等差数列复习
知识归纳
1. 等差数列这单元学习了哪些内容？
2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:
n ≥2，a n －a n －1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？
a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R )
4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？
5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点?
2
)1(2)(11d
n n na a a n S n n -+=+=
S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A !6. 你知道等差数列的哪些性质?
等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+):①a n ＝a m ＋(n －m )d ；
②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；
等差数列
定义
通项
前n 项和主要性质
n
a n
d ＜0
n
a n
d ＞0
③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；
④ 每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列.
知识运用
1.下列说法:
(1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列
(2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列
(3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列.
(4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列.
其中正确的有( (2)(3) )
2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝ 3n－2 .
3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 .
4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 .
5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝ 20 .
6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 .
7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为 ( A )
A. a11
B. a10
C. a9
D. a8
8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B )
A. na1＜S n＜na n
B. na n＜S n＜na1
C. na n＜na1＜S n
D. S n＜na n＜na1
能力提高
1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110.
2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、…S12哪一个最大？
课后作业《习案》作业十九.
等差数列习题 一、选择题（共14小题；共70分） 1. 在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+?+a101=0，则有( ) A. a1+a101>0 B. a2+a100<0 C. a3+a99=0 D. a51=51 3. 已知在等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 4. 等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项和为( ) A. 32 B. 64 C. 108 D. 128 5. 下列数列不是等差数列的是( ) A. 6，6，6，?，6，? B. ?2，?1，0，?，n?3，? C. 5，8，11，?，3n+2，? D. 0，1，3，?，n2?n 2 ，? 6. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a3=6，则S4的值为( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 若首项为?24的等差数列从第10项起为正数，则公差的取值范围是( ) A. (8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 8. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=10，S3=3，则首项a1与公差d为( ) A. a1=?2，d=3 B. a1=2，d=?3 C. a1=?3，d=2 D. a1=3，d=?2 9. 若等差数列的首项是?24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是( ) A. [8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 10. 设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2且S5=30，则S8等于( ) A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 11. 在等差数列{a n}中，a4+a5=15，a7=15，则a2=( ) A. ?3 B. 0 C. 1 D. 2 12. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 13. 等差数列{a n}中，a1=84，a2=80，则使a k≥0，且a k+1<0的正整数k=( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 14. 在等差数列{a n}中，a9=1 2 a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=( ) A. 24 B. 48 C. 66 D. 132
2．2 等差数列 第1课时等差数列的概念与简单表示 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) [基础·初探] 教材整理1等差数列的含义 阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．() (3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() (5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.() 【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1. (3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列． (4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． (5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1， x2的等差中项为A＝x1＋x2 2＝－3.故该说法正确． 【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 教材整理2等差数列的通项公式 阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d. 2．从函数角度认识等差数列{a n} 若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位． 1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________. 【解析】∵a1＝4，d＝－2， ∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】6－2n 2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________． 【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.
等差数列 一、填空题 1. 等差数列2，5，8，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知1 3 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ） A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 5. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 6. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在 7. 等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于 （ ） A 、 B 、 C 、或 1 D 、
1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 2. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 3. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 4. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 5. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列 {}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 4. 设n S 是数列 {}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列 5. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ 三、计算题 1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {}n a 的有关未知数： （1）1 51,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及 2. 设等差数列 {}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式
姓名：_______________学号：____________________班级：_____________________ 等差数列基础检测题 一、选择题（共60分，每小题5分） 1、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 2、已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n D ．2(n －1) 4、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( ) A ．是公差为d 的等差数列 B ．是公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．以上都不对 5、在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13 C ．－12 D ．－13 6、在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( ) A ．45 B ．41 C ．39 D ．37X k b 1 . c o m 7、等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x ，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．823 8、已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列 9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 10、若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 11、下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8，… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0，… ④110，210，310，410 ，…新 课 标 第 一 网 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12、首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞83 B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3
知识点拨、等差数列的定义 ⑴先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差 数列. 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用a i表示 末项：一个数列的最后一项，通常用a n表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和：一个数列的前n项的和，常用S n来表示. 二、等差数列的相关公式 （1）三个重要的公式 ①通项公式：递增数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 递减数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个 有用的公式：a n a m （n m）d, （n m） ②项数公式：项数（末项首项）公差+1 由通项公式可以得到：n （a n a1）d 1 （若a n a1）；n （a1 a n） d 1 （若a1 a n）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的. 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L、40、43、46 , 分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注意等差是 3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48 4 1 45 项，每组3个数，所以共45 3 15组，原数列有15组.当然还可以有其他的配组方法. ③求和公式：和=（首项末项）项数吃 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： 偲路1) 1 2 3 L 98 99 100 1 41004 ( 2 4^ 4 2 3 4 98) 4 4 450 4爭)仙50 5050 等差数列的认识与公式运用
高中数学必修5等差数列基础简单测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.2）=-1．下列命题： ①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]； ②若{a n}是等差数列，则{[a n）}也是等差数列； ③若{a n}是等比数列，则{[a n）}也是等比数列； ④若x∈（1，4），则方程[x）-x=有3个根． 正确的是（） A．②④B．③④C．①③D．①④ 2．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（） A．B．C．D． 3．设数列{a n}（n∈N*）满足a n+2=2a n+1-a n，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（） A．a n+1-a n＜0B．a7=0 C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值 4．等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，ca n（c为常数，且c≠0）是（） A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列 C．非等差数列D．以上都不对
5．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4．若定义，给出下列命题： （1）b1，b2，b3，b4是一个等差数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2：b4=256．其中真命题的个数为（） A．2B．3C．4D．5 6．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（） A．公差为a的等差数列B．公差为-a的等差数列 C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列 7．已知（z-x）2=4（x-y）（y-z），则（） A．x，y，z成等差数列B．x，y，z成等比数列 C．成等差数列D．成等比数列 8．已知tanB=，则cotA、cotB、cotC（） A．成等差数列 B．成等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 9．已知lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，则（） A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值-1，最大值1 C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值1 10．要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列．则填入标有※的空格的数是（）
. 2014-2015学年度襄阳二中测试卷 4.21 一、选择题 1．在等差数列3，8，13…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．在等差数列}{n a 中，21232a a +=，则1532a a +的值是（ ） A ．24 B ． 48 C ．96 D ．无法确定 3． 已知数列的前几项为1， 2 2 1，231，K ，它的第n 项(+∈N n )是( ) A. ()2 11 -n B. 21n C.() 211+n D.()221+n 4．若数列 {}n a 为等差数列，且 35791120a a a a a ++++=，则 891 2 a a -= (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．已知数列的一个通项公式为113 (1)2 n n n n a +-+=-，则5a =（ ） A ．12 B ．12- C ．932 D ．9 32 - 6．已知等差数列{a n }一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( ) A ．12 B ．5 C ．2 D ．1 7．设a n =－n 2 +10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项 8．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 10．在等差数列{}n a 中，若134=a ，257=a ，则公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )． A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 12．若数列{}n a 是等差数列，首项01>a ，且0,02013201220132012<>+a a a a ，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) A 、4023 B 、4024 C 、4025 D 、4026 二、填空题 13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1211=a ，则=21S 14．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a = . 15．如图，第n 个图形是由正n + 2 边形“ 扩展 ” 而来，( n = 1、2、3、… ) 则在第n 个图形中共 有___________个顶点.(用n 表示) 16．若等差数列{}n a 的首项为10-、公差为2，则它的前n 项n S 的最小值是______________。 17．已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为______ . 三、解答题 18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 3＝9. (1)求首项a 1和公差d 的值； (2)若S n ＝100，求n 的值．
等差数列 知识讲解 一、等差数列概念 概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推 公式：* 1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导 1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2.等差数列的公式的推导：累加法 3.等差数列通项公式的推导： 2132121n n n n a a d a a d a a d a a d ----=-=-=- =，将这1n -个式子的等号两边分别相加得： 1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 三、等差中项 定义：如果三个数x A y ， ，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2 x y A += 四、等差数列的常用性质 1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+， 若2m p q =+，则2m p q a a a =+； 该性质推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈,m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ?+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +± 也为等差
数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±． 3.如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >?是递增数列；{}0n d a
1.3 简单的等差数列 新知导航 在加减法的混合计算中,存在一种情况:多个加数(或减数)按照固定的规律依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王国中最著名的故事“高斯求和”——等差数列求和。 一、等差数列的认识 【基础过关】 热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下了这样的一个题:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的结果是多少? 分析:观察发现:本题中的数按从小到大的顺序依次排列,可以使用首尾对应求和的方式变加法为乘法计算。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) =11+11+11+11+11 =11×5 =55 老师点睛 当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的差相同,这组数被称之为“等差数列”。若求这组等差数列的和,可以按照首尾对应相加的方式使用乘法计算。 二、等差数列的求和计算 【综合提升】 例题1:10+11+12+13+…+19 分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对应求和的方法。 10+11+12+13+…+19 =(10+19)+(11+18)+…+(14+15)
=29+29+29+…+29 =29×(10÷2) =29×10÷2 =290÷2 =145 老师点睛 在连续自然数组成的等差数列求和计算中,可以将加法改为乘法计算:和 =(第一个数+最后一个数)×数的个数÷2。但首先要找到这组等差数列中数的个数,才能完成计算。 【巩固训练】 (1)1+2+3+…+20(2)3+4+5+…+12 (3)1+2+3+…+40(4)5+6+7+…+24 例题2:3+6+9+…+60 分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数,因此在找数的个数时,可以借用倍数的特殊性。 3+6+9+12+…+60 =3×1+3×2+3×3+3×4+…+3×20 =(3+60)×(20÷2) =63×10 =630 老师点睛 由某个数的连续倍数构成的等差数列求和计算中,应通过借用这个数的倍数找这组数的个数。 【巩固训练】 (1)2+4+6+…+20(2)5+10+15+…+100 (3)4+8+12+…+40(4)100+90+80+…+10 例题3:2000-5-10-15-20-…-100 分析:通过观察可得:所有的减数一起构成等差数列,因此可以先利用等差数列求和的方法求出所有减数的和,再求差。
高三文科数列专项测试（过关篇） 一、选择题（50分） 1.数列的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n = +，则5=S （ ） A ． 1 B ．56 C ．16 D ．130 2. 数列通项公式为()()1143n n a n -=-?-，则它的前100项之和100=S （ ） A ． 200 B ．200- C ．400 D ．400- 3. 等差数列通项公式为21n a n =+，其前n 项和为n S ，则数列n S n ??????的前10项和为（ ） A ． 120 B ．70 C ．75 D ．100 4.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）192 （C ）10 （D ）12 5.数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,则8a =（ ） A ． 16 B ．15 C ．46 D ．49 6．已知数列的前n 项和为n S ，11a =，1=2n n S a +，则=n S （ ） A ． n-12 B ．132n -?? ??? C ．123n -?? ??? D ．112 n - 7.已知为等比数列，，，则（ ） 8.设数列 通项为()cos 3 n n a n N π*=∈，且k N *∈，则（ ） 3k k a a += 4k k a a += 5k k a a += 6k k a a += {}n a {}n a {}n a {} n a {}n a 472a a +=568a a =-110a a +=()A 7()B 5()C -5()D -7{}n a ()A ()B ()C ()D
第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】 知识导航 被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候，就用一种非常简便、快速的方法算出了1＋2＋3＋4＋…＋49＋50的结果。高斯，真是一个神童！现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧！ 数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2， =（大+小）×个数÷2， 但是往往在求和时，项数或者末项还不清楚，所以还需记住以下两个公式： 最大数=小数＋公差×（个数－1）；或最小数=大数-公差×（个数－1） 个数比公差数多1，所以个数=（大－小）÷公差＋1 精典例题 例1：下面算式求和，你有妙招吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20 思路点拨：方法一：凑整法。从1到20总共有20个数，我们发现1+19=20，2+18=20，3+17=20，……，9+11=20， 每两个数为一组，每组和为20，最后不要忘记加上10和20哦！方法二：配对求和：可用最大加最小，次大加次小等培对的办法，每两个数为一对，每对和都是21，共10对。 方法一：凑整法。 1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20 =（1+19）+（2+18）+（3+17）+……+（9+11）+10+20 =20+20+20+……+20+10 =20×10+10 =210 方法二：配对求和。 1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20 =（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（9+12）+（10+11） =21+21+21+……+21+11 =21×10 =210 模仿练习计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 =（1+19）×10÷2 =20×5 =100
第二章 主备人 审核人 授课人 授课日期 课题 §2.2等差数列 课型 ◆教学目标 知识与技能：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式 过程与方法：培养学生观察，归纳能力，在学习的过程中，体会数形结合思想，归纳事项和化归思想并加深认识 情感态度与价值观：通过个性化的学习强化学生的自信心和意志力。 ◆教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项。 ◆教学难点 等差数列的概念，通项公式，等差中项公式的应用。 ◆教学过程 一.课题引入 在学习数列的过程中，我们通常会遇到一些比较特殊的数列，比如以下例子： 二.讲授新课 （1）课堂探究 1.姚明刚进NBA 一周训练罚球的个数： 6000,6500,7000,7500,8000,85000,9000 2.匡威运动鞋的尺码： 22.5,23,23.5,24,24.5,25,25.5,26 请你说出这两个数列的后面一项是多少？你的依据是 什么？ 这两个数列的共同特征是什么？ 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. ①数学表达式)2(1≥=--n d a a n n ②d 为同一个常数，如2，3，5，9，11就不是等差数列. ③取值范围：R d ∈ 2. 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列： （1）2， 3 ，4； （2）-8， -4 ，0； （3）a ，? ，b 由三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的等差中项. 2 b a A += 教学札记
等差数列知识点总结与基本题型 一、基本概念 1、等差数列的概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 （2）对于公差d ，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。 （3）0d >?等差数列为递增数列 0d =?等差数列为常数列 0d
等差数列练习题及答案详解
等差数列
一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10 120 S =，那么1 10 a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219 n a n =-，那么这个数列的 前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最 大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差12 d =，80 10042 =+++a a a Λ， 那么= 100 S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，60 12952 =+++a a a a ，那么= 13 S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为 100 ，则它的前3m 项的和为( )
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62 -=a ，68 =a ，若数列{}n a 的 前n 项和为n S ，则（ ） A.5 4 S S < B.5 4 S S = C. 5 6S S < D. 5 6 S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3 n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32 +-n n B ．)34(2 -n n C ．2 3n - D ．3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最 小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 一．选择题（10×5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
一、填空题 1. 等差数列2, 5, 8,…的第20项为 _______________ . 2. 在等差数列中已知 a i =12, a 6=27,则d= _____________ 1 3. 在等差数列中已知 d — , a 7=8,贝U a i = ____________________ 3 4. （a b ）2与（a b ）2的等差中项是 _______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是 _____________ 2 7. 数列a n 的前n 项和5=3n n ，则a n =______________________ 8. 已知数列a n 的通项公式a n =3n — 50,则当n= _______时，S n 的值最小，S 的最小值是 _________ 1. 在等差数列 a n 中 a 3 an 40 ,则 a 4 a 5 a a 7 a 8 a 9 a 10的值为（） A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列 a n 中，前15项的和S 15 90 , a 8 为（） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列a b 中，a 1 a 2 a 3 24, a 18 a 19 a 20 78，则此数列前20项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列 a n 中，若a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 450，则 a 2 a 8的值等于（） A.45 B.75 C.180 D.300 5. 若 Ig2,lg(2 x 1）,lg （2x 3）成等差数列，则x 的值等于（ ) A.0 B. log 2 5 C. 32 D.0 或 32 6. 数列3, 7, 13, 21 , 31, -的通项公式是（ ) 等差数列 1 1 K 1 A 、 4 B 、5 C 、彳或1 D 、2 b 等于 b , 2x ，那么 7. a : 等差数列中连续四项为 a , x , 选择题 / ‘ 3 A. a n 4n 1 B. a n n n 2 n 2 C. 2 a n n D.不存在
一、等差数列（Arithmetic Progression） 等差数列（又名算数列）是数列的一种。在等差数列中，任何相两的差 相等。差称公差。例如数列{ 3, 5, 7, 9, 11, 13}就是一个等差数列。在 个数列中，从第二起，每与其前一之差都等于2，即公差 2。 1、一个院有 22 排座位，第一排有26 个座位，后一排比前一排多 2 个座 位，院一共有几个座位？ 2、一个影院的第一排有 15 个座位，之后每一排都比前一排多 2 个座位， 最后一排有 73 个座位，影院一共几个座位？ 3、一个 Office Building 共有 24 ，梯从一楼开始上，此梯里有 5 人， 从2 楼开始每上 2 人，但是每一个乘客最多坐 4 就要下梯，当梯到达楼 （ 24 ）的候，梯里最多会有多少个乘客？ 4、Yorkmills 高中的一些同学要参加数学，如果参加的同学号： 1、2、3、4、5?? ..，当所有号的和不超 1050 ，那么 Yorkmills 高
中最多能有多少个孩子参加数学？ 5、以下数字构成等差数列，根据已知的数字填写剩余的数字，并算所有 数字的和是多少。 ____ ____ ____ ____ ____ 29 ____ ____ 20 ____ ____ ____ 6、将1,2,3,4,5???.1997的整数（Integra）分成A、B、C三，其中： A：1,6,7,12,13,18,19?.. B： 2,5,8,11,14,17,20?? C：3,4,9,10,15,16,21?? 那么， B 中一共有 _______整数； A 中第 600 个数字是 ________；1000 是______里的第 ______个数字？
一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。 数列中共有的项的个数叫做项数。 女口：2、5、8 11、14、17、20、?从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列 100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列 二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数亠2 项数=（末项-首项）“公差+1 末项=首项+公差（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1） 公差=（末项-首项）“（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与 末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 典例分析■ 1
考点一：等差数列的基本认识 例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22, (98) ②1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6; ③1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; ④9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2; ⑤3, 3, 3, 3, 3, 3 , 3 , 3; ⑥1, 0, 1 , 0 , I, 0, 1, 0; 【考点】等差数列的基本认识 【解析】①是，公差d=4. ②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. ③不是，因为4-2工2. ④是，公差d=l. ⑤是，公差d=0. ⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。 例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】该数列为等差数列，首项为101 ,公差为2,第21个数的项数为21.则101+ (21-1) X2=141 例3、已知一个等差数列第9项等于131 ,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】把数列列出来：83,89,95,101107,113,119,125,13,1137,143,149,155,16,167,173,179,185,191 答案：191 例4、2、4、6、8、10、12、-是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个. 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】利用等差数列的中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数 的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320-：-5=64 ,因相邻偶数相差2,故这五个偶数 依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60. 答案：60