE ＋∠CEA＝90°， ∵∠CEA ＝∠DEB，∴∠EBD ＝∠BED， ∴DB ＝DE.(2)作DF⊥AB 于F ，连结OE ，∵DB ＝DE, AE ＝EB ＝6，∴EF ＝12BE ＝3，OE ⊥AB ，在Rt △DEF 中，DE ＝BD ＝5，EF ＝3, ∴DF ＝52－32＝4， ∴sin ∠DEF ＝DF DE ＝45， ∵∠AOE ＝∠DEF,∴在Rt △AOE 中，sin ∠AOE ＝AE AO ＝45， ∵AE ＝6, ∴AO ＝152.C 开拓新思路 拓展创新第14题图14. 宁波中考如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为__254__． 15．如图所示，⊙O 的直径AB ＝4，AC 是弦，沿AC 折叠劣弧AC ︵，记折叠后的劣弧为AmC ︵. (1)如图(a)，当AmC ︵经过圆心O 时，求AC 的长．(2)如图(b)，当AmC ︵与AB 相切于A 时，①画出AmC ︵所在圆的圆心P ；②求AC 的长． (3)如图(c)，设AmC ︵与直径AB 交于点D ，DB ＝x ，试用x 的代数式表示AC.图(a) 图(b) 图(c)第15题图解：(1)作半径OE⊥AC 于点F ，如图(a)， 沿AC 折叠劣弧AC ︵，记折叠后的劣弧为AmC ︵. ∴OF ＝12OE ＝12×2＝1，∵OE ⊥AC ，∴AF ＝CF.在Rt △OAF 中，OA ＝2，OF ＝1，∴AF ＝OA 2－OF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝2 3.第15题答图(2)①过A 点作AP⊥AB，再截取AP ＝2，则P 点为所求，如图(b)； ②连结PC ，OC ， ∵AP ＝OA ＝OC ＝PC ＝2， ∴四边形PAOC 为菱形， 而∠PAO＝90°，∴四边形PAOC 为正方形， ∴AC ＝2OA ＝2 2.(3)设AmC ︵所在圆的圆心为P ，作PH⊥AB 于点H ，连结OP ，PD ，BC ，如图(c)， ∵AB ＝4，BD ＝x ，∴AD ＝4－x ，∵PH ⊥AD ， ∴AH ＝DH ＝12AD ＝2－12x ，∴OH ＝OA －AH ＝12x.在Rt △PAH 中，PH ＝PA 2－AH 2＝2x －14x 2，在Rt △OPH 中，OP ＝PH 2＋OH 2＝2x ， ∵沿AC 折叠劣弧AC ︵，记折叠后的劣弧为AmC ︵， ∴OP ⊥AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴OP ∥BC ， ∴∠POH ＝∠CBA，∴Rt △ACB ∽Rt △PHO ，∴AC PH ＝ABPO，∴AC ＝4·2x －14x22x＝16－2x.2.2 切线长定理(见A 本63页)A 练就好基础 基础达标1．如图所示，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，若∠A＝70°，则∠BOC 的度数为( C ) A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°第1题图2题图2．如图所示，在△MBC 中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，MB ＝23，点A 在MB 上，以AB 为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为( C )A ．1B ．4C ．2D ．33．如图所示，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，OP 交⊙O 于点C ，下列结论中，错误的是( D )A ．∠1＝∠2B ．PA ＝PBC ．AB ⊥OPD ．PA 2＝PC·PO第3题图第4题图4．如图所示，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为( D)A．35°B．45°C．60°D．70°5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝120°.连结AC，则∠A的度数是__30°__．第5题图6题图6．如图所示，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为__2__．第7题图7．如图所示，已知PA，PB分别切圆O于点A，B，连结PO与圆O相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.证明：连结OA，OB，∵PA，PB分别切圆O于A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵AO＝BO，PO＝PO，∴△APO≌△BPO (HL)，∴∠APO ＝∠BPO，PA ＝PB. ∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC (SAS)， ∴AC ＝BC.第8题图8．如图所示，直尺、三角尺都和⊙O 相切，点B ，C 是切点，且AB ＝8 cm.求⊙O 的直径． 解：连结AO ，BO ，∵AB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的切线， ∴∠ABO ＝90°，∠BAO ＝12∠BAC ＝60°，在Rt △AOB 中，OB ＝AB·tan ∠BAO ＝8×tan 60°＝83(cm)， ∴⊙O 的直径为16 3 cm. B 更上一层楼 能力提升9．如图所示，四边形ABCD 是正方形，以BC 边为直径在正方形内作半圆O ，再过顶点A 作半圆O 的切线(切点为F)交CD 边于点E ，则sin ∠DAE 等于( D )A.34B.25C.43D.35第9题图第10题图10．如图所示，一圆外切四边形ABCD ，且AB ＝16，CD ＝10，则四边形的周长为__52__． 11．如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为点A ，B ，直线EF 也是⊙O 的切线，点Q 是切点，交PA ，PB 于点E ，F.若PA ＝10，则△PEF 的周长为__20__；若∠APB＝50°，则∠EOF 的度数为__65°__．11题图12题图12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，BE切⊙O于点B，交CD于点E，⊙O 的半径为a，BC＝na，则DE∶EC＝__1∶(n＋1)__．当n＝__1__时，∠C＝30°.第13题图13．如图所示，AB，AC的延长线与BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O半径是__2__.第14题图14．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.(1)求证：BC＝FC.(2)若AD∶AE＝2∶1，求tan F的值．解： (1)证明：连结BD.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°－∠BED.∵∠EBF＝90°，∴∠F＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.∵AC切⊙O于点D，∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.∴∠F＝∠CDF，∴DC＝FC.∵OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，∴DC＝BC，∴BC＝FC.(2)在△ADE和△ABD中，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，∴△ADE ∽△ABD ，DE BD ＝AE AD ＝12.又∵∠F＝∠EBD ，∴tan F ＝tan ∠EBD ＝DE BD ＝12.C 开拓新思路 拓展创新第15题图15．如图所示，在ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝15 cm.已知⊙O 的半径等于3 cm ，AB ，AD分别与⊙O 相切于点E ，F.⊙O 在ABCD 内沿AB 方向滚动，与BC 边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．第15题答图解：连结OE ，OA.∵AB ，AD 分别与⊙O 相切于点E ，F. ∴OE ⊥AB ，OE ＝3 cm.∵∠DAB ＝60°，∴∠OAE ＝30°.在Rt △AOE 中，AE ＝OE tan ∠OAE ＝3tan 30°＝33(cm)．∵AD ∥BC ，∠DAB ＝60°，∴∠ABC ＝120°.设当运动停止时，⊙O ′与BC ，AB 分别相切于点M ，N ，连结O′N，O ′B.同理可得BN ＝ 3 cm.∴EN ＝AB －AE －BN ＝15－33－3＝(15－43) cm. ∴ ⊙O 滚过的路程为(15－43) cm.第16题图16．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，以AB 为直径作⊙O，恰与另一腰CD 相切于点E ，连结OD ，OC ，BE.(1)求证：OD∥BE.(2)若四边形ABCD 的面积是48，设OD ＝x ，OC ＝y ，且x ＋y ＝14，求CD 的长．第16题答图解：(1)证明：如图，连结OE ， ∵CD 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CD ， 在Rt △OAD 和Rt △OED 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OE ，OD ＝OD ， ∴Rt △OAD ≌Rt △OED(HL)． ∴∠AOD ＝∠EOD＝12∠AOE ，在⊙O 中，∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE， ∴OD ∥BE.(2)与(1)同理可证Rt △COE ≌Rt △COB ， ∴∠COE ＝∠COB＝12∠BOE ，∵∠DOE ＋∠COE＝90°， ∴△COD 是直角三角形， ∵S △DEO ＝S △DAO ，S △OCE ＝S △COB ，∴S 梯形ABCD ＝2(S △DOE ＋S △COE )＝2S △COD ＝OC·OD＝48， 即xy ＝48，又∵x＋y ＝14，∴x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝142－2×48＝100， 在Rt △COD 中，CD ＝OC 2＋OD 2＝x 2＋y 2＝100＝10，∴CD ＝10.2.3 三角形的内切圆(见B 本63页)A 练就好基础 基础达标第1题图1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE 等于( B)A．70°B．110°C．120°D．130°2．下列命题中正确的是( C)A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心、外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形3．如图所示，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( A)A．△ABC的三条内角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处3题图5题图4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( C) A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.55．如图所示，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为__76°__．6．如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是__r2__．6题图7题图7．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝__140°__；若O 为△ABC的内心，则∠BOC＝__125°__．第8题图8．如图所示，△ABC的面积为4 cm2，周长为10 cm，求△ABC的内切圆半径．解：∵S△ABC＝12(AB＋BC＋AC)r＝12×10×r＝5r＝4，∴r＝45cm.第9题图9．如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D.若AC＝6，CD＝2.(1)求证：四边形OECF为正方形．(2)求⊙O的半径．(3)求AB的长．解：(1)证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴∠C＝∠CFO＝∠CE O＝90°，∴四边形CFOE是矩形，∵OF＝OE，∴四边形OECF为正方形．(2)由题意可得，EO∥AC，∴△DEO∽△DCA，∴DECD＝EOAC.设⊙O的半径为x，则2－x2＝x6，解得x＝1.5，故⊙O的半径为1.5.(3)∵⊙O的半径为1.5，AC＝6，∴CF＝1.5，AF＝4.5，∴AG＝4.5，设BG＝BE＝y，∴在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，∴62＋(y＋1.5)2＝(4.5＋y)2，解得y＝3，∴AB＝AG＋BG＝4.5＋3＝7.5.B 更上一层楼能力提升10．已知AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为aba＋b的是( C)A B C D11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC ＝14 cm，CA＝13 cm，则AF的长为( B)A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．9 cm11题图12题图12．如图所示，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于点F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__1∶2__．第13题图13．如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.(1)求证：IE ＝BE.(2)若IE ＝4，AE ＝8，求DE 的长．第13题答图解：(1)证明：连结IB.∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠BAD ＝∠CAD，∠ABI ＝∠IBD. 又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，∴∠BIE ＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE ＋∠IBD＝∠IBE， ∴BE ＝IE.(2)在△BED 和△AEB 中，∵∠EBD ＝∠CAD＝∠EAB，∠BED ＝∠AEB， ∴△BED ∽△AEB ， ∴BE AE ＝DE BE. ∵IE ＝4，∴BE ＝4. ∵AE ＝8， ∴DE ＝BE2AE＝2.C 开拓新思路 拓展创新14．如图所示，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝kx 的图象经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为4－22的圆内切于△ABC.则k 的值为__4__．第14题图15．2017·百色中考已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，若EF ︵＝DE ︵，如图1.(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，AF ＝2FC ＝4，求AM 的长．第15题图解：(1)连结OA ，DF.结论：△ABC 为等腰三角形，理由：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ， ∴AF ＝AD ，∠OAF ＝∠OAD，∴OA ⊥DF ， ∵EF ︵＝DE ︵，∴A ，O ，E 共线， ∵AE ⊥BC ，∴∠ACB ＋∠CAE＝90°，∠ABC ＋∠BAE＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB，∴AB ＝AC ， ∴△ABC 为等腰三角形．第15题答图(2)连结OB ，OC ，OD ，OF ，如图， ∵在等腰三角形ABC 中，AE ⊥BC ， ∴E 是BC 中点，BE ＝CE ， 在Rt △AOF 和Rt △AOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OF ，OA ＝OA ， ∴Rt △AOF ≌Rt △AOD ，∴AF ＝AD ， 同理Rt △COF ≌Rt △COE ，CF ＝CE ＝2， Rt △BOD ≌Rt △BOE ，BD ＝BE ， ∴AD ＝AF ，BD ＝CF ， ∴DF ∥BC ，∴AM AE ＝AF AC ＝23， ∵AE ＝AC 2－CE 2＝42，∴AM ＝42×23＝823.直线与圆的位置关系阶 段 性 测 试(十三)(见学生单册) [考查范围：直线与圆的位置关系(2.1－2.3)]一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列说法中不正确的是( C ) A ．弦的垂直平分线必过圆心B ．经过切点的直径必垂直于这条切线C ．平分弦的直径必垂直于这条弦D ．等边三角形的外心与内心必重合2．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，若以顶点A 为圆心、3 cm 长为半径作⊙A，则BC 与⊙A 的位置关系是( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定3．如图所示，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 切⊙O 于点C ，连结OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC 的度数为( C )A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3题图第4题图4．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 经过AB 的中点D ，CE ∥AB ，点F 在⊙O 上，连结CF ，BF.下列所给出的结论中，不正确的是( B )A ．∠F ＝12∠AOCB ．AB ⊥BFC ．CE 是⊙O 的切线D.AC ︵＝BC ︵5．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，则它的内切圆的半径是( B ) A.32B ．1C ．2D.236题图6．如图所示，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，D是⊙O上一点，连结PD.若PC＝PD＝BC，给出下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的结论是( A)A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②③二、填空题(每小题5分，共25分)7．如图所示，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径AB＝2，∠CAD＝30°，则弦BC＝．7题图第8题图8．如图所示，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝__50°__．9．如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q.已知AP＝2，BQ＝4，则PQ＝__6__，AB＝．第9题图10题图10．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点．设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是__3≤x≤4__．第11题图11．如图所示，直线l：y＝－12x＋1与坐标轴交于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为圆心、2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．三、解答题(4个小题，共45分)第12题图12．(10分)如图所示，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D.连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD∽△CBE.(2)求半圆O的半径的长．解：(1)证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°＝∠CDO，又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.(2)在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，∴BC＝CE2＋BE2＝15，∵△COD∽△CBE.∴ODBE＝OCBC，即r9＝15－r15，解得r＝458.第13题图13．(11分)如图1，在△ABC中，CA＝CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O.(1)求证：⊙O与CB相切于点E.(2)如图2，若⊙O 过点H，且AC＝5，AB＝6，连结EH，求此时⊙O的半径和△BHE的面积．解：(1)证明：∵CA＝CB，点O在高CH上，∴CH平分∠ACB，即∠ACH＝∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE＝OD，∵OE⊥BC，∴⊙O与CB相切于点E.第13题答图(2)∵CA＝CB，CH是高，∴AH＝BH＝12AB＝12×6＝3，∴CH＝52－32＝4，∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴⊙O与AB相切于点H.∵⊙O与CB相切于点E，∴BE＝BH＝3，∴CE＝2，连结OE，过H作HF⊥BC于点F，如图2，设半径为R，在Rt△OCE中，(4－R)2＝R2＋22，解得R＝32，∵12HF·BC＝12CH·BH，∴HF＝3×45＝125，∴S△BHE＝12×3×125＝185.第14题图14．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1)求证：DE⊥AC.(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．第14题答图解：(1)证明：连结OD、AD，∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC.(2)∵AB＝10，∴OB＝OD＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE＝OFAF＝BF＋OBBF＋AB，设BF＝x，AE＝8，∴58＝x＋5x＋10，解得x＝103，经检验x＝103是原分式方程的根，且符合题意，∴BF＝103.15．(12分)如图所示，△ABC是一块直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．第15(1)如图1，当圆形纸片与两直角边AC，BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO.(不写作法与证明，保留作图痕迹)(2)如图2，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止．若BC＝9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．第15题答图解：(1)如图1所示，射线OC即为所求．(2)如图2，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D，F，G，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连结O1B，过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H，I，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AC＝BCtan 30°＝933＝93，AB＝2BC＝18，∠ABC＝60°，∴C△ABC＝9＋93＋18＝27＋93，第15题答图∵O1D⊥BC，O1G⊥AB，∴D，G为切点，∴BD＝BG，在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD＝BG，O1B＝O1B，∴△O1BD≌△O1BG(HL)，∴∠O1BG＝∠O1BD＝30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB＝90°，∠O1BD＝30°，∴BD＝O1Dtan 30°＝233＝23，∴OO1＝9－2－23＝7－23，∵O1D＝OE＝2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，∴四边形OEDO 1为平行四边形，∵∠OED ＝90°，∴四边形OEDO 1为矩形，同理四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 、四边形OECF 为矩形， 又OE ＝OF ，∴四边形OECF 为正方形， ∵∠O 1GH ＝∠CDO 1＝90°，∠ABC ＝60°， ∴∠GO 1D ＝120°，又∵∠FO 1D ＝∠O 2O 1G ＝90°，∴∠OO 1O 2＝360°－90°－90°－120°＝60°＝∠ABC， 同理，∠O 1OO 2＝90°， ∴△OO 1O 2∽△CBA ， ∴C △OO 1O 2C △ABC ＝O 1O 2BC ，即C △OO 1O 227＋93＝7－239， ∴C △OO 1O 2＝15＋3，即圆心O 运动的路径长为15＋ 3.直线与圆的位置关系章末总结提升(见B 本65页), 探究点 1 直线与圆的位置关系)【例1】已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P ，满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是( D )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交变式 已知y 是关于x 的函数，且x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a.(1)求函数y 的表达式；(2)若点P 的坐标为(m ，0)，求以P 为圆心、1为半径的圆与函数y 的图象有交点时，m 的取值范围．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－a①，x －y ＝3a②，①×3，得3x ＋9y ＝12－3a③，②＋③，得4x ＋8y ＝12，即x ＋2y ＝3，得y ＝12x ＋32.(2)当y ＝0时，x ＝3，即函数y 的图象与x 轴交于点A(3，0)， 当x ＝0时，y ＝32，即函数y 的图象与y 轴交于点B ⎝⎛⎭⎫0，32 ，当圆P 与直线y 相切时，设切点为C ，则PC ⊥直线y ， 此时∠PCA＝90°∴∠PCA ＝∠BOA，且∠BAO＝∠PAC，∴△ABO ∽△APC ，∴PC OB ＝AC OA ，即132＝AC3，∴AC ＝2，∴PA ＝ 5 此时，P 的横坐标为3－5或3＋5，∴当圆P 与直线y 有交点时，3－5≤m ≤3＋ 5., 探究点 2 切线的判定与性质)例2图【例2】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心、OC 为半径作半圆．(1)求证：AB 为⊙O 的切线．(2)如果tan ∠CAO ＝13，求cos B 的值．解：(1)证明：如图，作OM⊥AB 于点M ，例2答图∵OA 平分∠CAB，OC ⊥AC ，OM ⊥AB ， ∴OC ＝OM ，∴AB 是⊙O 的切线， (2)设BM ＝x ，OB ＝y ，则y 2－x 2＝1①， ∵cos B ＝BM OB ＝BC AB ，∴x y ＝y ＋1x ＋3，∴x 2＋3x ＝y 2＋y②， 由①②可以得到y ＝3x －1， ∴(3x －1)2－x 2＝1，∴x ＝34，y ＝54，∴cos B ＝x y ＝35.变式图变式 2017·衡阳中考如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，BD ⊥AB ，交AC 的延长线于点D.(1)E 为BD 的中点，连结CE ，求证：CE 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝3CD ，求∠A 的大小． 解：(1)证明：连结OC ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠1，变式答图∵AO ＝OB ，E 为BD 的中点， ∴OE ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠A ＝∠2， ∴∠2＝∠3，在△COE 与△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ，∠2＝∠3，OE ＝OE ，∴△COE ≌△BOE ，∴∠OCE ＝∠ABD＝90°，∴CE 是⊙O 的切线． (2)∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AD ， ∵AB ⊥BD ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴BC AC ＝CD BC，∴BC 2＝AC·CD， ∵AC ＝3CD ，∴BC 2＝13AC 2，∴tan ∠A ＝BC AC ＝33，∴∠A ＝30°., 探究点 3 切线长定理与三角形的内切圆)例3图【例3】 2017·宁波中考如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝22，以BC 的中点O 为圆心的圆分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE ︵的长为( B )A.π4B.π2C ．πD ．2π变式 2017·武汉中考已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( C )A.32B.32C. 3D ．2 31．如果直线l 与⊙O 有公共点，那么直线l 与⊙O 的位置关系是( D ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．相切或相交第2题图2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( A )A.133B.92C.4313D ．2 5第3题图3．遵义中考如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连结AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是．第4题图4．如图所示，已知在等边△ABC 中，AB ＝12，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF⊥AC，垂足为F ，过点F 作FG⊥AB，垂足为G ，连结GD.(1)求证：DF 是⊙O 的切线． (2)求FG 的长． (3)求tan ∠FGD 的值．第4题答图解：(1)证明：连结OD ，如图(1)，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C ＝∠A＝∠B＝60°，而OD ＝OB ， ∴△ODB 是等边三角形， ∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠C， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线． (2)∵OD∥AC，点O 为AB 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6.在Rt △CDF 中，∠C ＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝3，∴AF ＝AC －CF ＝12－3＝9， 在Rt △AFG 中，∵∠A ＝60°， ∴FG ＝AF×sin A ＝9×32＝932. (3)如图，过D 作DH⊥AB 于点H.∵FG⊥AB，DH ⊥AB ， ∴FG ∥DH ，∴∠FGD ＝∠GDH.在Rt △BDH 中，∠B ＝60°，∴∠BDH ＝30°，∴BH ＝12BD ＝3，DH ＝3BH ＝3 3 .在Rt △AFG中，∵∠AFG ＝30°，∴AG ＝12AF ＝92，∵GH ＝AB －AG －BH ＝12－92－3＝92，∴tan ∠GDH ＝GH DH ＝9233＝32，∴tan ∠FGD ＝tan ∠GDH ＝32.第5题图5．如图所示，A(－8，0)，B(－6，0)．点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD ∥AB ，∠CDA ＝90°.点P 从点Q(7，0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．(1)点C 的坐标是 (0，6) ； (2)当∠BCP＝15°时，求t 的值；(3)以点P 为圆心、PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的一边(或边所在的直线)相切时，求t 的值．解：(2)当点P 在点B 右侧时，如图(a)．由∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°.OP ＝t －7，则PC ＝2(t －7)， 在Rt △POC 中，CP 2－OP 2＝62，故4(t －7)2－(t －7)2＝36， 此时t ＝7±23(舍去7－23)， 当点P 在点B 左侧时，如图(b)，由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，PC ＝2CO ＝12， 故PO ＝122－62＝6 3.此时t ＝7＋6 3. ∴t 的值为7＋23或7＋63.第5题答图(3)由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况： ①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP＝90°， 从而∠OCP＝45°，得到OP ＝6.此时t ＝1. ②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC⊥CD， 即点P 与点O 重合，此时t ＝7.③当⊙P 与AD 相切时，由题意知，∠DAO ＝90°， ∴点A 为切点，如图(c)． PC 2＝PA 2＝(15－t)2，PO 2＝(t －7)2.所以(15－t)2＝(t－7)2＋62，解得t＝35 4.∴t的值为1或7或354.6．如图所示，在直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B 两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心、3为半径作⊙P.(1)连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；(2)当⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形时，求点P的坐标．第6题图解：(1)如图1，⊙P与x轴相切，∵直线y＝－2x－8与x轴交于A(－4，0)，与y轴交于B(0，－8)，∴OA＝4，OB＝8.由题意，OP＝－k，∴PB＝PA＝8＋k.∵在Rt△AOP中，k2＋42＝(8＋k)2∴k＝－3，∴OP等于⊙P的半径．∴⊙P与x轴相切．第6题答图(2)如图2，设⊙P1与直线l交于C，D两点，连结P1C，P1D，当圆心P1在线段OB上时，作P1E⊥CD于点E，∵△P1CD为正三角形，∴DE＝12CD＝32，P1D＝3.∴P 1E ＝332. ∵∠AOB ＝∠P 1EB ＝90°，∠ABO ＝∠P 1BE ， ∴△AOB ∽△P 1EB.∴AO AB ＝P 1E P 1B ，即445＝332P 1B ，∴P 1B ＝3152.∴P 1O ＝BO －BP 1＝8－3152. ∴P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3152－8.当圆心P 2在线段OB 延长线上时，同理可得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－3152－8.专题分类突破六 切线的判定与性质应用的基本图形(见A 本65页), 类型 1 一切线与过圆心的直线相交型)例1图【例1】 如图所示，已知直线PA 交⊙O 于A ，B 两点，CD 是⊙O 的切线，切点为C ，过点C 作CD⊥PA 于点D.若AD∶DC＝1∶3，AB ＝8，则⊙O 的半径为__5__．变式 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F.(1)求证：FE⊥AB.(2)当EF ＝6，OA OF ＝35时，求DE 的长．变式图变式答图解：(1)证明：如图，连结AD ，OD ， ∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°， 又∵AB＝AC ，∴CD ＝DB ，又CO ＝AO ，∴OD ∥AB ，∵FD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴FE ⊥AB. (2)∵OA OF ＝35，∴OA AF ＝32，∵OD ∥AB ，∴DE EF ＝OA AF ＝32，又EF ＝6，∴DE ＝9., 类型 2 两切线相交型)例2图【例2】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC ，BC 边分别交于点E ，F ，G ，连结OD ，已知BD ＝2，AE ＝3，tan ∠BOD ＝23. (1)求⊙O 的半径OD.(2)求证：AE 是⊙O 的切线． (3)求图中两部分阴影面积的和． 解：(1)∵AB 与⊙O 相切，∴OD ⊥AB ，在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BDOD ＝23，∴OD＝3.例2答图(2)证明：连结OE，∵AE＝OD＝3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为⊙O的切线．(3)∵OD∥AC，∴BDAB＝ODAC，即22＋3＝3AC，∴AC＝7.5，∴EC＝AC－AE＝7.5－3＝4.5，∴S阴影＝S△BDO＋S△OEC－S扇形FOD－S扇形EOG＝12×2×3＋12×3×4.5－90π×32360＝3＋274－9π4＝39－9π4., 类型 3 由图形的变换生成的相切问题)例3图【例3】我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋43与x轴、y轴分别交于点A，B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P 在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P的个数是( A)A．6 B．8 C．10 D．12。

【易错题解析】浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1•在平血直角坐标系xOy中，以点（3, 4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定2. G5O的半径r=5cm,直线I到圆心0的距离d=4,则直线I与圆的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.重合3. 如图，。

0的直径BC=12cm, AC是G）0的切线，切点为C, AC=BC, AB与©0交于点D,则CD的长是（）A. ncmB. 3ncmC. 4ncmD. 5ncm4. 己知O0的面积为9ncm2 ,若点O到直线I的距离为mm,则直线I与的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定5. 如图，PA, PB分别是O0的切线，A, B分别为切点，点E是O0±一点，且ZAEB=60°,则ZP%（）BA. 120°B. 60°C. 30°D. 45°6.如图，点O是ZBAC的边AC±的一点，O0与边AB相切于点D,与线段AO相交于点E,若点P是。

0 上一点，且ZEPD=35°,则ZBAC的度数为（）A. 20°B. 35°C. 55°D. 70°7.4•—个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于（）A. 21B. 20C. 19D. 188.已知RtA ABC中，ZC=90°, AC=3, BC=4,若以2为半径作。

C,则斜边AB与0C的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定9.如图已知G）0的半径为R, AB是G）0的直径，D是AB延长线上一点，DC是O0的切线，C是切点，连结AC,若ZCAB=30° ,则BD的长为（）A.RB. V3RC. 2RD. —R210.如图，AB为半圆0的直径，AD、BC分别切O0于A, B两点，CD切。

第二章直线与圆的位置关系一、选择题1.已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3．5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定2.已知三角形的三边长分别为：3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（）A. 0，1，2，3B. 0，1，2，4C. 0，1，2，3，4D. 0，1，2，4，53.下列关于圆的切线的说法正确的是（）A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线4.Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定5.如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC=，则sin∠C的值为（）A. B. C. D.6.下列说法中，正确的是（）A. 垂直于半径的直线是圆的切线B. 经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线C. 经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线7.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 67.5°8.两个同心圆的半径之比为3：5，AB是大圆的直径，大圆的弦BC与小圆相切，若AC=12，那么BC=（）A. 6B. 8C. 10D. 169.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，以2.4为半径作圆，则过点A（4，0）、B（0，3）的直线与⊙O的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上三种情况都有可能10.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40o，则∠OCB的度数为( )A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°11.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 1二、填空题12.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是________．13.直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，该三角形的内切圆半径为________ ．14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=________15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=________．16.在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为________17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径________18.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠APB=60°，PA=3．则⊙O的半径是________ 。