章末知识整合

章末知识整合由于本章公式较多，且各公式间又相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时除采用常规的公式法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法等也是本章解题中常用的方法．1．一般公式法一般公式法是指速度、位移公式的运用，即基本规律的运用，它们均是矢量式，使用时要注意物理量的正负．2．平均速度法定义式v－＝st对任何性质的运动都适用，而v－＝12(v0＋v t)只适用于匀变速直线运动．3．中间时刻速度法“一段时间的中间时刻的瞬时速度v t2等于该物体在这段时间内的平均速度v－”，适用于任何一段匀变速直线运动．4．比例法对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的五个比例关系，用比例法求解．5．逆向思维法把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况．6．图象法应用vt图象，可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解决，尤其是图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速找出答案．7．巧用推论Δs＝s n－s n－1＝aT2解题匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δs＝s n－s n－1＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δs＝aT2来求．图象问题【例1】(2013·梅州模拟)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的st图象如图所示，则( )A ．15 s 末汽车的位移为300 mB ．20 s 末汽车的速度为－1 m/sC ．前10 s 内汽车的加速度为3 m/s 2D ．前25 s 内汽车做单方向直线运动解析：由位移时间图象可知：前10 s 汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s ，加速度为0，所以C 项错误；10～15 s 汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m ，A 项错误；15～25s 汽车向反方向做匀速直线运动，速度为v ＝Δs Δt ＝20－3025－15m/s ＝－1 m/s ，B 项正确，D 项错误．答案：B【例2】 某物体运动的vt 图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．物体在第1 s 末运动方向发生改变B ．物体在第2 s 内和第3 s 内的加速度是相同的C ．物体在第6 s 末返回出发点D ．物体在第5 s 末离出发点最远，且最大位移为0.5 m 解析：物体在前2 s 内速度方向均为正方向，A 项错误；物体在第2 s 内和第3 s 内的vt 图线的斜率相同，故加速度相同，B 项正确；物体在前4 s 内的总位移为零，在第2 s 末和第6 s末离出发点最远，最大位移为s m ＝12×1×2 m＝1 m ，故C 、D 两项均错误．答案：B点评：考查对vt 图象的理解是本章在高考中的高频考点，考试时一定要明确所给图象显示的知识内容．如图象的截距、斜率、所围面积、图象交点等，所传达的是什么物理知识或反映的是物理量之间的什么关系等，抓住这些信息去进行判断选择． 实验数据的处理【例3】 (2012·山东高考)某同学利用图甲所示的实验装置，探究物块在水平桌面上的运动规律．物块在重物的牵引下开始运动，重物落地后，物块再运动一段距离停在桌面上(尚未到达滑轮处)．从纸带上便于测量的点开始，每5个点取1个计数点，相邻计数点间的距离如图乙所示．打点计时器电源的频率为50 Hz.(1)通过分析纸带数据，可判断物块在两相邻计数点________和________之间某时刻开始减速．(2)计数点5对应的速度大小为________m/s ，计数点6对应的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)．(3)物块减速运动过程中加速度的大小为a ＝______m/s 2，若用a g来计算物块与桌面间的动摩擦因数(g 为重力加速度)，则计算结果比动摩擦因数的真实值______(选填“偏大”或“偏小”)．解析：(1)由于计数点6之前相邻计数点之间距离之差约为2 cm ，而计数点6、7之间的距离比计数点5、6之间的距离多1.27 cm ，故可判断物块在相邻计数点6和7之间某时刻开始减速．(2)计数点5对应的速度v 5＝s 462T ＝＋－22×0.1m/s≈1.00 m/s. 物块做加速运动时加速度大小为a 加＝Δs 加T 2＝2.00×10－20.12＝m/s 2＝2.00 m/s 2. 则计数点6对应的速度为v 6＝v 5＋a 加T ＝(1.00＋2.00×0.1)m /s ＝1.20 m/s.(3)物块做减速运动时的加速度大小为a ＝Δs 减T 2＝2.00×10－20.12 m/s 2＝2.00 m/s 2. 由牛顿第二定律得：μmg ＝ma ，所以μ＝a g，由于除去物块与桌面间的摩擦力，纸带还受到摩擦力的作用，故计算结果比动摩擦因数的真实值偏大．答案：(1)6 7(或7 6) (2)1.00 1.20(3)2.00 偏大一、单项选择题1．(2013·广东高考)某航母跑道长为200 m ，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s 2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )A ．5 m/sB ．10 m/sC ．15 m/sD ．20 m/s解析：由v 2t －v 20＝2as 得：v 0＝v 2t －2as ＝10 m/s.选项B 正确．答案：B2.质点做直线运动的vt 图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )A ．0.25 m/s ，向右B ．0.25 m/s ，向左C ．1 m/s ，向右D ．1 m/s ，向左解析：前8 s 内平均速度v —＝12×2×3＋12－8＝－0.25 m/s ，说明平均速度的大小为0.25 m/s ，方向向左．答案：B3.(2013·广东六校联考)如图所示为物体做直线运动的vt 图象．若将该物体的运动过程用st 图象表示出来(其中s 为物体相对出发点的位移)，则下列四幅图描述正确的是( )答案：C二、双项选择题4．(2013·梅州皇华中学月考)有关下图所示vt图象的说法，错误的是( )A．物体做匀速直线运动B．速度随时间而增加C．第3 s的速度是10 m/sD．第3 s末的速度是10 m/s解析：由图象可知，图象的斜率ΔvΔt ＝53m/s2＝a为一固定值，即该物体做匀加速直线运动，故A项错误，B项正确．一般我们所说的速度为物体的瞬时速度，故D项为正确表述．答案：AC5．(2013·全国新课标高考)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移-时间(x-t)图线，由图可知( )A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大解析：在时刻t1，b车追上a车，选项A错误．根据位移图象的斜率表示速度可知，在时刻t2，a、b两车运动方向相反，选项B正确．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加，选项C正确，D项错误．答案：BC6．(2013·全国大纲版高考)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的图象分别如直线甲、乙所示．则( )A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 mB．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等解析：由于甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，t＝2 s时，两球的高度相差不一定为40 m，两球从抛出至落到地面所用的时间间隔不相等，选项A、C错误．根据速度图象与横轴所夹面积表示位移可知，t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等，选项B正确．由于甲乙两小球先后以同样的速度竖直向上抛出，甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等，选项D正确．答案：BD三、非选择题7．汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如下图所示．(1)画出汽车在0～60 s内的vt图线．(2)求在这60 s内汽车行驶的位移．解析： (1)由加速度图象可知，前10 s 汽车匀加速，后20 s 汽车匀减速并恰好停止，因为图象的面积表示速度的变化，此两段的面积相等，最大速度为20 m/s ，所作的vt 图象如下图所示，利用速度图象的面积求出位移．(2)汽车运动的位移为匀加速、匀速、匀减速三段面积之和 s ＝s 1＋s 2＋s 3 ＝12×20×10＋20×30＋12×20×20＝900 m. 答案：(1)速度图象如解析图所示 (2)900 m8．如图是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带．(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz ，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________．(2)A 、B 、C 、D 是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出．从图中读出A 、B 两点间距s ＝______；C 点对应的速度是________．(计算结果保留3位有效数字)解析：(1)T ＝1f＝0.02 s. (2)读A 、B 两点数值：1.00 cm 、1.70 cm ，故：s ＝1.70－1.00＝0.70 cm ，v C ＝v －BD ＝BD 2t ＝0.90＋1.100.2×10－2 m/s ＝0.100 m/s.答案：(1)0.02 s (2)0.70 cm 0.100 m/s。

章 末 整 合专 题 总 结专题一 通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前n 项的和．现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．；…，3132，1516，78，34，12(1) ；…，932，－716，58，－34，12(2)－ (3)3,33,333,3333，…；(4)1,3,6,10,15，….解析：(1)不难看出，各项的分母是2的.2n －12n＝n a ∴，1次幂，分子比分母小n (2)观察数列的前5项发现如下规律：分子1,3,5,7,9与序号的关系是序号的2倍减1，即2n －1；分母2,4,8,16,32与序号的关系是，而各项的符号变化为n 2的序号次幂，即2所.n 1)－(与序号的关系是…负，正，负，正，.2n －12n·n 1)－(＝n a 以数列的一个通项公式是 ．1)－n (1013＝1)－n (1039＝n a (3) ．1)＋n (n 12＝n a (4) 总结点评：用观察法写出数列的通项公式．一般考虑如下几点：－n 1)－(或者n 1)－(考虑公式中是否有①部分．1 ②考虑各项的变化规律与序号关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后，规律表现的不那么明显的项，同时注意等差、等比的关系．③应特别注意：自然数列、正奇数列、有n 1)－(与}2n {正偶数列、自然数的平方数列关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．【变式训练】1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：；…，1617，910，45，12(1) ；…，131，115，－17，13(2)1，－ ；…，3132，1516，78，34(3) (4)21,203,2005,20007，…；(5)0.2,0.22,0.222,0.2222，…；(6)1,0,1,0,1,0，…；.…，76，15，54，13，32(7)1， 解析：(1)∵各项的分子分别是1.，分母比分子大242,32,22,1 .n2n2＋1＝n a 数列的通项公式∴ (2)奇数项为正，偶数项为负，各项分母＝1－47,2＝1－33,2＝1－21,2＝1－12可看作 1.，各项分子均为…，31＝1－515,2 ＋n 1)－(＝n a 数列的通项公式为∴.12n －1·1，…，524,23,22,2各项的分母分别是∵(3)分子比分母小1，.2n ＋1－12n ＋1＝n a 数列的通项公式为∴ (4)各项可看作21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2005＝2×1000＋5,20007＝2×10000＋7.n(2＋n 10×2＝n a 数列的通项公式为∴－1)．29＝0.1×2＝0.2把各项适当变形(5)0.99×29＝0.11×2＝0.22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110×29＝0.9×，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100×29＝ 29＝0.2222，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11000×29＝222．0，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110000×.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n 29＝n a 数列的通项公式为∴ (6)奇数项皆为1，偶数项皆为0.错误!＝n a 数列的通项公式为∴ ＝13，1＋12＝32，0＋1＝1各项可看作(7)，…，1＋16＝76，0＋15＝15，1＋14＝54，0＋13 .错误!＋1n＝n a 数列的通项公式为∴ 2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．n S 项和关系式有两种形式：一种是n 前a)，它可由公式n (f ＝n S 的关系式，记为n 与错误!＝n 2两≥n ＝1与n ，但要注意n a 直接求出通项的关系式n a 与n S 种情况能否统一；另一种是.n a )＝0，求它的通项公式n S ，n a (f ，记为例＝14S .已知n S 项和为n }的前n a 记等比数列{2的通项公式．}n a ＝17，求{8S ，8S ，1＝4S ，由q 的公比为}n a {设解析：＝17知q ≠1，所以得错误!①1＝ 错误!②17＝ ＋4q ，整理，得17＝q8－1q4－1式得②、①由1＝17.2.＝－q 或2＝q ，所以16＝4q 解得 ＝n a ∴，115＝1a 式，得①代入2＝q 将；2n －115，15＝－1a 式，得①代入2＝－q 将 .错误!＝n a ∴例}的n a 是数列{n S >0，n a }中，n a 已知在数列{3.n a ，求n S ＝21an＋n a 项和，且n 前 }n a {此题按一般方法转化为数列解析：＝n a ，不妨利用n a 的递推公式难以求出通项的递}n S {先把它转化为数列2)≥n (1－n S －n S .n a ，再求n S 推公式，先求 ①>0n a 且n S 2＝1an＋n a 对于 1.＝1a ＝1S ∴，1a 2＝1a1＋1a 时，1＝n 当 得①代入1－n S －n S ＝n a 时，把2≥n 当 2n S ，化简得n S 2＝1Sn －Sn －1＋1－n S －n S 1.＝2n －1S － 为首项，1＝21a ＝21S 是以}2n S {所以数列1)·1－n (＋1＝2n S 的等差数列，即1＝d 公差＝n .，n ＝n S ∴，>0n S ∴，>0n a ∵ －n ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当∴.n －1 适合上式，也1＝1a 时，1＝n 而 .n －1－n ＝n a 的通项公式为}n a {∴ ，即已知n a ，求n S 对于已知总结点评：数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，，这里常2)≥n (1－n S －n S ＝n a 其方法是利用常因为忽略了条件n ≥2而出错，必须验证n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分来表示．错误!＝n a 段函数 【变式训练】＝n S 项和n }的前n a 已知数列{．2.30T |}的前30项的和n a ，试求数列{|错误! ＝n a 项和关系n 可利用通项与前解析：的符号来n a ，再讨论n a 先求2)≥n (1－n S －n S .30T 求 60.＝错误!＝1S ＝1a 63.＋n 3＝－1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 的通项}n a {数列∴也适合上式，1＝n ∵63.＋n 3＝－n a 公式 21.≤n ，得0≥63＋n 3＝－n a 由 <0.n a 时，22≥n ；当0≥n a 时，21≤n 即当 |30a |＋…＋|21a |＋…＋|2a |＋|1a |＝30T ∴ ＋…＋23a ＋22a (－)21a ＋…＋2a ＋1a (＝)30a30S －21S 2＝)21S －30S (－21S ＝ 765.＝错误!－错误!×2＝ 3．累差法和累商法)n (f )，n (f ＝n a －＋1n a 且1a (1)形如：已知为可求和数列的形式均可用累差法．an ＋1an且1a (2)形如：已知＝f (n )，f (n )为可求和数列的形式均可用累商法．.n a 根据条件求通项公式4例 na ，求n －n ＝2n a －＋1n a ＝1，1a (1)已知；.n a ，求n ＋2n＝an ＋1an ＝1，1a (2)已知 ，n －n 2＝n a －1＋n a ∵(1)解析： 3a －4a ，2－22＝2a －3a ，1－12＝1a －2a ∴．1)－n (－1－n 2＝1－n a －n a ，…，3－32＝ ∴当n ≥2时，1－n (2＋…＋2)－2(2＋1)－1(2＝1a －n a －n ＋1)＋…＋3＋2＋[1－)1－n 2＋…＋22＋(2＝(n －1)]2.－错误!－n 2＝ 1.－错误!－n 2＝n a ∴，1＝1a ∵ 也适合上式．1＝1a 而 1.－错误!－n 2＝n a 的通项公式为}n a {故 ，n ＋2n＝an ＋1an ∵(2) ＝an an －1，…，53＝a4a3，42＝a3a2，31＝a2a1∴，n ＋1n －1 .错误!＝错误!＝an a1时，2≥n 当∴ .错误!＝n a ∴，1＝1a ∵ 也适合上式，1＝1a 而 .错误!＝n a 的通项公式为}n a {故 总结点评：题设条件是递推公式．根据递推公式求通项公式，常用两种方法：其一，由递推公式求出前五项，然后根据前五项的规律猜想通项公式；其二，利用递推公式中表现出的规律求解，如差后累加，商后累积等．【变式训练】＝＋1n a ＝1，1a }中，若n a 在数列{．3.n a ，求通项n a n n ＋1对所有正整数均n a n n ＋1＝1＋n a ∵解析：恒成立，n n ＋1＝an ＋1an 成立，即 .n －1n ＝an an －1，…，23＝a3a2，12＝a2a1∴ ＝an an －1×…×a3a2×a2a1以上各式累乘得，n －1n×…×23×12 适合1a ，且1n＝n a ∴，1＝1a ∵又.1n ＝an a1即.1n＝n a 综上，通项为.n a 4．构造法为q ，p (q ＋n pa ＝＋1n a ，1a 形如：已知＋1n a 常数)形式均可用构造等比数列法，即＋n a }为等比数列，或x ＋n a )，{x ＋n a (p ＝x ＋}为等比数n a －＋1n a )，{n a －＋1n a (p ＝＋1n a －2列．12＝＋1n a ＝1，1a }满足n a 若数列{5例.n a ＋1，求n a ＋n a 12＝2＋n a ∴，1＋n a 12＝1＋n a ∵解法1：，1＋1 )n a －1＋n a (12＝1＋n a －2＋n a 两式相减得 ，)…，1,2,3＝n (n a －1＋n a ＝n b 令 ，n b 12＝1＋n b ，12＝1－32＝1a －2a ＝1b 则 比的等比为公12为首项，12是以}n b {数列数列．na (＋…＋)2a －3a (＋)1a －2a (＋1a ＝n a ∴)1－n a － 1－n b ＋…＋2b ＋1b ＋1a ＝1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＋1＝ )，A －n a (12＝A －＋1n a 设：2解法 ，A ＋A 12＝－n a 12－＋1n a 则 12＋1可得：－n a 12＝＋1n a 根据A ＋A ＝1，即A ＝2，－2)．n a (12－2＝＋1n a ∴ ＋1n b －2＝－1，1a ＝1b －2，则n a ＝n b 令，n b 12＝ 12}是以－1为首项，n b 数列{∴为公比的等比数列．，－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(－1)·－1n q ·1b ＝n b ∵ －1n⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－n b ＝2＋n a ∴ 解法3：(迭代法)1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12an －2＋112＝1＋1－n a 12＝n a1＋12＋2－n a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12an －3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 1＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3－n a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ ＝…1＋12＋…＋3－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1a 1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 1＋12＋…＋3－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ .1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝ 总结点评：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．【变式训练】2n ＋1a }中，n a 在正整数数列{．4.n a ＝1，求通项公式1a ，n a ＝4 解析：由递推关系式难以直接求其通项公式，此时，应设法构造辅助数列，使问题转化为等差或等比数列问题．，n a 4＝2n ＋1a ，对>0n a ∵ 2.＋n a 2log ＝1＋n a 2og 2l 两边取对数，得 ，2＋n b ＝1＋n b 2，则n a 2log ＝n b 令 2.－n b ＝2)－1＋n b 2(即 ，1＝1a ，且n c 12＝1＋n c ，则2－n b ＝n c 令 ，2＝－1c ，0＝1b ∴ 为等比数列，}n c {∴ .2－n )12(＝－1－n )122(＝－n c ∴ ＝n a ，2－n )12(－2＝n b ∴专题二 前n 项和的求法数列中求前n 项和是数列运算中的重要内容，高考题多涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n 项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律．确定恰当的解题方法．常见的数列求和方法有以下几种：1．公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．例＝n b ＋1，则由n ＝2n a }的通项为n a 数列{6a1＋a2＋…＋an n项n }的前n b 所确定的数列{)项和是(n }的前n b 所确定的数列{ ＋4)n (n 12B. ＋2)n (n A ． ＋7)n (n 12＋5) D.n (n 12C. 错误!＝n S ＝n a ＋…＋2a ＋1a 解析： 2.＋n ＝错误!＝n b ∴，2)＋n (n ＝错误!＝n S 即 错误!＝n T 项和，则n 的前}n b {为数列n T 令.错误!＝错误!＝ 答案：C例>0，a (n x a ＝1＋log ＋1n x a }满足log n x 设数列{7＝10100x ＋…＋2x ＋1x )，且＋N ∈n 1，≠a 且)的值为(200x ＋…＋102x ＋101x 0，则 2a B ．101 a A ．100 100a D ．100 100a C ．101 nx a log ，得n x a log ＋1＝1＋n x a log 由解析：，)n ax (a log ＝1＋ 的a 是公比为}n x {，即数列a ＝xn ＋1xn∴等比数列．102x ＋101x ＝2b ，100x ＋…＋2x ＋1x ＝1b 设项取和100中每隔}n x {，即在数列200x ＋…＋为等比}n b {，则}n b {按原顺序排列构成新数列.100a ＝Q 数列，公比为 .100a 100·＝Q ·1b ＝2b ∴ .100a 100＝200x ＋…＋102x ＋101x 即 答案：D，n S 利用等比数列的性质：总结点评：成等比数列．n 2S －n 3S ，n S －n 2S 【变式训练】}的n a 为数列{n S }为等差数列，n a 设{．5为数列n T ＝75，15S ＝7，7S 项和．已知n 前.n T 项和，求n 的前⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n ，公差1a 的首项为}n a {设等差数列解析：为d ，.d 1)－n (n 12＋1na ＝n S 则 ，75＝15S ，7＝7S ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 7a1＋21d ＝7，15a1＋105d ＝75.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－2，d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋3d ＝1，a1＋7d ＝5.即 ．1)－n (12＋2＝－d 1)－n (12＋1a ＝Sn n ∴ ，12＝Sn n －Sn ＋1n ＋1∵ ，2是等差数列，其首项为－⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 数列∴.12公差为 .n 94－2n 14＝n T ∴2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：)；错误!－错误!·(错误!＝错误!① ，d }为等差数列，公差为n a 若{② )；1an ＋1－1an (1d ＝1an·an ＋1则 等．n －n ＋1＝1n ＋1＋n③＝n a }，且n a 已知数列{8例项和．n ，求其前错误! ，)错误!－错误!(错误!＝错误!＝n a ∵解析： 11×4＝n a ＋…＋2a ＋1a ＝n S 项和n 前∴错误!＋…＋17×10＋14×7＋ ＋…＋)110－17(＋)17－14(＋)14－[(113＝)]13n ＋1－13n －2(.n 3n ＋1＝)13n ＋1－(113＝ 总结点评：本题将所求和式中的一项拆成两项，出现抵消项达到求和的目的，这种＝错误!方法是裂项求和法，常见的拆项还有：－n ＋1＝1n ＋n ＋1，1b ＋a ＝1b a ，1n ＋1－1n ．)错误!－错误!(错误!＝错误!，n 【变式训练】11＋2＋3，11＋2}：1，n a 已知数列{．6项n ，求它的前…，11＋2＋3＋…＋n，…，和．，错误!2＝错误!＝n a ∵解析： na ＋…＋2a ＋1a ＝n S ∴ ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 .2n n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋12＝ 3．错位相减法}是等n b }为等差数列，数列{n a 若数列{比数列，由这两个数列的对应项乘积组成项的n }，当求该数列的前n b n a 的新数列为{q }的各项乘以公比n b n a 和时，常常采用将{}的同次项对应相n b n a ，并向后错位一项与{减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．18×＋514×＋312×＝1n S 求和：9例.2n －12n＋…＋ 解析：数列1,3,5，…，2n －1成等差数列，成等比数列，12n，…，18，14，12数列 此例利用错位相减法可达目的．－n (2＋…＋18×5＋14×3＋12×1＝n S ∵①12n×1) 12n×3)－n (2＋…＋18×3＋14×1＝n S 12∴②12n ＋1×1)－n (2＋ ①－②得，1212n ×2＋…＋18×2＋14×2＋12×1＝n S 12n ＋1×1)－n (2－ －n (2－2×14－2×12n ＋11－12＋12×1＝2n ＋32n －3＝n S ∴，2n ＋32n ＋1－32＝12n ＋1×1)．)*N ∈n ( 拆分2n －12n＝n a 将通项公式总结点评：为等比12n为等差数列，1－n 2，12n 1)·－n (2成数列，符合错位相减法的特点．【变式训练】7．利用等比数列前n 项和公式的推导项和n 的数列的前－1n nx ＝n a 方法，求通项为.n S ＋…＋3＋2＋1＝n S 时，1＝x 当解析：；错误!＝n当x ≠1时，nnx ＋2－n x 1)－n (＋…＋2x 3＋x 2＋1＝n S ①，1－ ＋1－n x 1)－n (＋…＋3x 3＋2x 2＋x ＝n xS ②.n nx ①－②得＝n nx －1－n x ＋…＋2x ＋x ＋1＝n S )x －(1，n nx －1－xn1－x .错误!－错误!＝n S ∴ 4．倒序相加法为常数时，可k －n a ＋k a }满足n a 当数列{项和．n }的前n a 用倒序相加法来求数列{⎝ ⎛⎭⎪⎫12008f ＝S ，求和4x 4x ＋2)＝x (f 设10例.⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008f ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22008f ＋ ，4x 4x ＋2＝)x (f 因为解析：＝44＋2·4x＝41－x41－x ＋2＝)x －(1f 所以，24x ＋2所以f (x )＋f (1－x )＝1.＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22008f ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12008f ＝S 所以①，⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008f ②.⎝ ⎛⎭⎪⎫12008f ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫20062008f ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008f ＝S .20072＝S 所以2007.＝S 2得②＋① 总结点评：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．【变式训练】1a ＋…＋2a ＋1a }中，n a 在等差数列{．8.n S ，求N ＝－12n a ＋…＋－1n a ＋n a ，M ＝3 ＋13a (＋…＋)1－n a ＋2a (＋)n a ＋1a (析：解＝…＝1－n a ＋2a ＝n a ＋1a 而N ＋M ＝)12－n a .错误!＝错误!＝n S ∴，M ＋N 13＝12－n a ＋13a5．分组求和法如果一个数列中连续等段的和具有一定的规律性，则可考虑分组求和．分组求和实际上就是通过“拆”和“组”的手段把问题化归为可求或易求和的数列问题．解题时要依据段的特点，对n 的取值进行讨论．例n·(2n －1)＋(…＝－1＋3－5＋7－n S 求和11－1)．；n ＝n 2×2＝n S 为偶数时，n 解析： n ·(2n 1)－(＋n －12×2＝n S 为奇数时，n －1)＝n －1－(2n －1)＝－n ..n ·n 1)－(＝n S ∴ 7)＋5－(＋3)＋1－(＝n S 总结点评：＋……把每二项分成一组，其和为常数，便于求解，但注意项数，因此分为奇数和偶数讨论．【变式训练】12n ＋n ，(…，18，314，212(1)求数列1．9)的前n 项和；.＋…＝3＋33＋n S (2)求和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋…＋183＋142＋121＝n S (1)解析： ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n .错误!－1＋错误!＝ ．1)－n (1013＝×39＝＝n a (2) n (1013＋…＋1)－2(1013＋1)－(1013＝n S ∴－1)n 3－)n 10＋…＋210＋(1013＝ .错误!－1)－n (10错误!＝错误!－错误!×13＝专题三 思想方法1.函数与方程的思想数列是特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解的最值n S 项和n 决问题．比如求等差数列前，常转化为关于n 的二次函数求最值或数形结合利用函数图象求最值．等差(比)数列的通项公式和前n 项和公这五个基本量n S ，n a )，q (d ，n ，1a 式中含有，已知其中任三个，通过解方程组可以求出其余两个．例成7a ，5a ，3a ，1a }共七项，其中n a 数列{12成等比数6a ，4a ，2a ；S 等差数列，其和为4a ＝25，求7a ＋4a ＋1a ＝42，6a ·2a －S 列，若.，7a ＋5a ＋3a ＋1a ＝S 解法1： .S ＝)7a ＋1a 2(∴，5a ＋3a ＝7a ＋1a ∵ ，25＝7a ＋4a ＋1a 又 .S 2－25＝)7a ＋1a (－25＝4a ∴ 成等比数列，6a ，4a ，2a ∵ ，42－S ＝6a 2a ，又6a 2a ＝24a ∴ ，42－S ＝24a 即 2668＋S 104－2S ，即42－S ＝2)S 2－(25∴＝0，±4.＝4a 或±2＝4a ∴，58＝S 或46＝S ∴ 不合题意，4＝4a 或2＝－4a 检验知 4.＝－4a 或2＝4a 故 ，S 2＝25－4a 由解法1可知：2解法 ，4a ＝50－2S ∴ ＝42，6a ·2a －S ，代入24a ＝6a ·2a 又 ＝42，24a －4a 可得50－2 －8＝0，4a ＋224a 即 ＝－4.4a ＝2或4a 解得例是其前n S >0，1a }中，首项n a 在等差数列{13nS 等于多少时，n .问当10S ＝3S 项的和，且n 的值最大？最大值是多少？3S ，由d 的公差为}n a {设等差数列解析：.1a 错误!＝－d ，则错误!＝错误!，得10S ＝ n (n 12＋1na ＝d 1)－n (n 12＋1na ＝n S 所以，1a 16948＋2)132－n (1a 112＝－)1a 16－1)(－ 取得最大值，n S 时，7＝n 或6＝n 故当.1a 72最大值为 总结点评：数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作是以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题是常用的思想方法．【变式训练】}n a 为数列{n S }为等差数列，n a 设{．10为n T ＝－75，15S ＝21，7S 项和，已知n 的前的最大值．n T 项和，求n }的前Sn n数列{ ，n T ，继而求得n S 列方程组可求得解析：的函数来求最大值n 看成关于自变量n T 把即可．1na ＝n S ，则d 的公差为}n a {差数列设等.d 1)－n (n 12＋ ，75＝－15S ，21＝7S ∵，即⎩⎪⎨⎪⎧ 7a1＋21d ＝2115a1＋105d ＝－75∴，⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝3a1＋7d ＝－52.＝－d ，9＝1a 解得 －n 10＝)n －2n (－n 9＝d 错误!＋1na ＝n S ∴.n －10＝Sn n则.2n 9是以}Sn n {数列∴，1＝－Sn n －Sn ＋1n ＋1∵为首项，公差为－1的等差数列． －n (错误!＝－n 错误!＋2n 错误!＝－错误!＝n T 则.3618＋2)192 有n T 时，10＝n 或9＝n 当∴，*N ∈n ∵最大值45.2．整体思想整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想．整体思想的灵活运用，通常可将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简捷．例＝10，10S }中，前10项的和n a 在等比数列{14.30S ＝30，求20S 前20项的和 解析：易知公比q ≠1.由已知，.错误!得 ，2＝10q ，即3＝10q ＋1，得①÷② (1a11－q＝30S 故10.＝－a11－q ，得①代入70.＝)32－(1×10＝－)30q － 总结点评：在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部分为一个整体，采用整体代换，整体消元，可以大大减少运算量，提高解题速度．【变式训练】，n S 项和为n }的前n a 设等比数列{．11) ＝(S9S6＝3，则S6S3若 D ．3 83C. 73A ．2 B. ，3S －6S ，3S 为等比数列，则}n a {解析：.k ＝3S 成等比数列，令…，6S －9S .k 2＝3S －6S ，k 3＝6S ，3＝S6S3∵B.，故选73＝S9S6，k 7＝9S ∴，k 4＝6S －9S 答案：B3．分类讨论的思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决．分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗．错误!＝n a }中，n a 在数列{15例.n S 项和n 求其前 解析：显然奇数项组成等差数列且公差为4，偶数项组成等比数列且公比为9.时，)*N ∈m (m 2＝n 当① ＋…＋29＋9＋3)－m (4＋…＋5＋1＝n S m9 错误!＋错误!＝ ．1)－n (3错误!＋错误!＝ ②当n 为奇数时，则n －1为偶数， ＋1)－1－n (3错误!＋错误!＝n a ＋1－n S ＝n S ∴2n －1．1)－1－n (3错误!＋错误!＝ 综合上述可知，错误!＝n S 总结点评：解答本题时容易误认为其公差为2，公比为3.因此在分析情景比较新颖的数列问题时，最好是从特例入手，也就是先写出该数列的前几项．【变式训练】，(－…，2，－4232,求数列1，－2．12和．项n 的前…，2n －1n 1) 解析：①当n 为偶数时，－21)－n [(＋…＋)24－2(3＋)22－(1＝n S ]2n ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋[(n －1)－n ]·[(n －1)＋n ]＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ]＝.错误!－ ②当n 为奇数时，则n －1为偶数， .错误!＝2n ＋错误!＝－2n ＋1－n S ＝n S ∴ .错误!＝n S 可知：①②综合4．转化思想转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法．数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决．例)*N ∈n (－1n a －2－1n ＝3n a 是常数，且0a 设1615＝n a 1，都有≥n ．证明：对任意.0a n ·2n ]＋(－1)n ·2－1n ＋(－1)n [3 ，无法直接2的系数是－1－n a 这里证明：用递推法求解．先将已知递推式的两边同除，2an －13n －1－1＝an 3n －1得到1－n 3以 ，则有an 3n ＝n b 若令.an －13n －12·－1＝an 3n 3·即.1－n b 2－1＝n b 3 ＝－n b 3，即)k ＋1－n b 2(＝－)k ＋n b 3(设，1－n b 2－k 5＝bn －15bn －1－15于是.15＝－k ，即1＝k 5－∴，23－ 23为首项，公比为－15－1b 是以}15－n b {即的等比数列．－)(15－a13(＝1－n )23－)(15－1b (＝15－n b ∴，1－n )23－)(15－1－2a03(＝1－n )23 ，]15＋1－n )23－·(2－10a015[n 3＝n a ∴ －(＋]n ·21－n 1)－(＋n [315＝n a ∴．1)≥n (0a n ·2n 1) 总结点评：有些数列虽然不是等差数列或等比数列，但可以通过变形，化简，转化为等差数列或等比数列问题进行解决．【变式训练】＝＋1n a ＝1，1a }中，n a 已知在数列{．13.n a )，求通项*N ∈n 1，≥n ＋1(n a 2＋n a 2(＝1＋1＋n a 由已知条件得解析：．)*N ∈n ，1≥n 2(＝an ＋1＋1an ＋1∴．1) 的等比2是一个公比为1}＋n a {数列∴，2＝1＋1a 数列，且首项为 ，n 2＝1－n 2·2＝1－n q 1)·＋1a (＝1＋n a ∴ 1.－n 2＝n a ∴。

章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求．②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4. 又因为因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，利用数轴所以－p 4≤－1. 所以p ≥4，故实数p 的取值范围为{p |p ≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＜4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集的个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：当x ＝1时，y ＜3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y ＜2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y ＜1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在；当x ≥4时，y ＜0，也不满足y ∈N *.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．(2)当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________．解析：因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x<1或x>3}，所以A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4}．所以∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析： 每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn 图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12。

章末知识整合一 指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π. (2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2， 又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2. 答案：(1)π (2)2 规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________． 解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.(2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3. 答案：(1)278 (2)3 3二 幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m2<(3－2a )－m2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称， 所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1. 所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12.又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32.故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)． (1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性； (2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式． 解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， 所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. 所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三 指数函数与对数函数的图象与性质 [例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1.解不等式得x ＜1或x ＞2a .当a ＜0时，解得2a＜x ＜1.故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1；当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a .(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1， 在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a－2＜0，u（2）＝2a－22－1≥0，解得1≤a＜2.所以实数a的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f(x)的定义域，注意a的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u(2)≥0得到关于a的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四 函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲 图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大． 即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五 转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0， 函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. 规律方法1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)． 由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b|0＜b＜2}。

【金版学案】2021-2021学年高中物理（知识结构+学习测评）第一章章末知识整合粤教版选修1-1一、单项选择题Ⅰ(每题3分，共60分)1．关于摩擦起电、传导起电、感应起电，以下说法错误的选项是( )A．这是起电的三种不同方式B．这三种方式都产生了电荷C．这三种起电方式的实质是一样的，都是电子在转移D．这三种方式都符合电荷守恒定律答案：B2．真空中有两个静止的点电荷q1、q2.假设它们之间的距离变成原先的2倍，而把它们的电荷量都变成原先的4倍，那么两电荷间的库仑力将变成原先的( )A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍答案：C3．关于点电荷的以下说法中不正确的选项是( )A．体积较大的带电体也可能看成点电荷B．足够小(例如体积小于1 mm3)的电荷，必然能够看做点电荷C．点电荷是一种理想化模型D．一个带电体可否看成点电荷，不是看它尺寸的绝对值，而是看它的形状和大小对彼此作使劲的阻碍是不是能忽略不计答案：B4．以下现象中，与静电现象无关的是( )A．干燥的冬季脱化纤服装时常常听到响声B．利用太阳能电池的计算器在光线照射下能正常利用C．运油料的油罐车后有一条拖地的铁链D．高大建筑物上装有避雷针答案：B5．如下图是电场中某区域的电场线散布，a、b是电场中的两点，那么( )A．电荷在a点受到电场力方向必然与场强方向一致．B．同一点电荷放在a点受到的电场力比放在b点受到电场力小．C．正电荷放在a点静止释放，在电场力作用下运动的轨迹与电场线一致．D．a点的电场强度较大．解析：正电荷在电场受力方向与电场方向相同，负电荷受电场力方向与电场方向相反，a点的电场线较密，a点的电场较强．选D.答案：D6．以下关于磁感线说法不正确的选项是( )A．磁感线能够形象的描述磁场的强弱与方向B．沿磁感线方向，磁场愈来愈弱C．所有磁感线都是闭合的D．磁感线与电场线一样都不能相交答案：B7．关于磁场和磁感线的描述，以下说法中正确的选项是( )A．磁感线只能形象地描述各点磁场的方向B．磁极之间的彼此作用是通过磁场发生的C．磁感线是磁场中客观存在的线D．磁感线老是从磁体的北极动身、到南极终止答案：B8．关于磁通量，以下说法中正确的选项是( )A．过某一平面的磁通量为零，该处磁感应强度不必然为零B．磁通量不仅有大小，而且有方向，因此是矢量C．磁感应强度越大，磁通量越大D．磁通量确实是磁感应强度解析：磁通量Φ＝BS⊥，磁通量由磁感应强度与垂直于磁场的面积一起决定，当磁场与面积平行时，磁通量为零，磁通量是标量．选A.答案：A9．关于垂直于磁场方向的通电直导线所受磁场作使劲的方向，正确的选项是( )A．既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直B．既与磁场方向平行，又与电流方向平行C．跟磁场方向垂直，跟电流方向平行D．跟磁场方向平行，跟电流方向垂直答案：C10．以一个点电荷为球心，在其周围空间中画出一个球面，关于球面上的各点( ) A．电场强度的大小相同，方向不同B．电场强度的大小相同，方向相同C．电场强度的大小不同，方向不同D．电场强度的大小不同，方向相同答案：A11．以下说法正确的选项是( )A．摩擦起电是制造了电荷B．静电排除是电荷消失了C．用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电D．静电老是有害的答案：C12．关于电场线和磁感线，以下说法正确的选项是( )A．电场线和磁感线都是闭合的曲线B．磁感线是从磁体的N极动身，终止于S极C．电场线和磁感线都不相交D．电场线和磁感线都是现实中存在的答案：C13．关于如下图的实验，以下说法正确的选项是( )A．它第一是由法拉第完成的B．它证明了运动的磁针能产生感应电流C．它揭露了电与磁之间存在彼此作用D．以上说法都不对解析：奥斯特发觉电流的磁效应．答案：C14．如下图，一导体棒放置在处于匀强磁场中的两条平行金属导轨上，并与金属导轨组成闭合回路．当回路中通有电流时，导体棒受到安培力作用．要使安培力增大，可采纳的方式有( )A．减小导体棒的长度B．减小磁感应强度C．改变电流方向D．减小电流强度解析：由F＝BIL知，假设增大安培力F，选项C正确．答案：A15．如下图，带箭头的直线是某一负点电荷形成的电场中的一条电场线，在这条直线上有a、b两点，用E a和E b表示a、b两处的场壮大小，有( )A．a、b两点场强方向相同B．电场线从a点指向b点，因此E a>E bC．电场线是直线，因此E a＝E bD．不知a、b周围的电场线散布，E a和E b的大小关系不能确信解析：电场线是负点电荷产生，b点比a点靠近电荷，因此b点的电场较大，选A.答案：A16．将面积为0.50 m2的线圈放在磁感应强度为2.0×10－3 T的匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，那么穿过线圈的磁通量是( )A．1.0×10－3 Wb B．0.50×10－3 WbC．0.25×10－3 Wb D．0答案：A17．磁感应强度是一个矢量，磁场中某点磁感应强度的方向是( )A．正电荷在该点所受力方向B．沿磁感线由N极指向S极C．小磁针N极或S极在该点的受力方向D．在该点的小磁针静止时N极所指方向答案：D18．两个等量点电荷P、Q在真空中产生电场的电场线(方向未标出)如下图．以下说法中正确的选项是( ) A．P、Q是两个等量正电荷B．P、Q是两个等量负电荷C．P、Q是两个等量异种电荷D．P、Q产生的是匀强电场答案：C19．如下图，表示磁感应强度B，电流强度I和安培力F三者彼此关系图，哪个图是不正确的( )答案：D20．如右图所示，一小段通电直导线AB放在磁场中，其受力方向是( )A．水平向左B．水平向右C．竖直向上D．竖直向下答案：A二、单项选择题Ⅱ(每题4分，共24分)21．有ABC三个带电塑料小球，A和B、B和C、C和A都是彼此吸引的，若是A带正电，那么( ) A．B、C均带负电B．B带负电，C不带电C．B、C中有一个带负电，另一个不带电D．B、C都不带电解析：A带正电，A和B彼此吸引，B有两种带电的可能，一是带负电，二是不带电，B和C彼此吸引，C 也有两种带电的可能，一是带正电，二是不带电，考虑C和A彼此吸引，可得B和C中有一个带负电，另一个不带电．选C.答案：C22．如下图，在水平匀强磁场中，用两根相同的细绳水平悬挂一条粗细均匀的直导线，导线中通以从左到右的电流，现在两根细绳受力都是T.为使T＝0可采纳以下方式中的( )A．把电流强度增大到某一值B．把电流强度减小到某一值C．使电流I反向D．使磁场B反向解析：由左手定那么可判定导体受安培力的方向向上，与绳索拉力方向相同，假设减小绳索拉力，增大安培力即可，由式F安＝BIL可得A对．答案：A23．如下图，一束负电粒子自下而上垂直进入一磁场区域．发觉该粒子发生如图的偏转．以下说法正确的选项是( )A．磁场方向可能水平向左B．磁场方向可能水平向右C．磁场方向可能垂直纸面向里D．磁场方向可能垂直纸面向外答案：C24．绝缘细线上端固定，下端悬挂一轻质小球a，a的表面镀有铝膜，在a的近旁有一绝缘金属球b，开始时a、b都不带电，如下图．现使b带电，那么( )A．ab之间不发生彼此作用B．b将吸引a，吸住后不放开C．b当即把a排斥开D．b先吸引a，接触后又把a排斥开解析：b带电后，吸引a直至接触b，ab接触时，a带上与b同性质的电荷，因此，ab之间产生排斥作用而离开．选D.答案：D25．如以下图所示，条形磁铁放在水平桌面上，在其中正中央的上方固定一根长直导线，导线与磁铁垂直，给导线通一垂直纸面向外的电流，那么( )A．磁铁对桌面的压力减小，不受桌面的摩擦力作用B．磁铁对桌面的压力减小，受到桌面的摩擦力作用C．磁铁对桌面的压力增大，不受桌面的摩擦力作用D．磁铁对桌面的压力增大，受到桌面的摩擦力作用解析：通电导线所在处的磁场由左指向右，导线受到安培力作用，由左手定那么可判定安培力的方向向下，磁铁受导线的反作使劲，方向向上，因此，磁铁受到的支持力减小．磁铁没有水平运动的趋势，故不受摩擦力的作用．答案：A26．四种电场的电场线如下图，一正电荷q 仅在电场力作用下由M 点向N 点加速运动，且加速度愈来愈大．那么该电荷所在的电场是图中的( )解析：电场线的疏密表示电场的强弱，由M 到N 加速度愈来愈大，要求N 的电场较强，电场线较密，因此选D.答案：D三、多项选择题(每题4分，共16分)27．两个相同的金属小球，带电量之比为1∶7，相距为r ，二者彼此接触后再放回原先的位置上，那么它们间的库仑力可能为原先的( )A.47B.37C.97D.167解析：①假设两球原带异种电荷，接触后各带3q 电量，F ′∶F ＝q 1′2q 1q 2＝9∶7；②假设两球原带同种电荷，接触后各带4q 电量，F ″∶F ＝q 1″2q 1q 2＝16∶7.答案：CD 28．关于地磁场，以下说法正确的选项是( )A ．地磁的两极与地理的两极重合B ．指南针的两极必然指向地理的两极C ．地磁的南北与地理的南北大致相反D ．地磁的北极在地理的南极周围答案：CD29．选项所示的各电场中，A 、B 两点场强方向不相同的是( )答案：AD30．某电场区域的电场线如下图，a 、b 是其中一条电场线上的两点，以下说法正确的选项是( )A ．点a 的电场强度方向必然沿着过点a 的电场线向右B ．点a 的电场强度必然大于点b 的场强C ．正电荷在点a 受到电场力必然大于它在点b 受到的电场力D．负电荷在点a受到的电场力必然小于它在点b受到的电场力答案：ABC。

第六章：圆周运动章末复习知识点一：匀速圆周运动及其描述一、匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．线速度(1)定义式：v＝Δs Δt.如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．2．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝ΔφΔt(如图所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.3．转速与周期(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T 表示．(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝1n .4．匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小处处相等．(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度三、描述圆周运动的各物理量之间的关系1．线速度与周期的关系：v＝2πr T.2．角速度与周期的关系：ω＝2πT.3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.知识点二、同轴转动和皮带传动1．同轴转动(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，T A＝T B.(2)线速度的关系：vAvB＝rR.2．皮带(齿轮)传动(1)线速度的关系：v A＝v B(2)角速度(周期)的关系：ωAωB＝rR、TATB＝Rr.知识点三、向心力1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m v2 r.3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．二：向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合知识点四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．二：向心加速度的公式和应用1．公式a n ＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)a n与r的关系图象：如图5­5­2所示．由a n­r图象可以看出：a n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．图5­5­2知识点五：生活在的圆周运动一：火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．图5­7­32．向心力分析如图5­7­3所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mg tan θ＝m v 2 0R，可得v0＝gR tan θ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二：拱形桥汽车过凸形桥(最高点)汽车过凹形桥(最低点) 受力分析牛顿第二定律求向心力 F n ＝mg －F N ＝m v 2rF n ＝F N －mg ＝m v 2r牛顿第三定律求压力F 压＝F N ＝mg －m v 2rF 压＝F N ＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，F 压减小；当v 增大到rg 时，F 压＝0v 增大，F 压增大 超、失重汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态知识点六：离心运动1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．3．离心运动、近心运动的判断如图5­7­8所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2r 或mr ω2的大小关系决定．图5­7­8(1)若F n ＝mr ω2(或m v 2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．(2)若F n＞mrω2(或m v2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F n＜mrω2(或m v2r)即“提供”不足，物体做离心运动．由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．知识点七.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。