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二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第八章)

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运筹学课后习题答案

运筹学课后习题答案

第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

《运筹学》胡运权清华版-8-04最大流

《运筹学》胡运权清华版-8-04最大流
交通规划
在城市交通规划中，最大流问题可以用于解决道路流量分配问题， 优化交通流以减少拥堵和提高通行效率。
电力网络
在电力网络中，最大流问题可以用于确定电力的最优传输方案，以 满足不同地区的需求并降低传输损耗。
05
总与展望
最大流问题的重要性和意义
实际应用
最大流问题在现实世界中具有广 泛的应用，如物流网络、交通调 度和电力传输等领域，解决最大 流问题有助于提高这些系统的效 率和可靠性。
03
最大流问题的求解算法分 析
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度分析
算法时间复杂度
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V是顶点的数量，E是边 的数量。
原因分析
该算法通过不断寻找增广路径并更新残量值来求解最大流，每次找到增广路径 都需要遍历所有边，而增广路径的数量最多为E，因此总的时间复杂度为 O(VE^2)。
THANKS
感谢观看
流量
在有向图中，每条边都有一个非 负数表示其流量，表示该边实际 传递的流量。
增广路径与Ford-Fulkerson算法
增广路径
在有向图中，从源点出发，经过若干条边和顶点，最后回到源点的路径。
Ford-Fulkerson算法
通过不断寻找增广路径并更新流量值，最终找到最大流的算法。
预流推进算法（Push-Relabel）
理论价值
最大流问题作为运筹学中的经典 问题，具有重要的理论价值，其 研究有助于推动运筹学和组合优 化理论的深入发展。
挑战性
最大流问题是一个NP难问题，具 有很高的计算复杂度，解决该问 题需要设计高效的算法和优化技 术，具有很大的挑战性。
未来研究方向和展望

运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）

运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）

运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。

并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。

1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。

运筹学课后习题答案

运筹学课后习题答案

第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案

运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案

�12 x1 � 3 x2 � 6 x3 � 3 x4 � 9
(1)
st
��8 ��3
x1 x1
� �
x2 x6
� 4 x3 �0
�
2 x5
� 10
�� x j � 0�, j � 1,� ,6�
min Z � 5 x1 � 2 x2 � 3 x3 � 2 x4
� x1 � 2 x2 � 3 x3 � 4 x4 � 7
运筹学教程�第二版� 习题解答
运筹学教程
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z � 2 x1 � 3 x2 � 4 x1 � 6 x2 � 6
(1) st .�� 2 x1 � 2 x2 � 4 �� x1 , x2 � 0
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
43/5
page 10 6 January 2011
School of Management
运筹学教程
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题�并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z � 10 x1 � 5 x2 �3 x1 � 4 x2 � 9
max Z � x1 � x2 �6 x1 � 10 x2 � 120 (3) st.�� 5 � x1 � 10 �� 5 � x2 � 8
max Z � 3x1 � 2 x2 �2 x1 � x2 � 2
(2) st.��3x1 � 4 x2 � 12 �� x1, x2 � 0

运筹学第八章--图与网络分析-胡运权PPT课件

运筹学第八章--图与网络分析-胡运权PPT课件

定理1 顶点次数总和等于边数的两倍。n d(vi) 2m i 1
定理2 次为奇数的顶点必为偶数个。
2020/5/29
.--线性规划
10
G (V , E), G' (V ', E' )
◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的子图，G是G’的母图 G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的真子图，G' G ◦ 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）图。
2020/5/29
.--线性规划
9
次（d）：结点的关联边数目
◦ d(v3)=4，偶点
◦ d(v2)=3，奇点
◦ d(v1)=4 ◦ d(v4)=1，悬挂点 ◦ e6, 悬挂边 ◦ d(v5)=0，孤立点
出次：d+(vi) 入次：d-(vi)
d (vi ) d (vi )
d (vi) = d+(vi) + d-(vi)
17
生成（支撑）树 若 V ' V , E' E ,则G’是G的支撑（生成）树。
(a)
(b)
(c)
18
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一 个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
1、破圈算法 步骤： （1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 （2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两 条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 （3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图 即为最小树，否则返回第1步。
19
例8.1
20
2、避圈算法 步骤：

二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第三章)

表3-37
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。

清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案


该题是唯一最优解：
29
17
x1 5 , x2 5 , x3 1, x4 0, Z 5
page 21 13 April 2021
21
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
page 6 13 April 2021
6
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
17
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
max Z x1 4x2
st.43xx1165xx22
8 10
x1, x2 0
最优值（下界）为：6.4
page 18 13 April 2021
18
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运筹学教程
第一章习题解答
1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
(1)
st
x12x1x23xx23
2x4 x3
14 x4
. 2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
min Z 2x1 2x2 3x3
st
8x1 3x1

运筹学教材习题答案详解

(1)
【解】图解法
单纯形法：
C(j)
1
3
0
0
b
Ratio
C(i)
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C(j)-Z(j)
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2
1
X1
1
0
-0.375
0.125
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
数量(根)
长度(m)
数量(根)
A1：1.7
2பைடு நூலகம்
B1：2.7
2
A2：1.3
项目2
项目3
0
400
800
900
1
600
800
500
2
900
800
200
3
100
700
600

清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)


m ax Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 ( 2) st . 3 x1 4 x 2 12 x , x 0 1 2 该问题无可行解
2
( 3)
m axZ x1 x 2 6 x1 10x 2 120 st . 5 x1 10 5 x2 8
1
(3)
max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st . 5 x1 10 5 x 8 2
(4)
m i nZ 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 (1) st . 3 x1 2 x 2 4 x ,x 0 1 2 无穷多最优解 (蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 优 最解 ） x1 6 1 , x2 , 是 其 中 一 个 最 优 解 5 5
唯一最优解， x1 10, x 2 6 Z 16
(4)
max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
3
该问题有无界解
1.2
将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
解：令 w Z , x4 x41 x42， 其 中 x41，x42 0, 同时引入松弛变量 x5， 剩 余 变 量 x6， 则 标 准 形 式 为 ： m axw 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x41 5 x42 4 x1 x 2 2 x 3 x41 x42 x x x 2x 2x x 1 2 3 41 42 5 st 2 x1 3 x 2 x 3 x41 x42 x6 x1 , x 2 , x 3 , x41 , x42 , x6 2 14 2 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
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第八章习题解答
局。
8.5 求解如图8-51所示的中国邮路问题，A点是邮
第八章习题解答
第八章习题解答
8.6 分别用深探法、广探法、破圈法找出图8-52所 示图的一个生成树。
第八章习题解答
第八章习题解答
பைடு நூலகம்八章习题解答
第八章习题解答
8.7 设计如图5-53所示的锅炉房到各座楼铺设暖气 管道的路线，使管道总长度最(单位：m)。
第八章习题解答
8.18 甲、乙、丙、丁、戊、己6人组成一个小 组，检查5个单位的工作，若一单位和乙、丙、丁三 人有工作联系，则用{乙，丙，丁}表示，其余四个单 位分别为{甲，戊，己}，{甲，乙，戊，己}，{甲，乙， 丁，己}，{甲，乙，丙}。若到一个单位去检查工作的 人必须是和该单位没有联系的人，问应如何安排? 解：此题应该假设1人只能去1个单位检查工作。 但是一个单位可以有多人去检查。具体安排如下： 甲和己→单位1、乙→单位2 、丙→单位3 、丁→单 位5 、戊→单位4 。
解：两条船就够了。 一条船完成：T4→T5→T3； 另一条船完成：T1→T2 。
第八章习题解答
8.2 有八种化学药品A、B、C、D、E、F、G、H要 放进贮藏室。从安全角度考虑，下列各组药品不能贮 存在同一室内：A—C，A—F，A—H，B—D，B—F，B— H，C—D，C—G，D—E，D—G，E—G，E—F，F—G， G—H，问至少需要几间贮藏室存放这些药品。 解：能贮存在同一室内的两种药品之间作一条连 线。贮存在同一室内的药品应该构成一个完全图。 ABG，CFH，DE构成完全图。故，存放这些药品最少需 要3间储藏室。
第八章习题解答
8.19 图8-61所示网络中，有向边旁数字为(cij， dij)，cij表示容量，dij表示单位流量费用，试求从vs到 vt流值为6的最小费用流。 解： 最小费用为35。流量分布见下一个图形。
第八章习题解答
第八章习题解答
8.20 某种货物由2个仓库A1，A2运送到3个配货中 心B1，B2，B3。A1，A2 的库存量分别为每天13t，9t； B1，B2，B3每天需求分别为9t，5t，6t。各仓库到配货 中心的运输能力、单位运费如表8—4，求运费最省的 运输方案。
第八章习题解答
8.1 证明在9座工厂之间，不可能每座工厂只与其 他3座工厂有业务联系，也不可能只有4座工厂与偶数 个工厂有业务联系。 解：将有联系的工厂做一条连线。 如果仅有9座工厂只与其他3座工厂有业务联系， 说明顶点次数之和为27，矛盾。 如果只有4座工厂与偶数个工厂有业务联系，其他 5个工厂一定与奇数个工厂有业务联系，说明顶点次 数之和还是奇数，矛盾。
第八章习题解答
8.16 如图8-60，从v0派车到v8，中间可经过 v1，…，v7各站，若各站间道路旁的数字表示单位时 间内此路上所能通过的最多车辆数，问应如何派车才 能使单位时间到达v8的车辆最多?
第八章习题解答
解：最大流量为40辆。
第八章习题解答
8.17 某单位招收懂俄、英、日、德、法文翻 译各1人，有5人应聘。已知：乙懂俄文，甲、乙、 丙懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊 懂法文，问这5个人是否都能得到聘书?最多几人能 得到招聘，各从事哪一方面的翻译任务? 解：某人懂某种语言作一条连线，权数为1。 甲---英语 乙-----俄语 丁---日语 戊-----法语 最多招聘4个人。
第八章习题解答
8.14 求图8-58中网络最大流，边上数为(cij，fij)。 解：最大流量为14。
第八章习题解答
第八章习题解答
8.15 如图8-59，发点S1，S2分别可供应10和15个 单位，收点t1，t2可以接收10和25个单位，求最大流， 边上数为cij。
第八章习题解答
解：最大流量为21。
表8-5 地点 x1 y1 5 y2 10 y3 / 地点 x1 表8-5 y1 2 y2 3 y3 2
x2
/
12
1,8
x2
1
1
2
(提示：用Ti 表示运输任务(i=1，2，3，4，5)。作二部图， 凡完成Ti项任务后可继续完成Tj项任务的在Ti,Tj间连线，再求 二部图的最大匹配。)
第八章习题解答
第八章习题解答
第八章习题解答
8.11 求图8-56中v1到各点的最短路。
第八章习题解答
第八章习题解答
8.12 求图8-57网络中各顶点间的最短路。
第八章习题解答
D (0) 5 16 12 0 20 0 14 0 20 18 0 12 9 0 0 5 16 19 12 20 0 36 14 32 0 20 18 0 32 12 48 9 0 D (1) 0 5 16 12 20 0 36 14 32 0 20 18 0 12 9 0 0 5 16 19 12 20 0 36 14 32 0 20 18 0 32 12 48 9 0
D ( 2)
D ( 3)
第八章习题解答
D ( 4) 0 5 16 19 12 20 0 36 14 32 0 20 18 0 32 12 48 9 0
V1
V2
V3
V4
V5
D ( 5)
V1 0 5 16 19 12 V2 20 0 36 14 32 V3 50 20 0 20 18 V4 0 V5 32 12 48 9 0
表8-4 8 7 运程 Al—B1 Al—B2 运量限制(t／d) 运费(百元/t) 3 1l
Al—B3
A2—B1 A2—B2 A2—B3
5
6 3 5
10
S 7 4
第八章习题解答
解：最小费用流为105。流量分布如下：
第八章习题解答
8.21 有5批货物，要用船只从x1,x2 地分别运 往y1,y2,y3地。规定每批货物出发日期如表8-5所示， 又知船只航行所需时间(d)如表8-6所示。每批货物只 需一条船装运，在空载和重载时航行时间相同，要求 制定计划，以最少的船只完成这5项运输任务。
第八章习题解答
8.13 某设备今后五年的价格预测分别是(5，5，6， 7，8)，若该设备连续使用，其第j年的维修费分别为(1， 2，3，5，6)，某单位今年购进一台，问如何确定更新 方案可使5年里总支出最小(不管设备使用了多少年， 其残值为0)。 解：最优解为：先使用两年，更新后再使用三年。 或先使用三年，更新后再使用两年。最小总支出20。
第八章习题解答
8.3 6个人围成圆圈就座，每个人恰好只与相邻者 不相识，是否可以重新就座，使每 个人都与邻座认识? 解：两个人认识作一条连线。
第八章习题解答
8.4 判定图8-50中的两个图能否一笔画出，若能， 则用图形表示其画法。 解： (a)图都是偶点，可以一笔画出。(b)图只有两 个奇点，一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
第八章习题解答
第八章习题解答
8.8 分别用避圈法和破圈法求图8-54所示各图的最 小树。
第八章习题解答
第八章习题解答
8.9 给定权数1，4，9，16，25，36，49，64，81， 构造—棵霍夫曼树。
第八章习题解答
8.10 如图8-55，v0是一仓库，v9是商店，求一条 从v0到v9的最短路。