下载文档原格式
求轨迹方程的常见应用及实例分析概述轨迹方程是描述一个物体运动路径的数学表达式。
它在多个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍轨迹方程的常见应用，并通过实例分析加深理解。
利用轨迹方程求解几何问题在几何学中，轨迹方程可以帮助我们求解与几何图形运动相关的问题。
例如，通过分析一个球从斜面滚下的过程，我们可以得出球滚动的轨迹方程，从而计算球与斜面的碰撞点、速度、加速度等参数。
追踪物体运动的轨迹轨迹方程在物理学和工程学中起着重要的作用。
例如，在机械工程中，我们可以通过求解物体在弹簧的作用下的运动轨迹方程，从而设计出合适的机械装置。
在物理学中，轨迹方程可以帮助我们理解各种力学现象，如自由落体、抛体运动等。
仿真和模拟轨迹方程也广泛用于计算机仿真和模拟领域。
通过编写适当的数学方程，我们可以模拟各种现实场景中物体的运动轨迹。
这对于科学研究、工程设计和娱乐产业都有着重要意义。
实例分析：自由落体运动我们以自由落体运动为例进行实例分析。
自由落体是一个简单而常见的物理现象，即物体在不受外力作用下，只受重力加速度影响的运动。
通过应用轨迹方程，我们可以推导出自由落体的运动轨迹方程为：h = 0.5 * g * t^2其中，h表示下落的距离，g表示重力加速度，t表示时间。
利用这个轨迹方程，我们可以计算出在不同时间点下落的距离。
这对于设计和预测物体坠落过程中的运动行为具有重要意义。
结论轨迹方程是一个重要的数学工具，具有广泛的应用领域。
它可以帮助我们求解几何问题、追踪物体运动、进行仿真和模拟等。
通过实例分析，我们更加深入地理解了轨迹方程的应用和意义。
参考文献:。
学案3 平抛运动[学习目标定位] 1。
知道什么是抛体运动，知道抛体运动是匀变速曲线运动。
2。
理解平抛运动及其运动规律，会用平抛运动的规律解决有关问题。
3.了解斜上抛运动及其运动规律.4。
掌握分析抛体运动的方法——运动的合成与分解．一、抛体运动1．抛体运动：以一定的速度将物体抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动．2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动．3．平抛运动的特点．二、平抛运动的规律1．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．2．运动规律（1）水平方向：加速度a x＝0，速度v x＝v0，位移x＝v0t。
（2）竖直方向:加速度a y＝g，速度v y＝gt，位移y＝错误!gt2.(3）合速度：v＝错误!＝错误!，若合速度与x轴的夹角为θ，则tan θ＝错误!。
（4)合位移：l＝错误!.(5)轨迹方程：y＝错误!x2,是一条抛物线．三、一般的抛体运动1．斜抛运动：初速度沿斜向上方或斜向下方的抛体运动．2．斜向上抛运动的规律（如图1所示）(1）水平方向：v x＝v0cos θ，x＝v0t cos θ。
（2)竖直方向:v y＝v0sin θ－gt，y＝v0t sin θ－错误!gt2.图1一、抛体运动［问题设计]将一些小石子沿与水平方向成不同夹角的方向抛出，观察石子的运动轨迹,并分析这些石子运动过程中有什么相同之处．答案竖直向上、向下抛出的石子做直线运动,沿其他方向抛出的石子其运动轨迹为曲线．忽略空气阻力的情况下，这些石子都只受重力作用．[要点提炼]1．抛体运动的特点（1)初速度不为零．（2）物体只受重力的作用，加速度为重力加速度，方向竖直向下．（3）抛体运动是一种理想化的运动模型．(4)抛体运动是匀变速曲线（或直线）运动．2．平抛运动(1)条件：①物体的初速度v0方向水平．②物体只受重力作用．(2)性质：加速度为g的匀变速曲线运动．二、平抛运动的规律［问题设计]平抛运动是匀变速曲线运动，研究平抛运动,我们可以建立平面直角坐标系,沿初速度方向建立x轴，沿重力方向竖直向下建立y轴．（1）物体在x方向、y方向分别做什么运动?(2)利用运动的合成与分解知识求解做平抛运动的物体自抛出点经过时间t运动的速度和位移．答案（1)平抛运动的物体在水平方向不受力的作用，做匀速直线运动，竖直方向上在重力的作用下，做自由落体运动．（2)水平方向v x＝v0，位移为x＝v0t；竖直方向v y＝gt,y＝错误!gt2则t时刻物体的速度大小和方向：v＝错误!＝错误!,设v与x轴正方向的夹角为θ，则tan θ＝错误!＝错误!;t时刻物体的位移大小和方向；l＝x2＋y2＝错误!,设合位移的方向与水平方向夹角为α,则tan α＝错误!＝错误!。
平抛运动中的三个结论及应用结论1：将物体从竖直面内直角坐标系的原点以初速度水平抛出（不计空气阻力），当它到达B点时，速度的反向延长线与x轴的交点的横坐标等于B点横坐标的一半。
证明：如图1所示，B点是做平抛运动的物体轨迹上的一点。
作B点的切线，与x轴的交点坐标为（，0）。
设物体的初速度为，经过时间t，竖直分速度为，竖直方向的分位移为，物体在B点的速度与水平方向的夹角为α，则由图1知由于，故，即。
结论2：平抛运动轨迹上任一点的速度方向（用速度和x轴的夹角表示）和位移方向（用位移和x轴的夹角α表示）的关系为。
证明：竖直平面内建立直角坐标系，以物体的抛出点为坐标原点O，以初速度方向为Ox轴正方向，竖直向下的方向为Oy轴正方向。
如图3所示，设物体抛出后ts末时刻，物体的位置为P，其坐标为x（ts内的水平位移）和y（ts内下落的高度），ts末速度的水平分量和竖直分量分别为、，则位移与水平方向的夹角α由下式决定（1）速度v与水平方向的夹角β由下式决定（2）比较（1）（2）两式可知，平抛运动中速度和位移的方向并不一致，且。
结论3：如图4所示，以大小不同的初速度，从倾角为θ、足够长的固定斜面上的A点沿水平向左的方向抛出一物体（不计空气阻力），物体刚落到斜面上时的瞬时速度方向与斜面的夹角与初速度大小无关。
证明：如图5所示，设物体到B 点时的竖直速度为，水平速度为，其速度v 与水平方向的夹角为β，与斜面的夹角为α。
由几何关系知由于θ为定值，所以β也为定值，由几何关系知速度与斜面的夹角也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛物体的初速度无关，只与斜面的倾角有关。
类平抛运动的规律与平抛运动的规律一样。
（1．类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝F 合m.这种运动，只是恒定合力F 合代替了平抛运动的重力，其研究方法跟平抛运动相同 ） 二、结论的应用1．求平抛运动的水平位移例1．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A 与竖直墙壁成530，飞镖B 与竖直墙壁成370，两者相距为d 。
平抛运动的分析与应用平抛运动是指物体以一定的初速度从水平方向上抛出，在重力作用下沿抛物线运动的过程。
这种运动在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
本文将对平抛运动进行分析，并探讨其在现实生活中的应用。
1. 平抛运动的基本原理平抛运动是受到重力和空气阻力两个主要因素的影响。
重力使物体向下加速，而空气阻力则会减缓物体的水平速度。
在没有考虑空气阻力和精度要求不高的情况下，可以近似认为平抛运动是一个简单的二维运动问题。
2. 平抛运动的描述与公式平抛运动可以用一系列物理公式来描述。
其中，初速度、抛射角度、抛体的质量等是影响平抛运动的重要参数。
根据牛顿第二定律和重力加速度的定义，可以得到以下公式：- 水平方向的速度: vx = v * cosθ- 垂直方向的速度: vy = v * sinθ - g * t- 水平方向的位移: dx = v * cosθ * t- 垂直方向的位移: dy = v * sinθ * t - (1/2) * g * t^2- 抛体的飞行时间: t = 2 * vy / g- 抛体的最大高度: H = (v * sinθ)^2 / (2 * g)这些公式可以帮助我们分析和计算平抛运动的各种参数和特性。
3. 平抛运动的应用平抛运动在工程、射击、体育和生活中都有广泛的应用。
3.1 工程应用在给定初始速度和角度的情况下，工程师可以通过准确地计算平抛运动物体的落点来确定抛物线的轨迹，从而进行物体抛掷、炮弹射击等方面的设计。
此外，通过分析平抛运动可以评估物体的飞行轨迹和撞击力，以确保工程的安全性和稳定性。
3.2 射击应用在射击运动中，运动员经常需要根据目标距离和环境条件调整射击角度和力度。
平抛运动的分析可以帮助运动员更好地预测子弹的飞行轨迹，提高射击的准确性。
此外，在军事射击中，平抛运动的研究也对炮弹的轨迹计算和弹道技术有着重要意义。
3.3 体育应用平抛运动在许多体育项目中也发挥着重要作用。
平抛运动轨迹方程在解题中的应用
摘要：本文首先介绍了平抛运动的轨迹方程，然后以两道典型习题为例，通过运动合成分解与轨迹方程两种解法的对比，分析了利用平抛运动的轨迹方程解决平抛运动问题的优越性。
对中学生应用数学工具解决物理问题有一定的参考价值。
关键字： 平抛运动 轨迹方程 运动合成与分解
平抛运动的迹方程是半支开口向下的抛物线。
我们处理平抛运动的基本方法是将其分解为水平方向的匀速直线和竖直方向的自由落体两个运动分别研究。
实际上，许多平抛运动的问题借助运动轨迹方程更容易求解。
一、平抛运动的轨迹方程
平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。
两
个方向上的运动规律分别为t v x 0=和22
1gt y -=，负号表示物体竖直向下运动。
两式联立，消掉t 可得2202x v g
y -=。
如果物体是从距离地面h 处抛出，且令
2202x v g
a =，则 h ax y +-=2。
此式就是平抛运动的轨迹方程，其中的二次项系
数a 由物体抛出时的速度v 0唯一确定。
二、轨迹方程在解题中的应用
利用得到的轨迹方程，我们可以将许多平抛运动的问题转化为数学问题轻松求解。
下面举两个实例。
[例1]如图(1)所示，从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2s ；在A 点正上方的高为2H 的B 点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中运行的轨道在同一竖直平面内，且都从同一屏的顶端擦过，求屏M 的高度？
解析：利用运动合成与分解来分析：设屏幕的高度h ，它距物体抛出点的水平距
离为x , 物体从A 处抛出的速度v 1, 从B 处抛出速度v 2,根据平抛运动规律可得； 对A 处抛出的物体： H =gt 12/2 (1)， 2s =v 1t 1 (2)
对B 处抛出的物体； 2H =gt 22/2 (3)， s =v 2t 2 (4)
因为A 处抛出的物体擦过屏M 的顶端，所以 H-h = gt 32/2 (5) ，x =v 1t 3 (6) 同理，B 处抛出的物体也擦过屏M 的顶端， 2H -h = gt 42/2 (7) ，x =v 2t 4 (8)
(1)(2)(3)(4) 联立解得 v 12/v 22=8， (5)(6)(7)(8) 联立解得 v 12/v 22 =(2H-h )/(H-h ) 所以 (2H-h )/(H-h )=8，h =6H /7。
即屏幕的高度为h =6H /7
如果利用运动轨迹求解，我们只要建立图(2)中直角坐标系，使物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y 轴上的抛物线。
设两抛物线方程分别为：
y=-a A x 2+H 和 y=-a B x 2+2H
把E （2s ，0）、F （s ，0）两点分别代入两个方程求解系数得：a A =H /4s 2, a B =2H /s 2；由此确定两个平抛运动的轨迹方程并联立：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=H x s H y H x s H y 2242222 这个方程组的解的纵坐标y =6H /7即为屏的高度。
[例2]如图(3)所示，排球场的总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员在离网3m 的线上正对网前跳起将球水平击出(空气阻力不计)。
(1)设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么围内才能使球既不触网也不界．(2)若击球点在3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度(g 取10m/s 2)．
解析：利用运动的合成与分解求解:(1) 如图(4)所示，设球刚好触网而过，此过程球水平射程s 1=3m ，球下落高度 △h=h 2－h 1=0.5m ，根据平抛运动规律：
球下落时间t 1=
2(h 2-h 1)/g =
1010 s ， 水平方向速度为v 1=s 1/t 1 =3 10 m/s 。
此速度是球被击出时的下限速度。
设球恰好落在边界线上，此过程水平射s 2=12m ，
下落高度为h 2，根据平抛运动规律：球飞行时间t 2=
2h 2/g = 22 s ，水平方向速度为v 2= s 2/t 2=12 2 m /s 。
此速度是球被击出时的上限速度。
可以看出：欲使球
既不触网也不出界则球被击时的速度应满足3 10 m /s<v <12 2 m /s 。
(2) 如图(5)所示，设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线。
根据平抛运动规律：球触网，则△h =h 3－h 1=gt 32/2，t 3=s 1/v =3/v ，所以 h 3－2.5=9g /2v 2。
又球压线，则 h 3= gt 42/2，t 4=12/v ，所以h 3=144g /2v 2，由以上式子消去v ，解得:
h 3=32/15m=2215 m 。
即当击球高度小于2215
m ，球不是触网就是出界。
利用平抛运动的轨迹分析：(1) 建立图(6)所示的直角坐标系, 使击球点A 位于y 轴上，边界C 点在x 轴上。
设球以速度v 1击出后刚好触网，则球被击出后过B 点，运动轨迹为抛物线Ⅰ；设球以速度v 2击出后刚好压线，则球过C 点，运动轨迹为抛物线Ⅱ。
设抛物线Ⅰ和Ⅱ的方程分别为：
5.22221+-=x v g
y 和 5.22222+-=x v g y
将B(3,2) 代入抛物线Ⅰ，可得方程 5.229221+-=v g
，
将C(12,0) 代入抛物线Ⅱ，得方程 5.272022+-=v g。
分别求解两个方程得：v 1=3 10 ，v 2= 12 2 。
欲使球既不触网也不出界则球被
击时的速度应满足3 10 m/s<v <12 2 m/s 。
(2) 设球从h 高处击出后刚好既触网又压线。
建立图(7)所示的直角坐标系，使击球点A 位于y 轴上，边界C 点在x 轴上，且A 、B 、C 三点均在抛物线上。
设抛物线方程为h ax y +-=2，将B(3,2)、C(12,0)两点分别代入抛物线得：
⎩
⎨⎧+-=+-=h a h a 144092 解方程组得 h =2215 ，即当击球高度小于2215 m 时，球不是触网就是出界
三、小结
通过上面两个实例我们可以看到，通过平抛运动轨迹，将平抛运动的问题转化为数学问题求解的确简单方便。
现行的高考大纲明确地把“利用数学方法解决物理问题”作为物理学科考查的五大能力之一，这是物理学作为一门精确科学与数学之间密不可分的关系决定的，也是我们实施素质教育，培养创新型人才的要求。
物理教师在平时的教学中应该加强这方面的引导，多给学生渗透函数与方程、数形结合、极限等数学思想。
指导学生在处理物理问题时灵活应用这些数学方法，以适应素质教育的要求。
利用轨迹方程求解平抛运动问题就是典型的一例。
