高中数学章末整合提升

第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。

章末整合提升专题一⇨几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点，也是重点．解题需要依据它们的概念及画法规则，同时还要注意空间想象能力的运用．三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．三视图和直观图联系密切，由空间几何体的直观图可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何体的直观图．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体轮廓线的正投影围成的平面图形．画三视图时首先要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影的视线想象成平行光线，从正前方．．．、．．．、正左方正上方．．．射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．从三视图可以看出，正视图反映几何体的长和高，侧视图反映它的宽和高，俯视图反映它的长和宽．例题1 已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为(C)A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱[解析]结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱．故选C．例题2 如图所示的平行四边形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，且∠D′A′B′＝45°，请画出它的实际图形.[解析]①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xAy，如图所示．②在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.过D作x轴平行线，过B作y轴平行线，其交点为C，ABCD即为A′B′C′D′的实际图形专题二⇨柱体、锥体、台体的表面积和体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用．(1)在求解空间几何体的表面积问题时，常将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题的常用方法．(2)将一些不规则的几何体进行修补(补形法)，或者将一些几何体进行分割(分割法)，或者通过变换顶点和底面，利用体积相等求解(等积法)等是求空间几何体体积的重要思想方法．例如，常见的将三棱柱补成四棱柱，四棱锥分割成三棱锥，再利用四棱柱、三棱锥的特殊性求体积．又如将三棱锥的顶点和底面进行交换，利用体积相等求体积或求几何体的高．例题3 如图所示为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为( D )A ．6＋3π＋22B ．2＋4π＋42C ．8＋5π＋22D ．2＋3π＋4 2[解析] 由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径为1，高是2，所以组合体的表面积是S ＝π＋2×2＋2×2×2＋π×2＝3π＋2＋42，故选D ．例题4 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1、V 2、V 3、V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( C )A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4[解析] 由题设以及三视图可知，该几何体从上到下依次由圆台、圆柱、上、下底面为正方形，侧面为矩形的棱柱、上、下底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台组成，体积分别为V 1＝13π×1×(22＋12＋22×12)＝7π3，V 2＝12×π×2＝2π，V 3＝2×2×2＝8，V 4＝13×1×(42＋22＋42×22)＝283.∵283＞8＞7π3＞2π，∴V 2＜V 1＜V 3＜V 4.专题三 ⇨球与其他几何体的简单组合体问题球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化为平面问题．(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过圆心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．例题5 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积.[解析] 作出轴截面，利用三角形及其内切圆之间的关系，求得球的半径．如图作出轴截面，因为△ABC 是正三角形，所以CD ＝12AC . 因为CD ＝1 cm ，所以AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm.因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ，所以OE CD ＝AO AC. 设OE ＝R ，则AO ＝3－R ，所以R 1＝3－R 2，所以R ＝(cm)，所以V 球＝43π×(33)3＝4327π(cm 3)．所以球的体积等于4327π cm 3.例题6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( A )A ．500π3 cm 3B ．866π3 cm 3C ．1 372π3 cm 3D ．2 048π3cm 3 [解析] 设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5.∴球的体积为4π×533＝5003 cm 3. 专题四 ⇨转化与化归思想在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想．(1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系．几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长．(2)体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，但转化与化归的思想一直贯穿其中．①将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题；②三棱锥通过转化底面和顶点从而达到求体积的目的．例题7 如下图1所示，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a .求证：三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa . [解析] 解法一：如图2所示，连接A ′B 、A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．三棱柱体积为V ，显然三棱锥A ′－ABC 的体积是13V ， 而四棱锥A ′－BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以V ＝12Sa . 解法二：如右图所示，将三棱柱ABC －A ′B ′C ′补成一个四棱柱ABDC －A ′B ′D ′C ′，其中AC ∥BD ，CD ∥AB ，即四边形ABDC 为一个平行四边形，显然三棱柱BDC －B ′D ′C ′的体积与原三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积相等．以BCC ′B ′为底面，点A ′到面BCC ′B ′的距离为高，显然补形后的四棱柱的体积为Sa ，故原三棱柱ABC －′A ′B ′C ′的体积V＝12Sa .。

章末整合提升专题一 ⇨三角函数的概念和诱导公式三角函数的定义及诱导公式在中学数学的学习中主要有两方面的作用：一是以集合的交、并、补运算为载体，考查三角函数值在各象限内的符号、终边相同的角及象限角等基础知识．二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角恒等变换中的应用．典例1 已知角α终边上一点P 的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值是 ( ) A ．5π6 B ．2π3 C ．5π3 D ．11π6专题二 ⇨利用三角函数及关系化简、证明、计算三角函数的定义及同角三角函数的基本关系在高考中应用比较多，结合化简、求值、证明进行考查，注意公式sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α及变形公式的灵活运用． 典例2 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值；(2)求sin x cos x ＋sin 2x 1－tan x的值． 专题三 ⇨正弦函数与余弦函数的对称性问题正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ，在教材中已研究了它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷多个对称中心，对称中心是图象与x 轴的任一交点，坐标为(k π，0)(k ∈Z )；函数y ＝cos x ，x ∈R 的对称中心坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分别是x ＝k π＋π2(k ∈Z )和x ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝tan x 的对称中心坐标为(k π2，0)(k ∈Z )，但它不是轴对称图形．典例3 求函数y ＝sin(2x －π6)的对称中心和对称轴方程. 专题四 ⇨三角函数的值域与最值问题求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解．(2)是可化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解．(3)利用几何意义求解等．典例4 已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a 、b 的值. 典例5 设a ≥0，若y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 、b 的值.专题五 ⇨三角函数的图象及变换1.用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ的值为0，π2，π，32π，2π. 2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)，应明确A 、ω决定“形变”，φ，k 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ，ω，φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．3．由已知函数图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图象求得的y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．典例6 函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示.(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．专题六 ⇨数学思想数形结合的思想数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象的思维方式转化为形象、直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图象．典例7 设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是 ( A )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4]专题七 ⇨函数与方程思想有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程(组)求解，还有些三角函数问题，可依据题设条件适当选取三角函数关系式，联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程思想在三角函数求值中的运用．典例8 已知cos(π2－α)＝－2cos(3π2－β)，3sin(3π2－α)＝－2sin(π2＋β)，且π2<α<π，0<β<π，求α，β的值.一、选择题1．已知角α的终边经过点P (3，－1)，则有 ( )A ．cos α＝－12B ．sin α＋cos α＝2C ．sin α－cos α＝3－12 D ．cos α＋tan α＝362．若函数f (n )＝sin n π2，则f (2011)＋f (2012)＋…＋f (2017)的值是 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝ ( )A ．2＋ 3B ． 3C ．33 D ．2－ 3二、填空题4．(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是____.5．函数y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )的定义域为__ __.三、解答题6．已知函数f (x )＝2(2cos 2x －1)＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．。

章末整合提升专题一 ⇨指数、对数的运算指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂；其次若出现分式，一要注意分母与负指数的关系；二要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．典题1 (1)计算(0.027)－13 －⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912 －(2－1)0；(2)计算lg 2＋lg3－lg 10lg1.8；(3)已知10α＝2,10β＝3，求1002α＋13β；(4)已知9a ＝2b ＝136，求1a ＋2b的值.[解析] (1)原式＝(0.33) －13 －72＋⎝⎛⎭⎫25912 －1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝12lg 1810lg1.8＝12.(3)原式＝104α＋1023 β＝(10a )4×(10β)23 ＝24×3－23 ＝1639.(4)对条件式等式两边各取以16为底的对数得，a ·log 169＝b log 162＝2.∴1a ＋2b＝log 163＋log 162＝log 166＝－1. 专题二 ⇨指数(对数)函数的典型问题及其求解策略指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的性质及图象对比． (1)两者具有相同的单调性，a >1时单调递增，0<a <1时，单调递减； (2)都过定点，y ＝a x 过定点(0,1)，y ＝log a x 过定点(1,0)；(3)两者互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，若点P (a ，b )在函数f (x )的图象上，则P ′(b ，a )在其反函数的图象上；(4)y ＝a x 的图象在x 轴上方，y ＝log a x 的图象在y 轴右侧．(5)两者值的变化规律类似：y ＝a x ，由a >1(0<a <1)与x >0(x <0)分类，“同大异小”，都取“>”号即a >1与x >0(或都取“<”号)时，y >1；一个取“>”号，一个取“<”号时，例如0<a <1，x >0，则0<y <1.y ＝log a x ，由a >1(0<a <1)与x >1(0<x <1)分类，“同正异负”．都取“>”即a >1与x >1(或都取“<”)号时，y >0；一个取“>”号，另一个取“<”号时，例如a >1,0<x <1，则y <0；(6)图象随a 的位置分布规律．y ＝a x 在第一象限内，逆时针方向，a 逐渐变大，y ＝log a x 在第一象限内，逆时针方向，a 逐渐变小．1．求定义域典题2 (1)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为(2)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( A )A ．(－12，0)B ．(－12，0] ．(－12，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)根据函数有意义的条件建立不等式求解．要使函数有意义，则1－2log 6x ≥0⇒log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，所以原函数定义域为(0，6]．(2)依题有0＜2x ＋1＜1⇒－12＜x ＜0⇒－12＜x ＜0，故应选A ．『规律方法』 注意对数函数的真数必须大于0，这在求定义域问题时很容易遗漏，同时，函数定义域要写成集合或者区间的形式．2．比较大小典题3 (1)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12 ，则( D )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x(2)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12 ，则( C )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a[解析] (1)依题意，x ＝lnπ＞lne ＝1，y ＝log 52＜log 55＝12，1＝e 0＞z ＝e －12 ＞4－12 ＝12，于是有y ＜z ＜x ，选D ．(2)∵a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln2＝1log 2e ，而3＞e 且y ＝log 2x 为增函数，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，∴c ＜a ，综上所述c ＜a ＜b .『规律方法』 (1)有关比较大小的问题，通常需要结合所给的数的特点，结合相关函数的性质，通过寻找合适的中间数，确定其大小关系．(2)通常解决此类问题的关键是先化为统一类型的形式(比如都为同底的)，然后再根据函数的单调性比较，特殊情况还要和1或0比较．3．图象问题典题4 (1)(2016·杭州高一检测)对a (a >0，a ≠1)取不同的值，函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过定点P ，则P的坐标为( B )A ．(1,0)B ．(－2,0)C ．(2,0)D ．(－1,0)(2)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( B )[解析] (1)由2x ＋1x －1＝1得，x ＝－2，∴定点坐标为(－2,0)．(2)由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1，∴g (x )＝－log b x ＝log 1b x ＝log a x .故选B ．4．复合函数的单调性典题5 (2016·大连高一检测)函数f (x )＝log 13(3x 2－ax ＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.[解析] 令t ＝3x 2－ax ＋7，则y ＝log 13t 单调递减，故t ＝3x 2－ax ＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t >0.因为t ＝3x 2－ax ＋7的对称轴为x ＝a6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，10＋a >0，解得－10<a ≤－6，故a 的取值范围为(－10，－6]．『规律方法』 1.两类对数不等式的解法 (1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式． ①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0； ②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x )．(2)形如log a f (x )<b 的不等式可变形为log a f (x )<log a a b . ①当0<a <1时，可转化为f (x )>a b ； ②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b . 2．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性 首先要确保f (x )>0，当a >1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性一致． 当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝f (x )的单调性相反． 专题三 ⇨利用模型函数巧解题函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数f (x )的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个模型函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．典题6 已知函数f (x )对任意实数x ，y 均有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时有f (x )>0，f (－1)＝－2，求f (x )在[－2,1]上的值域.[分析] 根据题中条件显然可猜测f (x )的模型函数为f (x )＝kx (k ≠0)，欲求函数f (x )的值域，关键是弄清它的单调性．[解析] 设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∵当x >0时有f (x )>0，∴f (x 2－x 1)>0.又对任意实数x ，y 均有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，则由f (0)＝f (0)＋f (0)得f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x )为R 上的增函数．又f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＝－4，f (1)＝－f (－1)＝2，∴当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4,2]．专题四 ⇨思想方法总结 1．数形结合思想数形结合思想的基本思路：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题讨论．典题7 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( C )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)(2)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，试求底数a 的取值范围__(1,2]__. [解析] (1)a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c .∵f (a )＝f (b )＝f (c )，则由图象可知0＜a ＜1,1＜b ＜10,10＜c ＜12.∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b ，∴ab ＝1,10＜abc ＝c ＜12，故选C ．(2)设y ＝(x －1)2，y ＝log a x .在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若0<a <1，则当x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 是不可能的，所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.所以，a 的取值范围为{a |1<a ≤2}．2．分类讨论思想分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分来解决，从而增加题设条件，这也是解分类讨论问题的指导思想．当问题中含有参数或问题是分类给出的，常常需要分类讨论．由于指数函数和对数函数的底数a 影响了函数的单调性，因此涉及求单调区间、解不等式、求最值等问题时，常按“a >1”与“0<a <1”进行分类讨论．典题8 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集.[分析] 本题考查函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对a 进行讨论，求出解集． [解析] ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (－12)＝0.故若f (log a x )>0，则有log a x >12，或log a x <－12.(1)当a >1时，由log a x >12，或log a x <－12，得x >a ，或0<x <aa ；(2)当0<a <1时，由log a x >12，或log a x <－12，得0<x <a ，或x >aa.综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为(0，aa)∪(a ，＋∞)； 当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪(aa，＋∞)． 3．转化与化归思想转化思想是在处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答，转化与化归思想的原则：化繁为简，化难为易，化生为熟．典题9 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根个数. [分析] 本题考查讨论方程的实根的个数，可转化为求函数图象的交点． 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，x ＜a ，(x －1)(3－x )＝a －x.方程(x －1)(3－x )＝a －x 的解满足1＜x ＜3，必满足x ＜a ；反之若满足x ＜a ，则必满足1＜x ＜3.于是问题转化为在x ∈(1,3)条件下解方程(x －1)(3－x )＝a －x .[解析] 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，3－x ＞0，a －x ＞0，(x －1)(3－x )＝a －x⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，x ＜a ，－x 2＋5x －3＝a .在同一坐标系中分别作函数y ＝a 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示． 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝3；当x ＝52时，y max ＝134，由图象可知，(1)当a ＞134或a ≤1时，函数图象无交点，原方程无实数解；(2)当a ＝134或1＜a ≤3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3＜a ＜134时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根．『规律方法』 将求方程解的问题转化为求对应函数图象交点问题，这种思想方法非常重要，尤其是方程等号两边为不同特征的函数时常用此法来解决．4．函数与方程思想函数与方程思想在本章中的应用具体体现在以下几个方面：(1)利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象等解决数学问题． (2)对含参问题的讨论可通过构造函数或方程，利用函数与方程知识综合解决． 典题10 若α，β是方程2(lg x )2－2lg x －3＝0的两个实数解，求α·β. [分析] 可令t ＝lg x ，将其转化为一元二次方程根的问题．[解析] 令t ＝lg x ，则原方程变为2t 2－2t －3＝0，因为t 1＋t 2＝1，即lg α＋lg β＝1. 所以lg(α·β)＝1，所以α·β＝10. 因忽略对数的真数为正致误 典题11 解方程lg(x ＋1)＋lg x ＝lg6.[错解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg [x (x ＋1)]＝lg(x 2＋x )， ∴lg(x 2＋x )＝lg6，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3.[错因分析] 错解中，去掉对数符号后方程x 2＋x ＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是在x 2＋x＝6中，x ∈R ，而在原方程中，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x >0.[正解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg [x (x ＋1)]＝lg6，∴x (x ＋1)＝6，解得x ＝2或x ＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x ＝2.[警示] 解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数．J 即时巩固i shi gong gu (本栏目仅供老师参考备用)一、选择题1．化简[3(－5)2]34的结果为 ( B )A ．5B ．5C ．－5D ．－5[解析] 原式＝523 ×34＝ 5. 2．函数y ＝x 13 的图象是 ( B )[解析] 显然代数表示式“－f (x )＝f (－x )”，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，x 13 ＞x ，当x ＞1时，x 13 ＜x ，故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 由题意知f (1)＝21＝2，∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0. ①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时， f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.4．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 ( B ) A ．14B ．12C ．2D ．4[解析] 当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)；当0＜a ＜1时，1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12，故选B ．二、填空题 5．2－3,312 ，log 52三个数中最大的数是__log 25__.[解析] log 52>log 42＝2>3＝312 >1>18＝2－3.6．若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是__④__.[解析] 将点(4,2)代入f (x )＝a x －1，得2＝a 4－1，解得a ＝213＞1.又函数y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，所以g (x )单调递减且图象过点(0,0)，所以④正确．三、解答题7．(2016·河北衡水中学期末)已知函数y ＝2－x2＋x＋2x －2的定义域为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x 的最大值． [解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋2)≤0，2x－2≥0，x ≠－2.解得1≤x ≤2，故M ＝{x |1≤x ≤2}．(2)f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x ，令t ＝log 2x ，t ∈[0,1]，可得g (t )＝2t 2＋at ，t ∈[0,1]，其对称轴为直线t ＝－a4，当－a 4≤12，即a ≥－2时，g (t )max ＝g (1)＝2＋a ，当－a 4＞12，即a ＜－2时，g (t )max ＝g (0)＝0.综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ≥－2，0，a ＜－2.。

章末整合提升三角恒等变换⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧和差角公式⎩⎪⎨⎪⎧两角和差的余弦cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β两角和差的正弦sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β两角和差的正切tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α·tan β倍半角公式⎩⎪⎨⎪⎧ 倍角的正余弦正切sin2α＝2sin αcos α cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α半角的正余弦、正切和差与积互化⎩⎪⎨⎪⎧ 和差化积积化和差辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin (x ＋φ)，其中tan φ＝b a 专题一 ⇨三角函数的求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．典例1 求值：2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°. 专题二 ⇨三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．典例2 化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2αcos2β. 专题三 ⇨三角恒等式的证明三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．典例3 求证：sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 专题四 ⇨三角恒等变形的综合应用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．典例4 已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域． 专题五 ⇨转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．典例5 已知sin(α－β2)＝45，cos(α2－β)＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tan α＋β2的值. 一、选择题1．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系为 ( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y 2.3－sin70°2－cos 210°＝ ( ) A ．12 B ．22 C ．2 D ．323．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2( ) A ．－12 B ．12C ．2D ．－2 二、填空题4．(2016·全国卷Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移 π3个单位长度得到.5．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x tan2x 的值为 49. 三、解答题6．设f (x )＝6cos 2x －3sin2x .(1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．。