章末归纳整合4

章末复习(四)一、光的直线传播1.光源:能够的物体叫做光源,如太阳、点燃的蜡烛、发光的萤火虫。

月亮(选填“是”或“不是”)光源。

2.光的直线传播: 光在介质中沿传播。

小孔成像、影子的形成、日食和月食的形成均能说明光的直线传播规律。

如果介质不同或介质不均匀,光的传播路线可能会发生改变或弯曲。

射击瞄准、激光准直等都应用了光的规律。

3.光速:光在不同介质中传播的速度是的,光在中的速度最大,其大小近,光在玻璃似为m/s,在空气中也接近这个值。

光在水中的速度约为真空中光速的34。

中的速度约为真空中光速的234.光年:光在真空中1年内传播的距离。

光年是单位。

二、光的反射5.光的反射:光从一种介质射向另一种介质的界面时,一部分光中,使光的传播方向发生了改变,这种现象称为光的反射;我们能看到不发光的物体,是因为物体进入了我们的眼睛。

6.光的反射定律(1)反射光线与入射光线、法线在内。

(2)反射光线和入射光线分别位于法线。

(3)反射角入射角。

(4)在反射现象中,光路是的。

7.镜面反射和漫反射:光的反射可以分为反射和反射。

三、平面镜成像8.平面镜成像特点(1)像、物大小。

(2)像、物到镜面的。

(3)像、物的连线。

(4)物体在平面镜里所成的像是。

9.实像与虚像:实像是由会聚而成的,眼睛可以看到,也可以呈现在光屏上;虚像不是由实际光线会聚成的,而是由实际光线的相交形成的,只能用眼睛看到,不能呈现在光屏上。

10.平面镜的应用结合图4-F-1说明平面镜在生活和生产中的应用:①;②。

图4-F-111.凸面镜和凹面镜:凸面镜对光线有作用,汽车的后视镜及路口的反光镜都是面镜;凹面镜对光线有作用,可以利用凹面镜制成太阳灶。

四、光的折射12.光的折射(1)定义:光从一种透明介质入另一种透明介质时,传播方向会发生偏折,这种现象叫做光的折射。

(2)现象:海市蜃楼、星星“眨眼睛”、水面断筷、钢笔“错位”等。

13.光的折射特点:光从空气斜射入水或其他介质中时,折射光线、入射光线和法线在内,折射光线和入射光线分别位于,折射角小于入射角。

章末综合检测(四)一、选择题(每小题2分，共50分)下图中四条直线分别代表公路、铁路、水运、管道运输四种运输方式运费随运距的变化。

读图，回答1～2题。

1．如果我国从中亚大量进口天然气，最佳运输方式应为()A．D B．EC．F D.G2．F运输方式，客运周转量远低于货运周转量的原因是该运输方式()A．运费高 B.速度慢C．投资大 D.技术要求严格解析：第1题，结合各种运输方式的特点，读图可知，图中D为公路运输，E为铁路运输，F为水运，G为管道运输。

中亚与我国陆上相邻，我国从中亚大量进口天然气的最佳运输方式应为管道运输。

第2题，由上题可知，F为水运，水运运费较低但速度慢，适于大宗货物运输，所以客运周转量远低于货运周转量。

答案：1.D 2.B沪汉蓉高速铁路，亦称沪汉蓉快速客运通道，是中国一条兴建中的高速铁路，全长2 078 km，由上海出发，途经南京、合肥、武汉、重庆等城市，到达成都。

据此完成3～4题。

3．沪汉蓉高速铁路修建的决定因素是()A．自然因素 B.经济因素C．国防因素 D.科技因素4．下列有关沪汉蓉高速铁路修建的说法错误的是()A．将填补中国陇海和浙赣之间无横向铁路的空白，提高中国铁路的灵活性B．把上海地区的资源优势转化为经济优势C．有利于加强东中西地区之间资源优势互补，促进区域经济协调发展D．有利于东中西部资本、技术、人力资源跨区域快速流动解析：当前，决定铁路建设的主要因素是经济因素。

沪汉蓉高速铁路的建设，将填补中国陇海和浙赣之间无横向铁路的空白，大大提高中国铁路的灵活性；有利于把川渝地区的资源优势转化为经济优势；有利于东中西部资本、技术、人力资源跨区域快速流动，加强东中西部地区之间资源优势互补，促进区域经济协调发展。

答案：3.B 4.B天津是我国的四大直辖市之一，也是首都的门户。

2017年2月，由北京航天城总装的“天舟一号”货运飞船从天津港启程，经过一周，安全运抵海南文昌航天发射场。

据此完成5～6题。

(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题3分，共60分)1．读地壳物质循环示意图，下列说法正确的是()A．图中箭头②表示外力作用，其余均为内力作用B．三大类岩石之间可以直接相互转化C．三大类岩石和岩浆之间可直接相互转化D．只有岩浆岩在高温高压下，才可能形成变质岩解析：从图中可知箭头②指向沉积岩，为风化、侵蚀、搬运、堆积等外力作用；箭头③指向变质岩，为变质作用；箭头④指向岩浆，为重熔再生；箭头①指向岩浆岩，为岩浆活动，故①、③、④为内力作用。

答案：A下图为我国某景点的等高线地形图，图中B为景区停车场。

读图回答2～3题。

2．ab河段的发展趋势是()A．a岸侵蚀B．b岸堆积C．逐渐变直D．更加弯曲3．要想在陡崖A的顶部和停车场B之间修建一条双向索道，索道缆绳的长度至少为()A．1 000m B．1 200mC．2 400m D．3 600m解析：第2题，a为凸岸堆积，b为凹岸侵蚀，其结果ab河道越来越弯曲。

第3题，用图中比例尺量算出AB之间距离，双向索道要再乘以2，故选C项。

答案：2.D 3.C图1是我国东北地区某河流示意(局部)，图2是该河流甲河段径流构成及变化。

读图1、图2回答4～7题。

4．甲河段北岸的流水作用表现为()A．侵蚀作用为主，河床横向坡度大B．侵蚀作用为主，河床横向坡度小C．堆积作用为主，河床横向坡度大D．堆积作用为主，河床横向坡度小5．河流补给水源按雨水、季节性积雪融水、潜水、湖泊水排序正确的是() A．①②④③B．①③④②C．②①④③D．①③②④6．与华北地区相比，东北地区河流航运条件的限制因素是()A．通航里程短B．径流变化大C．泥沙含量高D．冬季气温低7．关于甲水文站径流特点的叙述，下列正确的是()A．图中湖泊能够起到削减洪峰的作用B．潜水和湖泊水补给一年中从不间断C．从1月到7月，各月径流量逐月上升D．从7月到10月，各月径流由三种水体构成解析：第4题，甲的北河岸为凹岸，以侵蚀作用为主，且横向坡度大。

第4章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结重点一 指数对数的运算【例1】（2022·江苏）化简与求值： (1)123(31)(3)8π-(2)23log 3312514log 8lg lg25lg e 162-⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭(1)213102270.00210(51)8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(2)2lg25lg2lg50(lg2)+⋅+ 【答案】(1)π; (2)1121551918；(4)2 【解析】（1）原式1331π3(2)=+-+π=.（2）原式232log 32252log 8lg +lg25lg8ln e 16=----161393lg(25)582=-+⨯⨯-36lg102=+-112=.（3）213102270.00210(51)8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭()2313125150010123---⎡⎤+⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦45555192=++1551918=； （4）2lg25lg2lg50(lg2)+⋅+()22lg5lg21lg5(lg2)=+++()2lg5lg2lg2lg2lg5=+++()2lg2lg5=+2=【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()223666661log 2log 33log 2log 18log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．(4)7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++；lg 10lg 0.1⨯【答案】(1)0 (2)3 (3)1 (4)7 (5)4-【解析】（1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=． （3）原式()()3226666318log 2log 33log 2log 2=++⨯()()2236666log 2log 33log 2log 9=++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()626log 2log 31=+=． （4）原式()3lg 2542527=+⨯+=+=；（5）原式()21128125lg lg1025411lg10lg102-⨯⨯===-⨯-⨯． 2．（2022·湖北）计算下列各式的值： (1)已知13x x -+=，求：221122x x x x--+-．(2)721163log 0.253432927211.58223lg25lg4()log3?4637-⎛⎫⎛⎫⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)7±(2)115【解析】（1）因为()22212927x x x x--+=+-=-=，而21112221x x x x --⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以11221x x --=±，所以2211227x x x x--+=±-．（2）原71111313333log 223442332222223lg1007log 3log 224272212333-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯-+++=++⨯-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115=． 3．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：())()242233330.123331228-⎛⎫⎛⎫-+⨯-= ⎪⎭- ⎪⎝⎝⎭________；（2）化简：12112133265a b a b a b---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅________． 【答案】221a【解析】（1）())()242233330.123331228-⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭421331322431332192⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⨯-⨯⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦4913212294=+⨯-=．（2）原式111111111533221032623615661a b ababa b aa b-----+--⋅⋅⋅==⋅=⋅=⋅．故答案为22，1a重点二 指数函数【例2】（2022·广东·深圳市）已知函数()()240,12x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =(2)()1,1-(3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x x x x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+，所以22021x -<-<+，所以211121x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()1,1-；（3）由()220xmf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t =-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥，所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【一隅三反】1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)()(),41,-∞-+∞(3)()(),11,k ∈-∞-+∞【解析】（1）由题意得：()40102f a=-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x xx f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x <所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数，所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-， 因为2()121xf x =-+为定义在R 上单调递增，所以224x x x +>-，解得：1x >或4x <-，所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点，当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121xk-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x <<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021xf x =-∈-+，且()00f =， 所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-，故()()11,00,1k ∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x f xb a （,a b 为常数，0a >，且1a ≠）的图象经过点()1,6A ，3,24B ．(1)试确定函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()32xf x =⨯(2)5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为函数x f xb a 的图象经过点()1,6A 和3,24B ，可得3624ab b a =⎧⎨⋅=⎩，结合0a >，且1a ≠，解得2,3a b ==， 所以函数()f x 的解析式为()32xf x =⨯．（2）要使1123xxm 在区间(],1-∞上恒成立，只需保证函数1123x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上的最小值不小于m 即可，因为函数1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上单调递减，所以当1x =时，1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取得最小值，最小值为56，所以只需56m即可，即实数m 的取值范围为5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．3．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R 的函数 2()2xxb f x a-=+ 是奇函数. (1)求a 、b 的值；(2)证明f (x )在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围 【答案】(1)1a =，1b =；(2)证明见解析；(3)13k <-【解析】（1）由已知1(0)01b f a -==+，1b =，12()21x x f x -=+， 121(1)22f a a -==-++，1112(1)1122f a a --==++，所以110221a a -+=++，解得1a =， 12()21x x f x -=+，此时()f x 定义域是R ，1221()()2112x xxxf x f x -----===-++，()f x 为奇函数． 所以1a =，1b =；（2）由（1）12()21x x f x -=+2121x=-++， 设任意两个实数12,x x ，12x x <，则1202121x x <+<+，12222121x x >++，所以1222112121x x -+>-+++，即12()()f x f x >，所以()f x 是减函数；（3）不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，则有22(2)(2)f t t f t k -<-+， ()f x 是减函数，所以2222t t t k ->-+，所以2211323()33k t t t <-=--恒成立，易知2113()33t --的最小值是13-，所以13k <-．重点三 对数函数【例3】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数()()32log 2axf x a R x -=∈-的图象关于原点对称． (1)求a 的值；(2)当[]3,5x ∈时，()()3log 2f x x k <+恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a =-(2)()1,+∞【解析】(1)函数()32log 2axf x x -=-的图象关于原点对称，则函数()32log 2axf x x -=-为奇函数，有()()f x f x -=-， 即3322log log 22ax ax x x +-=----，即322log 022ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪---⎝⎭，即222414a x x 解得1a =±，当1a =时，不满足题意，∴1a =-． (2)由()()3log 2f x x k <+，得()332log log 22xx k x +<+-，即222x k x x +>--，令()24122x g x x x x x +=-=+---，易知()g x 在[]3,5x ∈上单调递减， 则()g x 的最大值为()32g =．又∴当[]3,5x ∈时，()()3log 2f x x k <+恒成立， 即222x k x x +>--在[]3,5x ∈恒成立，且20x k +>，∴22k >，1k >， 即实数k 的取值范围为()1,+∞． 【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()212log 23f x x ax =-+．(1)若函数()f x 的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，求实数a 的值； (2)若函数()f x 的定义域为R ，值域为(],1∞--，求实数a 的值； (3)若函数()f x 在(],1-∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)2a =(2)实数a 的值为1或1-(3)[)1,2 【解析】（1）令()223u x x ax =-+，则由题意可知1，3为方程2230x ax -+=的两个根，所以函数()u x 的图像的对称轴方程为213222a x -+===-，即2a =． （2）由题意，对于方程2230x ax -+=，()224130a ∆=--⨯⨯<，即33a <<由函数()f x 的值域为(],1-∞-，可得当x a =时，()()212log 231f a a a a =-⨯+=-，解得1a =或1-．故实数a 的值为1或1-． （3）函数()f x 在(],1∞-上单调递增，则()223u x x ax =-+在(],1∞-上单调递减．易知函数()u x 的图像的对称轴为直线x a =，所以1a ≥． 易知()u x 在1x =时取得最小值，当1x =时，有()11230u a =-+>，得2a <， 所以实数a 的取值范围是[)1,2．2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()log 1a f x bx =+（0a >且1a ≠），()11f =，()32f =． (1)求函数()f x 的解析式；(2)请从∴()()y f x f x =--，∴()()y f x f x =--，∴()()y f x f x =+-这三个条件中选择一个作为函数()g x 的解析式，指出函数()g x 的奇偶性，并证明． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)()()2log 1f x x =+；(2)答案见解析.【解析】（1）依题意，()()log 11log 132a a b b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2113a ba b =+⎧⎨=+⎩，而0a >且1a ≠，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以函数()()2log 1f x x =+.（2）选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =+--，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-， 又()()()()()()2222log 1log 1[log 1log 1]g x x x x x g x -=--+=-+--=-， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的奇函数． 选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =--+，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-，又()()()()()()2222log 1log 1[log 1log 1]g x x x x x g x -=+--=---+=-， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的奇函数．选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =++-，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-，又()()()22log 1log 1()g x x x g x -=-++=， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的偶函数． 3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)当()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1a =-(2)[)1,-+∞(3)[]1,1- 【解析】（1）因为函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，所以()()0f x f x +-=，即114411log log 011ax axx x -++=---， 所以1411log 011ax ax x x -+⎛⎫⨯= ⎪---⎝⎭恒成立， 所以11111ax ax x x -+⨯=---恒成立， 即22211a x x -=-恒成立，即()2210a x -=恒成立，所以210a -=，解得1a =±，又1a =时，()141log 1axf x x -=-无意义，故1a =-．（2）因为()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m +-<恒成立，所以()11441log log 11x x m x ++-<-恒成立， 所以()14log 1x m +<在()1,x ∈+∞上恒成立，因为()14log 1y x =+是减函数，所以当()1,x ∈+∞时，()()14log 1,1x +∈-∞-，所以1m ≥-，所以实数m 的取值范围是[)1,-+∞． （3）因为()114412log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭在[]2,3上单调递增，()()14log g x x k =+在[]2,3上单调递减，因为关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，所以()()()()22,33,f g f g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩即()()11441144log 3log 2,log 2log 3,k k ⎧≤+⎪⎨≥+⎪⎩ 解得11k -≤≤，所以实数k 的取值范围是[]1,1-．重难点四 零点定理【例4-1】（2022·课时练习）函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，则其另一个零点为______． 【答案】3-【解析】解法一：因为函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1， 将(1,0)代入得230a a ++=，解得1a =-． 所以223y x x =--+．令2x 2x 30--+=，解得11x =，23x =-， 所以函数的另一个零点为3-．解法二：由函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，可得方程2230,(0)ax ax a ++=≠的一个根为1，根据根与系数的关系可得1222ax x a+=-=-，所以另一个根为3-．故函数的另一个零点为3-． 故答案为：3-.【例4-2】（2022·山东）方程ln 42x x =-的根所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【答案】B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增， 又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，， 所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，. 故选：B【例4-3】（2022·全国·高一课时练习）函数()sin 21f x x x π=-在区间(0,3]上的零点个数为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【解析】函数()sin 21f x x x π=-在(]0,3上零点的个数即方程sin 210x x π-=在(]0,3x ∈上解的个数， 方程sin 210x x π-=化简可得sin 2x π=1x， 所以方程方程sin 210x x π-=的解的个数为函数sin 2y x π=与函数y =1x的图象交点的个数，其中(0,3]x ∈，在同一坐标系中作出函数sin 2y x π=与函数y =1x的图象如图所示， 由图可知在区间(]0,3上，两函数图象有4个交点， 故函数()sin 21f x x x π=-在区间(0,3]上的零点个数为4， 故选：C ．【例4-4】（2021·全国·高一期末）已知函数2,()5,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞ B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]5【答案】A【解析】()()4g x f x x =-有三个零点()y f x ∴=与4||y x =的图象有三个交点. 因为0a >，所以当0x ≤时，24x x x -=-，得3x =-或0x =，所以()y f x =与4||y x =的图象有两个交点，则当0x >时，()y f x =与4||y x =的图象有1个交点. 当0x >时，令45x x =-，得1x =，所以01a <<符合题意；令24x x x =-，得5x =，所以5a 符合题意.综上，实数a 的取值范围是()[)0,15,+∞.故选：A.【一隅三反】1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）函数3()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】因为3ln ,==-y x y x 为()0,x ∈+∞上的单调递增函数，所以3()ln f x x x=-为()0,x ∈+∞上的单调递增函数，因为()31ln1301=-=-<f ，()32ln 202=-<f ，()33ln 303=->f ，由零点存在定理，(2,3)上必有唯一零点.故选：B ．2．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【答案】B【解析】sin sin()13y x x π=-+-，13sin 12=-x x ，sin()13x π=--，令sin()13x π-=，得232x k ππ-=+π，Z k ∈，526x k ππ∴=+，Z k ∈，()f x ∴在(0,2)π上的零点为5.6π故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数2,1()(),1x a x f x x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(1)-∞，B ．(02)，C ．(0)+∞，D ．[12)，【答案】D【解析】因为()(),1f x x x a x =-≥时至多有一个零点，单调函数()2,1x f x a x =-<至多一个零点，而函数2,1()(),1x a x f x x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩恰有2个零点，所以需满足()(),1f x x x a x =-≥有1个零点，()2,1x f x a x =-<有1个零点，所以2log 11a a <⎧⎨≥⎩，解得12a ≤<，故选：D4．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数()||3f x x a =--，若函数(())f f x 无零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)-∞- B ．(,6]-∞- C ．(,0)-∞ D ．(,0]-∞【答案】A【解析】令()t f x =，则()||30f t t a =--=的解为：3t a =±，由题意可知：()f x t =无解， 又()||33f x x a =--≥-，即min ()t f x <，又min ()3f x =-，即3333a a +<-⎧⎨-<-⎩，解得：6a <-．故选：A.5．（2022·全国·高一课时练习）函数()2ln 3f x x x =+-的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-， 故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∴()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个， 故答案为：16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()22,2,1,2,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】()0,1【解析】作出函数()f x 的图像和直线y k =，如图所示:由图可知，当()0,1k ∈时，函数()f x 的图像和直线y k =有三个交点，所以()0,1k ∈． 故答案为：()0,1或01k <<.。

第四单元运算律知识点一：买文具-四则混合运算顺序（1）四则混合运算顺序在没有括号的算式里，当只有加、减运算或乘、除运算时，按从左到右的顺序进行计算，既有加、减运算，又有乘、除运算时，要先算，再算。

（2）含有中括号的四则混合运算在一个算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算的，再算面的，最后算。

知识点二：运算律及其应用加法交换律用字母表示为 a＋b＝加法结合律用字母表示为（a+b）+c=乘法交换律用字母表示为 a×b＝乘法结合律用字母表示为 (a×b) ×c=乘法分配律用字母表示为 (a+b) ×c=1.在连加计算中，运用可以让一些加法计算简便。

2.乘法结合律只适用于运算，不可以在乘加或乘减运算中运用。

3.乘法分配律可以正用，也可以逆用。

如果a×c和b×c计算简便时，可以先算a×c和b×c，再把两个积相加；如果a＋b的和正好是整十、整百、整千数时，可以用来计算。

4.运用乘法分配律进行计算时，两个加数要，然后再把。

【易错典例1】（2019秋•嘉陵区期末）实践探究．【思路引导】根据整数乘法的竖式计算法则解答即可．【完整解答】解：乘数14个位上的4与326相乘，表示4×326的积是1304，十位上的1与326相乘，表示10×326的积是3260；【易错注意点】此题考查了整数乘法的竖式计算方法．【易错典例2】（2019秋•洛川县期末）如图算式中的汉字各代表什么数字？我＝3；是＝9；中＝7；国＝1；人＝0．【思路引导】根据整数乘法的运算法则，第一个因数与第二个因数的个位相乘得：3438，所以第二个因数的个位为9，第一个因数的百位为3．原式为：382×29＝11078，完成竖式，并找到各汉字代表的数字．【完整解答】解：原式为：所以：我＝3；是＝9；中＝7；国＝1；人＝0．故答案为：3；9；7；1；0．【易错注意点】本题主要考查凑数谜，关键根据整数乘法及加法的运算法则，找到合适的数，完成计算．【易错典例3】点A表示的数可能是算式（）的积．A．201×51B．199×45C．199×51【思路引导】根据题意，点A介于1与10000之间，且更接近10000；根据估算的计算方法，分别求出各个算式的结果，再进一步解答．【完整解答】解：201×51≈200×50＝10000，等于10000，不符合题意；199×45≈200×45＝9000，接近10000，符合题意；199×51≈200×50＝10000，等于10000，不符合题意；故选：B．【易错注意点】考查了三位数乘两位数的估算，把两位数看作与它接近的整十整百数，然后再进一步解答．【易错典例4】（2018秋•单县期末）学校准备发练习本，发给15个班，每班144本，还要留40本作为备用．学校应买多少练习本？【思路引导】首先用发给每个班的练习本的数量乘班级的数量，求出发给15个班多少本练习本；然后用它加上备用的练习本的数量，求出学校应买多少练习本即可．【完整解答】解：144×15+40＝2160+40＝2200（本）答：学校应买2200本练习本．【易错注意点】此题主要考查了整数乘法的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出发给15个班多少本练习本．:考点1：带括号的混合运算（含较大数的除法）1．（2020春•江北区期末）把方框中的三个分步算式合并成综合算式是（）12+6＝1836÷18＝220+2＝22A．36÷（12+6）+20B．20+36÷（12+6）C．36÷12+6+20D．36÷（12+6）+22．（270+770÷55）﹣190÷10正确的运算顺序是（）A．②除法→①加法→③减法→④除法B．②除法→①加法→③减法→②除法C．②除法→①加法→④除法→③减法3．（2021春•浑源县期中）用计算器计算（801﹣576）÷15时，当按到“÷”的时候，显示屏上显示接着按“15”，再按“＝”，显示屏上显示的是。

章末过关检测(四) 指数函数与对数函数一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a >0，化简a ×a a ＝( ) A ．a B ．a 52 C ．a 54 D ．a 38 2．若x log 32＝1，则4x的值是( ) A ．9 B ．3 C ．2log 32 D ．2log 233．函数f (x )＝x －1＋log 3(4－x )的定义域为( )A ．{x |1<x <4}B ．{x |1≤x ≤4}C ．{x |1<x ≤4}D ．{x |1≤x <4} 4．函数f (x )＝－x 5－x ＋3的零点所在区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(0，1) D ．(－1，0) 5．已知a ＝log 0.32，b ＝30.3，c ＝0.32，则( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．c <a <b D ．b <c <a6．若2a＝5b＝10，则2ab ＝( )A ．2B ．4C ．5D ．107．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为( )8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h)间的关系为P ＝P 0e －kt，其中P 0，k 是常数．已知当t ＝5时，污染物含量降为过滤前的25%，那么k ＝( )A ．－15ln 4B ．ln 3－ln 45C ．15ln 4D ．ln 4－ln 35二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数中既是奇函数，又是(0，＋∞)上的增函数的是( ) A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝3xC ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝3x10．下列计算成立的是( )A ．log 28－log 24＝log 24＝2B ．log 35＋log 34＝log 39＝2C ．lg 2＋lg 5＝lg 10＝1D ．log 223＝3log 22＝311．若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)在区间[－2，2]上的最大值和最小值的和为103，则a的值可能是( )A.13 B ．33C ． 3D ．3 12．已知函数f (x )＝log 2(2x＋8x)－2x ，以下判断正确的是( )A ．f (x )是增函数B ．f (x )有最小值C ．f (x )是奇函数D ．f (x )是偶函数 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则a ＝________．14．[2022·山东菏泽高一期中]若对任意的a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________．15．若方程x ＝3－lg x 的解在区间(k ，k ＋1)上，则整数k ＝________．16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)化简求值： (1)(8)－23－34×213＋(35)0；(2)log 23×log 34＋lg 2＋lg 5.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2，9)(1)求实数a的值；(2)若f(2x－1)<3，求实数x的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性，并证明．20．(本小题满分12分)己知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1).(1)若函数f(x)的图象过点(0，2)，求b的值；(2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大a22，求a的值．21．(本小题满分12分)Logistic 模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为P t ＝K1＋C ·e－rt ，其中P t 是间隔年份t 时的人口数量，K 是有关人口极限规模的待定参数，r 、C 是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，己知某地区的人口数据如下表；函数P t＝1201＋0.5×e －0.05t 能比较好地描述2010年起该地区的人口数量P t (单位：万)与间隔年份t (单位：年)的关系．(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率．．．．．．a (结果保留3位小数). 参考数据：e －0.5≈0.607，e －1≈0.368，(101.35192.076)0.1≈1.010.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2a －x1＋x为奇函数．(1)求实数a 的值；(2)若f (x )－m ＋log 2(x 2＋4x ＋3)≤0恒成立，求实数m 的取值范围．章末过关检测(四) 指数函数与对数函数1．解析：a ×a a ＝a 12×a 34＝a 54. 答案：C2．解析：因x log 32＝1，则x ＝1log 32＝log 23，所以4x＝4log 23＝(2log 23)2＝32＝9. 答案：A3．解析：由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x >0，解得1≤x <4，所以函数的定义域为{x |1≤x <4}． 答案：D4．解析：因为f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1>0，f (2)<0， 所以f (x )的零点所在区间为(1，2). 答案：A5．解析：∵0<0.32<0.30＝1，30.3>30＝1 ∴0<c <1<b ，∵log 0.32<log 0.31＝0，∴a <0， ∴a <c <b . 答案：A6．解析：∵2a＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510.∴a b ＝log 210log 510＝ln 5ln 2＝log 25， ∴2ab ＝2log 25＝5.答案：C7．解析：函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，可以排除选项B 、C ；由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象应关于y 轴对称，可以排除选项D. 答案：A8．解析：由题意得：P 0e－5k＝25%P 0，即e－5k＝14，两边取对数，ln e －5k ＝ln 14，解得：k＝15ln 4. 答案：C9．解析：f (x )＝－1x是奇函数，且是增函数，A 符合题意；f (x )＝3x 不具有奇偶性，是增函数，B 不符合题意； f (x )＝log 3x 不具有奇偶性，是增函数，C 不符合题意；f (x )＝3x ＝x 13是奇函数，且是增函数，符合题意．答案：AD10．解析：log 28－log 24＝log 284＝log 22＝1，故A 选项错误．log 35＋log 34＝log 3(5×4)＝log 320，故B 选项错误． lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1，故C 选项正确． log 223＝3log 22＝3，故D 选项正确． 答案：CD11．解析：当0<a <1时，函数f (x )＝a x在[－2，2]上为减函数， 则f (x )max ＋f (x )min ＝f (－2)＋f (2)＝1a 2＋a 2＝103，解得a ＝33；当a >1时，函数f (x )＝a x在[－2，2]上为增函数，则f (x )max ＋f (x )min ＝f (2)＋f (－2)＝a 2＋1a 2＝103，解得a ＝ 3.综上所述，a ＝33或 3. 答案：BC12．解析：由f (x )＝log 2(2x ＋23x )－log 222x ＝log 2(12x ＋2x)，令μ＝2x>0为增函数；而t ＝1μ＋μ在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；所以t 在x ∈(－∞，0)上递减，在x ∈(0，＋∞)上递增；又y ＝log 2t 在定义域上递增，则y 在x ∈(－∞，0)上递减，在x ∈(0，＋∞)上递增； 所以f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故最小值为f (0)＝1，f (－x )＝log 2(12－x ＋2－x )＝log 2(2x＋12x )＝f (x )，故为偶函数．答案：BD13．解析：因为函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，f (2)＝4，所以a 2＝4，解得a ＝2. 答案：214．解析：令log a (x －1)＝0，解得x ＝2， 则f (2)＝log a 1＋1＝1， 所以点P 的坐标为(2，1). 答案：(2，1)15．解析：令y ＝x ＋lg x －3，显然y 在(0，＋∞)上递增，又y |x ＝2＝lg 2－1<0，y |x＝3＝lg 3>0，所以函数y 的零点在(2，3)内，故k ＝2. 答案：216．解析：由题，当x ≥0时，f (x )＝2x，当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋1为二次函数，对称轴为x ＝－1，且过(0，1)开口向下．故画出图象如图所示，故函数f (x )有1个零点．又f (x )＝m 有三个不同的交点则由图象有y ＝－x 2－2x ＋1最大值为 4×（－1）×1－（－2）24×（－1）＝2.故m ∈(1，2).答案：1 (1，2)17．解析：(1)原式＝232×(－23)－223×213＋1＝12－2＋1＝－12. (2)原式＝lg 3lg 2×2lg 2lg 3＋lg (2×5)＝2＋1＝3.18．解析：(1)依题意a >0且a ≠1，f (2)＝a 2＝9⇒a ＝3，(2)∵f (x )＝3x在R 上是增函数， 且f (2x －1)<3＝f (1)， ∴2x －1<1， ∴x <1，∴所求的x 取值范围是(－∞，1).19．解析：(1)由f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，得－1<x <1.则函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1，1).(2)函数f (x )＋g (x )为定义域(－1，1)上的偶函数． 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )， 又h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x ) ＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x ). 则∀x ∈(－1，1)，有h (－x )＝h (x )成立．则函数f (x )＋g (x )为在定义域(－1，1)上的偶函数． 20．解析：(1)f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.(2)当0<a <1时，f (x )在区间[2，3]上单调递减，此时f (x )max ＝f (2)＝a 2＋1，f (x )min ＝f (3)＝a 3＋1，所以a 2＋1－(a 3＋1)＝a 22，解得：a ＝12或0(舍去)；当a >1时，f (x )在区间[2，3]上单调递增，此时f (x )min ＝f (2)＝a 2＋1，f (x )max ＝f (3)＝a 3＋1，所以a 3＋1－(a 2＋1)＝a 22，解得：a ＝32或0(舍去).综上：a ＝12或32.21．解析：(1)2030年即间隔年份为20年，该地区的人口数量P 20＝1201＋0.5×e －0.05×20＝1201＋0.5×0.368≈101.351 该地区2030年的人口数量大约为101.351万． (2)由表可知2020年的人口数量为92.076万， 又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万， 则有92.076×(1＋a )10＝101.351，即(1＋a )10＝101.35192.076，解得a ＝(101.35192.076)110－1≈0.010，所以该地区2020年到2030的年平均增长率a 大约为0.010. 22．解析：(1)由题意得：f (－x )＝－f (x )，即log 2a ＋x 1－x ＝－log 2a －x1＋x ，解得：a ＝±1，当a ＝－1时，a －x 1＋x＝－1<0，不合题意，舍去，所以a ＝1，经检验符合题意； (2)由1－x 1＋x >0，解得：－1<x <1，由x 2＋4x ＋3>0得：x >－1或x <－3，综上：不等式中x∈(－1，1)，f(x)－m＋log2(x2＋4x＋3)≤0变形为m≥log2[(1－x)(x＋3)]，即m≥log2[(1－x)(x＋3)]恒成立，令g(x)＝log2(－x2－2x＋3)＝log2[－(x＋1)2＋4]，当x∈(－1，1)时，g(x)∈(－∞，2)，所以m≥2，实数m的取值范围为[2，＋∞).。