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专题63 三角函数章末复习一 知识系统整合二 规律方法1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2k π＋30°，k ∈Z ，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sin α＝yr ≠sin ×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2k π＋α(k ∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)π2±α，π±α，3π2±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f (x ＋T )＝f (x )应强调的是自变量x 本身加常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是f (2x )的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β，其变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)应用广泛；公式cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2常用来升幂或降幂．7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)主要掌握由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A ，ω，φ与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．考点一 三角函数的概念1．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．2．若角α的终边所在直线经过点P (－2,3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝－21313C ．sin α＝31313D ．tan α＝－323．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝_____.4．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是5．有一个扇形的弧长为π2，面积为π4，则该弧所对弦长为考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用1．若cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－53，则sin(－5π＋α)＝2．已知1－cos x ＋sin x1＋cos x ＋sin x ＝－2，则tan x 的值为3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )， 且cos α＝306，则|a －b |＝4．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，则sin α－cos α＝5．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2cos (－π＋α)的值为6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝7．已知3sin （π＋α）＋cos （－α）4sin （－α）－cos （9π＋α）＝2，则tan α＝8．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.9．已知tan α＝－43，求下列各式的值：(1)2cos α＋3sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π.求： (1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.11．已知tan α＝－34.(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α的值．12．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．13．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x 的值为________．14．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于15．若sin θ＝33，则cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值为________．16. 已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n ∈Z)．考点三 三角恒等变换的综合应用1．化简1－2sin (π＋4)cos (π＋4)等于( )A ．sin4－cos4B ．cos4－sin4C ．－sin4－cos4D ．sin4＋cos42．2sin 215°－1的值是3．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝5．在3sin x ＋cos x ＝2a －3中，a 的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎝⎛⎦⎤－∞，12C.⎝⎛⎭⎫52，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－52，－12 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．7．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．8．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为10．已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________．11．求值：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°.12．化简：2sin130°＋sin100°(1＋3tan370°)1＋cos10°.13．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.14．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.15．求证：1＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝1＋tan α1－tan α.16．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x.17．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.18．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求cos β的值．19．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求： (1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．20．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．21．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．22．已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．23．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．24．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．25．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且－π4<α<π4，π4<β<3π4，求cos[2(α－β)]的值．考点四 三角函数的图象与性质1．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为______________．2．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是__________________．3．对于函数f (x )＝sin2x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为24．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝6．在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )A ．f (cos A )>f (cosB ) B ．f (sin A )>f (sin B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (sin A )<f (cos B )7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ是奇函数，当φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，φ的值为________．8．若函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π6对称，则a ＝________.9．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③10．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R)，下列说法错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为13．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<014．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )15．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为2π，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π≤x <0，sin x ，0≤x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－174π＝________.16．已知f (x )＝sin 2x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，则f (x )的值域为________．17．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是18．函数f (x )＝sin x (1－sin x )1－sin x的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又偶函数D ．非奇非偶函数19．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．20．已知|x |≤π4，求函数y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1的最小值．21．函数f (x )＝log 12cos x 的单调递增区间是___________．22．下列函数中，周期为4π的是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos2xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝sin x 223．已知函数f (x )＝log a cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(其中a >0，且a ≠1)． (1)求它的定义域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．24．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． ①求f (x )的单调区间；②若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．26．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点，求a 的取值范围．27．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π428．函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R)．(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．29．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．30．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到；(3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围．考点五 三角函数的图象变换问题1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π2B.π4C ．0D ．－π43．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式．5．如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？考点六 三角函数的应用1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P 的一直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.(1)将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？。
章末整合专题总结专题一通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前n项的和．现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)12，34，78，1516，3132，…；(2)－12，34，－58，716，－932，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)1,3,6,10,15，….解析：(1)不难看出，各项的分母是2的n次幂，分子比分母小1，∴a n＝2n－1 2n.(2)观察数列的前5项发现如下规律：分子1,3,5,7,9与序号的关系是序号的2倍减1，即2n －1；分母2,4,8,16,32与序号的关系是2的序号次幂，即2n ，而各项的符号变化为负，正，负，正，…与序号的关系是(－1)n .所以数列的一个通项公式是a n ＝(－1)n ·2n －12n . (3)a n ＝39(10n －1)＝13(10n －1)． (4)a n ＝12n (n ＋1)． 总结点评：用观察法写出数列的通项公式．一般考虑如下几点：①考虑公式中是否有(－1)n 或者(－1)n －1部分．②考虑各项的变化规律与序号关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后，规律表现的不那么明显的项，同时注意等差、等比的关系．③应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方数列{n 2}与(－1)n 有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．【变式训练】1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，45，910，1617，…；(2)1，－13，17，－115，131，…；(3)34，78，1516，3132，…；(4)21,203,2005,20007，…；(5)0.2,0.22,0.222,0.2222，…；(6)1,0,1,0,1,0，…；(7)1，32，13，54，15，76，….解析：(1)∵各项的分子分别是12,22,32,42，分母比分子大1.∴数列的通项公式a n＝n2n2＋1.(2)奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1.∴数列的通项公式为a n＝(－1)n＋1·12n－1.(3)∵各项的分母分别是22,23,24,25，…，分子比分母小1，∴数列的通项公式为a n ＝2n ＋1－12n ＋1.(4)各项可看作21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2005＝2×1000＋5,20007＝2×10000＋7.∴数列的通项公式为a n ＝2×10n ＋(2n －1)．(5)把各项适当变形0.2＝2×0.1＝29×0.9＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0.22＝2×0.11＝29×0.99＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100， 0．222＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11000，0.2222＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110000，…， ∴数列的通项公式为a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (6)奇数项皆为1，偶数项皆为0∴数列的通项公式为a n ＝1＋(－1)n －12. (7)各项可看作1＝1＋0，32＝12＋1，13＝13＋0，54＝14＋1，15＝15＋0，76＝16＋1，…， ∴数列的通项公式为a n ＝1n ＋1＋(－1)n 2. 2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．前n 项和关系式有两种形式：一种是S n 与n 的关系式，记为S n ＝f (n )，它可由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)直接求出通项a n ，但要注意n ＝1与n ≥2两种情况能否统一；另一种是S n 与a n 的关系式，记为f (a n ，S n )＝0，求它的通项公式a n .例2记等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．解析：设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以得a1(q4－1)q－1＝1①a1(q8－1)q－1＝17②由①、②式得q8－1q4－1＝17，整理，得q4＋1＝17.解得q4＝16，所以q＝2或q＝－2.将q＝2代入①式，得a1＝115，∴a n＝2n－1 15；将q＝－2代入①式，得a1＝－1 5，∴a n＝(－1)n×2n－15.例3已知在数列{a n}中，a n>0，S n是数列{a n}的前n项和，且a n＋1a n＝2S n，求a n.解析：此题按一般方法转化为数列{a n}的递推公式难以求出通项a n，不妨利用a n ＝S n－S n－1(n≥2)先把它转化为数列{S n}的递推公式，先求S n，再求a n.对于a n ＋1a n＝2S n 且a n >0① 当n ＝1时，a 1＋1a 1＝2a 1，∴S 1＝a 1＝1. 当n ≥2时，把a n ＝S n －S n －1代入①得S n －S n －1＋1S n －S n －1＝2S n ，化简得S 2n －S 2n －1＝1.所以数列{S 2n }是以S 21＝a 21＝1为首项，公差d ＝1的等差数列，即S 2n ＝1＋(n －1)·1＝n .∵a n >0，∴S n >0，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1.而n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝n －n －1. 总结点评：对于已知S n ，求a n ，即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，必须验证n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)来表示． 【变式训练】2．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n(41－n)2，试求数列{|a n|}的前30项的和T30.解析：可利用通项与前n项和关系a n ＝S n－S n－1(n≥2)先求a n，再讨论a n的符号来求T30.a1＝S1＝3×1×(41－1)2＝60.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－3n＋63.∵n＝1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式a n＝－3n＋63.由a n＝－3n＋63≥0，得n≤21.即当n≤21时，a n≥0；当n≥22时，a n<0.∴T30＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＋…＋|a30|＝(a1＋a2＋…＋a21)－(a22＋a23＋…＋a30)＝S21－(S30－S21)＝2S21－S30＝2×3×21×(41－21)2－3×30×(41－30)2＝765.3．累差法和累商法(1)形如：已知a1且a n＋1－a n＝f(n)，f(n)为可求和数列的形式均可用累差法．(2)形如：已知a1且a n＋1a n＝f(n)，f(n)为可求和数列的形式均可用累商法．例4根据条件求通项公式a n.(1)已知a1＝1，a n＋1－a n＝2n－n，求a n；(2)已知a1＝1，a n＋1a n＝n＋2n，求a n.解析：(1)∵a n＋1－a n＝2n－n，∴a2－a1＝21－1，a3－a2＝22－2，a4－a3＝23－3，…，a n－a n－1＝2n－1－(n－1)．∴当n≥2时，a n－a1＝(21－1)＋(22－2)＋…＋(2n－1－n＋1)＝(2＋22＋…＋2n－1)－[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝2n－n(n－1)2－2.∵a1＝1，∴a n＝2n－n(n－1)2－1.而a1＝1也适合上式．故{a n}的通项公式为a n＝2n－n(n－1)2－1.(2)∵a n＋1a n＝n＋2n，∴a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53，…，a na n－1＝n＋1n－1，∴当n≥2时，a na1＝3·4·5·…·(n＋1)1·2·3·…·(n－1)＝n(n＋1)2.∵a1＝1，∴a n＝n(n＋1)2.而a1＝1也适合上式，故{a n}的通项公式为a n＝n(n＋1)2.总结点评：题设条件是递推公式．根据递推公式求通项公式，常用两种方法：其一，由递推公式求出前五项，然后根据前五项的规律猜想通项公式；其二，利用递推公式中表现出的规律求解，如差后累加，商后累积等．【变式训练】3．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝n n＋1a n，求通项a n.解析：∵a n＋1＝nn＋1a n对所有正整数均成立，即a n＋1a n＝nn＋1恒成立，∴a2a1＝12，a3a2＝23，…，a na n－1＝n－1n.以上各式累乘得a2a1×a3a2×…×a na n－1＝12×23×…×n－1n，即a na1＝1n.又∵a1＝1，∴a n＝1n，且a1适合a n.综上，通项为a n＝1 n.4．构造法形如：已知a1，a n＋1＝pa n＋q(p，q为常数)形式均可用构造等比数列法，即a n＋1＋x ＝p(a n＋x)，{a n＋x}为等比数列，或a n＋2－a n＋1＝p(a n＋1－a n)，{a n＋1－a n}为等比数列．例5若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝1 2a n＋1，求a n.解法1：∵a n＋1＝12a n＋1，∴a n＋2＝12a n＋1＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝12(a n ＋1－a n ) 令b n ＝a n ＋1－a n (n ＝1,2,3，…)，则b 1＝a 2－a 1＝32－1＝12，b n ＋1＝12b n ， 数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列．∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解法2：设a n ＋1－A ＝12(a n －A )， 则a n ＋1－12a n ＝－12A ＋A ， 根据a n ＋1＝12a n ＋1可得：－12A ＋A ＝1，即A ＝2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)． 令b n ＝a n －2，则b 1＝a 1－2＝－1，b n ＋1＝12b n ， ∴数列{b n }是以－1为首项，12为公比的等比数列．∵b n ＝b 1·q n －1＝(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴a n ＝2＋b n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解法3：(迭代法)a n ＝12a n －1＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －2＋1＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122a n －2＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －3＋1＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123a n －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋1 ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 总结点评：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．【变式训练】4．在正整数数列{a n }中，a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，求通项公式a n .解析：由递推关系式难以直接求其通项公式，此时，应设法构造辅助数列，使问题转化为等差或等比数列问题．∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2， 即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令c n ＝b n －2，则c n ＋1＝12c n ，且a 1＝1， ∴b 1＝0，c 1＝－2，∴{c n }为等比数列，∴c n ＝－2(12)n －1＝－(12)n －2. ∴b n ＝2－(12)n －2，a n ＝n-212-()22.专题二 前n 项和的求法数列中求前n 项和是数列运算中的重要内容，高考题多涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n 项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律．确定恰当的解题方法．常见的数列求和方法有以下几种：1．公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．例6数列{a n}的通项为a n＝2n＋1，则由b n＝a1＋a2＋…＋a nn所确定的数列{b n}的前n项和是()A．n(n＋2) B.12n(n＋4)C.12n(n＋5) D.12n(n＋7)解析：a1＋a2＋…＋a n＝S n＝n(a1＋a n)2即S n＝n(3＋2n＋1)2＝n(n＋2)，∴b n＝n(n＋2)n＝n＋2.令T n为数列{b n}的前n项和，则T n＝n(b1＋b n)2＝n(3＋n＋2)2＝n(n＋5)2.答案：C例7设数列{x n}满足log a x n＋1＝1＋log a x n(a>0，且a≠1，n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200的值为()A．100a B．101a2C．101a100D．100a100解析：由log a x n＋1＝1＋log a x n，得log a x n ＋1＝log a(ax n)，∴x n＋1x n＝a，即数列{x n}是公比为a的等比数列．设b1＝x1＋x2＋…＋x100，b2＝x101＋x102＋…＋x200，即在数列{x n}中每隔100项取和按原顺序排列构成新数列{b n}，则{b n}为等比数列，公比为Q＝a100.∴b2＝b1·Q＝100·a100.即x 101＋x 102＋…＋x 200＝100a 100. 答案：D总结点评：利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．【变式训练】5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75. 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1. ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为1 2.∴T n＝14n2－94n.2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：①1n(n＋k)＝1k·(1n－1n＋k)；②若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；③1n＋1＋n＝n＋1－n等．例8已知数列{a n}，且a n＝1(3n－2)(3n＋1)，求其前n项和．解析：∵a n＝1(3n－2)(3n＋1)＝13(13n－2－13n ＋1)， ∴前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3n －2)(3n ＋1) ＝13[(1－14)＋(14－17)＋(17－110)＋…＋(13n －2－13n ＋1)] ＝13(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1. 总结点评：本题将所求和式中的一项拆成两项，出现抵消项达到求和的目的，这种方法是裂项求和法，常见的拆项还有：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1b ＝a ＋1b ，1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)． 【变式训练】6．已知数列{a n }：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…，求它的前n 项和．解析：∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．例9求和：S n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋2n －12n . 解析：数列1,3,5，…，2n －1成等差数列，数列12，14，18，…，12n 成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．∵S n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n －1)×12n ① ∴12S n ＝1×14＋3×18＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1② ①－②得，12S n ＝1×12＋2×14＋2×18＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝1×12＋2×14－2×12n ＋11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n (n ∈N *)．总结点评：将通项公式a n ＝2n －12n 拆分成(2n －1)·12n ，2n －1为等差数列，12n 为等比数列，符合错位相减法的特点．【变式训练】7．利用等比数列前n项和公式的推导方法，求通项为a n＝nx n－1的数列的前n项和S n.解析：当x＝1时，S n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2；当x≠1时，S n＝1＋2x＋3x2＋…＋(n－1)x n－2＋nx n－1，①xS n＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)x n－1＋nx n.②①－②得(1－x)S n＝1＋x＋x2＋…＋x n－1－nx n＝1－x n1－x－nx n，∴S n＝1－x n(1－x)2－nx n1－x.4．倒序相加法当数列{a n}满足a k＋a n－k为常数时，可用倒序相加法来求数列{a n}的前n项和．例10设f (x )＝4x4x ＋2，求和S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008. 解析：因为f (x )＝4x4x ＋2， 所以f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝44＋2·4x ＝24x ＋2， 所以f (x )＋f (1－x )＝1.所以S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20062008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008.② ①＋②得2S ＝2007.所以S ＝20072. 总结点评：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．【变式训练】8．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 13＝M ，a n ＋a n －1＋…＋a n －12＝N ，求S n .解析：(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋…＋(a13＋a n－12)＝M＋N而a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a13＋a n－12＝M＋N13，∴S n＝(a n＋a1)n2＝(M＋N13)·n2.5．分组求和法如果一个数列中连续等段的和具有一定的规律性，则可考虑分组求和．分组求和实际上就是通过“拆”和“组”的手段把问题化归为可求或易求和的数列问题．解题时要依据段的特点，对n的取值进行讨论．例11求和S n＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n·(2n－1)．解析：n为偶数时，S n＝2×n2＝n；n为奇数时，S n＝2×n－12＋(－1)n·(2n－1)＝n－1－(2n－1)＝－n.∴S n＝(－1)n·n.总结点评：S n＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋……把每二项分成一组，其和为常数，便于求解，但注意项数，因此分为奇数和偶数讨论．【变式训练】9．(1)求数列112，214，318，…，(n ＋12n )的前n 项和；(2)求和S n ＝3＋33＋…＋33...3n 个.解析：(1)S n ＝112＋214＋318＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋1－12n . (2)a n ＝33...3n 个＝39×99...9n 个＝13(10n －1)． ∴S n ＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n －1)＝13(10＋102＋…＋10n )－n 3＝13×10(1－10n )1－10－n 3＝1027(10n －1)－n 3.专题三思想方法1.函数与方程的思想数列是特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题．比如求等差数列前n项和S n的最值，常转化为关于n的二次函数求最值或数形结合利用函数图象求最值．等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中含有a1，n，d(q)，a n，S n这五个基本量，已知其中任三个，通过解方程组可以求出其余两个．例12数列{a n}共七项，其中a1，a3，a5，a7成等差数列，其和为S；a2，a4，a6成等比数列，若S－a2·a6＝42，a1＋a4＋a7＝25，求a4.解法1：S＝a1＋a3＋a5＋a7，∵a1＋a7＝a3＋a5，∴2(a1＋a7)＝S.又a1＋a4＋a7＝25，∴a4＝25－(a1＋a7)＝25－S 2.∵a2，a4，a6成等比数列，∴a 24＝a 2a 6，又a 2a 6＝S －42，即a 24＝S －42，∴(25－S 2)2＝S －42，即S 2－104S ＋2668＝0，∴S ＝46或S ＝58，∴a 4＝±2或a 4＝±4. 检验知a 4＝－2或a 4＝4不合题意， 故a 4＝2或a 4＝－4.解法2：由解法1可知a 4＝25－S 2， ∴S ＝50－2a 4，又a 2·a 6＝a 24，代入S －a 2·a 6＝42， 可得50－2a 4－a 24＝42，即a 24＋2a 4－8＝0，解得a 4＝2或a 4＝－4.例13在等差数列{a n }中，首项a 1>0，S n 是其前n 项的和，且S 3＝S 10.问当n 等于多少时，S n 的值最大？最大值是多少？解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝S 10，得3(a 1＋a 1＋2d )2＝10(a 1＋a 1＋9d )2，则d ＝－16a 1.所以S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝na 1＋12n (n －1)(－16a 1)＝－112a 1(n －132)2＋16948a 1， 故当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值，最大值为72a 1. 总结点评：数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作是以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题是常用的思想方法．【变式训练】10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n为数列{S n n }的前n 项和，求T n 的最大值． 解析：列方程组可求得S n ，继而求得T n ，把T n 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . ∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝2115a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝3a 1＋7d ＝－5，解得a1＝9，d＝－2.∴S n＝na1＋n(n－1)2d＝9n－(n2－n)＝10n－n2.则S nn＝10－n.∵S n＋1n＋1－S nn＝－1，∴数列{S nn}是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n＝n·[9＋(10－n)]2＝－12n2＋192n＝－12(n－192)2＋3618.∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，T n有最大值45.2．整体思想整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想．整体思想的灵活运用，通常可将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简捷．例14在等比数列{a n}中，前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求S30.解析：易知公比q≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝a 11－q (1－q 10)＝10 ①S 20＝a 11－q (1－q 20)＝30 ②. ②÷①，得1＋q 10＝3，即q 10＝2，代入①，得a 11－q ＝－10.故S 30＝a 11－q(1－q 30)＝－10×(1－23)＝70.总结点评：在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部分为一个整体，采用整体代换，整体消元，可以大大减少运算量，提高解题速度．【变式训练】11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3 解析：{a n }为等比数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…成等比数列，令S 3＝k .∵S 6S 3＝3，S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k . S 9－S 6＝4k ，∴S 9＝7k ，S 9S 6＝73，故选B.答案：B3．分类讨论的思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决．分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗．例15在数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，3n (n 为偶数)，求其前n 项和S n . 解析：显然奇数项组成等差数列且公差为4，偶数项组成等比数列且公比为9.①当n ＝2m (m ∈N *)时，S n ＝1＋5＋…＋(4m －3)＋9＋92＋…＋9m ＝m (4m －2)2＋9(1－9m )1－9＝n (n －1)2＋98(3n －1)． ②当n 为奇数时，则n －1为偶数，∴S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)(n －2)2＋98(3n －1－1)＋2n －1＝n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)． 综合上述可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n －1)2＋98(3n －1)(n 为偶数)，n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)(n 为奇数).总结点评：解答本题时容易误认为其公差为2，公比为3.因此在分析情景比较新颖的数列问题时，最好是从特例入手，也就是先写出该数列的前几项．【变式训练】12．求数列1，－22,32，－42，…，(－1)n －1n 2，…的前n 项和．解析：①当n 为偶数时，S n ＝(1－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋[(n －1)－n ]·[(n －1)＋n ]＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ]＝－n (n ＋1)2. ②当n 为奇数时，则n －1为偶数，∴S n ＝S n －1＋n 2＝－(n －1)n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 综合①②可知：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n (n ＋1)2(n 为偶数)n (n ＋1)2(n 为奇数).4．转化思想转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法．数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决．例16设a 0是常数，且a n ＝3n －1－2a n －1(n ∈N *)．证明：对任意n ≥1，都有a n ＝15[3n ＋(－1)n －1·2n ]＋(－1)n ·2n a 0.证明：这里a n －1的系数是－2，无法直接用递推法求解．先将已知递推式的两边同除以3n －1得到a n 3n －1＝1－2a n －13n －1，即3·a n 3n ＝1－2·a n －13n －1.若令b n ＝a n 3n ，则有3b n ＝1－2b n －1.设3(b n ＋k )＝－2(b n －1＋k )，即3b n ＝－5k －2b n －1，∴－5k ＝1，即k ＝－15.于是b n －15b n －1－15＝－23， 即{b n －15}是以b 1－15为首项，公比为－23的等比数列．∴b n －15＝(b 1－15)(－23)n －1＝(a 13－15)(－23)n －1＝(1－2a 03－15)(－23)n －1， ∴a n ＝3n [2－10a 015·(－23)n －1＋15]， ∴a n ＝15[3n ＋(－1)n －1·2n ]＋(－1)n ·2n a 0(n ≥1)．总结点评：有些数列虽然不是等差数列或等比数列，但可以通过变形，化简，转化为等差数列或等比数列问题进行解决．【变式训练】13．已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n≥1，n∈N*)，求通项a n.解析：由已知条件得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴a n＋1＋1a n＋1＝2(n≥1，n∈N*)．∴数列{a n＋1}是一个公比为2的等比数列，且首项为a1＋1＝2，∴a n＋1＝(a1＋1)·q n－1＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n－1.。
函数章末整合知识结构·理脉络要点梳理·晰精华1．函数的定义初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：[不同点]传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．[相同点]两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．2．函数三种表示方法的优缺点三种表示法的特点(优缺点)比较如下：解析法优点(1)简明、全面地概括了变量间的关系；(2)可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值．缺点不够形象、直观，且有些实际问题的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式．图像法优点(1)直观、形象地反映出函数关系变化的趋势；(2)便于通过图像研究函数的性质．缺点只能近似地得到自变量对应的函数值，有时误差较大．列表法优点查询方便，不需计算便可直接得出自变量对应的函数值． 缺点(1)只能表示有限个数的函数关系； (2)数较多时使用不方便.⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．) 3．常见函数的值域(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R . (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．4．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )则为增(减)函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图像关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图像关于y 轴对称． (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数； f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数． 5．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，使f (x )＝0的实数x 称为函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图像与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．素养突破·提技能专题 常见函数模型的应用1．二次函数典例1 已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ＞0)在区间[2,3]上的值域为[2,5]． (1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的函数g (x )＝f (x )－(m ＋1)x 在区间[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围． 思路探究：(1)二次函数固定区间上求值域，要先判断对称轴与区间端点的关系；(2)单调函数分单调递增和递减两种情况讨论．解析：(1)∵f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a ，且a ＞0， ∴函数f (x )的图像开口向上且对称轴为直线x ＝1. ∴函数f (x )在[2,3]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 2－2x ＋2，∴g (x )＝x 2－(m ＋3)x ＋2.∴函数g (x )的图像开口向上，且对称轴为直线x ＝m ＋32.①若g (x )在[2,4]上单调递增，则m ＋32≤2，解得m ≤1；②若g (x )在[2,4]上单调递减，则m ＋32≥4，解得m ≥5.故实数m 的取值范围是{m |m ≥5或m ≤1}．归纳提升：解决二次函数在某区间上的最值问题，关键是对函数图像的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论，一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解．二次函数的单调性和最值问题是本章的重点知识． 2．分段函数典例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0，且f (x )为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．思路探究：(1)已知函数奇偶性求参数值，可利用奇偶性的定义或特殊值来求解；(2)分段函数各段的单调性可分段判断，并借助于图像来求解．解析：(1)设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋2x . 又∵当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ， ∴m ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x >00， x ＝0x 2＋2x ， x <0.作出f (x )的图像(如图)．要使函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则－1<a －2≤1，即1<a ≤3. ∴实数a 的取值范围为(1,3]．归纳提升：分段函数在函数中占有重要的地位，对分段函数的问题要注意以下几点： (1)分段函数的图像问题、求分段函数的解析式、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、解分段函数对应的方程或不等式等的解法均可归纳为“分段处理”四个字． (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按照分段函数的含义及奇偶性的定义来处理． 3．对勾函数典例3 已知函数f (x )＝x ＋mx，且f (1)＝3.(1)直接写出m 的值及该函数的定义域、值域和奇偶性；(2)判断函数f (x )在区间 (0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解析：(1)m ＝2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为(－∞，－22]∪(22，＋∞)，为奇函数．(2)f (x )在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增．证明：设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2若2＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，x 1x 2－2＞0， ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2 ＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．同理，若0＜x 1＜x 2＜2，则f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(0，2)上单调递减．归纳提升：形如f (x )＝ax ＋bx(a ＞0，b ＞0)的函数的奇偶性、单调性及图像的形状如下：(1)f (x )为奇函数． (2)函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－b a ，0和⎝⎛⎭⎫0，b a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫－∞，－b a 和⎝⎛⎭⎫b a ，＋∞上单调递增．(3)图像如图所示，这个函数的图像形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数． (4)“对勾”函数求值域也可用均值不等式来求解． 专题 函数性质的综合应用 1．函数的单调性与奇偶性的综合应用典例4 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜0的解集．思路探究：f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上为单调函数，分情况讨论．解析：∵f (x )是奇函数，且f (1)＝0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (－1)＝－f (1)＝0，且f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜0可化为 ⎩⎨⎧x －12＞0，f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f (1)或⎩⎨⎧x －12＜0，f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f (－1)，即0＜x －12＜1或x －12＜－1，解得12＜x ＜32或x ＜－12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－12或12＜x ＜32.归纳提升：有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主要有比较函数值的大小、解不等式等，关键是利用奇、偶函数的对称性，将不在同一单调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性来处理，使问题得以解决． 2．函数的零点与方程根的关系及应用典例5 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两个实数根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2.求a 的取值范围．思路探究：令f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，其图像是开口向上的抛物线，它在(0,1)和(1,2)区间内与x 轴相交，则有f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0. 解析：设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，∵x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0＜x 1＜1＜x 2＜2， ∴函数f (x )的图像如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2＜0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2＞0，解得－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. ∴a 的取值范围是(－2，－1)∪(3,4)．归纳提升：抓住三个二次之间的关系是解此题的关键，将一元二次方程根的分布问题转化为函数零点问题．函数零点的应用主要是利用函数零点存在定理求参数值或范围，体现化归转化思想，数形结合思想．真题精练·悟考情1．(2019·全国 Ⅱ文数)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝ ( D ) A ． e －x －1B ． e －x ＋1C ． －e －x －1D ． －e －x ＋1解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝e －x －1，又f (x )为奇函数，有f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1. 2．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是__[－1,7]__. 解析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域． 由已知得7＋6x －x 2≥0 ，即x 2－6x －7≤0，解得－1≤x ≤7， 故函数的定义域为[－1,7]．3．(2019·北京理数改编)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝__－1__. 解析：首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )， 即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立， 则a ＋1＝0，得a ＝－1.4．(2019·全国Ⅱ卷理数)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( B )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，94B ． ⎝⎛⎦⎤－∞，73C ． ⎝⎛⎦⎤－∞，52 D ． ⎝⎛⎦⎤－∞，83 解析：∵f (x ＋1)＝2f (x ), ∴f (x )＝2f (x －1) ∵x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎡⎦⎤－14，0 ； ∴ x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎡⎦⎤－12，0 ； ∴x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1,0] ， 如图：当x ∈(2,3]时，由4(x －2)(x －3)＝－89解得x 1＝73，x 2＝83，若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m ≤73.则m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73. 故选B ．5．(2019·浙江)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x ，若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是__43__.解析：存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，即有|a (t ＋2)3－(t ＋2)－at 3＋t |≤23，化为|2a (3t 2＋6t ＋4)－2|≤23，可得－23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23，即23≤a (3t 2＋6t ＋4)≤43， 由3t 2＋6t ＋4＝3(t ＋1)2＋1≥1，可得0＜a ≤43.则实数a 的最大值是43.。
